Mechanika kwantowa/Mechanika kwantowa-Tom pierwszy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Spis treści


Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Wyświetl całą książkę

Podstawy mechaniki kwantowej[edytuj]

W tym rozdziale przedstawimy podstawowe prawa mechaniki kwantowej będące podwalinami tejże teorii.

Zasada Huygensa[edytuj]

Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków.
Dyfrakcja falowa według zasady Huygensa.

Zasada Huygensa mówi, że punkt (żółte kropki), do którego dotarła rozchodząca się fala, jest znów źródłem nowych fal. Poszczególne fale ulegają superpozycji, oznacza to, że ich odchylenia od stanu normalnego dodają się one jak liczby zespolone:

(1.1)

Ogólnie superpozycję dowolnej liczby fal zakładając, że określa funkcję falową znalezienia cząstki w fali prawdopodobieństwa wiedząc, że bazę funkcji wszystkich , które są wykorzystane w (1.1), można zortonormalizować bo one tworzą przestrzeń liniową tych wersorów bazowych, a więc (1.1) można zapisać w funkcjach bazy:

(1.2a)

Lub w postaci ciągłej, tzn. gdy parametr charakteryzujący poszczególne fale jest wielkością ciągłą:

(1.2b)

Jeśli założymy, iż wielkość jest skalarem, a jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to , wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą:

(1.2c)

Dualizm korpuskularno-falowy[edytuj]

Dualizm korpuskularno-falowy jest cechą obiektów fizycznych, np. fotonów czy elektronów, polegającą na tym, iż w pewnych sytuacjach wykazują one cechy cząstek (korpuskuł), a w innych sytuacjach cechy fal. Mechanika kwantowa, przewiduje, iż cząstka nie musi zachowywać się tylko i wyłącznie jak fala czy cząstka, lecz może jednocześnie spełniać cechy stanu pośredniego. Wówczas nie należy stosować ani teorii Huygensa (teoria fal), ani mechaniki klasycznej (teoria Newtona lub Einsteina w zależności od prędkości cząstki klasycznej), lecz w tym celu należy posłużyć się mechaniką kwantową (klasyczną lub relatywistyczną, w zależności od wartości prędkości, jaką taka cząstka posiada).

Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali[edytuj]

Wiadomo, że fotony są cząstkami o charakterze korpuskularnym. Według teorii Plancka energię takiego fotonu zapisujemy jako funkcję jej częstości zdefiniowanej jako odwrotność jej okresu drgań. Jeśli fotony przyjmiemy jako fale, to energia cząstki wiążąca jej charakter korpuskularny z jej charakterem falowym jest przedstawiana według zależności skwantowanej:

(1.4)

Jeśli zdefiniujemy częstotliwość kołową fali fotonów jako stosunek liczby 2π przez okres drgań omawianej fali, to jego energię w zależności od jej częstotliwości kołowej drgań o stałej proporcjonalności równej stałej kreślonej Plancka jest zdefiniowana jako , ta energia korpuskułów będących fotonami jest równa:

(1.5)

Zatem na podstawie (1.5) energią fotonu z jej częstotliwością kołową jest przedstawiana wedle sposobu:

(1.6)

Należy pamiętać, że wzory (1.4) (wiążących energię korpuskuły z jej częstością przy stałej proporcjonalności stałej Plancka) i (1.5) (wiążących energię korpuskuły z jej częstotliwością kołową przy stałej proporcjonalności stałej kreślonej Plancka) są ze sobą równoważne, tylko ten pierwszy wyraża się poprzez częstość fali fotonów, a drugi przez częstotliwość kołową fali fotonów.

Efekt fotoelektryczny[edytuj]

Zjawisko efektu fotoelektrycznego opisanego przez Alberta Einsteina

W efekcie fotoelektrycznym fotony o energii (bo (1.4)) trafiają na ekran o pracy wyjścia W, i wybijają z niego elektrony o prędkościach v. Część energii takiego fotonu o tej średniej energii jest marnowana na pracę wyjścia elektronu z metalu, a pozostałość na energię kinetyczną wybitego obiektu, zatem korzystając z zasady zachowania energii i z wyrażenia na klasyczną energię kinetyczną elektronu, to z zasady zachowania energii mamy wzór:

(1.7)

Energię kinetyczną rozpatrujemy według mechaniki klasycznej a nie relatywistycznej, bo energia średnia takiego fotonu nie jest o wiele większa od energii spoczynkowej rozważanego elektronu.

Fale de Broglie'a[edytuj]

Energia fotonu w zależności od jej częstości fali fotonów jest tak jak we wzorze (1.4). Według wzoru (1.4) energia fotonu jest zależna liniowo od jego częstości fali fotonów, jeśli potraktować fotony jako fale mający pewną długość fali pędzących z prędkością fazową c, a więc mających pewną częstość. Według szczególnej teorii względności jego energia całkowita względem jej masy relatywistycznej (foton nie ma masy spoczynkowej, jego masa spoczynkowa jest równa zero) można przedstawić jako cząstki pędzące z prędkością grupową c napisaną według:

(1.8)

Wzory (1.4) i (1.8) przedstawiają tą samą energię fotonu, raz jako fale pędzące z prędkością fazową równą c, a za drugim razem jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, więc możemy je przyrównać do siebie, dostajemy:

(1.9)

Wiemy, z definicji częstości dla fotonów pędzących z prędkością światła (prędkość fazowa), co można ją przedstawić od długości fali światła pędzących z prędkością światła:

(1.10)

Podstawiając wzór (1.10) przedstawiający częstość fali fotonów w zależności od długości fali tegoż obiektu do (1.9), to dostajemy równoważne równanie:

(1.11)

Skracając obustronnie równanie (1.11) przez stałą prędkości światła w próżni c, to ono przyjmuje postać wiążącą długość fali fotonów w zależności o jej masy relatywistycznej:

(1.12)

Ponieważ pęd fotonu jest wyrażony według wzoru występującą w szczególnej teorii względności dla cząstek bezmasowych, to wzór na pęd fotonu możemy wykorzystać do wzoru (1.12) podstawiając za tą wielkość, by otrzymać pęd fotonu w zależności od długości fali fotonów pędzących z prędkością światła, zatem:

(1.13)

Z równania de Broglie'a (1.13) możemy wyznaczyć długość fali fotonów, która jest przedstawiana w zależności od pędu fotonów, wtedy:

(1.14)

Powyższe równanie jest słuszne tylko dla fotonu (dla cząstek nie mającej masy spoczynkowej i ładunku), ale można je uogólnić dla dowolnej cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera dla cząstek mających ładunek , czyli zachodzi:, wtedy oznaczenia dla równania (1.14) dla dowolnej cząstki:

  • - to jest pęd uogólniony relatywistyczny lub klasyczny cząstki,
  • - stała Plancka,
  • - długość fal materii de Broglie dla dowolnej cząstki, jeśli potraktować cząstki masowe lub fotony jako fale o pewnej długości fali i prędkości fazowej.

Zapiszmy pęd uogólniony cząstki w zależności od jej liczby falowej znając jej definicję oraz stałą kreśloną Plancka:

(1.15)

Zatem pęd uogólniony cząstki jest napisany w zależności od wartości liczby falowej:

(1.16)

Ale wiadomo, że wektory (pęd uogólniony cząstki) i (wektor liczby falowej) są współliniowe i mają te same zwroty), to równanie (1.16) wektorowo możemy zapisać w postaci:

(1.17)

Oczywiste jest, że wzór skalarny (1.16) wynika ze wzoru wektorowego (1.17). Napiszmy wzór na energię mechaniczną cząstki znanego z mechaniki klasycznej przy pomocy wzoru (1.17). Energia kinetyczna z definicji jest ona wyrażona przy pomocy pędu klasycznego danej cząstki . Jeśli wektor pędu uogólnionego wyrazimy przy pomocy wzoru wektorowego, czyli równania (1.17), to jego energia mechaniczna w zależności od liczby falowej przy istnieniu potencjału magnetycznego, jeśli potraktować cząstki jako fale materii o pewnej długości , zapisujemy w postaci:


(1.18)

Widzimy, że wzór na energię mechaniczną jest zależny od masy ciała, liczby falowej jeśli traktować cząstki jako fale de Broglie'a, ładunku cząstki oraz potencjału elektrycznego i magnetycznego.

Ciało doskonale czarne według Plancka[edytuj]

Foton jest bozonem więc w dowolnym stanie może znajdować się fotonów, a więc energia tych fotonów w tym stanie jest skwantowana tzn. jest zależna od całkowitego współczynnika i częstości fotonów, jeśli potraktować je jako fale, przedstawia się jako powstająca po pomnożeniu przez energii pojedyńczego fotonu (1.4) i oznaczamy ją przez : Energia fotonów w dowolnym stanie, tzn. (1.4) jest wielokrotnością energii podstawowej według postulatu Plancka, ta energia fotonu jest zależna liniowo od częstości fali fotonów. Prawdopodobieństwo, że cząstki (fotony) mają energię jest określona przez wzór Boltzmanna w zależności od temperatury w jakim układ się on znajduje:

(1.19)

We wzorze (1.19) energia danego poziomu En jest napisana przez równanie (1.4). Średnia energia fotonu opisana jako średnia energia fotonu w układzie wyrażona przy pomocy prawdopodobieństwa danego stanu o numerze n określonej przez wzór (1.19) jest pisana:

(1.20)

gdzie:

  • , bo

Obierzmy wielkość, która zależy od temperatury układu i energii podstawowej stanu podstawowego (n=1) zależąca tylko od częstości fali fotonów w jakim może znajdować się bezmasowy foton:

(1.21)

Średnia energia fononu w układzie napisana jest według (1.20), co po podstawieniu do niego (1.21), który jest zależny od temperatury układu i jego stanu podstawowego E, a to z kolei jest zależny od częstości fotonu znajdujących się w naszym rozważanym układzie:

(1.22)

Wiadomo z analizy matematycznej, że zachodzi tożsamość wynikająca z własności szeregu potęgowego, bo eksponens e-nx tworzy pewnego rodzaju szereg potęgowy o ilorazie e-x0:

(1.23)

Tożsamość (1.23) możemy wykorzystać do policzenia mianownika wyrażenia (1.22). Zróżniczkujemy obustronnie równanie (1.23) względem x0, otrzymujemy:


(1.24)

Tożsamość (1.24) możemy użyć do policzenia licznika równania (1.22). Po podstawieniu tożsamości (1.24) i (1.23) do wzoru (1.22) oraz wykorzystując podstawienie (1.21) dostajemy wzór na średnią energię fotonu o danej częstości w układzie:


(1.25)

A zatem średnia energia całkowita fotonu w układzie jest zależna od jej częstości i temperatury układu fotonów, jest wyrażona według wzoru (1.25):

(1.26)

Zakładamy, że mamy sześcian o boku L, którego wartość odchyleń amplitud fali fotonów na brzegach sześcianu jest jednakowa i równa zero:

(1.27)

Ponieważ wektor liczb falowych nieujemnych jest wektorem równoległym do wektora , także jest to kwadrat długości fali fotonów, te wspomniane wektory również mają ten sam zwrot, zatem mając wyrażenie (1.28) podnosimy je do kwadratu, to z definicji iloczynu skalarnego dla wektorów mających ten sam kierunek i zwrot:

(1.28)

Promień naszej kuli jest wyrażony według (1.28), w której są pewne wartości ni, która jest zależna od jakieś długości fali jaką foton może posiadać:

(1.29)

Ale musi zachodzić ni≥0, aby ten warunek był spełniony musimy rozważyć sfery o grubości dR, jeszcze trzeba uwzględnić to, że foton ma spin 1, który występuje w dwóch stanach, zatem liczba stanów, których może znajdować się foton o częstości podstawowej ν w danej objętości V, jest zapisana wedle schematu:

(1.30)

Energia fotonów wypromieniowana na jednostkę czasu, objętości i jego częstości, o średniej energii zależy od częstości, zatem moc wypromieniowania z układu fotonu o danej częstości fotonów jest równa:

(1.31)

Jeśli przyjmować będziemy fizykę klasyczną, to średnia energia fotonu dla jednego kierunku jest zapisana jako energia zależna tylko od temperatury układu kwantowego liczona z rozkładu Boltzmanna:


(1.32)

Wzór (1.32), który jest wzorem na średnią energię fotonu podstawiamy do (1.31), co wtedy:

(1.33)

Wzór (1.33) nazywamy wzorem Rayleigha-Jeansa. Z tego wzoru wynika nieskończoną wartość rν dla ν bardzo dużego, co nazywamy katastrofą ultrafioletową. Gdy przyjmować będziemy według Plancka, tzn. podstawiając za średnią energię wzór (1.26) zależny nie tylko od temperatury układu, ale też od częstości fotonów wypromieniowaną z układu, to moc wypromieniowana z układu jest wyrażona:

(1.34)
Rozkład Plancka dla różnych temperatur. Moc (kJ/s) promieniowania ciała o powierzchni 1m2 do kąta bryłowego pełnego w zakresie długości fal 1 nm.

Gdy uwzględnimy "h" bardzo małe, czyli matematycznie mówiąc h→0, to wzór (1.34) przechodzi w równanie:

(1.35)

Czyli po tych zabiegach dochodzimy znów do wzoru Rayleigha-Jeansa wyprowadzonej w pozycji (1.33). Dla dużych częstości, tzn.:ν»0, to wzór (1.34), w którym eksponens występujący w mianowniku staje się bardzo duży w stosunku do jedynki, zatem tą jedynkę występującą w mianowniku możemy pominąć, co staje się jasne:


(1.36)

Wzór Wiena (1.36) możemy również otrzymać z (1.31) podstawiając do niego za średnią energię fotonu iloczyn energii fotonu (1.4) i ilości fotonów wynikających z rozkładu Boltzmanna wiedząc, że potencjał chemiczny w nim jest równy zero .

Prawo Stefana-Boltzmanna[edytuj]

Całkowita energia wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o wszystkich możliwych częstości liczona jest przy pomocy wzoru wyrażenia dla jednej częstości, która jest przedstawiona przez wzór (1.34), jest to całką mocy promieniowania dla wszystkich częstości fotonu w jakim występuje foton na jednostkę objętości:


(1.37)

W równaniu (1.37) dokonaliśmy podstawienia w końcowym wyniku:

(1.37a)

Jest ona zależna od stałych fizycznych, tzn. od stałej Boltzmanna (), stałej prędkości światła w próżni (), stałej Plancka () i jednej stałej matematycznej . Całkowita energia na jednostkę objętości jest zapisana według wzoru:

(1.37b)

We wzorze (1.37b) stała σ została wyjaśniona w punkcie (1.37a). Powyższe wyrażenie jest zależne od czwartej potęgi temperatury T (wyrażonej w kelwinach) przy stałej proporcjonalności (1.37a), jest to moc wypromieniowana przy ciało doskonale czarne przy wszystkich możliwych częstościach na jednostkę objętości.

Prawo przesunięć Wiena[edytuj]

Wyznaczmy dla jakich ν funkcja rν wzór (1.34) (rozkład Placka ciała doskonale czarnego) przyjmuje maksimum dla danej temperatury T układu, czyli dla jakich ν, natężenie promieniowania jest największe, czyli matematycznie mówiąc maksimum występuje, gdy pochodna natężenia promieniowania na jednostkę objętości w rozkładzie Plancka jest równa zero, czyli musimy policzyć pochodną wyrażenia (1.34) względem częstości fotonów z jakich może drgać fala, jeśli przyjmować, że fotonowi odpowiada pewna fala według teorii korpuskularno-cząsteczkowej:

(1.38)

Wartość zerową przyjmuje licznik wyrażenia (1.38) a mianownik jest nierówny zero dla niezerowych częstości promieniowania wypromieniowanego z układu dla dowolnej skończonej temperatury większej od zera, otrzymujemy:

(1.39)

Dzielimy równanie (1.39) obustronnie przez kwadrat częstości fotonów ν2, także wiemy, że w ogólności częstość fali fotonów jest różna od zera, zatem dochodzimy do wniosku, że:

(1.40)

Obierzmy podstawienie we wzorze (1.40), tzn. za wielkość zależną od temperatury układu i częstości fali fotonów wypromieniowaną z układu o maksymalnym natężeniu, która jest wielkością bezwymiarową, czyli dokonajmy podstawienia:

(1.41)

Równanie (1.40) po podstawieniu do niego wielkości bezwymiarowej (1.41) przedstawia się:

(1.42)

Rozwiązując równanie (1.42) numerycznie dla x≠0, w których jest ściśle określone x, a zatem jeśli mamy x, to ze wzoru (1.41) dostajemy równanie po wyznaczeniu częstości zależącej od x i od temperatury układu:

(1.43)

Wiemy jednak, że częstość fali jest zależna od odwrotności długości fali fotonów w sposób: oraz przyjmujemy, że fotony będziemy przyjmować jako fale o długości λ rozchodzących się z prędkością fazową c, wtedy:

(1.44)

W równaniu (1.44) widzimy, że czym większa temperatura układu, to jest mniejsza długość fali promieniowania o największej mocy wypromieniowana z układu. A zatem z równania (1.44), dostajemy następne równoważne równanie:

, gdzie:
(1.45)

Iloczyn długości fali promieniowania o największej mocy z układu przez temperaturę układu jest wielkością stałą i niezależną od innych parametrów charakteryzujących układ.

Paczki falowe w nowej teorii kwantów[edytuj]

Paczka falowa inaczej zwany pakiet falowy, jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach kołowych według zasada Huygensa.

Paczka falowa jako superpozycja fal harmonicznych z pewnego przedziału dla liczb falowych

Aby w tym celu usunąć całkowitą lokalizację cząstki a jej delokalizacją wprowadza się funkcję falową opisującą falę płaską o długości fali zależnej od jej liczby falowej, która też charakteryzuje falę w sposób: propagującą się w kierunku osi x, którą można przedstawić w postaci:

(1.46)

Wykorzystajmy wzór (1.6) oraz (1.17), to wyrażenie (funkcję falową) (1.46) zapisujemy jako funkcję energii cząstki o ściśle określonym pędzie, gdy ona znajduje się w położeniu x i w czasie t, która przedstawia się:

(1.47)

Wprowadźmy superpozycję fal o liczbach falowych z przedziału (k0-Δk,k0+Δk) o różnych amplitudach przy pomocy liczb funkcji falowych z definiowanych wedle schematu (1.46) i obierzmy jego całkę po omawianych zakresie zmienności liczby falowej k.

(1.48)

Rozłóżmy w szereg Taylora częstotliwość kołową drgań cząstki względem funkcji falowej fali k naszej rozważanej fali płaskiej i napiszmy ten nasz szereg Taylora do drugiego rzędu wyrazy włącznie, a dalsze wyrazy oznaczamy wielokropkami:

(1.49)

Zakładamy, że jest małe odchylenie zmiennej k od punktu k0, to w wyrażeniu (1.49) wyrazy kwadratowe i wyższe pomijamy, wtedy w wyrażeniu (1.48), w którym będziemy zakładać, że C(k) słabo zależy od k w tymże rozważanym przedziale zmienności k, zatem możemy przejąć w przybliżeniu, że zachodzi C(k)≈C(k0), wtedy je piszemy:




Na podstawie obliczeń występujących w ostatnich dokonanych operacjach na formułach, otrzymujemy ostateczny wzór dla paczki falowej, która jest superpozycją fal prostych o bardzo małym zakresie zmienności wartości stałej falowej k wokół liczby falowej k0, wtedy:

(1.50)

Wyrażenie (1.50) przedstawia pewną paczkę, która jest superpozycją różnych fal o małym zakresie zmienności liczby falowej wokół punktu k0, którego wykres w czasie jest przedstawiony obok.

Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu[edytuj]

Policzmy pochodną energii cząstki względem jej pędu uogólnionego w mechanice klasycznej Newtona:


(1.51)

Widzimy, że według mechaniki klasycznej pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej, co nie powinno być zaskoczeniem. Następnie rozpatrzmy cząstkę relatywistyczną o energii relatywistycznej wyrażonej przy pomocy pędu uogólnionego cząstki i jej masy spoczynkowej m0, która może być równa zero, znając definicję pędu klasycznego:


(1.52)

Widzimy, że według szczególnej teorii względności, że pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej. Z szczególnej teorii względności i teorii klasycznej Newtona wiadomo, że prędkość cząstki jest równa pochodnej energii cząstki względem pędu uogólnionego, bo ((1.51) i (1.52)), a jeżeli potraktować cząstki jako falę, to wtedy ta prędkość powinna być równa prędkości grupowej fali, która jest równa pochodnej częstotliwości kątowej względem liczby falowej, a jeżeli przyrównać ją do prędkości cząstki, to dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór na energię kwantu (1.6) i wzór na fale de Broglie'a (1.17), bo:

(1.53)

Prędkość grupowa fali o wektorze falowym przedstawia prędkość energii fali, a w przypadku korpuskularnym cząstka porusza się z pewną prędkością, która określa prędkość poruszania się energii (korpuskułu), a więc obie te prędkości są sobie równe.

Warunek Braggów a doświadczenie i fale materii[edytuj]

Rysunek pozwalający wyprowadzenie warunku Braggów.

Różnica dróg optycznych między górnym a dolnym promieniem jest zależna od odległości pomiędzy warstwami między dwoma płaszczyznami atomów i od kąta do płaszczyzny z atomami, pod którą pada fala elektromagnetyczna X:

(1.54)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, jest równa:

(1.55)

Równanie fal materii pierwszej i drugiej uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu tegoż obiektu, zapisujemy je wedle sposobu:

(1.56)
(1.57)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (1.56) do (1.57), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych i równoległych do siebie przed dojściem do kryształu i po jego wyjściu:


(1.58)

W wyrażeniu (1.58) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy w wyrażeniu pod kosinusem jest nπ, to moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

(1.59)

Na podstawie ostatniego wyrażenia w (1.59) dochodzimy do wniosku, że równanie Braggów jest zapisywane w postaci:

(1.60)

Jest ona zależna od odległości między dwoma płaszczyznami d, od długości fali λ i od kąta θ padania promieniowania elektromagnetycznego X, dzięki któremu fala elektromagnetyczne ulegnie wzmocnieniu na ekranie, na której badamy wzmocnienia fal elektromagnetycznych dla jakiegoś parametru n, jeśli w ogóle istnieje.

Teoria atomu wodoru Bohra[edytuj]

Będziemy się tu zajmować atomem wodoru według postulatów podanych Bohra.

Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych[edytuj]

Załóżmy, że elektrony krążą po orbitach kołowych opisywanych przez mechanikę klasyczną, a poszczególne orbity są skwantowane . Elektron może przechodzić z jednej orbity na drugą wysyłając lub wchłaniając kwant energii.

A oto postulaty Bohra:

Postulat pierwszy:

Elektron przeskakujący z jednej orbity na drugą wydziela lub musi pochłonąć foton o energii:

(2.1)

Według (2.1) foton ma częstość ν, jeśli potraktować foton jako fale, jest to kwant energii, jeśli potraktować foton jako korpuskułę według teorii korpuskularno-falowej, a każdej orbicie odpowiada pewna energia całkowita znajdującego się tam elektronu.

Postulat drugi:

Elektron porusza się po orbicie kołowej z pewną prędkością opisywaną przez mechanikę klasyczną Newtona.

Postulat trzeci:

Moment pędu elektronu na orbicie jest skwantowany i proporcjonalny do liczby kwantowej n i wynosi:

(2.2)

Widzimy, że wedle wzoru pierwszego w (2.2) moment pędu przyjmuje pewne wartości ściśle określone i zależne od liczby kwantowej n. A wedle drugiego wzoru, jeśli mamy orbitę kołową i mamy pewne r, co jest promieniem orbity kołowej, to również też mamy pewne v, czyli prędkość cząstki krążącej na tej orbicie, zatem dochodzimy do wniosku, że promień orbity i prędkość cząstki są wielkościami dyskretnymi, a zatem też jej energia jest wielkością przyjmującą pewne wartości zależne tylko od liczby dyskretnej n.

Wyprowadzenie wzoru Rydberga[edytuj]

Z skwantowane orbity według teorii Bohra

Siła dośrodkowa działająca na elektron ze strony jądra atomu wodoru zależy od prędkości elektronu, który się porusza wokół jądra, po orbicie kołowej, wartość tej siły jest wszędzie jednakowa na orbicie kołowej, a jej kierunek przechodzi przez środek jądra atomowego, który w tym przypadku przyjmujemy za punktowe, a zwrot jest skierowany w kierunku jądra atomowego:

(2.3)

Siła Coulomba znana z elektrostatyki, jeśli założymy, że w jądrze skupiony jest ładunek Ze, który oddziaływuje z elektronem na orbicie o ładunku -e, jest przyciągająca w kierunku jądra atomowego, która jest jednocześnie siłą dośrodkową (2.3) i ma wartość zapisaną jako funkcję promienia orbity kołowej r.

(2.4)

Porównując te dwie siły, tzn. siłę elektrostatyczną działająca ze strony nieporuszającego się ciężkiego jądra wedle wzoru (2.4), która jest niezrównoważoną siłą, ze wzorem wynikającego z mechaniki klasycznej Newtona (2.3) i łącząc te dwie siły, bo mają ten sam zwrot, kierunek i wartość.

(2.5)

Mnożymy obustronnie równanie (2.5) przez promień orbity kołowej elektronu r, to otrzymujemy inną równoważną zależność, w której występuje na razie prędkość cząstki i promień tejże rozważanej orbity:

(2.6)

Korzystamy ze wzoru (2.2) na skwantowany moment pędu i wyznaczamy z niego odwrotność promienia orbity kołowej, po której porusza się elektron:

(2.7)

Podstawiamy wyrażenie (2.7) na odwrotność promienia orbity do wzoru (2.6), to dostajemy wzór, który przedstawia prędkość cząstki w zależności od liczby kwantowej w jakieś uwikłanej postaci:

(2.8)

Teraz skracając przez wartość prędkości v z jaką elektron okrąża pewną orbitę kołową w równości (2.8) oraz wiedząc, że prędkość elektronu na orbicie jest wielkością niezerową, bo ona nie może być tam w spoczynku, bo inaczej spadł by na jądro atomowe:

(2.9)

Dzieląc obustronnie wzór (2.9) przez masę elektronu m dostajemy wzór na jawną postać jak zależy prędkość elektronu na pewnej ściśle określonej orbicie kołowej w zależności od dyskretnej (kwantowej) liczby n, która przyjmuje wartości naturalne bez zera.

(2.10)

A teraz policzmy promień n-tej orbity z równania (2.2) na skwantowaną prędkość cząstki na orbicie kołowej po wyznaczeniu z niego promienia tejże orbity:

(2.11)

Podstawiamy wyrażenie (2.10) na kwantową prędkość elektronu krążącego na skwantowanej ściśle określonej orbicie kołowej do wyrażenia (2.11) wynikającego z postulatu trzeciego Bohra, to otrzymamy wyrażenie na dyskretny promień orbity:

(2.12)

Ostatecznie w równaniu (2.12) po krótkich przekształceniach dostajemy wzór na skwantowany promień orbity kołowej zależący od jednej liczby kwantowej n:

(2.13)

Z definicji energii kinetycznej według mechanice klasycznej, którą zapiszemy w zależności od jego wartości prędkości, po podstawieniu za wartość dyskretną prędkości wzoru (2.10), otrzymujemy:

(2.14)

Teraz napiszmy energię potencjalną elektronu na orbicie, po której krąży elektron o promieniu skwantowanym r, z definicji energii potencjalnej dla pola elektrostatycznego, mamy:

(2.15)

Podstawmy we wzorze na energię potencjalną cząstki w polu elektrostatycznym (2.15) za r, będące skwantowanym promienień orbity kołowej, czyli wzoru (2.13), otrzymując:

(2.16)

Wzór na całkowitą energię mechaniczną, która jest sumę energii kinetycznej wedle końcowego wzoru (2.14) i energii potencjalnej (2.16), jest zapisana wedle schematu:


(2.17)

Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra jest ujemna, a więc elektron jest związany z jądrem atomowym, co przypuszczaliśmy, że tak może wyjść. Z pierwszego postulatu Bohra zdefiniowaną w punkcie (2.1) możemy napisać, że długość fali jest napisana w sposób uwikłany w zależności z jakiej do jakiej orbity nasz elektron przeskakuje.

(2.18)

Wzór (2.18) przedstawiający energię całkowitą fotonu, który zostaje wypromieniowany lub pochłonięty przez elektron, co stąd wyznaczamy odwrotność długości fali fotonów:

(2.19)

Podstawiamy za E2 (gdy n=n2) i za E1 (gdy n=n1), czyli wzoru (2.17) na całkowitą energię elektronu krążącej na orbicie kołowej dla tych napisanych n do wyrażenia (2.19), to dostajemy wzór na odwrotność długości fali jaki elektron wyemituje foton o tej właśnie długości:

(2.20)

Stałą Rydberga we wzorze (2.20) nazywamy przepis, która jest zależna od stałych fizycznych i od masy elektronu krążącej wokół jądra atomowego o liczbie atomowej Z, przedstawiany:

(2.21)

Wykorzystując definicję stałej Rydberga (2.21) we wzorze (2.20), to dochodzimy do wniosku, że długość fali emitowanych fotonów z atomu, przy przejściu elektronu z poziomu n2 na poziom n1, jest równa:

(2.22)

W wyrażeniu (2.22) zachodzi n2>n1, ale n2 i n1, gdzie to są główne liczby kwantowe, by to nasze wyrażenie miało długość fali dodatnią, ale nie zerową. Wzór (2.22) przedstawia długość fali wypromieniowanej z elektronu przy przejściu z orbity wyższej na orbitę niższą bardziej korzystną energetycznie.

Serie w atomie wodoru[edytuj]

Serie w atomie wodoru

Atomem wodoru nazywamy atom o liczbie atomowej Z=1, tzn. jego jądro atomowe składa się z jednego protonu, już nie mówiąc o neutronach, czyli poniższe serie można wyznaczyć ze wzoru wynikającego z (2.22) dla wspomnianego Z, czyli:

(2.23)
Dla wzoru (2.23) zachodzi, że:.

Można wyznaczyć poszczególne serie dla atomu wodoru, które powstają wyniku przejścia z orbity o liczbie kwantowej n2 do orbity o liczbie kwantowej n1, zatem nazwy tych serii są:

dla -- seria Lymana,
dla -- seria Balmera,
dla -- seria Paschena,
dla -- seria Bracketta,
dla -- seria Pfunda,
dla -- seria Humphreysa

Teoria atomu wodoru Sommerfelda[edytuj]

Model atomu wodoru Sommerfelda jest uogólnieniem modelu atomu wodoru Bohra, na orbity eliptyczne. W przestrzeni dwuwymiarowej określmy energię kinetyczną, jako sumę energii kinetycznej radialnej (zależnej od pochodnej radialnej względem czasu) i kątowej (zależnej od pochodnej współrzędnej kątowej względem czasu):

(3.1)

Energia potencjalna elektronu poruszającego się na orbicie eliptycznej w pewnym punkcie omawianego toru naszej cząstki jest napisana w zależności od odległości jądra atomowego od tego punktu:

(3.2)

Lagrangian z definicji jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej, na podstawie wzoru (3.1) (energia kinetyczna) i (3.2) (energia potencjalna), jest wyrażona wzorem w zależności od pierwszej pochodnej położenia radialnego i kątowego w układzie biegunowym oraz także od położenia radialnego, należy przy tym pamiętać, że energia potencjalna wspomniana powyżej nie zależy od żadnej pochodnej względem czasu, czyli od pochodnych położenia radialnego, czy to kątowego:

(3.3)

Wyznaczmy pędy uogólnione, których definicja jest znana z mechaniki klasycznej wedle Hamiltona:

1° Pęd radialny dla orbity eliptycznej jest to pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia radialnego względem czasu:

(3.4)

2° Pęd kątowy dla tej samej orbity, co poprzednio jest wyrażony jako pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia kątowego względem czasu:

(3.5)

Postulat Sommerfelda mówi, że poszczególne całki, których funkcją podcałkową jest pęd uogólniony, ta całka jest liczona względem położeń uogólnionych (radialnej i kątowych we współrzędnych kulistych w przestrzeni lub radialnych na płaszczyźnie), czyli według równania:

(3.6)

Równanie toru we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie po której porusza się elektron jest równaniem położenia radialnego w układzie biegunowym względem jej położenia kątowego względem stałych k i ε, które charakteryzują naszą elipsę, ma postać:

(3.7)

Policzmy teraz pochodną położenia radialnego względem czasu wielkości wyrażoną wzorem (3.7), to otrzymamy wyrażenie zależne od pochodnej kątowej względem czasu i samych wielkości kątowych:

(3.8)

Wyraźmy moment pędu elektronu na orbicie eliptycznej, która jest zależna od poszukiwanej pochodnej wielkości kątowej względem czasu:

(3.9)

Ze wzoru (3.9) wyznaczmy wyrażenie będące pochodną wielkości kątowej względem czasu wyrażoną w zależności od momentu pędu charakteryzującego tor eliptyczny, po którym porusza się elektron, i od danej chwili położenia radialnego elektronu krążącego wokół jądra atomowego, i idąc dalej zależy ona od masy cząstki:

(3.10)

Dochodzimy więc do wniosku, że prędkość radialna (3.8) na podstawie już wyznaczonego wzoru (3.10) i po wyrażeniu pozostałych położeń radialnych, tzn. podstawiając równanie na promień orbity (3.7), otrzymujemy:

(3.11)

Z postulatu Sommerfelda (3.6) dla współrzędnej kątowej wynika, że moment pędu jest wielkością skwantowaną podobnie jak w modelu atomu wodoru Bohra, tylko tutaj mamy kątową liczbą kwantową nθ, a w naszym poprzednim module była tylko liczba kwantowa n.

(3.12)

Wedle ostatniego wynikowego równania w (3.12) i po podzieleniu go przez 2π, po skorzystaniu z definicji stałej kreślonej Plancka, to dyskretny moment pędu zapisujemy:

(3.13)

Dla współrzędnej radialnej postulat Sommerfelda (3.6) dla pędu uogólnionego zdefiniowanego wedle (3.5) i po scałkowaniu go względem promienia radialnego, otrzymujemy:



(3.14)

Dostajemy stąd wniosek w (3.14), że mimośród cząstki jest związany z momentem pędu cząstki i z radialną liczbą kwantową nr:

(3.15)

Możemy wyrazić definicję "k" występującego we wzorze (3.7) dla orbit eliptycznych i wykorzystując przedstawienie , która występuje w prawie Coulomba w elektrostatyce, tutaj dla elektronu krążącego wokół jądra o ładunku Ze:

(3.16)

Widzimy, że stała k jest zależna od wartości momentu pędu, która charakteryzuje daną elipsę. Dokonajmy podstawienia ze wzoru (3.16) do równania (3.15) za stałą k:

(3.17)

Po niezbyt wyczerpujących przekształceniach w wyrażeniu (3.17) można zapisać je w prostszej postaci:

(3.18)

Jak widzimy liczba kwantowa nr odpowiedzialna jest za mimośród elipsy, po której porusza się elektron. Gdy nr=0, wtedy ε=0, a więc mamy okrąg, to teoria Sommerfelda przechodzi w teorię Bohra dla atomów wodoropodobnych. Z równania (3.18) możemy wyznaczyć kwadrat mimośrodu elipsy:

(3.19)

Energia całkowita dla toru eliptycznego, którego wzór wyprowadziliśmy w mechanice teoretycznej, przedstawimy w zależności od liczb kwantowych nr i nθ, które zawierają się w równaniach zawartych podanych wcześniej kolejno (3.13) i (3.19), które wykorzystamy później przy liczeniu całkowitej energii cząstki krążącej po orbicie eliptycznej, ale skwantowanej:

(3.20)

Teraz podstawiamy za ε2 wyrażone wzorem (3.19) do równania na energię całkowitą elektronu poruszającego po dyskretnym torze w (3.20), to mamy ostateczny wzór na całkowitą energię mechaniczną elektronu krążącej wokół jądra atomowego:

(3.21)

Wzór (3.21) jest identyczny ze wzorem (2.17), jeśli liczba kwantowa radialna nr jest równa zero, a kątowa liczba kwantowa spełnia warunek n=nθ.

Zjawisko Comptona[edytuj]

Schemat zjawiska Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy zmianę długości fali promieniowania rentgenowskiego podczas rozpraszania tego promieniowania przez substancję zawierające atomy lepkie.

Opiszmy foton o częstości fali ν padający na spoczywający elektron, w wyniku zderzenia fotonu z elektronem, nasz foton rozprasza się pod kątem θ względem kierunku padającego fotonu z częstością ν', a elektron zostaje rozproszony z pędem , który porusza się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, wtedy z zasady zachowania energii:

(4.1)

Wyznaczamy z (4.1) kwadrat pędu relatywistycznego, czyli p2, w tym celu wielkość występująca po prawej stronie rozważanego wzoru związany z częstością fotonu rozproszonego przenosimy na jej lewą stroną i włączamy je pod nawias napisany względem stałej Plancka h:

(4.2)

Podnosimy obustronnie równanie (4.2) do kwadratu, bo po prawej stronie ostatniego równania występuje pierwiastek, który w wyniku tej operacji zniknie i pozostawi po sobie wyrażenie podpierwiastkowe:

(4.3)

Redukujemy pewne wyrazy w (4.3), które są takie same po lewej i prawej stronie naszego wyrażenia, to dostajemy inne do poprzedniego równanie, ale równoważne do niego:

(4.4)

Dzielimy obustronnie tożsamość (4.4) przez kwadrat prędkości fal elektromagnetycznych w próżni c2:

(4.5)

Z zasady zachowania pędu pęd początkowy fotonu przed zderzeniem jest równy sumie pędu fotonu i elektronu po zderzeniu, czyli po rozproszeniu naszego fotonu:

(4.6)

Wyznaczamy z równania (4.6) wektor pędu elektronu po rozproszeniu jako różnicę pędów fotonów przed i po rozproszeniu.

(4.7)

A teraz podnosimy do kwadratu równanie (4.7), dalej będziemy wykorzystywać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów, pędu fotonu przed i po zderzeniu przy kącie rozpraszania θ.

(4.8)

Wiemy, że wartości pędów fotonu przed i po rozproszeniu w zależności od ich częstości fali fotonów, jeśli potraktować je jako fale z teorii korpuskularno-falowej, są napisane:

(4.9)
(4.10)

Napiszmy kwadrat pędu elektronu rozproszonego mając wartości pędów fotonów przed zderzeniem (4.9) i po zderzeniu (4.10), to wyrażenie (4.8) piszemy:

(4.11)

Porównujemy wzory (4.5) (wynikającego z zasady zachowania energii) z (4.11) (wynikającego z zasady zachowania pędu), to dostajemy równanie po połączeniu tych wspomnianych tożsamości:

(4.12)

Dokonujemy dalszych przekształceń w (4.12) po prawej stronie wspomnianego równania podnosząc je do kwadratu dla pierwszego składnika sumy w tym równaniu, otrzymujemy:

(4.13)

Redukujemy wyrazy podobne w tożsamości (4.13), to dostajemy równoważne równanie:

(4.14)

Wyraźmy częstości fali fotonów przed i po rozproszeniu w zależności od długości fali fotonów według teorii korpuskularno-falowej:

(4.15)
(4.16)

Na podstawie (4.15) (fala padająca) i (4.16) (fala rozproszona) wzór (4.14) przyjmuje postać:

(4.17)

W wyrażeniu (4.17) po prawej stronie dokonajmy sumowania ułamków doprowadzając je do wspólnego mianownika:

(4.18)

Mnożymy obustronnie równanie (4.18) przez niezerowe λλ', pamiętając że foton nie może posiadać zerowych długości fali przed i po rozproszeniu, bo to by odpowiadało nieskończonej energii fotonów, co jest błędne dla naszego przypadku przy założeniu skończonej energii fotonów przed i po rozproszeniu tych obiektów:

(4.19)

Oznaczmy jako zmianę długości fali wiązki fotonów po i przed rozproszeniem przez wielkość Δλ wedle:

(4.20)

Na podstawie wzoru na zmianę długości fali fotonu zderzającego się z elektronem napisaną według tożsamości (4.20), podstawiając go do równania (4.19), dostajemy ostateczny wzór na zmianę długości fali fotonów przed i po rozproszeniu na lekkich atomach, a w nim na elektronach, w zależności od kąta rozproszenia wiązki fotonów:

(4.21)

Z definicji kątów połówkowych możemy napisać tożsamość:

(4.21a)

Stąd wzór (4.21) na zmianę długości promieniowania wiązki fotonów przy rozpraszaniu na elektronach na podstawie wzoru (4.21a) możemy napisać w inny równoważny sposób:

(4.22)

Oznaczmy, że stałą występującą w (4.22) (bez dwójki) jako λC i nazwijmy ją stałą Comptona:

(4.23)

Wzór Comptona (4.22) na podstawie przepisu na stałą Comptona (4.23) zapisywany jest w postaci kwadratu kosinusa dla kąta połówkowego przy stałej proporcjonalności równej podwojonej stałej Comptona:

(4.24)

Wzór (4.24) jest wzorem wyrażającej zmianę długości fali rozproszonej względem fali padającej w zależności od kąta rozproszenia θ względem kierunku fotonu padającego na elektron, dzięki któremu nastąpiło to zderzenie.

Postulat zerowy mechaniki kwantowej[edytuj]

Postulat
Stan kwantowy układu fizycznego opisany jest przez unormowany do jedności wektor zespolonej ośrodkowej przestrzeni Hilberta.

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej[edytuj]

Postulat
Każdej mierzalnej wielkości fizycznej przyporządkowany jest operator hermitowski, czyli spełniającego warunek:
(5.1)

Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej[edytuj]

Teraz przedstawimy każdej wielkości fizycznej w przedstawieniu klasycznej jej odpowiednik w przedstawieniu kwantowym (operatorowym). W mechanice klasycznej uogólnione współrzędne wielkości położeniowej są w postaci qi w układzie kartezjańskim są współrzędne x,y,z. Reprezentacji operatorowej weźmiemy jej odpowiednik w mechanice kwantowej, zatem w reprezentacji kwantowej mamy:

(5.2)

W układach kartezjańskich są to operatory obrazujące współrzędne kartezjańskie w postaci x⋅, y⋅, z⋅. Zwykle będziemy się posługiwać układem kartezjańskim przy definiowaniu pewnych operatorów i dopiero będziemy je przenosić do innych izomorficznych układów współrzędnych, np. biegunowych, walcowych, kulistych czy też sferycznych lub innych. W reprezentacji klasycznej współrzędną i-ta wektora uogólnionego pędu jest przedstawiana:

(5.3)
  • gdzie L jest to lagrangian cząstki,
  • qi jest to uogólnione położenie cząstki,
  • jest to uogólniona prędkość cząstki.

Zwykle uogólniony pęd jest równy zwykłemu pędowi znane z mechaniki klasycznej Newtona, co udowodnimy poniżej. Lagrangian cząstki w polu potencjalnym jest równy:

Możemy skorzystać ze wzoru (5.3) podstawiając do niego powyższy Lagrangian, otrzymujemy klasyczny Newtonowski pęd cząstki:

Udowodniliśmy, że gdy w Lagrangianie nie ma dodatkowych członów związanych prędkościami cząstki, to pęd uogólniony (5.3) we współrzędnych kartezjańskim jest równy pędowi klasycznemu Newtonowskiemu podanych w ostatnim wzorze, ale nie zawsze musi tak być, bo w Lagrangianie mogą pojawić się dodatkowe człony zawierające wektory prędkości.

Przedstawieniu operatorowym zamieniamy wszystkie współrzędne uogólnionego pędu (5.3) we współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne operatora pędu w tym samym układzie, które te operatory są zdefiniowane w sposób:

(5.4)

Widzimy według wzoru (5.4) operator pędu nie jest liczbą, tylko zwykłym operatorem podobnym do operatora różniczkowania cząstkowego względem współrzędnych w prawoskrętnym układzie kartezjańskim. Udowodnimy, że operator pędu jest rzeczywiście operatorem hermitowskim, najpierw udowodnimy to dla współrzędnej iksowej operatora pędu.


(5.5)

W powyższym dowodzie korzystaliśmy z założenia, że funkcje falowe ψ i zerują się w punkcie a i b. Według (5.5) udowodniliśmy, że iksowy operator pędu jest operatorem hermitowskim. Podobnie dowodzimy, że operator igrekowy i zetowy są operatorami hermitowskimi, zatem wektor operatora pędu też jest operatorem hermitowskim.

Kwadrat całkowitego operatora pędu[edytuj]

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat pędu, bowiem on potrzebny jest do obliczenia energii kinetycznej punktu materialnego, w mechanice klasycznej przedstawia się on, jako suma kwadratów współrzędnych pędu:

(5.6)

W mechanice kwantowej jest podobnie, tylko współrzędne wektora pędu w (5.6) należy zastąpić przez współrzędne wektora operatora pędu (5.4), wtedy kwadrat operatora pędu:


(5.7)

A zatem ostatecznie operator (5.7) jest zapisywany przy pomocy kwadratu operatora nabla (∇), czyli przy pomocy operatora Δ, czyli nasz omawiany operator zawiera drugie pochodne cząstkowe względem współrzędnych kartezjańskich z pewną ściśle określoną stałą proporcjonalności:

(5.8)

Kwadrat operatora pędu jest operatorem hermitowskim, bo jak można udowodnić z własności operatorów sprzężonych po hermitowsku:

(5.9)

Nierelatywistyczny lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Nierelatywistyczny Lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy:

(5.10)

W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony:

(5.11)

W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z mechaniki Newtona z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami Newtona:

(5.12)

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu (5.10) do wzoru Eulera-Lagrange'a (5.12), to dostajemy, że:

(5.13)

Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu:

(5.14)

Obliczenia (5.13) na podstawie udowodnionej tożsamości (5.14) wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić:

(5.15)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇:

(5.16)

Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie (5.16), to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity εijk i symboli Kroneckera δij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy:


(5.17)

Przy obliczeniach (5.17) założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem (5.15) przyjmuje postać:

(5.18)

Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

(5.19)
(5.20)

Wyrażenie (5.18) na podstawie (5.19) (definicji natężenia pola elektrycznego w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego i to wszystko wzięte z minusem) i (5.20) (definicji indukcji pola magnetycznego jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego ) przyjmuje postać:

(5.21)

W (5.21) otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki Newtona dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian (5.10) jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Nierelatywistyczny hamiltonian w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Wyznaczmy nierelatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki nierelatywistycznej i Lagrangianu (5.10) dla cząstki w polu elektromagnetycznym:


(5.22)

Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna (całkowita) cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły nieratywistyczny hamiltonian.

Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie[edytuj]

Energię kinetyczną w mechanice klasycznej definiujemy jako iloraz kwadratu wartości wektora pędu punktu materialnego przez podwojoną masę tegoż punktu materialnego, ponieważ bez pola wektorowego elektromagnetycznego pęd uogólniony jest równy zwykłemu pędowi klasycznemu znany z mechaniki Newtona, mamy:

(5.23)

Zastępując wartość energii kinetycznej punktu materialnego T przez operator energii kinetycznej, oraz p2 przez kwadrat operatora wektora pędu (5.8), otrzymujemy:

(5.24)

Widzimy, że we wzorze (5.24) operator energii kinetycznej jest zależny od masy ciała i operatora Δ, czyli od kwadratu operatora nabla. Operator jest operatorem hermitowskim, ponieważ kwadrat operatora pędu też jest operatorem hermitowskim, a dzielenie przez liczbę rzeczywistą, tzn. przez 2m, nic nie zmienia.

Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Korzystając przy tym z definicji uogólnionego pędu (5.11) i wyznaczając z niego pęd klasyczny cząstki, to znaczy i podstawiając do wzoru na energię kinetyczną, stąd po odpowiednich modyfikacjach wzoru na tą energię, dostajemy wzór na energię kinetyczną w polu elektromagnetycznym poprzez pęd uogólniony:

(5.24)

Zastępując wartość energii punktu materialnego T w polu elektromagnetycznym przez operator energii kinetycznej oraz przez wektor operatora pędu (5.4), otrzymujemy:

(5.25)

W operator energii kinetycznej (5.25) przechodzi w operator energii kinetycznej w (5.24), gdy zachodzi lub . Operator (5.25) jest operatorem hermitowskim, ponieważ w liczniku pod potęgą różnica operatora hermitowskiego i zwykłego wektora jest operatorem hermitowskim, a więc kwadrat takiego operatora też jest operatorem hermitowskim. Gdy taki operator podzielimy przez 2m, to nadal on jest operatorem hermitowskim.

Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie[edytuj]

W mechanice klasycznej energię mechaniczną definiujemy jako sumę energii kinetycznej zdefiniowaną w punkcie (5.10) i energii potencjalnej, zatem tą energię zapisujemy ogólnie definiując ją jako:

(5.26)

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej na podstawie (5.26) piszemy zastępując odpowiednio energię kinetyczną przez operator energii kinetycznej, energię potencjalną przez operator mnożenia przez liczbę, zatem operator tej energii zapisujemy:

(5.27)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (5.24) (dla pola potencjału wektorowego równego zero), wtedy operator energii mechanicznej (5.27) możemy zapisać:

(5.28)

Operator (5.28) jest operatorem energii mechanicznej jednej cząstki. Operator (5.27) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna jest operatorem hermitowskim, a cześć potencjalna też jest, bo ona jest operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym[edytuj]

W mechanice klasycznej energię mechaniczną w polu elektromagnetycznym, wykorzystując przy tym energię kinetyczną zdefiniowanej w punkcie (5.25), definiujemy:

(5.29)

Wyrażenie (5.29) jest sumą energii kinetycznej T i sumy dwóch rodzajów energii potencjalnej, tzn. energii potencjalnej pola elektromagnetycznego (iloczynu ładunku i potencjału skalarnego) i energii potencjalnej zwykłego pola potencjalnego.

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej przedstawiamy na podstawie (5.29) zastępując tam wielkość energii kinetycznej i potencjalnej przez odpowiednie operatory, stąd otrzymujemy:

(5.30)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (5.25), to operator całkowitej energii mechanicznej cząstki (5.30) możemy zapisać jako:

(5.31)

Operator (5.31) jest operatorem energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym jednej cząstki. Operator (5.31) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna nim jest, a część potencjalna też jest, ponieważ jest ona operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator momentu pędu[edytuj]

W mechanice klasycznej wielkość momentu pędu definiujemy poprzez iloczyn kartezjański wektora położenia punktu materialnego przez wektorowo wektor pędu omawianego punktu materialnego.

(5.32)

Zastępując wszystkie wektory w (5.32) przez operatory tzn. wektor pędu przez wektor operatora pędu (5.8), a wektor położenia przez wektor operatora położenia w postaci (5.2), to wektor operatora momentu pędu zapisujemy:

(5.33)

Wzór (5.32) w którym występuje iloczyn wektorowy można przedstawić w postaci formalnego wyznacznika. Aby otrzymać z (5.32) (w postaci liczby) do (5.33) (w postaci operatorowej) należy w tym formalnym wyznaczniku zastąpić elementy położenia (drugi wiersz wyznacznika) przez operatory położenia (5.2), a w trzecim wierszu należy zastąpić odpowiednie współrzędne pędu przez współrzędne operatora pędu (5.4), po tych operacjach mamy formalną macierz, który jest rzeczywiście wektorem operatora momentu pędu.

(5.34)

Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego (5.34) można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są:

(5.35)
(5.36)
(5.37)

Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.

Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych[edytuj]

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat operatora całkowitego momentu pędu, przedstawia się on podobnie jak kwadrat operatora pędu, jako suma kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu. Odpowiednie współrzędne operatora momentu pędu są to operatory zdefiniowane przez wzory (5.35) (współrzędna iksowa operatora momentu pędu), (5.36) (współrzędna igrekowa operatora momentu pędu), (5.37) (współrzędna zetowa operatora momentu pędu), zatem nasz omawiany obiekt zdefiniujmy rozpisując go w sposób:


Z obliczeń powyższych dostajemy, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu jest zapisany przy pomocy operatora położenia i operatora różniczkowania cząstkowego ∇ i operatora Δ, i ten nasz operator jest równy do równoważnego powyżej przedstawienia:

(5.38)

A następnie policzmy pomocnicze wyrażenie operatorowe będące iloczynem wektora położenia i operatora ∇, czyli coś w rodzaju pochodnej kierunkowej, stąd możemy napisać:

(5.39)

Nasz operator (5.38) na podstawie obliczeń pomocniczych (5.39) (to wyrażenie zależy tylko on od współrzędnych radialnych) jest równy wzorowi:


(5.40)

Z definicji laplasjanu mamy wzór operatorowy zdefiniowanej poprzez operator Λ, który z kolei jest definiowany poprzez wielkości kątowe, które to będą nam potrzebne przy definicji rozważanego tutaj operatora:

(5.41)

Dochodzimy więc do wniosku, że rozważany obiekt (5.40) na podstawie definicji operatora Δ we współrzędnych kulistych (5.41), przedstawia się jak udowodnimy, tylko od operatora Λ:

(5.42)

Dochodzimy więc do wniosku, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu na podstawie obliczeń (5.42) jest w postaci:

(5.43)

Widzimy, że (5.43) jest zdefiniowany poprzez operator Λ, czyli poprzez wielkości kątowe, zatem nasz operator nie zależy od wielkości współrzędnej radialnej r, ale tylko od współrzędnych kątowych w układzie kulistym.

<== Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych == W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.

Mając operator momentu pędu iksowy znając jego definicję we współrzędnych kartezjańskich wedle wzoru operatorowego (5.35) i wyznaczmy czemu jest równy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną :



br>

Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowego momentu pędu (5.35) napisaliśmy we współrzędnych kulistych po podzieleniu go przez stały czynnik . W tym operatorze, jak udowodniliśmy zależy tylko ono od współrzędnych kątowej, to znaczy od współrzędnej azymutalnej(θ) i zenitalnej(φ), zatem ten operator jest napisany razem z tym czynnikiem:

(5.44)

Mając operator igrekowy momentu pędu zdefiniowanej w postaci operatorowej we współrzędnych kartezjańskich wedle (5.36), przedstawmy go we współrzędnych kulistych zamieniając wszystkie te współrzędne kartezjańskie oraz operatory cząstkowe zdefiniowane we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne kuliste, napiszemy go po podzieleniu przez liczbę urojoną: :




Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (5.23) napiszemy go we współrzędnych kulistych co napiszemy go po podzieleniu przez stały czynnik (). Jak zobaczymy zależy on tylko od współrzędnych kątowych, nic od współrzędnej radialnej, jest napisana razem z tym czynnikiem:

(5.45)

Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle (5.37), w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną :





Na podstawie poprzednich obliczeń operator zetowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (5.37) udowodniliśmy, że w przedstawieniu jego we współrzędnych kulistych i po podzieleniu go przez stały czynnik (), że on nie zależy on od współrzędnej radialnej, ale też nie zależy od współrzędnej zenitalnej, natomiast po przeprowadzeniu powyższego dowodu zależy ona tylko od współrzędnej azymutalnej θ.

(5.46)

Udowodniliśmy, że najprostszy operator momentu pędu we współrzędnych kulistych jest to operator zetowy momentu pędu, bowiem zależy tylko od jednej współrzędnej kulistej. Natomiast wszystkie współrzędne operatora momentu pędu zależą tylko od współrzędnych kątowych kulistych, ale nie od współrzędnej radialnej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu[edytuj]

Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako:

(5.47)
(5.48)
(5.49)

Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory (5.47) () i (5.48) () nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora (5.47), że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora (5.48):

(5.50)

A dla operatora (5.48) jest on sprzężony po hermitowsku z (5.47), ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego:

(5.51)

Operator wedle definicji (5.49) jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe.