Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Wstęp do szczególnej teorii względności

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Szczególna teoria względności[edytuj]

Szczególna teoria względności jest współczesną teorią fizyczną. Teoria ta wraz z mechaniką kwantową stanowią podstawę współczesnej fizyki i techniki. Jest ona formułowana dla układów inercjalnych, dalej transformacje w szczególnej teorii względności dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła przechodzą w transformację Galileusza też dla układów inercjalnych, a dynamika Einsteina przy tych warunkach w dynamikę Newtona. Szczególna teoria względności jest teorią sformułowaną do wyjaśnienia zjawisk co nawyżej w przybliżeniu dla układów słabozakrzywionych.

Postulaty szczególnej teorii względności

Postulat pierwszy - jest uogólnieniem zasady względności Galileusza na dowolne procesy fizyczne, postulat ten zwany jest zasadą względności lub relatywistyczną zasadą względności Einsteina. Brzmi on: prawa fizyki są spełnione we wszystkich inercjalnych układach wspórzędnych, tzn. w takich układach, które poruszają się ze stałą prędkością względem innych układów inercjalnych.

Postulat drugi - we wszystkich układach współrzędnych prędkość światła jest jednakowa.

Kinematyka[edytuj]

Tutaj przedstawimy teorię nie wnikając w przyczyny ruchu danego ciała w szczególnej teorii względności.

Kinematyka w szczególnej teorii względności, a jednorodność czasu i przestrzeni[edytuj]

Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:

(1.1)

gdzie:

  • położenie ciała w starym układzie współrzędnych: , a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci: jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
  • jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z defiicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona:

(1.2)

Załóżmy, że macierz występująca w (1.2) jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego ) i inercjalne (). Ciało, która ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni , po przesunięciu tego układu o wektor , wtedy to ciało ma położenie , co tą transformację możemy pisać:

(1.3)
  • gdzie jest pewną stałą wektorową, a wektor jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych (1.3) (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać (1.3) bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru (1.2) dla pamiętając, że zachodzi i , stąd:

(1.4)

W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie (1.2) nie zależy od tego o jaki wektor przesuniemy stary i wektor nowy układ współrzędnych, postać transformacji (1.1) dla transformujące się do i transformujące się do jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego jest stałą w (1.2), dlatego że zachodzi (1.4) (końcowy wzór)), zatem ostatni wzór w (1.4) opisuje to samo, co wzór (1.2), pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: , wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:

Na podstawie wzoru (1.6), (1.7), (1.8) i (1.9) transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:

(1.10)
  • gdzie .

Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór (1.10) możemy napisać:

(1.11)

Jeśli we wzorze (1.11) wyznaczymy wielkość i podstawimy go do wzoru (1.10), wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych względem starego układu współrzędnych, wtedy:

(1.12)

Wzór (1.12) jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy .

Przypomnienie o operatorach rzutowych[edytuj]

Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego :

(1.13)

Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora mamy z definicji :

(1.14)

Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do , czyli , którą liczymy na podstawie wniosku (1.14):

(1.15)

Policzmy kwadrat operatora rzutowego (1.15) i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi , co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry:

(1.16)

Z warunku na wektor (1.13) i na wektor (1.15), wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą względem wyróżnionego kierunku :

(1.17)

Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego (1.17) i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy:

(1.18)

Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi (1.17):

(1.19)

Z wiadomych względów według wzoru (1.17) zachodzi:

(1.20)

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego (1.15) obierając nowy parametr w sposób:

(1.21)

a wtedy powiemy z definicji operatora poprzez i macierz iloczynu skalarnego, tzn. (1.21):

(1.22)

Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego (1.17):

(1.23)

Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując (1.21):

(1.24)

Można udowodnić dla operatorów rzutowych jakie zachodzą tożsamości:

(1.25)

a także zachodzi tożsamość na podstawie (1.23):

(1.26)

dalej udowodnijmy jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych:

(1.27)

wykorzystując wnioski z (1.27) i (1.20):


(1.28)

a także:

(1.29)

Podobne wnioski jak dla (1.25), (1.26), (1.27), (1.28) i (1.29) zachodzą gdy zastąpimy przez i przez , a także zastępując przez . Co kończy wykład na temat operatorów rzutowych.

Przypomnienie transformacji Galileusza, izotropowość przestrzeni, czasoprzestrzeń dla prędkości V<<c[edytuj]

Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą:

(1.30)

Własność (1.30), tzn. transformację z na jest również spełniona w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. A jeżeli to z oczywistych powodów i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza:

Transformacje prosteTransformacje odwrotne
(1.31)
(1.32)
(1.33)
(1.34)

Wzory (1.31), (1.32), (1.33) i (1.34) są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze i (gdzie ) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje (1.31), (1.32), (1.33) i (1.34) mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: . Przyjmujemy, że zachodzi wzór na w zależności od i , które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do , czyli:

(1.35)

We wzorze (1.35) przyjmujemy warunki na macierze i , czyli zachodzą . Związki (1.35) przyjmujemy również w szczególnej teorii względności. Przejrzyjmy się właściwości macierzy , i , którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem:

(1.36)

Do (1.33) podstawmy (1.31) i (1.36), co na podstawie tego:

(1.37)

Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.:

(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)

stąd zachodzą tożsamości na iloczynach i :


(1.42)

Weźmy wzór (1.39) i do niego podstawmy (1.38) i (1.36), zatem:


(1.43)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (1.37). Weźmy wzór (1.41) i podstawmy do niego wzór (1.40), wtedy:


(1.44)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (1.37). Własności macierzy , i pokazane w punkcie (1.37), (1.42), (1.43) i (1.44) są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. Ale:


(1.45)

Związek (1.45) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek:

(1.46)

Gdzie jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza:

(1.47)

Wzór (1.47)(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a (1.46) będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako:

(1.48)

Wzór (1.48) jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z (1.37). Niech mamy (1.46) i (1.47) i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego (1.30), zatem przystępujemy do obliczeń:

(1.49)

Po wyznaczeniu macierzy ze wzoru (1.49) dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli (1.30), zatem wzory (1.46) i (1.47) są poprawne bo otrzymujemy z nich (1.30). Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną:

(1.50)

Na podstawie (1.36) i (1.30) oraz dla operatorów rzutowych prostopadłych według (1.15) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

(1.51)

Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie (1.17) możemy otrzymać transformacje, które piszemy:

(1.52)

Na podstawie (1.31) możemy napisać transformacje, gdy zachodzi i , co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia:

(1.53)
(1.54)
(1.55)
(1.56)

A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza . Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy mamy

(1.57)
(1.58)
(1.59)
(1.60)

Policzmy wyrażenie (1.57) podstawiając do niego wyrażenie (1.58) na transformację położenia względem układu , która jest transformacją do układu , i wykorzystując (1.60) transformacje prędkości względem układu , która jest transformacją do układu , co w końcu otrzymujemy wzór (1.59), co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc wtedy:


(1.61)

Co końcowy wzór (1.61) zgadza się ze wzorem (1.59), te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla i , czyli wtedy , co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo.

Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni[edytuj]

Wiemy jednak, że przy transformacji współrzędnych przestrzennych wektora ze starego układu odniesienia na nowy układ odniesienia zachodzi (1.12), w nim proponujemy macierz transformacji , w którą piszemy względem wyróżnionego kierunku , przyjmując, że zachodzi (1.35):

(1.62)

Widzimy, że macierz zależy od macierzy , a wzór (1.12) (ten pierwszy wzór) zależy od , a także zależy od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, a zatem postać transformacji z jednego układu współrzędnych do drugiego jest niezależna od ustawień osi starego i nowego układu współrzędnych, a więc one spełniają zasadę izotropowości przestrzeni. Widzimy, że aby szczególna teoria względności zgadzała się w zakresie stosowalności z transformacjami Galileusza (jak można zauważyć po postaci jaką później wyliczymy), to musi zachodzić fizycznie dla prędkości nowego układu odniesienia :

(1.63)

oraz , i . Ale w szczególnej teorii względności jest ta sama macierz co w transformacjach Galileusza. Gdzie i są macierzami transformacji Galileusza występującymi w (1.35). Policzmy wiedząc, że zachodzi (1.30):



(1.64)

Parametr γ jest to parametr zależny od prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. A i są kolejno operatorami rzutowania równoległym i prostopadłym do prędkości nowego układu współrzędnych .

Tożsamość na część macierzy transformacji M na Mx0[edytuj]

Wyprowadźmy wzór na wielkość Mx0 zakładając stałość macierzy , wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana , i dalej zróżniczkujmy wzór (1.10) względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz:

(1.65)

Z końcowych rozważań (1.65) możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy:

dla
(1.66)

Dowolne układy odniesienia w tym w szczególności inercjalne[edytuj]

Będziemy tutaj udowadniać, czy dowolne układy odniesienia (w szczególności inercjalne) istnieją choćby matematycznie, nad ich postacią transformacyjną z jednego układu odniesienia do drugiego.

Istnienie układów inercjalnych[edytuj]

Przyjmijmy, że jest stałe, co wykażemy, że on determinuje jej inercjalność. Jeśli we wzorze (1.11) przyjmiemy, że:

(1.67)

wtedy dostaniemy wniosek na ruch ciała odniesienia w starym układzie odniesienia:

(1.68)

Zatem nowy układ odniesienia porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia[edytuj]

Transformacje (1.1) rozszerzamy do układów nieinercjalnych, wtedy jest spełnione twierdzenie (1.2), którego przecałkujmy obie strony względem wielkości wektorów pionowych położenia w starym i nowym układzie odniesienia otrzymując:

(1.69)

Przyjmijmy, że macierz transformacji wektora na wektor przedstawia się formie:

(1.70)

A we wzorze (1.69) wektor leży na drodze pomiędzy i poruszania się ciała. Wzór (1.69) na podstawie (1.70) możemy przepisać w podobnej postaci do (1.12):

(1.71)

zatem są spełnione transformacje (1.5), (1.6), (1.7), (1.8),..., (1.9), a tam wielkości (z ) i (z ) można włożyć do stałej macierzowej jednowskaźnikowej pionowej, a tam elementy są elementami macierzy , czyli chcemy ułożyć transformację (1.10) (drugi wzór) lub (1.12) (też drugi wzór), ale tam wtedy macierz jest macierzą transformacji ogólnie niestałą.

Istnienie dowolnych w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona nowych układów odniesienia poruszających się dowolnie względem starego dowolnego układu odniesienia[edytuj]

Będzymy tutaj udowodniali, że ciała w starym układzied odniesienia mogą się porusząć z dowolnie zmieniającą się prędkością, a w nowym układzie odniesienia jako ciała odniesienia poruszają się tak, że dowolne pochodne n-te wielkości wskaźnikowej położenia są równe zero.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie[edytuj]

W nieskończenie małym przedziale ciało odniesienia porusza się z prędkością średnią , na podstawie wiadomości z kinematyki, czyli spełniony jest wzór przedostatni (1.68) dla tego przedziału. A zero tam z lewej w (1.68) w tym przedziale to jest położenie ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia. Weźmy wzór (1.68) i napiszmy je dla przedziału czasu , a drugie równania dla przedziału czasu , wtedy napiszmy te równania:

  • Dla przedziału czasu :
(1.72)
  • A także mamy drugie równanie dla przedziału czasu :
(1.73)

Równość (1.72) odejmujemy od równości (1.73), wtedy i w końcowym etapie zakładając, że oba te przedziały dążą do zera i mają taką samą długość, tzn. , więc:




(1.74)

Na podstawie (1.74) mamy:


(1.75)

Wzór (1.75) jest prawdziwy na podstawie definicji ruchu z kinematyki. Zero z lewej w (1.75) jest pochodną położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Udowodniliśmy we wzorze (1.74), że prędkość ciała odniesienia w nowym układzie współrzędnym jest równa zero. Policzmy dowolną pochodną położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia, zatem:

(1.76)

Zero z lewej strony w (1.76) to jest n-ta pochodna położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Wzór (1.76) możemy udowodnić na podstawie indukcji zupełnej i go udowadnia się w drugim kroku jak wzór (1.75). Dla n=0 wzór (1.76) zgadza się ze wzorem (1.68) (pierwsza linijka). Załóżmy, że wzór (1.76) jest spełniony dla przypadku n, wtedy różniczkując obie strony tego równania względem czasu tak jak się robi otrzymując wzór (1.75) (pierwszy wiersz):

(1.77)

W pierwszym równaniu w (1.77) weźmy podstawienie: , wtedy:







(1.78)

Na podstawie (1.68) (z definicji istnienia układów poruszających się ze stałą prędkością nawet w infinitezymalnym przedziale, nie tylko w skończonym (wtedy układy inercjalne)), jeśli z (1.76) (tożsamość dla ) wynika (1.78) (tożsamość dla ) to udowodniliśmy na podstawie zasady indukcji tożsamość (1.76) (dla dowolnych ). Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór (1.76) jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne) równe zero, czyli to ciało odniesienia w tym układzie odniesienia wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia porusza się dowolnie.

Układy słabozakrzywione[edytuj]

Weźmy udowodnioną równość (1.76) i pomnóżmy go obustronnie przez macierz transformacji, która transformuje z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, tzn. (1.133), co wstawmy do tego równania jedynkę w postaci , przy okazji będziemy wykorzystywali przybliżone równości dla układów słabozakrzywionych, tzn. (1.320) (mechanika Einsteina) i (1.322) (mechanika Newtona), co:


(1.79)

W (1.79) wykorzystujemy wynikający z transformacji macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (1.153), mamy:

(1.80)

Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór (1.80) jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia słabozakrzywionym ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne) równe zero, czyli to ciało odniesienia w tym układzie odniesienia wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia też słabozakrzywionego porusza się dowolnie.

Pierwsze podejścia nad transformacją prędkości[edytuj]

Tutaj będziemy udowodniali niektóre wnioski z transformacji prędkości z układu K do K'.

Wynikające wnioski z transformacji prędkości od układu odniesienia K do K' do obliczeń pierwszego i drugiego rozwiązania m00 z minusem i plusem, a jednakowość prędkości światła we wszystkich układach odniesienia[edytuj]

Prędkość w układzie K' względem układu K jest liczona jako pochodna zupełna wielkości (1.12) względem czasu w nowym układzie współrzędnych (1.5):

(1.81)
  • gdzie:
-jest to prędkość ciała względem układu K'.
-jest to prędkość ciała w układzie K.
Ale idąc dalej, jest to prędkość nowego układu współrzędnych względem starego.

Macierz iloczynu skalarnego w nowym i starym układzie odniesienia obowiązującego w przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą wyrażoną wzorem:

(1.82)

Natomiast długość pewnego wektora w nowym i starym układzie odniesienia w tej przestrzeni wyrażamy za pomocą iloczynu skalarnego, przedstawia się jako:

(1.83)

Jeśli wykorzystamy definicję iloczynu skalarnego (1.83) i samą transformację (1.81), wtedy wzór na wartość prędkości w nowym układu odniesienia piszemy:

(1.84)

W tożsamości (1.84) możemy pomnożyć obustronnie przez mianownik prawego ułamka w tym obiekcie przy założeniu, że i :

(1.85)

Weźmy w równości (1.85) zamienienie według schematu , tak powstały układ równań, którego równości dodajmy i odejmijmy od siebie, wtedy mamy w rezultacie dwa końcowe równania po dokonaniu tejże operacji. Te równania wyglądają:

(1.86)
(1.87)

Weźmy , czyli powiemy:

(1.88)

Mnożymy obie strony równania (1.88) przez prędkość ciała vj, i wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy możemy napisać:

(1.89)

Jeśli dla i-tej współrzędnej mamy vj=c, a dla pozostałych współrzędnych oczywiście jest vj=0, bo prędkość światła wynosi c wedle wzoru dla przestrzeni n-wymiarowej:

(1.90)

Zajmijmy się teraz równaniem (1.87) podstawiając do niego wyprowadzoną tożsamość (1.90) przy założeniu wtedy , w takim przypadku mamy równanie poniżej, w którym pomnożymy obustronnie przez wyrażenie m002:

(1.91)

W równości (1.91) przegrupujmy wyrazy względem m00, w taki sposób by otrzymać równanie kwadratowe:

(1.92)

Jeśli w (1.92) potraktować , wtedy wyróżnik trójmianu powyższego równania kwadratowego jest:

(1.93)

Zatem pierwiastki równania (1.92) są:

(1.94)

Wynikające wnioski z transformacji prędkości ze starego układu odniesienia do nowego do obliczeń prędkości starego układu współrzędnych względem nowego w szczególnej teorii względności[edytuj]

Równanie transformacyjne prędkości ciała względem starego układu współrzędnych na nowe współrzędne jest wyrażone wzorem (1.81), co po podstawieniu do niego tożsamości (1.90) otrzymujemy tożsamość:

(1.95)

Ze wzoru (1.95) możemy wyprowadzić prędkość starego układu współrzędnych względem nowego:

(1.96)

Policzmy wartość prędkości i prędkość przy założeniu pierwszego rozwiązania (1.94) (ze znakiem plus, czyli ) oraz przy wykorzystaniu definicji na , czyli (1.62), i na transformację macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego (1.30), a dla pierwszego (ze znakiem minus, czyli i drugiego rozwiązania (1.94) nie będziemy wykorzystywali, bo jak udowodnimy później jest to rozwiązanie bezsensowne, dlatego że nie otrzymujemy tego, co chcielibyśmy:


(1.97)

(1.98)

Stąd wzór na prędkość starego układu odniesienia względem nowego (1.97) w szczególnej teorii względności jest taki sam jak w transformacji Galileusza w mechanice Newtona (1.36). Stary układ odniesienia względem nowego porusza się w stronę przeciwną niż nowy układ odniesienia względem starego, co to widać po znaku minus we wzorze (1.97). Zatem prędkość starego układu odniesienia względem nowego i prędkość nowego układu współrzędnych względem starego są co do wartości sobie równe. Parametr zależy tylko od wartości prędkości nowego układu odniesienia względem starego w transformacji prostej i parametr zależy tylko od wartości prędkości starego układu odniesienia względem nowego w transformacji odwrotnej wzdłuż kolejno wyróżnionego kierunku i , co jest użyte ogólnie w (1.62), ale zachodzi (1.98), stąd:

(1.99)

Transformacie współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej dla pierwszego i drugiego rozwiązania m00 z minusem i plusem[edytuj]

Wiadomo, że równania transformacji są niezmiennicze, tzn. nie zmieniają swej postaci w zależności od układu współrzędnych. Poniżej wychodząc z tego faktu udowodnimy ile wynosi parametr γ, co wcześniej w prowadziliśmy tylko jako nieudowodnioną zależność. A teraz przejdźmy do transformacji składowej nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie odniesienia względem infinitezymalnej zmiany położenia starego układu współrzędnego, wykorzystując przy tym transformację współrzędnych przestrzennych ze starego układu odniesienia do nowego (1.12) oraz wykorzystując warunek (1.35), wiedząc że macierz transformacji nie zależy od czasu rzeczywistego t, zatem transformacja różniczki zmiany położenia przestrzennego na nowy układ współrzędnych przedstawiamy:

(1.100)

Można udowodnić podobnie związki w podobny bardzo sposób jak w (1.42) w sposób:


(1.101)

Drugą zależność w przedstawieniu (1.101) można udowodnić, że wielkości bez prima przyjmujemy z primem a z primem to przyjmujemy bez prima. A także możemy dojść do wniosku:


(1.102)

Drugą zależność w przedstawieniu (1.102) można udowodnić w taki sposób, że w wyniku otrzymujemy wielkości bez prima zamienione na z primem a z primem to zamienione zostanie na bez prima. Nieskończenie mała zmiana czasu w nowym układzie współrzędnych można wyrazić przy pomocy wzoru (1.5) przy definicji m00 napisanej według (1.94) jako pierwsze rozwiązanie na ten parametr, wtedy mamy:

(1.103)

We wzorze (1.103) dla prędkości bardzo małych w porównaniu z prędkością światła powinno być , co stąd według absolutności czasu według Newtona. Transformację odwrotna do (1.100) oraz do (1.103) jako bardzo małej zmiany wektora wodzącego opisujących ruch danego ciała fizycznego i transformacji bardzo małej zmiany czasu względem nowego układu odniesienia na stary układ odniesienia, wiedząc, że parametr przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, bo zachodzi (1.98), piszemy wedle:

(1.104)
(1.105)

Ze wzoru (1.97) wyprowadzimy prędkość starego układu odniesienia względem nowego układu współrzędnych:

(1.106)

wtedy będzie do transformacji odwrotnej (1.105) możemy podstawić wzory (1.100) i (1.103) i (1.106), mamy:


(1.107)

Otrzymana końcowa równość (1.107) (równość przedostatnia), jest tożsamością dla , jest spełniona dla dowolnie nieskończenie małego czasu, stąd możemy otrzymać związek na wiedząc, że jest rzeczywiste, a na podstawie (1.94) jest rzeczywiste:

(1.108)

Pierwsze rozwiązanie dla da się sprowadzić do postaci bardzo małych w porównaniu z prędkością światła by było w taki sposób by znak w (1.94) w