Mechanika kwantowa/Wyprowadzenie relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Wyprowadzenie relatywistycznej teorii kwantów Diraca

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca[edytuj]

Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca. Głównym zarzutem do relatywistycznych równań Kleina-Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej:

(26.1)
(26.2)

A zamiast równań (26.1) (równania niezależnego od czasu) i (26.2) (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej:

(26.3)
(26.4)

Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne w analogii do równania (25.1), wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki (antycząstki), wiedząc jednocześnie, że antycząstki mają masę relatywistyczną ujemną w stosunku do cząstek, które mają dodatnią, mające ten sam pęd, co wynika z warunku lineryzacji hamiltonianu, a więc energia cząstki (z plusem) lub antycząstki (z minusem):

(26.5)

Linearyzacja Hamiltonianu[edytuj]

Będziemy tutaj przeprowadzać linearyzację operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego i z uwzględnieniem pola magnetycznego.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego[edytuj]

Zastępując w (26.5) kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu:

(26.6)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.6) zastępując przez inny zmodyfikowany operator energii, który posiada takie same wartości i funkcje własne jak operator poprzedni:

(26.7)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.7) są takie same jak dla (26.6), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne hamiltonianów (26.6) i (26.7) są w pewnej postaci, a jeżeli podziałamy obie strony operatorem energii pierwszego równania na obie strony pierwszego równania, podobnie z drugim równaniem, to otrzymamy równania własne kwadratu operatorów hamiltonianów. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.6) i (26.7) są takie same, bo zakładamy, że kwadraty tychże operatorów są sobie równe.

Podnosimy wzory operatorowe (26.6) i (26.7) do kwadratu, to wtedy oba operatory po tej czynności są sobie równe, wtedy możemy otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach i , a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

(26.8)

Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości (26.8) oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy:

(26.9)
(26.10)
(26.11)

Równanie operatorowe (26.9) możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora i odpowiednich operatorów pędu:

(26.12)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości (26.12) i wykonując je na operatorach:

(26.13)

Po dalszych przekształceniach (26.13), korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim:

(26.14)

Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej (26.14), otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora jest równy jedynce, czyli:

(26.15)

a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora :

(26.16)
(26.17)
(26.18)

Lub ogólnie można zapisać wykorzystując (26.15), a także działania na antykomutatorach (26.16), (26.17) oraz (26.18), wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową:

(26.19)

Natomiast wiemy, że zachodzi (26.10), oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu i operator komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku:

(26.20)

Z tożsamości (26.10) możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy:

(26.21)

A oto dowód tożsamości (26.21), gdy zachodzi (26.10), udowodnimy, że te równości oznaczają to samo:

(26.22)

Na podstawie obliczeń (26.22) wychodząc z (26.21) dochodzimy do tożsamości operatorowej (26.10). Co oznacza, że wartościami własnymi operatora według równości operatorowej (26.21) są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1. Również operatory , dla których zachodzi (26.15), podobnie jak przy posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do (26.21), tylko zamiast operatora występują odpowiednie współrzędne operatora , zatem każda taka współrzędna tego operatora ma takie same wartości własne.

Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego[edytuj]

Napiszmy wzór na energię relatywistyczną zastępując pęd klasyczny w (26.5) przez różnicę pędu uogólnionego i iloczynu ładunku elektrycznego i potencjału magnetycznego, wtedy:

(26.23)

Zastępując w (26.23) wektora pędu uogólnionego przez operatora pędu, wtedy możemy określić operator energii relatywistycznej cząstki:

(26.24)

Dokonajmy linearyzacji Hamiltonianu (26.24) zastępując go przez zmodyfikowaną wersję tego operatora posiadającego takie same wartości i funkcje własne:

(26.25)

Wartości własne i funkcje własne operatora hamiltonianu (26.25) są takie same jak dla (26.24), zaraz to wyjaśnimy. Równania własne operatorów energii relatywistycznej (26.24) i (26.25) są w postaci , a jeżeli podziałamy obie strony operatorem tych równań własnych, to otrzymamy równania własne kwadratów operatora energii relatywistycznych, które są takie same, bo kwadrat operatora (26.24) jest równy kwadratowi operatora (26.25) jak zakładamy. Stąd wartości własne i funkcje własne dla operatorów (26.24) i (26.25) są takie same. Przyrównujemy kwadrat operatora (26.24) z (26.25), by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach i , a także operatorze pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

(26.26)

Dokonajmy dalszych obliczeń na wyrażeniu operatorowym w tożsamości operatorowej (26.26):


(26.27)
Definicja operatorów σi[edytuj]

Niech będą zdefiniowane nowe operatory , który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora :

(26.28)
(26.29)
(26.30)
Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σi w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów αi[edytuj]

Wyznaczmy czemu jest równy operator przy pomocy operatora , dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję przedstawimy jako:

(26.31)

to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle:

(26.32)
Macierzowe przedstawienie operatorów β, αx, αy i αz[edytuj]

Napiszmy wzór na operator w zależności od macierzy jednostkowej :

(26.33)

Oraz napiszmy operatory , a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych wiedząc, że zachodzi (15.58) (), (15.59) () i (15.60) ():


(26.34)

(26.35)

(26.36)

Na podstawie (26.34), (26.35) i (26.36) możemy napisać ogólną postać na operator :

(26.37)
Macierzowe przedstawienie operatorów σx, σy i σz[edytuj]

Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora wyprowadzimy operatory , które zdefiniowaliśmy w (26.28), (26.29) i (26.30). Wyprowadzając najpierw operator z pierwszego wspomnianego wzoru wiedząc, że zachodzi (15.58) ():

(26.38)

Policzmy ze wzoru (26.29) znając definicję współrzędnych operatora iksowej i zetowej wiedząc, że zachodzi (15.59) ():

(26.39)

Wyznaczmy ze wzoru (26.30) znając definicję współrzędnych operatora iksową i igrekową, można powiedzieć wiedząc, że zachodzi (15.60) ():

(26.40)

Na podstawie (26.38), (26.39) i (26.40) możemy napisać również ogólną tożsamość na operator :

(26.41)
Komutacja operatorów αi[edytuj]

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy komutator dwóch operatorów na podstawie (15.8) i (26.41):


(26.42)

Na podstawie (26.42) możemy napisać komutacje dwóch dowolnych operatorów w sposób:

(26.43)
Antykomutacja operatorów αi[edytuj]

Mamy sobie przyrównanie (26.37) zbadajmy czemu jest równy antykomutator dwóch operatorów na podstawie (15.24):


(26.44)

Stąd otrzymany związek (26.44) jest taki sam jak (26.19).

Antykomutacja operatorów αi z operatorem β[edytuj]

Weźmy sobie operator (26.37), wtedy napiszmy antykomutację:

(26.45)

Jak widzimy otrzymaliśmy tożsamość operatorową (26.20).

Operatory σi jako operatory hermitowskie[edytuj]

Operatory są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości (26.28), (26.29) i (26.30), a także z (26.16), (26.17) i (26.18), a dowód jego przebiega:

(26.46)
(26.47)
(26.48)
Antykomutacja operatorów σi[edytuj]

Napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora , ale dowód przeprowadzimy dla i=x,y,z:

(26.49)
(26.50)
(26.51)

A także operatory o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej:

(26.52)
(26.53)
(26.54)

Na podstawie dowodu (26.49), (26.50) i (26.51) oraz (26.52), (26.53) i (26.54) otrzymujemy zależność z udziałem antykomutatora dla operatorów dla współrzędnych i-tej i j-tej:

(26.55)
Komutacje operatorów σi[edytuj]

Wyznaczmy komutacje operatorów , tzn. (26.38) (), (26.39) () i (26.40) () wiedząc, że zachodzi (26.28), (26.29) i (26.30), wtedy:

(26.56)

(26.57)
(26.58)

Na podstawie dowodów (26.56), (26.57) i (26.58) otrzymujemy zależność z udziałem komutatora dla operatorów dla współrzędnych i-tej i j-tej:

(26.59)

Widzimy, ze komutator dwóch operatorów dowolnych jest wprost proporcjonalny do z czynnikiem . Na tym kończymy dowody na współrzędnych operatora (26.31), czyli operatorów (26.28)(), (26.29) () i (26.30) ().

Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu[edytuj]

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (26.27) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy zakładając, że zachodzi tożsamość (26.15):

(26.60)

A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe:


(26.61)

Na podstawie (26.60) i (26.61), a także z (26.28), (26.29) i (26.30) wyrażenie operatorowe (26.27) możemy przepisać w postaci:



(26.62)

Porównując wzór (26.62) z kwadratem wyrażenia (26.23), wtedy przyjmijmy:

(26.63)

Z wyrażenia (26.63) możemy wywnioskować, że zachodzi wzór na w zależności od operatora (26.33) i , tzn. wzory (26.38), (26.39) i (26.40) przy przybliżeniu , że jest to małe:

(26.64)

Udowodnijmy, czy zachodzi antykomutacja pomiędzy operatowami (26.64), a operatorami , jeżeli wiadomo, że zachodzi (26.64), wtedy:


(26.65)

Udowodnijmy czy zachodzi i dla jakich przybliżeń komutacja operatorów i na podstawie definicji tych dwóch operatorów:

(26.66)

Zatem do dzieła:


(26.67)

Ma podstawie obliczeń (26.67) zachodzi komutacja operatorów i , a więc zachodzi (26.66). Powróczmy jeszcze raz do antykomutacji operatorów i , czyli (26.65), wtedy na podstawie (26.66) mamy:


(26.68)

Musi zachodzić w równaniach Diraca:

(26.69)

wtedy następuje antykomutacja operatora i na podstawie (26.68). Drugi wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) na podstawie założenia (26.69) jest w przybliżeniu równy zero. Udowodnijmy czy trzeci wyraz w (26.62) jest równy w przybliżeniu zero na podstawie pewnych założeń i definicji (26.64):

(26.70)

Udowodnijmy dodatkowo wyrażenie, zatem do dzieła:


(26.71)

i odejmijmy obie strony wyrażeń (26.67) i (26.71), wtedy dostajemy równość:

(26.72)

Na podstawie tożsamości (26.72) wyrażenie (26.70) możemy przepisać w postaci:

(26.73)

Zakładamy w równaniach Diraca, że zachodzi:

(26.74)

Na podstawie (26.74) trzeci wyraz w nawiasie kwadratowym w (26.62) jest w przybliżeniu równy zero. Napiszmy operator energii relatywistycznej na podstawie związku na (26.64) i (26.25), wtedy:

(26.75)

Wartości własne operatora (26.33), czyli , a operatora (26.38), (26.39) i (26.39), czyli , a wartości własne operatora są 1 i -1, stąd na podstawie tego możemy napisać na podstawie definicji (26.33) i (26.41) oraz definicji wartości własnej i wektora własnego:

(26.76)
  • gdzie jest to przestrzeń wektorów własnych, odpowiadające danej wartości własnej operatora , ta przestrzeń dla jest taka sama jak dla .

Stąd z definicji operatora (26.75) na podstawie wniosków (26.76) możemy napisać inną zmodyfikowaną wersję operatora energii relatywistycznej w taki sposób by wartości własne i wektory własne dla obu operatorów były takie same:

(26.77)

Przepiszmy operator (26.77) w postaci wydzielając przed nawias wyrażenie w (26.77), wtedy:

(26.78)

Na podstawie tego możemy napisać zmodyfikowaną wersję operatora na podstawie (26.25):

(26.79)

A ponieważ na podstawie wzóru (15.6) i wzoru (15.1), a także wzoru na energię ramki (EK-11.12) zachodzi:

(26.80)

Całkowity Hamiltonian jest sumą operatorów energii relatywistycznej ciała (26.77), energii ramki (26.80) i operatora uwzględniająca energię potencjalną w polu elektrycznym, wtedy on jest równy:

(26.81)

Operator energii mechanicznej (26.81) oraz na podstawie (26.69) i (26.74) jest spełniony tylko dla słabych pól magnetycznych i małych zmian pola magnetycznego w przestrzeni. Hamiltonian Diraca (26.81) jest spełniony dla słabych i małych zmian pól magnetycznych, a matematycznie dla pól magnetycznych i ich zmian dążących do zera.

Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych[edytuj]

Widzimy, że hamiltonian (26.81) jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego. Uogólnimy operator Hamiltonianu dla układu n cząstek znajdujących się wzajemnych polach potencjalnych i w polu zewnętrznym:

(26.82)

Wyprowadzenie równania własnego zależnego i niezależnego od czasu równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Diraca[edytuj]

W równaniach mechaniki kwantowej Diraca podobnie jak w mechanice kwantowej nierelatywistycznej, wtedy funkcja falowa wektorowa jest napisane w sposób bardzo podobny do (11.8) lub (11.9), albo według (11.10), tylko, że zamiast funkcji falowych skalarnych są wektory funkcji falowych. Prawa mechaniki relatywistycznej kwantowej Diraca rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej[edytuj]

Napiszmy i udowodnijmy równanie własne operatora energii relatywistycznej (26.24) wykorzystując udowodnioną tożsamość (11.19), którą dla dowolnej jego potęgi możemy przepisać wzorem, co nie trudno udowodnić na podstawie indukcji matematycznej:

(26.83)

bo dla s=1 równość (26.83) przechodzi w (11.19), a dla s=0 ona jest tożsamością, udowodnijmy twierdzenie dla s+1, wtedy podziałajmy obie strony (26.83) operatorem , wtedy mamy:



(26.84)

Powyższe dowody są prawdziwe jedynie w elektromagnetostatyce, w której zachodzi cechowanie dla pola magnetycznego stałego: (cechowanie Coulomba), i niezależność potencjału tensorowego elektromagnetycznego względem czasu. Udowodnijmy twierdzenie potrzebne do dowodu (26.84) dla pola elektromagnetostatycznego:


(26.85)
  • bo we dowodzie (26.85) występuje wyrażenie, które dla pola elektromagnetostatycznego jest równe zero.

Weźmy taki układ odniesienia, w którym , , , i , w danym punkcie, by można było to zero poniżej przenieść do dowolnego układu odniesienia, w którym w tym punkcie jest dowolne pole elektromagnetostatyczne, wtedy możemy powiedzieć, jeżeli w tym układzie powyższe wyrażenie jest równe zero, to w innych też dla tego pola:

To wyrażenie jest równe zero na podstawie cechowania Coulomba i niezależności potencjału tensorowego od czasu, podanego powyżej. Zatem na podstawie tego równość (26.85) piszemy w formie:

(26.86)

Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej[edytuj]

Równość (26.84) jest taka sama jak (26.83) dla s+1 zamiast s. Zatem wzór (26.83) jest zawsze spełniony na podstawie indukcji matematycznej. Wiedząc, że i jest to koleino położenie i pęd uogólniony po 3N współrzędnych dla N cząstek, a i jest to koleino wektor operatora pędu i wektor pędu uogólnionego, dla i-tej cząstki, wtedy na podstawie (26.83) i wzoru na operator energii relatywistycznej (26.24) () i skalar energii relatywistycznej (26.23) ():




(26.87)

Sumujmy funkcje ze współczynnikami dla różnych pędów i takich samych energii (energii układu cząstek), wtedy równość (26.87) przyjmuje postać:

(26.88)

Sumujemy ze współczynnikami dla różnych pędach równanie (26.88), wtedy:

(26.89)

Równość (26.89) jest to równanie własne operatora energii relatywistycznej (26.25) z funkcjami własnymi zależącymi od położenia , czasu i energii całkowitej układu .

Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej[edytuj]

Weźmy wzór na energię relatywistyczną ciała w zależności od jego pędu i masy spoczynkowej, wtedy tam występujące strony możemy zastąpić średnimi.

(26.90)

Ale z drugiej strony rozkład energii relatywistycznej piszemy z definicji wartości średniej (10.1) w mechanice kwantowej:

(26.91)

Napiszmy z definicji wartości średniej energii relatywistycznej przy znajomości wzoru (26.90):

(26.92)

Równość (26.92) mnożymy poprzez iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji :

(26.93)

Dalej rozpiszmy prawą stronę (26.93) rozwijając w szereg Taylora wyraz w tym pierwiastku, wykorzystując przy okazji udowodniony wzór (26.83):


(26.94)

Na podstawie metod matematyczny fizyki możemy napisać iloczyn skalarny w końcowym wywodzie (26.94) jako iloczyn dwóch funkcji falowych, czyli według twierdzenia (Twier. 11.1):

(26.95)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

(26.96)

Ale dla dowolnej funkcji przy ściśle określonej bazie funkcji , we przedstawieniu (26.95), możemy napisać zawsze słuszne wyrażenie:

(26.97)

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji własnych na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tych wielkości, dla jednej funkcji własnych, jest spełniona w nim dla operatora energii relatywistycznej w mechanice relatywistycznej kwantowej Diraca.

Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego[edytuj]

Dowód niepełny[edytuj]

Skorzystajmy z równania (26.88), zakładając, że występująca funkcja falowa jest wektorem i zobaczmy, czy wyjdzie równanie własne operatora energii (26.3), wykorzystując definicję operatora energii (26.82), co stąd:






(26.98)

Równanie własne końcowe w (26.98) sumujemy ze współczynnikami względem w sposób:

(26.99)

Otrzymany wzór (26.99) jest spełniony dla słabych i małych zmian pola magnetycznego.

Dowód pełny[edytuj]

Napiszmy wzór na średnią energię całkowitą cząstki, w różnych polach: