Ogólna teoria względności/Współrzędne cylindryczne, a tunel Einsteina-Rossena

Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności

Współrzędne cylindryczne, a tunel Einsteina-Rossena

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Za pomocą współrzędnych Einsteina-Rossena dowiemy, że istnieją dwa światy, które złączają się przy r=r_g, tzn. świat 1 ze światem 2.

Współrzędne Einsteina-Rossena

Obierzmy metrykę Szchwarzchilda i zakładajmy, że dt=0, a także $\phi ={{\pi } \over {2}}\;$, wtedy interwał czasoprzestrzenny przy tych założeniach przyjmując współrzędne cylindryczne przyjmuje postać:

$ds^{2}=-dl^{2}=-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}\;$

(13.1)

Naszym celem przy odpowiednio dobranych współrzędnych dojść do geometrii Schwarzchilda we współrzędnych cylindrycznych. We współrzędnych cylindrycznych dl², różniczka długości między dwoma infinitezymalnie bliskimi punktami jest napisana wedle:

$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\alpha ^{2}+dz^{2}\;$

(13.2)

A teraz weźmy nowe zmienne przy pomocy których można zapisać odległość pomiędzy punktami odległymi od siebie nieskończenie blisko (13.2) zdefiniowanej przy pomocy promienia radialnego r i kąta θ i z, a także przy pomocy promienia Schwarzschilda r_g:

$\rho =r\;$

(13.3)

$\alpha =\theta \;$

(13.4)

$z=\pm 2{\sqrt {r_{g}(r-r_{g})}}\;$

(13.5)

Następnym krokiem jest policzenie różniczki zupełnej z wielkości "z" zdefiniowanej w punkcie (13.5), którą wyrazimy przy pomocy różniczki promienia radialnego r:

$dz=\pm 2{{r_{g}} \over {2{\sqrt {r_{g}(r-r_{g})}}}}dr=\pm {{r_{g}} \over {\sqrt {r_{g}(r-r_{g})}}}dr\;$

(13.6)

Po podniesieniu do kwadratu różniczki współrzędnej zetowej zdefiniowanej według (13.6) przy pomocy promienia radialnego r mamy:

$dz^{2}={{r_{g}^{2}} \over {r_{g}(r-r_{g})}}dr^{2}\Rightarrow dz^{2}={{r_{g}} \over {r-r_{g}}}dr^{2}\;$

(13.7)

Następnie policzmy różniczkę długości dl² zdefiniowanej w punkcie (13.2) przy pomocy kwadratu różniczki współrzędnej zetowej (13.7):

$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\alpha ^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+{{r_{g}} \over {r-r_{g}}}dr^{2}=r^{2}d\theta ^{2}+dr^{2}\left[1+{{r_{g}} \over {r-r_{g}}}\right]=\;$
$=r^{2}d\theta ^{2}+dr^{2}\left[{{r-r_{g}+r_{g}} \over {r-r_{g}}}\right]=r^{2}d\theta ^{2}+dr^{2}{{r} \over {r-r_{g}}}={{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}+r^{2}d\theta ^{2}\;$

(13.8)

Na podstawie definicji kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego (13.1) i z definicji kwadratu infitezymalnej długości między dwoma zdarzeniami:

$ds^{2}=-dl^{2}=-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}\;$

(13.9)

czyli otrzymujemy geometrię statystyczno cylindryczną Schwarzchilda dla dt=0 na podstawie definicji kwadratu infinitezymalnej zmiany interwału czasoprzestrzennego.

Interpretacja współrzędnych Einsteina-Rossena

(Rys. 13.1) Tunel Einsteina-Rossena

W geometrii Einsteina-Rossena otrzymujemy dwa rozwiązania jedno dla z<0, a drugie dla z>0. Te oba światy są złączone dla r=r_g. W każdym bądź razie przez czarną dziurę przechodzi specyficzna gardziel zwaną tunelem Einsteina-Rossena. Można udowodnić, że analiza w geometrii Schwarzchilda nie pozwala na podróż, ze świata 1 do świata 2 w statyczno-sferycznej rozważanej geometrii.