Szczególna teoria względności/Praca, moc, energia i pęd

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Praca, moc, energia i pęd

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy zajmowali się definicją pracy w szczególnej teorii względności, związkami pomiędzy energią relatywistyczną posiadanej przez ciało, a jej masą relatywistyczną, a także lokalną zachowawczością energii(masy)-pędu i równaniami na lokalną zasadę zachowania energii(masy)-pędy w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w einsteinowskich układach odniesienia[edytuj]

Będziemy wyprowadzać wzór dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka mas[edytuj]

Wyprowadżmy wzór dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (3.14) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t2 i t1, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:




(8.1)

Na podstawie obliczeń (8.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

(8.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

(8.3)
  • gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (8.3) jest napisana w punkcie (3.11), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (8.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.
(8.4)

Za pomocą (8.2), lub (8.4), (wielkość ) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (8.3) możemy napisać moc siły korzystając z definicji mocy, tzn.:

(8.5)

Wzór E=mc2 (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka mas[edytuj]

Wyprowadźmy wzór dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał (3.112) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał (3.111) względem czasu. Wzory (8.3) i (8.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie , , i to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość (3.112) (wzór na pęd środka mas ciał) i (3.104) (położenie środka masy) przedstawiamy w (8.1) zastępując: , , i , wtedy możemy napisać wzór (8.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową , energię spoczynkową środka masy , te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (8.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: , gdzie to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: , a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: . Masa środka masy ciał spoczynkowa jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (7.49), którymi są (masą spoczynkową i-tego elementu), (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas .

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowej[edytuj]

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (3.13) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

(8.6)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (8.6) i definicję energii relatywistycznej (8.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

(8.7)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (8.7), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m0.

(8.8)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej Minkowskiego[edytuj]

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (8.8) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

(8.9)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała według (7.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (8.9) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

(8.10)
  • gdzie ημν jest tensorem metrycznym (2.224) w szczególnej teorii względności.

Wzór (8.10) na podstawie (2.228) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (2.223) wychodząc z wzoru (8.10), a oto dowód:

Równość (8.10) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

(8.11)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (2.223):

co wtedy wzór (8.9) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (7.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m0:

(8.12)

Niezmienniczość ciśnienia przy przejściu z jednego układu odniesienia inercjalnego do drugiego[edytuj]

Siła działająca na ciało ze strony ośrodka przy ciśnieniu jest równa:

(8.13)

Transformacja siły z układu z ciałem poruszający się z prędkością dążącą do zera do układu, w którym to ciało porusza się z inną prędkością, przedstawia się wzorem na podstawie (3.7):

(8.14)

Napiszmy obliczenia dla siły równoległej wykorzystując transformacje wektorów równoległych siły i nieskończenie małej powierzchni:

(8.15)

A dla siły prostopadłej wykorzystując wykorzystując transformacje wektorów prostopadłych siły i nieskończenie małej powierzchni:

(8.16)

Stąd mamy wzór na siłę infinitezymalną dodając siły prostopadłe i równoległe nieskończenie małe do siebie, wtedy otrzymujemy definicję siły w układzie odniesienia poruszającą się z prędkością taką by w niej ciało, na którą działa ta siła, poruszała się z jakąś prędkością:

(8.17)

Stąd na podstawie (8.17) ciśnienie nie zmienia się przy przejściu z jednego układu odniesienia inercjalnego do drugiego.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego przy działającej gęstości tensora siły zewnętrznej na dany punkt ośrodka[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmowali lokalną zachowawczością tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego. Będziemy się zajmowali układem rozciągłym materii, na którą w każdym punkcie tego ośrodka działa nieskończenie mały tensor siły zewnętrznej niekoniecznie równy zero.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny i jego lokalną zachowawczość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny definiujemy w taki sposób:

(8.18)

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny (8.18) w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym przedstawia się ogólnie jako macierz o elementach tylko diagonalnych w przestrzeni n-wymiarowej:

(8.19)

W tym układzie mogą występować gęstości tensorów sił wynikających z ciśnienia i gęstość tensorów sił zewnętrznych, stosując to do praw dynamiki dla ruchu płynu (7.54) mamy dla niego równość dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, czyli:

(8.20)
  • gdzie jest to nieskończenie mała objętość spoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

A stąd wykorzystując (3.116) (globalność (lokalność) stałej gęstości spoczynkowej) i (7.41) (wzór na tensor siły) w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych do policzenia następnego związku wiedząc, że współrzędne czasowe jakikolwiek gęstości tensorów sił, które po policzeniu są równe zero na podstawie tego, że , mamy:

(8.21)

Równości tensorowe (8.20) i (8.21) możemy zapisać w postaci jednego ogólnego wzoru tensorowego słuszne jedynie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych przy tensorze metrycznym Minkowskiego równym (2.224):

(8.22)

Wzór (8.22) jest słuszny tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale uogólnijmy ten wzór dla dowolnych prędkości mniejszych od prędkości światła w układach globalnie (lokalnie) płaskich wiedząc, że prawa i lewa strona równości (8.22) jest tensorem w tym celu wymnóżmy prawą i lewą stronę równości tej przez , wtedy:

(8.23)
  • gdzie jest to nieskończenie mała objętość ogólnie niespoczynkowa w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej.

Tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny[edytuj]

Tutaj przedstawimy wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu kinematyczny.

Szczególna teoria względności[edytuj]

W szczególnej teorii względności zachodzi wzór na tensor gęstości energii-pędu kinematyczny w postaci:

(8.24)
Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona zachodzi wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny, wiedząc definicję tensora Minkowskiego (2.223) i definicję macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej w definicji macierzy iloczynu skalarnego w tensorze metrycznym (2.223), w postaci:

(8.25)

Wzór (8.25) (który wynika z postaci (8.18) i definicji tensora prędkości (7.9) wykorzystując (3.113), który w prawie (8.23) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości powoduje znikanie wyrazu na podstawie twierdzenia (Twier. 7.1), bo oto dowód:


Drugim argumentem w (8.18) przy pomijaniu wyrazu według mechaniki Newtona wiedząc, że (bo w mechanice Newtona występują małe ciśnienia), zachodzi:

(8.26)

Stąd wniosek, że w mechanice Newtona ten rozważany wyraz w (8.18) należy pomijać, bo jest bardzo mały, zatem wzór na tensor gęstości masy-pędu kinematyczny (8.25) jest słuszny.

Przedstawienie lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Tutaj wyprowadzimy zachowaczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Zatem wzór (8.23) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości energii-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (8.24) (patrz: (8.18)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (8.66), w postaci:

(8.27)
Mechanika Newtona[edytuj]

Zatem wzór (8.23) (ostatni wzór) jest spełniony nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, ale też dla układów, w których tensor gęstości masy-pędu kinematyczny przedstawia się wzorem (8.25) (patrz: (8.18)), czyli dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przy wielkości wskaźnikowej siły zdefiniowanej według (8.70) wiedząc o zależności pomiędzy tensorem siły a wielkością wskaźnikową siły według wzoru (7.42), w postaci:

(8.28)

Dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznej dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj wzory na zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów słabozakrzywionych wynikłe ze wzorów dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wzór (8.27) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, ale w wersji tensorowej z wersją z , co uwodocznimy w rachunku dla układów globalnie (lokalnie) płaskich przechodząc z wersji z do wykorzystując w tym rachunku skrócenie długości (9.7). Następnie przejdziemy tam do układów słabozakrzywionych, wtedy:

(8.29)

W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w (8.29) to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. (3.54) przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w (8.29) bez nadkresleń nad tensorami, wykorzystując procedurę (Proc. 3.1) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (8.30) (w tych układach symbole Christoffela uważamy za równe zero), dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od (8.30) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do (8.31) opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: (8.29), tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd:

(8.30)
(8.31)

Wielkość jest zdefiniowana w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) oraz ma tam taką samą wartość w nich.

A wiec wzór (8.30) spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a (8.31) spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy płaskie krzywoliniowe lub układy płaskie we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa (8.30) i (8.31) przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych):

(8.32)
(8.33)

Równości (8.32) i (8.33) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu kinematycznego.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wzór (8.28) jest spełniony dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, ale go przepiszmy transformując go dla układów słabozakrzywionych, wtedy:

(8.34)

W układach słabozakrzywionych pisząc bez nadkreśleń ostateczne prawo w (8.34) to prawo ma taką postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tutaj z prawa dla tego słusznego, tzn. (3.56) i (3.57) przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych.

Przepisując ostatni wzór w (8.34) bez nadkresleń nad tensorami, wykorzystując procedurę (Proc. 3.1) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (8.35), tzn. uważając, że w tych układach symbole Christoffela za równe zero, dalej przechodząc z tych układów do układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), a transformacja od (8.35) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne do (8.36) opisywane przez układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tak samo się udowadnia jak w punkcie: (8.34), tzn. tak samo się udowadnia jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, stąd:

(8.35)
(8.36)

A wiec wzór (8.35) spełnia układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, a (8.36) spełnia układy nie tylko słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale też układy słabozakrzywione uważane za układy krzywoliniowe lub układy we współrzędnych uogólnionych. Jeżeli gęstość tensorowych sił zewnętrznych jest równa zero to wtedy prawa (8.35) i (8.36) przedstawiają się kolejno dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i krzywoliniowe (lub we współrzędnych uogólnionych):

(8.37)
(8.38)

Równości (8.37) i (8.38) przedstawia lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu kinematycznego.

Inny dowód lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj dowody na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędy kinematycznego wynikłe z definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego. Udowodnimy, do prawo dla mechaniki Newtona i Einsteina układów globalnie (lokalnie) płaskich, co na tej podstawie wiemy, że ono jestv również słuszne dla układów słabozakrzywionych.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując definicję tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (8.24). Przejdźmy do dowodu równania (8.30) (pierwsze równanie) wykorzystując lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów ogólnie słabozakrzywionych (8.99) (pierwsze równanie), zatem w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wykorzystując pochodną zupełną ciśnienia względem interwału czasoprzestrzennego według (3.114) i też stosując twierdzenie (Twier. 7.1) pamiętając, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich symbole Christoffela w nich są równe zero. W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości całkując po infinitezymalnej objętości:





(8.39)

Stosując definicję gęstości tensora siły w zależności od gęstości wielkości wskaźnikowej siły (8.66), a więc obliczenia (8.39) przyjmują zapis:

(8.40)

Równanie (8.40) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (8.30) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona[edytuj]

Stosujemy lokalne prawo zachowania masy-pędu (8.114) (pierwsze równanie), definicję tensora prędkości (7.9) i definicję tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (8.25), a także twierdzenie (Twier. 7.1), stąd obliczenia:



(8.41)

Równanie (8.41) po przejściu do układów co najwyżej słabozakrzywionych jest takie same jak pierwsze równanie w (8.35) (pierwsze równanie), zatem to równanie jest prawdziwe również dla układów co najwyżej słabozakrzywionych.

Ciąg dalszy lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Wzór na gęstość sił zewnętrznych działający na dany punkt ośrodka i stąd dodatkowa wynikająca różniczka siły działająca na dany punkt ośrodka z definicji tensora siły w przestrzeni zwykłej (7.35) (szczególna teoria względności) i (7.43) (mechanika Newtona) oraz lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego (8.27) są przedstawione według równania:


(8.42)

Strumień energii(masy)-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj badać ten strumień energii(pędu) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 7.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (3.113):






(8.43)
Mechanika Newtona[edytuj]

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 7.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (3.113):



(8.44)
Dalsze obliczenia wspólne dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona[edytuj]

Na podstawie policzonego wyrażenia (8.43) i (8.44) oraz napisanej równości (8.42) dostajemy wzór na zmianę pędu w ininitezymalnej objętości względem czasu , czyli:

(8.45)

Jeżeli przyjmiemy, że w (8.45) , gdzie jest to wektor gęstości i-tej współrzędnej siły działającej na daną infinitezymalną obiętość ośrodka, co na tej podstawie wzór (8.45) przyjmuje postać:

(8.46)

Wzór ostateczny (8.46) jest równaniem ruchu opisujący zmianę i-tej współrzędnej gęstości pędu względem czasu. Dla przypadku mamy wzór na zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) w danym punkcie wyprowadzając go w taki sposób jak równanie (8.46), ale zamiast jest , a zamiast jest , wtedy:


(8.47)

Wzór ostateczny (8.47) jest równaniem ruchu opisujący zmianę zerowej współrzędnej wartości gęstości pędu względem czasu, czyli zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) wynikającej ze wzoru (7.15), tzn.: . Łącząc wzory (8.46) i (8.47), wtedy dostajemy z definicji gęstości siły niezrównoważonej:

(8.48)

A wzór (8.48) przepisujemy w formie całkowej całkując obie strony wersji różniczkowej tego równania i przenosząc pochodną czastkową przed całkę zamieniając ją na pochodną zupełną z definicji pochodnej, wtedy:

(8.49)

Wzór (8.49) przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem czasu i ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez siłę zewnętrzną i pędowi jaka wpłynęła do układu. Wzory (8.48) i (8.49) możemy je napisasć w innej postaci korzystając z definicji interwału czasoprzestrzennego w zalezności od prędkości i różniczki czasu w formie (2.225), wtedy:

(8.50)
(8.51)

Dla mechaniki Newtona w (8.51) wielkość jest równa jeden, tzn.: .

Strumień energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem czasu opisujące przestrzeń zwykłą[edytuj]

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wzór na strumień energii(masy)-pędu możemy napisać (8.48), napiszmy go w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego opisujące przestrzeń zwykłą (wtedy macierz transformacji jest (3.39)), wiedząc, że w układach szczególnej teorii względności i mechanice Newtona mamy (8.50), wtedy:

(8.52)

Zatem pisząc bez nadkreśleń wzór dla układów o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego o postaci podobnej do (3.38) opisujące przestrzeń zwykłą na podstawie (8.52) spełnione w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona, mamy:

(8.53)

Napiszmy jaka jest interpretacja wzoru (8.53), napiszmy całkę objętościową obu stron tego równania, zatem:

(8.54)

Wzór przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez tensor siły zewnętrznej i pędowi, która wpłynęła do tej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą przez tą powierzchnię, w jednostce interwału czasoprzestrzennego.

Równość (8.54) otrzymujemy po podziale objętości zamkniętej powierzchnią na nieskończenie wiele infinitezymalnych prostopadłościanów, wtedy otrzymamy to równanie dla nich i po złączeniu równań w nich w jedno równanie otrzymujemy tą równość.

Szczególna teoria względności[edytuj]

W szczególnej teorii względności prawa (8.53) (wersja różniczkowa) i (8.54) (wersja całkowa) przy definicji tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (8.24) przy klasie transformacji Lorentza są spełnione.

Mechanika Newtona[edytuj]

W mechanice Newtona prawa (8.48) (wersja różniczkowa) i (8.49) (wersja całkowa) są spełnione dla przy definicji tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (8.25) przy klasie transformacji Galileusza:

(8.55)
(8.56)

Prawa (8.53) (wersja różniczkowa) i (8.54) (wersja całkowa) dla w mechanice Newtona przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) opisujące przestrzeń zwykłą przy klasie transformacji Galileusza, które są funkcjami uogólnionymi, są dokładnie tożsamościowo spełnione (tzn. prawa i lewa strona są równe zero), czyli w prawach w (8.55) i (8.56) je tylko piszemy dla . Przepiszmy wzór (8.53) dla wiedząc, że dla prawa i lewa jego strona są tożsamościowo równe zero, w takim razie:

(8.57)

Lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu (wyprowadzenie z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu) kinematycznego[edytuj]

Tutaj wyprowadzimy lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Na podstawie (8.48) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (8.97) według globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości (3.23) i globalnie (lokalnie) stałego ciśnienia (3.113) stosując twierdzenie (Twier. 7.1) licząc po objętości nieskończenie małej , wtedy:




(8.58)

Otrzymaliśmy wzór w (8.58) na lokalne prawo zachowania energii-pędu (8.97) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Mechanika Newtona[edytuj]

Na podstawie (8.48) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (8.112) na podstawie globalnego (lokalnego) stałego tensora prędkości (3.24) i globalnego (lokalnego) stałego ciśnienia (3.113) stosując twierdzenie (Twier. 7.1) licząc po infinitezymalnej objętości zachodzi:

(8.59)

Otrzymaliśmy wzór w (8.59) na lokalne prawo zachowania masy-pędu (8.112) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Ciąg dalszy obliczeń[edytuj]

Policzmy wyrażenie w całce objętościowej, w której całkowanie przeprowadzamy na takiej dowolnej infinitezymalnej powierzchni i w niej zawartej objętości , w których przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wiedząc, że na niej współrzędne prędkości, ciśnienie i gęstość masy spoczynkowej nie zmieniają się w czasie i przestrzeni według kolejno (3.23), (3.113) i (3.117) stosując (Twier. 7.1), stąd obliczenia przeprowadzimy w dwóch przypadkach dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona:

Szczególna teoria względności[edytuj]

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (8.24), wtedy policzmy całkę objętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości energii-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:



(8.60)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (8.60), tylko, że zamiast jest :

(8.61)

Mechanika Newtona[edytuj]

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (8.25), wtedy policzmy całkę pbjętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości masy-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:


(8.62)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (8.60), tylko, że zamiast jest :

(8.63)

Dynamika dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Udowodnimy tutaj lokalne prawa ruchu cząstki płynu w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (8.60) biorąc ją we wzorze ostatnim w (8.46), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (7.58) z (7.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 7.1), co:

(8.64)

Wykorzystując tożsamość (8.61) i (3.114) wykorzystując je we wzorze (8.47), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (7.58) z (7.55), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 7.1), co:


(8.65)

Wzór na tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się formie:

(8.66)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (8.65) () i (8.64) () na podstawie definicji gęstości tensora siły (8.66) przedstawia się w formie:

(8.67)

Wzór tensorowy (8.67) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości tensora siły (7.54) i składowe gęstości tensora siły w równaniu (8.67), tzn.: składowe (8.66) są zgodne z (7.41), czyli równanie tensorowe (8.27) jest poprawne.

Mechanika Newtona[edytuj]

Wykorzystując tożsamość (8.62) biorąc ją we wzorze ostatnim w (8.46), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (7.62) z (7.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 7.1), co:

(8.68)

Wykorzystując tożsamość (8.63) i (3.113) wykorzystując je we wzorze (8.47), wtedy mając równoważność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich (7.62) z (7.63), gdzie tam zastosowano twierdzenie (Twier. 7.1), co:

(8.69)

Wzór na wielkość wskaźnikową siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym wielkości wskaźnikowej prędkości przedstawia się formie:

(8.70)

a lokalne równanie ruchu cząstki materii łącząc wzory (8.69) () i (8.68) () na podstawie definicji gęstości wielkości wskaźnikowej siły (8.70) przedstawia się w formie:

(8.71)

Wzór wskaźnikowy (8.71) to jest prawo dynamiki płynów, a on jest zgodny z definicją gęstości wielkości wskaźnikowej siły (7.62), tzn.: składowe jego (8.70) są zgodne z definicją wielkości wskaźnikowej siły, czyli równanie wskaźnikowe (8.28) jest poprawne.

Równanie ruchu dla układów punktowych i rozciągłych dla układów słabozakrzywionych[edytuj]

Przedstawimy tutaj równania ruchu w układach słabozakrzywionych wynikłe z równań dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Szczególna teoria względności[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Einsteina, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego[edytuj]

Równanie (8.67) z definicją gęstości tensora siły (8.66) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość tensora siły (7.54) przy definicji tensora siły (7.41) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: (3.53) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (2.222), która jest taka sama przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego. Zachodzi transformacja różniczki tensora siły z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego na podstawie (3.60) przy definicji macierzy transformacji (3.38) i transformacji tensora prędkości (3.41), bo to zachodzi pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi a układami w przybliżeniu płaskimi (słabozakrzywionymi), a nie dokładnie płaskimi, ale wzór (8.66) na gęstość tensora siły i wzór (8.67) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, bo to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (8.67) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:


(8.72)

Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według (2.216). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (8.72) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

(8.73)

Dla układów słabozakrzywionych w sposób przybliżony równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (8.30) jest równoważne z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (8.73) i lokalnym tensorowym prawem zachowania energii-pędu (8.99). Z (8.73) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (7.60) mając (7.59), co udowodniając ten wzór według (7.61) przedstawia się w formie (3.14), a więc z niego wynika wzór na tensor siły (7.33).

Wyprowadzenie dynamiki Einsteina z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolu implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (8.72) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensora siły (8.66) i tensora prędkości (7.3), wtedy mamy:


(8.74)

Równanie końcowe (8.74) jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest (3.38)) z definicji tensorowości tensora prędkości (7.3) według (3.47) i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:

(8.75)

Z definicji pochodnej tensorowej równość (8.75) możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:

(8.76)

Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela uważamy za równe zero z procedury (Proc. 3.1), zatem równość (8.76) możemy napisać w sposób dokładny w postaci:

(8.77)

Na podstawie (8.77) jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci (8.73). Równanie (8.77) jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (8.74) (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Mechanika Newtona[edytuj]

Zajmiemy się tutaj przypadkiem wyprowadzeniem dynamiki Newtona, gdy macierz transformacji jest prawie stała względem interwału czasoprzestrzennego w przypadku układów słabozakrzywionych, i z rachunku tensorowego z definicji różniczki zupełnej dla tensora absolutnego dla układów słabozakrzywionych.

Macierz transformacji prawie stała względem czasu absolutnego[edytuj]

Równanie (8.71) z definicją gęstości wskaźnikowej siły (8.70) zgadza się ze wzorem na równanie ruchu na gęstość wskaźnikową siły (7.62) przy definicji wskaźnikowej siły (7.42) (który możemy przekształcić na gęstość tensora siły), ale także zachodzi też w przybliżeniu tożsamość , tzn.: (3.53) z definicji układu słabozakrzywionego przy definicji różniczki interwału czasu absolutnego. Zachodzi przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych z definicji wielkości wskaźnikowej siły (7.62) wzór na podstawie (3.60) przy definicji macierzy transformacji (3.38) i transformacji tensora prędkości (3.41), bo układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie (słabozakrzywione), a nie dokładnie płaskie, ale wzór (8.70) na gęstość tensora siły i wzór (8.71) na równanie ruchu dla układów rozciągłych są również słuszne w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych, bo to są układy prawie płaskie. Weźmy wzór (8.71) pisząc go w przedstawieniu najpierw dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości doprowadzając go do układów słabozakrzywionych i dowiemy się, że dla tych układów jest prawem tylko przybliżonym z definicji tych układów:


(8.78)

Macierz transformacji może być funkcją uogólnioną według (2.216). Równanie ruchu dla układów słabozakrzywionych na podstawie obliczeń (8.78) pisząc bez nadkreśleń nad wielkościami wskaźnikowymi, będące nawet w przybliżeniu tensorami, jest w postaci:

(8.79)

Dla układów słabozakrzywionych w sposób przybliżony równanie tensorowe lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu (8.35) jest równoważne z końcowym tensorowym równaniem ruchu dla układów rozciągłych w przedstawieniu (8.79) i lokalnym tensorowym prawem zachowania masy-pędu (8.114). Z (8.79) wynika równanie ruchu dla układów punktowych na podstawie (7.66) mając (7.65), co udowodniamy ten wzór w punkcie (7.67) przedstawia się jako prawo w (MT-1.32).

Wyprowadzenie dynamiki Newtona z rachunku tensorowego z definicji tensora absolutnego[edytuj]

Weźmy równanie po pierwszym symbolem implikacji i przed drugim symbolem implikacji w (8.78) oraz napiszmy je ogólnie dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wiedząc, że prawa i lewa strona w tym układzie to są tensorami z definicji tensorowości wielkości wskaźnikowej siły (8.66) i tensora prędkości (7.3), wtedy mamy:

(8.80)

Równanie końcowe (8.80) jest spełnione w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, ale można je uogólnić na układy słabozakrzywione (wtedy macierz transformacji jest (3.38)) z definicji tensorowości tensora prędkości (7.3) według (3.47) i tensorowości pochodnej tensorowej, wtedy z definicji macierzy transformacji:

(8.81)

Z definicji pochodnej tensorowej równość (8.81) możemy rozpisać pisząc bez nadkreśleń w postaci:

(8.82)

Ale w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne napisanych nie we współrzędnych uogólnionych symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. 3.1), zatem równość (8.82) możemy napisać w sposób dokładny w postaci:

(8.83)

Na podstawie (8.83) jest spełniona równość w układach słabozakrzywionych uważanych za układy płaskie ogólnie nieprostokątne w postaci (8.79). Równanie (8.83) jest wzorem na ruch w układach słabozakrzywionych, ale w układach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, ale można go napisać dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowe (uogólnionych), ale zanurzonym w układzie słabozakrzywionym uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy w tym układzie równanie na różniczkę tensora siły piszemy w postaci równania (8.80) (wywód do tego równania od układu słabozakrzywionego uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu uważanego za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) zanurzonym w nim jest podobny jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego.

Lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla pewnych ważnych układów w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych, a także słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych według procedury (Proc. 3.1).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(8.84)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(8.85)

Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ0:

(8.86)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (8.87) do (8.85) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(8.87)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (8.86) do (8.85) dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

(8.88)

Ale elementy tensora według (8.87) (elementy czasowe) i (8.88) (elementy przestrzenne), czyli mamy wzór na definicję tensora prądu (8.86), które doprawdzają z (8.86) do (8.85), w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (8.86) (wzór na gęstość prądu o współrzędnych j), (3.114) (pochodnej czasowej ciśnienia) i (8.66) (wzór na gęstość tensora siły):


(8.89)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(8.90)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(8.91)

Z definiujmy jako tensor prądu jako:

(8.92)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (8.92) do (8.91) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(8.93)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (8.92) do (8.91) dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego):

(8.94)

Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie (8.90) i (8.91) wynikające z (8.92) (w tym według dowodu (8.93) i