Szczególna teoria względności/Praca, moc, energia i pęd

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Praca, moc, energia i pęd

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy zajmowali się definicją pracy w szczególnej teorii względności, związkami pomiędzy energią relatywistyczną posiadanej przez ciało, a jej masą relatywistyczną, a także lokalną zachowawczością energii(masy)-pędu i równaniami na lokalną zasadę zachowania energii(masy)-pędy w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Będziemy wyprowadzać wzór dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka mas[edytuj]

Wyprowadżmy wzór dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (1.290) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t2 i t1, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:




(4.1)

Na podstawie obliczeń (4.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

(4.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

(4.3)
  • gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (4.3) jest napisana w punkcie (1.287), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (4.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.
(4.4)

Za pomocą (4.2), lub (4.4), (wielkość ) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (4.3) możemy napisać moc siły korzystając z definicji mocy, tzn.:

(4.5)

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka mas[edytuj]

Wyprowadźmy wzór dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał (1.375) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał (1.374) względem czasu. Wzory (4.3) i (4.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie , , i to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość (1.375) (wzór na pęd środka mas ciał) i (1.367) (położenie środka masy) przedstawiamy w (4.1) zastępując: , , i , wtedy możemy napisać wzór (4.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową , energię spoczynkową środka masy , te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (4.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: , gdzie to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: , a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: . Masa środka masy ciał spoczynkowa jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (3.49), którymi są (masą spoczynkową i-tego elementu), (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas .

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowej[edytuj]

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (1.289) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

(4.6)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (4.6) i definicję energii relatywistycznej (4.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

(4.7)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (4.7), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m0.

(4.8)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej Minkowskiego[edytuj]

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (4.8) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

(4.9)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała według (3.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (4.9) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

(4.10)
  • gdzie ημν jest tensorem metrycznym (1.223) w szczególnej teorii względności.

Wzór (4.10) na podstawie (1.227) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (1.222) wychodząc z wzoru (4.10), a oto dowód:

Równość (4.10) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

(4.11)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (1.222):

co wtedy wzór (4.9) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (3.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m0:

(4.12)

Niezmienniczość ciśnienia przy przejściu z jednego układu odniesienia inercjalnego do drugiego[edytuj]

Siła działająca na ciało ze strony ośrodka przy ciśnieniu jest równa:

(4.13)

Transformacja siły z układu z ciałem poruszający się z prędkością dążącą do zera do układu, w którym to ciało porusza się z inną prędkością, przedstawia się wzorem na podstawie (1.283):

(4.14)

Napiszmy obliczenia dla siły równoległej wykorzystując transformacje wektorów równoległych siły i nieskończenie małej powierzchni:

(4.15)

A dla siły prostopadłej wykorzystując wykorzystując transformacje wektorów prostopadłych siły i nieskończenie małej powierzchni:

(4.16)

Stąd mamy wzór na siłę infinitezymalną dodając siły prostopadłe i równoległe nieskończenie małe do siebie, wtedy otrzymujemy definicję siły w układzie odniesienia poruszającą się z prędkością taką by w niej ciało, na którą działa ta siła, poruszała się z jakąś prędkością:

(4.17)

Stąd na podstawie (4.17) ciśnienie nie zmienia się przy przejściu z jednego układu odniesienia inercjalnego do drugiego.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego przy działającej gęstości tensora siły zewnętrznej na dany punkt ośrodka[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmowali lokalną zachowawczością tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego. Będziemy się zajmowali układem rozciągłym materii, na którą w każdym punkcie tego ośrodka działa nieskończenie mały tensor siły zewnętrznej niekoniecznie równy zero.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny i jego lokalną zachowawczość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny definiujemy w taki sposób:

(4.18)

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny (4.18) w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym przedstawia się ogólnie jako macierz o elementach tylko diagonalnych w przestrzeni n-wymiarowej:

(4.19)

W tym układzie mogą występować gęstości tensorów sił wynikających z ciśnienia i gęstość tensorów sił zewnętrznych, stosując to do praw dynamiki dla ruchu płynu (3.54) mamy dla niego równość dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, czyli:

(4.20)
  • gdzie jest to nieskończenie mała objętość spoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

A stąd wykorzystując (1.432) (globalność (lokalność) stałej gęstości spoczynkowej) i (3.41) (wzór na tensor siły) w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych do policzenia następnego związku wiedząc, że współrzędne czasowe jakikolwiek gęstości tensorów sił, które po policzeniu są równe zero na podstawie tego, że , mamy:

(4.21)

Równości tensorowe (4.20) i (4.21) możemy zapisać w postaci jednego ogólnego wzoru tensorowego słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych przy tensorze metrycznym Minkowskiego równym (1.223):

(4.22)

Wzór (4.22) jest słuszny tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale uogólnijmy ten wzór dla dowolnych prędkości mniejszych od prędkości światła wiedząc, że prawa i lewa strona równości (4.22) jest tensorem w tym celu wymnóżmy prawą i lewą stronę równości tej przez , wtedy:

(4.23)
  • gdzie jest to nieskończenie mała objętość ogólnie niespoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny[edytuj]

Tutaj przedstawimy wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny.

Szczególna teoria względności[edytuj]

W szczególnej teorii względności zachodzi wzór na tensor gęstości energii-pędu kinematyczny w postaci:

(4.24)
Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona zachodzi wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny, wiedząc definicję tensora Minkowskiego (1.222) i definicję macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej , w postaci:

(4.25)

Wzór (4.25) (który wynika z postaci (4.18) i definicji tensora prędkości (3.9) wykorzystując (1.429), który w prawie (4.23) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości powoduje znikanie wyrazu na podstawie twierdzenia (Twierdzenie-2.1)), bo oto dowód:


Drugim argumentem w (4.18) przy pomijaniu wyrazu według mechaniki Newtona wiedząc, że (bo w mechanice Newtona występują małe ciśnienia), zachodzi:

(4.26)

Stąd wniosek, że w mechanice Newtona ten rozważany wyraz w (4.18) należy pomijać, bo jest bardzo mały, zatem wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny (4.25) jest słuszny.

Przedstawienie lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Tutaj wyprowadzimy zachowaczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Zatem wzór (4.23) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości energii-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (4.24) (patrz: (4.18)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (4.58), w postaci:

(4.27)
Mechanika Newtona[edytuj]

Zatem wzór (4.23) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości masy-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (4.25) (patrz: (4.18)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (4.62) wiedząc o zależności pomiędzy tensorem siły a wielkością wskaźnikową siły według wzoru (3.42), w postaci:

(4.28)

Dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznej dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj wzory na zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów słabozakrzywionych wynikłe ze wzorów dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wzór (4.27) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy dla układów słabozakrzywionych zastępując przecinek średnikiem, można tak zrobić, bo to wynika z transformacji z definicji tensora wiedząc że zachodzi tożsamość tensorowa (1.327) pamiętając, że może być funkcją uogólnioną, wykorzystując zachodzącą w przybliżeniu skrócenie długości (5.7), którą zastosujemy do infinitezymalnej objętości w jakimś układzie współrzędnych napisanej w zależności od objętości spoczynkowej w układzie globalnie (lokalnie) spoczynkowym, czyli:


(4.29)

W układach słabozakrzywionych symbole Christoffela są w przybliżeniu równe zero, tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, tzn.: , bo układy słabozakrzywione są prawie płaskie i jest spełniony wzór dla układów słabozakrzywionych na podstawie (4.29) (ostatnia formuła), czyli przepisując ten wzór bez nadkresleń nad tensorami:

(4.30)

A wiec wzór (4.30) w przybliżeniu spełnia układy słabozakrzywione. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawo (4.30) przedstawia się:

(4.31)

Równość (4.31) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu kinematycznego.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wzór (4.28) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy dla układów słabozakrzywionych zastępując przecinek średnikiem, można tak zrobić, bo to wynika z transformacji z definicji wielkości wskaźnikowej, która w tym przypadku jest tensorem, wiedząc że zachodzi tożsamość tensorowa (1.327), pamiętając, że może być funkcją uogólnioną, i tego że w tym układzie nie zachodzi skrócenie długości, czyli:

(4.32)

W układach słabozakrzywionych symbole Christoffela są w przybliżeniu równe zero, tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, tzn.: , bo układy słabozakrzywione są prawie płaskie i jest spełniony wzór dla układów słabozakrzywionych na podstawie (4.32) (ostatnia formuła), czyli przepisując ten wzór bez nadkresleń nad tensorami:

(4.33)

A wiec wzór (4.33) w przybliżeniu spełnia układy słabozakrzywione. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawo (4.33) przedstawia się:

(4.34)

Równość (4.31) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu kinematycznego.

Inny dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj dowody na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędy kinematycznego wynikłe z definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując definicję tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (4.24). Przejdźmy do dowodu równania (4.30) (pierwsze równanie) wykorzystując lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów ogólnie słabozakrzywionych (4.91) (pierwsze równanie), zatem w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wykorzystując pochodną zupełną ciśnienia względem interwału czasoprzestrzennego według (1.430) i też stosując twierdzenie (Twierdzenie-2.1) pamiętając, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich symbole Christoffela w nich są równe zero. W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości całkując po infinitezymalnej objętości:





(4.35)

Stosując definicję gęstości tensora siły w zależności od gęstości wielkości wskaźnikowej siły (4.58), a więc obliczenia (4.35) przyjmują zapis:

(4.36)

Równanie (4.36) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (4.30) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Stosujemy lokalne prawo zachowania masy-pędu (4.104) (pierwsze równanie), definicję tensora prędkości (3.9) i definicję tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (4.25), a także twierdzenie (Twierdzenie-2.1), stąd obliczenia:



(4.37)

Równanie (4.37) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (4.33) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Ciąg dalszy lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Wzór na gęstość sił zewnętrznych działający na dany punkt ośrodka i stąd dodatkowa wynikająca różniczka siły działająca na dany punkt ośrodka z definicji tensora siły w przestrzeni zwykłej (3.35) (szczególna teoria względności) i (3.43) (mechanika Newtona) oraz lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego (4.27) są przedstawione według równania:


(4.38)

Strumień energii(masy)-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj badać ten strumień energii(pędu) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twierdzenie-2.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (1.429):






(4.39)
Mechanika Newtona[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twierdzenie-2.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (1.429):



(4.40)
Dalsze obliczenia wspólne dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona[edytuj]

Na podstawie policzonego wyrażenia (4.39) i (4.40) oraz napisanej równości (4.38) dostajemy wzór na zmianę pędu w ininitezymalnej objętości względem czasu , czyli:

(4.41)

Jeżeli przyjmiemy, że w (4.41) , gdzie jest to wektor gęstości i-tej współrzędnej siły działającej na daną infinitezymalną obiętość ośrodka, co na tej podstawie wzór (4.41) przyjmuje postać:

(4.42)

Wzór ostateczny (4.42) jest równaniem ruchu opisujący zmianę i-tej współrzędnej gęstości pędu względem czasu. Dla przypadku mamy wzór na zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) w danym punkcie wyprowadzając go w taki sposób jak równanie (4.42), ale zamiast jest , a zamiast jest , wtedy:


(4.43)

Wzór ostateczny (4.43) jest równaniem ruchu opisujący zmianę zerowej współrzędnej wartości gęstości pędu względem czasu, czyli zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) wynikającej ze wzoru (3.15), tzn.: . Łącząc wzory (4.42) i (4.43), wtedy dostajemy z definicji gęstości siły niezrównoważonej:

(4.44)

Strumień energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w układach słabozakrzywionych[edytuj]

W układach globalnie (lokalnie) płaskich na strumień energii(masy)-pędu możemy napisać (4.44), napiszmy go w układach słabozakrzywionych przechodząc do niego wykorzystując (1.320) (postać einsteinowska w szczególnej teori względności) i (1.322) (postać newtonowska w mechanice Newtona), a także wzory (1.133) (definicję macierzy transformacji ) i (1.136) wynikającego z (1.135) i (1.133), wiedząc, że w układach szczególnej teorii względności i mechanice Newtona mamy kolejno (4.24) i (4.25), wtedy:

(4.45)

Zatem pisząc bez nadkreśleń wzór dla układów słabozakrzywionych na podstawie (4.45) spełnione w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona, mamy:

(4.46)

Napiszmy jaka jest interpretacja wzoru (4.46), napiszmy całkę objętościową obu stron tego równania, zatem:

(4.47)

Wzór przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem czasu i ona jest równa zmianie pędu spodowanego przez siłę zewnętrzną i pędowi, która wpłynęła do tej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą przez tą powierzchnię.

Szczególna teoria względności[edytuj]

W szczególnej teorii względności prawa (4.46) (wersja różniczkowa) i (4.47) (wersja całkowa) przy definicji tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (4.24) przy klasie transformacji Lorentza są spełnione.

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona prawa (4.46) (wersja różniczkowa) i (4.47) (wersja całkowa) są spełnione dla przy definicji tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (4.25), a więc są w postaci ich wersji różniczkowej (4.48) i całkowej (4.49):

(4.48)
(4.49)

Prawa (4.46) (wersja różniczkowa) i (4.47) (wersja całkowa) dla w mechanice Newtona przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionego przy klasie transformacji Galileusza, które są funkcjami uogólnionymi, są dokładnie tożsamościowo spełniona (tzn. prawa i lewa strona są równe zero), czyli w prawach w (4.48) i (4.49) je tylko piszemy dla .

Lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu (wyprowadzenie z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu) kinematycznego[edytuj]

Tutaj wyprowadzimy lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Na podstawie (4.44) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (4.89) według globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości (1.299) i globalnie (lokalnie) stałego ciśnienia (1.429) stosując twierdzenie (Twierdzenie-2.1) licząc po objętości nieskończenie małej , wtedy:



(4.50)

Otrzymaliśmy wzór w (4.50) na lokalne prawo zachowania energii-pędu (4.89) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. W ostatnim wzorze (4.50) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych dostajemy wzór o takiej samej postaci będący lokalnym prawem zachowania energii-pędu w pierwszej równości w (4.91).

Mechanika Newtona[edytuj]

Na podstawie (4.44) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (4.102) na podstawie globalnego (lokalnego) stałego tensora prędkości (1.300) i globalnego (lokalnego) stałego ciśnienia (1.429) stosując twierdzenie (Twierdzenie-2.1) licząc po infinitezymalnej objętości zachodzi:

(4.51)

Otrzymaliśmy wzór w (4.51) na lokalne prawo zachowania masy-pędu (4.102) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. W ostatnim wzorze (4.51) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych dostajemy wzór o takiej samej postaci będący lokalnym prawem zachowania masy-pędu w pierwszej równości w (4.104).

Ciąg dalszy obliczeń[edytuj]

Policzmy wyrażenie w całce objętościowej, w której całkowanie przeprowadzamy na takiej dowolnej infinitezymalnej powierzchni i w niej zawartej objętości , w których przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wiedząc, że na niej współrzędne prędkości, ciśnienie i gęstość masy spoczynkowej nie zmieniają się w czasie i przestrzeni według kolejno (1.299), (1.429) i (1.433) stosując (Twierdzenie-2.1), stąd obliczenia przeprowadzimy w dwóch przypadkach dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona:

Szczególna teoria względności[edytuj]

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (4.24), wtedy policzmy całkę objętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości energii-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:



(4.52)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (4.52), tylko, że zamiast jest :

(4.53)

Mechanika Newtona[edytuj]

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (4.25), wtedy policzmy całkę pbjętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości masy-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:


(4.54)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (4.52), tylko, że zamiast jest :

(4.55)

Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (4.52) biorąc ją we wzorze ostatnim w (4.42), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (3.58) z (3.55), gdzie tam zastosowano (Twierdzenie-2.1), co:

(4.56)

Wykorzystując tożsamość (4.53) i (1.430) wykorzystując je we wzorze (4.43), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (3.58) z (3.55), gdzie tam zastosowano (Twierdzenie-2.1), co:


(4.57)

Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie:

(4.58)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (4.57) () i (4.56) () na podstawie definicji gęstości tensora siły (4.58) przedstawia się w formie:

(4.59)

Wzór tensorowy (4.59) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły (3.54) i składowe gęstości tensora siły w równaniu (4.59), tzn.: składowe (4.58) są zgodne z (3.41), czyli równanie tensorowe (4.27) jest poprawne.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (4.54) biorąc ją we wzorze ostatnim w (4.42), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (3.62) z (3.63), gdzie tam zastosowano (Twierdzenie-2.1), co:

(4.60)

Wykorzystując tożsamość (4.55) i (1.429) wykorzystując je we wzorze (4.43), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (3.62) z (3.63), gdzie tam zastosowano (Twierdzenie-2.1), co:

(4.61)

Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie:

(4.62)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (4.61) () i (4.60) () na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły (4.62) przedstawia się w formie:

(4.63)

Wzór wskaźnikowy (4.63) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły (3.62), tzn.: składowe jego (4.62) są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe (4.28) jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego, dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego[edytuj]

Równanie (4.59) z definicją gęstości tensora siły (4.58) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły (3.54) przy definicji tensora siły (3.41) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: (1.320) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (1.221), która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Też zachodzi na podstawie (1.327), bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór (4.58) na gęstość tensora siły i wzór (4.59) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, bo to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (4.59) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:


(4.64)

Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według (1.215). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (4.64) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

(4.65)

Dla układów słabozakrzywionych w sposób przybliżony równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (4.30) jest równoważne z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (4.65) i lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu (4.91). Z (4.65) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (3.60) mając (3.59), co udowodniając ten wzór według (3.61) przedstawia się w formie (1.290), a więc z niego wynika wzór na tensor siły (3.33).

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (4.64) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły (4.58) i tensora prędkości (3.3), wtedy mamy:


(4.66)

Równanie końcowe (4.66) jest spełnione w w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione z definicji tensorowości tensora prędkości (3.3) według (1.314) i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:

(4.67)

Z definicji pochodnej tensorowej równość (4.67) możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:

(4.68)

Ale w układach słabozakrzywionych symbole Christoffela są bardzo małe z definicji układów słabozakrzywionych, zatem równość (4.68) możemy napisać w sposób przybliżony w postaci:

(4.69)

Na podstawie (4.69) jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych w postaci (4.65).

Podsumowanie[edytuj]

Wyprowadzenie równań dynamiki Einsteina z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości z tensorowości i stałości macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionego potwierdza wniosek, że ta macierz transformacji jest w przybliżeniu stałą względem interwału czasoprzestrzennego (1.221) w szczególnej teorii względności. A nie jest zero jak w ogólnej teorii względności (czyli według (1.308)), bo w tej teorii mamy współrzędne układu zakrzywionego, a w dynamice Einsteina płaskiego.

Mechanika Newtona[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego, dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego[edytuj]

Równanie (4.63) z definicją gęstości wskaźnikowej siły (4.62) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły (3.62) przy definicji wskaźnikowej siły (3.42) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: (1.320) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Też zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły (3.62) wzór na podstawie (1.327), bo to są układy w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór (4.62) na gęstość tensora siły i wzór (4.63) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, bo to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (4.63) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:


(4.70)

Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według (1.215). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (4.70) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

(4.71)

Dla układów słabozakrzywionych w sposób przybliżony równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu (4.33) jest równoważne z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (4.71) i lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu (4.104). Z (4.71) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (3.66) mając (3.65), co udowodniamy ten wzór w punkcie (3.67) przedstawia się jako prawo w (MT-1.32).

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (4.70) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły (4.58) i tensora prędkości (3.3), wtedy mamy:

(4.72)

Równanie końcowe (4.72) jest spełnione w w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione z definicji tensorowości tensora prędkości (3.3) według (1.314) i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:

(4.73)

Z definicji pochodnej tensorowej równość (4.73) możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:

(4.74)

Ale w układach słabozakrzywionych symbole Christoffela są bardzo małe z definicji układów słabozakrzywionych, zatem równość (4.74) możemy napisać w sposób przybliżony w postaci:

(4.75)

Na podstawie (4.75) jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych w postaci (4.71).

Podsumowanie[edytuj]

Wyprowadzenie równań dynamiki Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości z tensorowości i stałości macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości do słabozakrzywionego potwierdza wniosek, że macierz transformacji jest w przybliżeniu stałą względem czasu absolutnego w mechanice Newtona. A nie jest zero jak w ogólnej teorii względności (czyli według (1.308)), bo w tej teorii mamy współrzędne układu zakrzywionego, a w dynamice Newtona płaskiego.

Lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(4.76)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(4.77)

Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ0:

(4.78)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (4.79) do (4.77) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(4.79)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (4.78) do (4.77) dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

(4.80)

Ale elementy tensora według (4.79) (elementy czasowe) i (4.78) (elementy przestrzenne), czyli wzór na definicję tensora prądu (4.78), które doprawdzają z (4.78) do (4.77), w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (4.78) (wzór na gęstość prądu o współrzędnych 0ν), (1.430) (pochodnej czasowej ciśnienia) i (4.58) (wzór na gęstość tensora siły):


(4.81)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(4.82)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(4.83)

Z definiujmy jako tensor prądu jako:

(4.84)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (4.84) do (4.83) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(4.85)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (4.84) do (4.83) dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego):

(4.86)

Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie (4.82) i (4.83) wynikające z (4.84) (w tym według dowodu (4.85) i (4.86), w których dochodzimy do (4.84)) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się w formie patrząc na (4.84) (tensor gęstości prądu) i (4.58) (gęstość tensora siły):


(4.87)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Na podstawie definicji gęstości prądu (4.78) (dla lokalnego zachowania energii) i (4.84) (dla lokalnego zachowania współrzędnych pędu) mamy wzór na tensor prądu , czyli:

(4.88)

Łącząc wzory (4.81) i (4.87) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (4.88) (wzór na gęstość tensora prądu) i (4.58) (wzór na gęstość tensora siły):