Mechanika kwantowa/Relatywistyczna teoria kwantów Diraca

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Relatywistyczna teoria kwantów Diraca

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca[edytuj]

Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca. Głównym zarzutem do relatywistycznych równań Kleina-Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej:

(26.1)
(26.2)

A zamiast równań (26.1) (równania niezależnego od czasu) i (26.2) (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej:

(26.3)
(26.4)

Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne w analogii do równania (25.1) wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki (antycząstki) wiedząc jednocześnie, że antycząstki mają masę relatywistyczną ujemną w stosunku do cząstek, które mają dodatnią, mające ten sam pęd, co wynika z warunku lineryzacji hamiltonianu, a więc energia cząstki (z plusem) lub antycząstki (z minusem):

(26.5)

Linearyzacja Hamiltonianu[edytuj]

Będziemy tutaj przeprowadzać linearyzację operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego i z uwzględnieniem pola magnetycznego.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego[edytuj]

Zastępując w (26.5) kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu:

(26.6)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.6) zastępując przez inny zmodyfikowany operator energii, który posiada takie same wartości i funkcje własne jak operator poprzedni:

(26.7)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.7) są takie same jak dla (26.6), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne hamiltonianów (26.6) i (26.7) są w pewnej postaci, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem energii pierwszego równania na obie strony pierwszego równania, podobnie z drugim równaniem, to otrzymamy równania własne kwadratu operatorów hamiltonianów. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.6) i (26.7) są takie same, bo zakładamy, że kwadraty tychże operatorów są sobie równe.

Podnosimy wzory operatorowe (26.6) i (26.7) do kwadratu, to wtedy oba operatory po tej czynności są sobie równe, wtedy możemy otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach i , a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

(26.8)

Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości (26.8) oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy:

(26.9)
(26.10)
(26.11)

Równanie operatorowe (26.9) możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora i odpowiednich operatorów pędu:

(26.12)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości (26.12) i wykonując je na operatorach:

(26.13)

Po dalszych przekształceniach (26.13), korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim:

(26.14)

Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej (26.14), otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora jest równy jedynce, czyli:

(26.15)

a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora :

(26.16)
(26.17)
(26.18)

Lub ogólnie można zapisać wykorzystując (26.15), a także działania na antykomutatorach (26.16), (26.17) oraz (26.18), wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową:

(26.19)

Natomiast wiemy, że zachodzi (26.10), oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu i operator komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku:

(26.20)

Z tożsamości (26.10) możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy:

(26.21)

A oto dowód tożsamości (26.21), gdy zachodzi (26.10), udowodnimy, że te równości oznaczają to samo:

(26.22)

Na podstawie obliczeń (26.22) wychodząc z (26.21) dochodzimy do tożsamości operatorowej (26.10). Co oznacza, że wartościami własnymi operatora według równości operatorowej (26.21) są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1. Również operatory , dla których zachodzi (26.15), podobnie jak przy posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do (26.21), tylko zamiast operatora występują odpowiednie współrzędne operatora , zatem każda taka współrzędna tego operatora ma takie same wartości własne.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego[edytuj]

Napiszmy wzór na energię relatywistyczną zastępując pęd klasyczny w (26.5) przez różnicę pędu uogólnionego i iloczynu ładunku elektrycznego i potencjału magnetycznego, wtedy:

(26.23)

Zastępując w (26.23) wektora pędu uogólnionego przez operatora pędu, wtedy możemy określić operator energii relatywistycznej cząstki:

(26.24)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.24) zastępując go przez zmodyfikowaną wersję tego operatora posiadającego takie same wartości i funkcje własne:

(26.25)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.25) są takie same jak dla (26.24), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne operatorów energii relatywistycznej (26.24) i (26.25) są w postaci , a jeżeli podziałamy obie strony operatorem tych równań własnych, to otrzymamy równania własne kwadratów operatora energii relatywistycznych, które są takie same, bo kwadrat operatora (26.24) jest równy kwadratowi operatora (26.25) jak zakładamy. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.24) i (26.25) są takie same. Przyrównujemy kwadrat operatora (26.24) z (26.25), by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach i , a także operatorze pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

(26.26)

Dokonajmy dalszych obliczeń na wyrażeniu operatorowym w tożsamości operatorowej (26.26):


(26.27)
Definicja operatorów σi[edytuj]

Niech będą zdefiniowane nowe operatory , który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora :

(26.28)
(26.29)
(26.30)
Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σi w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów αi[edytuj]

Wyznaczmy czemu jest równy operator przy pomocy operatora , dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję przedstawimy jako:

(26.31)

to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle:

(26.32)
Macierzowe przedstawienie operatorów β, αx, αy i αz[edytuj]

Napiszmy wzór na operator w zależności od macierzy jednostkowej :

(26.33)

Oraz napiszmy operatory , a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych wiedząc, że zachodzi (15.58) (), (15.59) () i (15.60) ():

(26.34)
(26.35)
(26.36)

Na podstawie (26.34), (26.35) i (26.36) możemy napisać ogólną postać na operator :

(26.37)
Macierzowe przedstawienie operatorów σx, σy i σz[edytuj]

Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora wyprowadzimy operatory , które zdefiniowaliśmy w (26.28), (26.29) i (26.30). Wyprowadzając najpierw operator z pierwszego wspomnianego wzoru wiedząc, że zachodzi (15.58) ():

(26.38)

Policzmy ze wzoru (26.29) znając definicję współrzędnych operatora iksowej i zetowej wiedząc, że zachodzi (15.59) ():

(26.39)

Wyznaczmy ze wzoru (26.30) znając definicję współrzędnych operatora iksową i igrekową, można powiedzieć wiedząc, że zachodzi (15.60) ():

(26.40)

Na podstawie (26.38), (26.39) i (26.40) możemy napisać również ogólną tożsamość na operator :

(26.41)
Komutacja operatorów αi[edytuj]

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy komutator dwóch operatorów na podstawie (15.8) i (26.41):


(26.42)

Na podstawie (26.42) możemy napisać komutacje dwóch dowolnych operatorów w sposób:

(26.43)
Antykomutacja operatorów αi[edytuj]

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy antykomutator dwóch operatorów na podstawie (15.24):


(26.44)

Stąd otrzymany związek (26.44) jest taki sam jak (26.19).

Antykomutacja operatorów αi z operatorem β[edytuj]

Weźmy sobie operator (26.37), wtedy napiszmy antykomutację:

(26.45)

Jak widzimy otrzymaliśmy tożsamość operatorową (26.20).

Operatory σi jako operatory hermitowskie[edytuj]

Operatory są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości (26.28), (26.29) i (26.30), a także z (26.16), (26.17) i (26.18), a dowód jego przebiega:

(26.46)
(26.47)
(26.48)
Antykomutacja operatorów σi[edytuj]

Napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora , ale dowód przeprowadzimy dla i=x,y,z:

(26.49)
(26.50)
(26.51)

A także operatory o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej:

(26.52)
(26.53)
(26.54)

Na podstawie dowodu (26.49), (26.50) i (26.51) oraz (26.52), (26.53) i (26.54) otrzymujemy zależność z udziałem antykomutatora dla operatorów dla współrzędnych i-tej i j-tej:

(26.55)
Komutacje operatorów σi[edytuj]

Wyznaczmy komutacje operatorów , tzn. (26.38) (), (26.39) () i (26.40) () wiedząc, że zachodzi (26.28), (26.29) i (26.30), wtedy:

(26.56)
(26.57)
(26.58)

Na podstawie dowodów (26.56), (26.57) i (26.58) otrzymujemy zależność z udziałem komutatora dla operatorów dla współrzędnych i-tej i j-tej:

(26.59)

Widzimy, ze komutator dwóch operatorów dowolnych jest wprost proporcjonalny do z czynnikiem . Na tym kończymy dowody na współrzędnych operatora (26.31), czyli operatorów (26.28)(), (26.29) () i (26.30) ().

Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu[edytuj]

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (26.27) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zakładając, że zachodzi tożsamość (26.15):

(26.60)

A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe:


(26.61)

Na podstawie (26.60) i (26.61), a także z (26.28), (26.29) i (26.30) wyrażenie operatorowe (26.27) możemy przepisać w postaci:



(26.62)

Porównując wzór (26.62) z kwadratem wyrażenia (26.23), wtedy przyjmijmy:

(26.63)

Z wyrażenia (26.63) możemy wywnioskować, że zachodzi wzór na w zależności od operatora (26.33) i , tzn. wzory (26.38), (26.39) i (26.40) przy przybliżeniu , że jest to małe:

(26.64)

Udowodnijmy, czy zachodzi antykomutacja pomiędzy operatowami (26.64), a operatorami , jeżeli wiadomo, że zachodzi (26.64), wtedy:


(26.65)

Udowodnijmy czy zachodzi i dla jakich przybliżeń komutacja operatorów i na podstawie definicji tych dwóch operatorów:

(26.66)

Zatem do dzieła:

(26.67)

Ma podstawie obliczeń (26.67) zachodzi komutacja operatorów i , a więc zachodzi (26.66). Powróczmy jeszcze raz do antykomutacji operatorów i , czyli (26.65), wtedy na podstawie (26.66) mamy:

(26.68)

Musi zachodzić w równaniach Diraca:

(26.69)

wtedy następuje antykomutacja operatora i na podstawie (26.68). Drugi wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) na podstawie założenia (26.69) jest w przybliżeniu równy zero. Udowodnijmy czy trzeci wyraz w (26.62) jest równy w przybliżeniu zero na podstawie pewnych założeń i definicji (26.64):

(26.70)

Udowodnijmy dodatkowo wyrażenie, zatem do dzieła:

(26.71)

i odejmijmy obie strony wyrażeń (26.67) i (26.71), wtedy dostajemy równość:

(26.72)

Na podstawie tożsamości (26.72) wyrażenie (26.70) możemy przepisać w postaci:

(26.73)

Zakładamy w równaniach Diraca, że zachodzi:

(26.74)

Na podstawie (26.74) trzeci wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) jest w przybliżeniu równy zero. Napiszmy operator energii relatywistycznej na podstawie związku na (26.64) i (26.25), wtedy:

(26.75)

Wartości własne operatora (26.33), czyli , a operatora (26.38), (26.39) i (26.39), czyli , a wartości własne operatora są 1 i -1, stąd na podstawie tego możemy napisać na podstawie definicji (26.33) i (26.41) oraz definicji wartości własnej i wektora własnego:

(26.76)
  • gdzie jest to przestrzeń wektorów własnych, odpowiadające danej wartości własnej operatora , ta przestrzeń dla jest taka sama jak dla .

Stąd z definicji operatora (26.75) na podstawie wniosków (26.76) możemy napisać inną zmodyfikowaną wersję operatora energii relatywistycznej w taki sposób by wartości własne i wektory własne dla obu operatorów były takie same:

(26.77)

Przepiszmy operator (26.77) w postaci wydzielając przed nawias wyrażenie w (26.77), wtedy:

(26.78)

Na podstawie tego możemy napisać zmodyfikowaną wersję operatora na podstawie (26.25):

(26.79)

A ponieważ na podstawie wzóru (15.6) i wzoru (15.1), a także wzoru na energię ramki (EK-11.12) zachodzi:

(26.80)

Całkowity Hamiltonian jest sumą operatorów energii relatywistycznej ciała (26.77), energii ramki (26.80) i operatora uwzględniająca energię potencjalną w polu elektrycznym, wtedy on jest równy:

(26.81)

Operator energii mechanicznej (26.81) oraz na podstawie (26.69) i (26.74) jest spełniony tylko dla słabych pól magnetycznych i małych zmian pola magnetycznego w przestrzeni. Hamiltonian Diraca (26.81) jest spełniony dla słabych i małych zmian pól magnetycznych, a matematycznie dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera.

Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych[edytuj]

Widzimy, że hamiltonian (26.81) jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego. Uogólnimy operator Hamiltonianu dla układu n cząstek znajdujących się wzajemnych polach potencjalnych i w polu zewnętrznym:

(26.82)

Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca[edytuj]

W równaniach mechaniki kwantowej Diraca podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej, wtedy funkcja falowa wektorowa jest napisane w sposób bardzo podobny do (11.5) lub (11.6), tylko, że zamiast współczynników są wektory współczynników.

Równanie własne operatora energii relatywistycznej[edytuj]

Napiszmy i udowodnijmy równanie własne operatora energii relatywistycznej (26.24) wykorzystując udowodnioną tożsamość (11.15), którą dla dowolnej jego potęgi możemy przepisać wzorem co nie trudno udowodnić na podstawie indukcji matematycznej:

(26.83)

bo dla s=1 równość (26.83) przechodzi w (11.15), a dla s=0 ona jest tożsamością, udowodnijmy twierdzenie dla s+1, wtedy podziałajmy obie strony (26.83) operatorem , wtedy mamy:



(26.84)

Równość (26.84) jest taka sama jak (26.83) dla s+1 zamiast s. Zatem wzór (26.83) jest zawsze spełniony na podstawie indukcji matematycznej. Wiedząc, że i jest to koleino położenie i pęd uogólniony po 3N współrzędnych dla N cząstek, a i jest to koleino wektor operatora pędu i wektor pędu uogólnionego dla i-tej cząstki, wtedy na podstawie (26.83) i wzoru na operator energii relatywistycznej (26.24) () i skalar energii relatywistycznej (26.23) ():



(26.85)

Sumujmy funkcje ze współczynnikami dla różnych pędów i takich samych energii (energii układu cząstek), wtedy równość (26.85) przyjmuje postać:

(26.86)

Równość (26.86) jest to równanie własne operatora energii relatywistycznej (26.25) z funkcjami własnymi zależącymi od położenia , czasu i energii całkowitej układu .

Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego[edytuj]

Skorzystajmy z równania (26.86) zakładając, że występująca funkcja falowa jest wektorem i zobaczmy czy wyjdzie równanie własne operatora energii (26.3) wykorzystując definicję operatora energii (26.82), co stąd:





(26.87)

Otrzymany wzór (26.87) jest spełniony dla słabych i małych zmian pola magnetycznego.

Dowód operatora energii (hamiltonian Diraca) i jego równania własnego dla pól elektrycznych i magnetycznych[edytuj]

Równość (równanie własne operatora energii) (26.87) jest spełniona dla słabych i małych zmian pól magnetycznych nieskończenie daleko od ładunków i prądów elektrycznych, ale udowodnijmy, że jest spełniony również dla dowolnych pól magnetycznych przy tym założeniu, zatem dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera w jakimś punkcie oznaczmy hamiltonian przez . A dokładny hamiltonian Diraca oznaczmy przez w ogólnie innym punkcie. Ale pola magnetyczne i ich zmiany w nieskończoności są zerowe (wtedy mamy dla tego przypadku ), więc ten hamiltonian możemy przesunąć w ogólnie inny punkt otrzymując hamiltonian , zatem zależność między oba hamiltoniany przedstawia się na podstawie (24.5), bo:

(26.88)

Wtedy dla równości w punkcie dla słabych i małych zmian pól magnetycznych (26.87) i na podstawie (26.88) możemy przejść do innego punktu, w którym to pole nie jest słabe i nie ma jego małych zmian:

(26.89)

Zatem hamiltonian (26.81) i wynikające z niego (26.82) są dokładnymi operatorami energii w mechanice kwantowej Diraca przy założeniu, że nie ma ładunków i prądów elektrycznych nieskończonie daleko od punktu, w którym piszemy hamiltonian, ale my udowodnijmy, gdy jednak mogą być, weźmy rozłączne rozkłady ładunków, w tym również grawitacyjnego, ale nie bezwładnościowego, każdy inny rozkład jest dla innego obszaru k-tego, w którym w tym obszarze występują łądunki, a poza tym obszarem już nie, napiszmy:


(26.90)

Wtedy na podstawie definicji hamiltonianu całkowitego (26.90) dla k-tego rozkładu ładunku, mamy ogólny hamiltonian dla dowolnego rozkładu ładunków:

(26.91)

Weźmy funkcje falowe napisane dla ściśle okreslonego pędu i energii, jednakowe i niezależne od z dokładnością do stałego czynnika, w postaci:

(26.92)

Zatem na podstawie (26.91) (definicji hamiltonianu całkowitego poprzeż mniejsze hamiltoniany dla rozłącznych rozkładów ładunków) i (26.92) (definicji funkcji falowej dla ścisle okreslonego pędu i energii ), mamy:




(26.93)

Otrzymaną równość (26.93) sumujemy ze współczynniki dla poszczególnych stanów o ogólnie różnych pędach dla tych samych energii całkowitej układu ciał , wtedy otrzymamy równanie własne (26.89) (końcowa równość), zatem to równanie jest spełnione dla dowolnych rozmieszczeń ładunków i prądów elektrycznych.

Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca[edytuj]

Stąd otrzymaliśmy taką samą równość (26.89) jak równanie mechaniki kwantowej niezależne od czasu (26.3) jak w punkcie (11.20), a równanie zależne od czasu wyprowadza się następująco: możemy napisać tożsamość, którą można wyprowadzić jak w punkcie (11.23):

(26.94)

wtedy lewą stronę tej równości przyrównujemy z prawą stroną równości (26.89), otrzymując równanie operatora energii zależne od czasu, położenia i energii.

(26.95)

Sumujmy funkcje ze współczynnikami dla różnych energii, wtedy otrzymamy równość (11.25) taką samą jak tutaj (26.4):

(26.96)
  • gdzie hamiltonian jest to dokładny hamiltonian Diraca (26.82).

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)[edytuj]

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię , którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli na lewą stronie równania (26.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

(26.97)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora , czyli i operatora , które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (26.20) tożsamość (26.97) można przestawić przez:

(26.98)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (26.98) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zapisujemy według (26.60), a wyraz mieszany jest jako (26.61).

Na podstawie (26.28), (26.29) i (26.30), także na podstawie obliczeń pomocniczych (26.60) (wyrazy niemieszane) i (26.61) (wyrazy mieszane) równanie (26.98) przyjmuje kształt:

(26.99)

Powracając do naszego równania (26.99), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

(26.100)

A więc równość (26.99) na podstawie tożsamości operatorowej (26.100), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

(26.101)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (26.101), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum: