Szczególna teoria względności/Zakrzywioność układów współrzędnych (dowód niewynikający z symetrii)

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Zakrzywioność układów współrzędnych (dowód niewynikający z symetrii)

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj rozpatrywali czasoprzestrzeń według szczególnej teorii względności i przestrzeń galiluszowską według mechaniki Newtona dla układów globalnie (lokalnie ) płaskich i słabozakrzywionych, i powiemy, że te teorie są spełnione tylko w sposób przybliżony dla układów słabozakrzywionych, a dla pierwotnych układów, dla których one zostały przyszykowane, z nich wychodzi tylko tensory (wektory) prędkości globalnie (lokalnie) stałe, czyli powiemy, że układy są jednak zakrzywione, a nie płaskie, a w najniższym przypadku układy mogą być słabozakrzywione, bo układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a słabozakrzywione układy są za to fizyczne według warunków szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona. Zachodzą ((1.333) i ((1.334)) (szczególna teoria względności) oraz ((1.335), (1.336) i (1.336)) (mechanika Newtona) przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (układy niefizyczne, tylko matematyczne) do układów słabozakrzywionych (układy fizyczne) o funkcjach transformacji będące funkcjami uogólnionymi. W układach słabozakrzywionych można powiedzieć, że w nich tak naprawdę jest spełniona w sposób przybliżony szczególna teoria względności i mechanika Newtona lub gadając inaczej też tak może być, że nasze prawa fizyki dla układów płaskich są przybliżone, co dlatego tak zachodzi stałość tensora prędkości i funkcji w lagrangianie dla tych układów jak nam wyjdzie poniżej.

Szczególna teoria względności (mechanika relatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali szczególną teorię względności w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są jedynym argumentem, że układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające szczególną teorię względności[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (1.435) i rozciągłe ((1.447) w elektromagmnetostatyce lub (1.451)) w elektromagmetodynamice), a w nim ruch wynika z lagrangianu dla układów punktowych, za pomocą której piszemy lagrangian dla układów rozciągłych. Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym Minkowskiego (1.223) dla układów ogólnie nieprostokątnych.

Układy punktowe[edytuj]

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (1.435), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

(2.1)

Wstawmy jedynkę do równania (2.1) następującą: (3.11), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (2.1) i on przyjmuje równoważną formę:

(2.2)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (2.1) i (2.2), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, co:

(2.3)

Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (2.2) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (2.3), co:

(2.4)

Policzmy pochodną lagrangianu (2.2) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (2.3), wtedy:

(2.5)

Zbierzmy nasze wyniki badań (2.5) i (2.4) do równości (2.3) (te obliczenia są dla lagrangianu (2.2), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (2.3)), wtedy:

(2.6)

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (2.1) i (2.2) są fizyczne, co udowodnimy później:
Dla Lagrangianu (2.1) równanie Eulera-Lagrange'a (2.3), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (2.6) wynikająca z (2.2), jest w postaci:

(2.7)

Wykorzystując równość (2.7) do (2.6) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:


(2.8)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (2.8) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (2.8), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

(2.9)

Co (2.9) zgadza się z wnioskiem (1.211), czyli langrangiany (2.1) i (2.2) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale , prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.


Dowód, że lagrangiany, tzn.: (2.1) i (2.2) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (2.6), wtedy po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim , wtedy:


(2.10)

Przenosząc wyraz pierwszy w (2.10) na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez , wtedy:


(2.11)

A więc po lewej stronie mamy zmienne względem drugiej pochodnej tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest dowolnej wartości, ale prawa względem prędkości, pochodnej zupełnej i cząstkowe wartości prędkości, i innych wielkości, a one są dowolnej wartości, stąd obie strony w (2.11) są równe stałej , a ta stała dla układów, w którym globalnie (lokalnie) zachodzi , jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą (2.9) i (2.7), stąd jeśli lagrangian (2.1) jest niefizyczny to również równoważnie lagrangian (2.2) jest też niefizyczny dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Układy rozciągłe[edytuj]

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (1.85) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wzór na skrócenie długości (5.7), wykorzystając, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością , wtedy:


(2.12)
  • gdzie:
- jest to wymiar przestrzeni zwykłej.
- to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego , czyli (1.223).
(1) - pole elektromagnetostatyczne, a (2) - pole elektromagnetodynamiczne.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału czasoprzestrzennego (3.11), wtedy równość (2.12) po rozpisaniu jedynki:

(2.13)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (2.12), co:

(2.14)

Policzmy najpierw drugi wyraz w (2.14) wykorzystując (2.13), zatem:

(2.15)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (2.14) wykorzystując (2.13):



(2.16)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (2.15) i (2.16), co podstawmy je do równania (2.14):


(2.17)

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (2.12) i (2.13) są niefizyczne, tylko matematyczne, co udowodnimy później:
Wykorzystajmy wzór (2.12) i podstawmy go do wzoru (2.14) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(2.18)

Wykorzystajmy równość (2.18) do równości otrzymanej (2.17), co:

(2.19)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

(2.20)

Wniosek (2.20) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: , i z wniosków w niej mamy: , ale też wiadomo też tam (z (1.491) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (2.20) z niezmienniczości interwału czasoprzestrzennego i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (2.20):

(2.21)

Na podstawie (2.20) i (2.19), mamy:

(2.22)

Co (2.22) zgadza się z wnioskiem (1.211), czyli gęstości langrangianów (2.12) i (2.13) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (2.22) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego . Wnioski (2.20) i (2.21) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (2.22), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi i nie zachodzi (2.21), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.


Dowód, że lagrangiany, tzn.: (2.12) i (2.13) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (2.17), co po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim, wtedy:

(2.23)

Przekształacając dalej, co:

(2.24)

W (2.24) przenosimy wyraz z lewej na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez , w takim razie:

(2.25)

Lewa strona zależy od drugiej pochodnej tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest dowolnej wartości, a prawa od pochodnej zupełnej gęstości spoczynkowej względem interwału czasoprzestrzennego, gęstości spoczynkowej i pochodnych zupełnych i cząstkowych innych wielkości fizycznych, a one są dowolnej wartości, zatem obie strony są równe stałej , obierzmy taki układ, w którym , gęstość lagrangianu (2.12) jest niefizyczna, ale matematyczna, to również równoważnie gęstość lagrangianu (2.13) jest niefizyczna, ale matematyczna, dla układów płaskich (lokalnie płaskich) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym tensorze prędkości), a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione[edytuj]

Ale zachodzi na podstawie (2.9) (układy punktowe) i (2.22) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (1.211) (ogólny wniosek):

(2.26)

Jeśli zachodzi (2.26), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni spełniającego (2.9) (układy punktowe) i (2.22) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla dowolnego, bo według (1.211) (ogólny wniosek), (2.9) (układy punktowe) i (2.22) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

(2.27)

Co się zgadza z wnioskiem (1.307) o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Co stąd zachodzi też (2.22) na podstawie (1.307) i (2.26), a także (2.27), co na tej podstawie mamy, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że czasoprzestrzeń jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od interwału czasoprzestrzennego, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale interwału czasoprzestrzennego też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach zakrzywionych, wtedy tam panuje ogólna teoria względności, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (2.27) (lub (1.307)) przecinek średnikiem i zamieniając (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy otrzymujemy wzór w notacji einsteinowskiej (1.309) dla , gdzie to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzesztrzeni, czyli:

(2.28)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (1.323), co wtedy spełniona jest cała dynamika Einsteina według (2.28). Stąd dynamika Einsteina (szczególna teoria względności) jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (1.333)) dla prędkości , a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli szczególna teoria względności jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji (1.218), wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją fizycznie układy lokalnie płaskie w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski ze szczególnej teorii względności.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona szczególna teoria względności i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (1.333) i (1.334).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną[edytuj]

Wykorzystując (2.27) i tensorowość prędkości (1.327), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

(2.29)

Stąd szczególna teoria względności jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (1.300) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

(2.30)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

(2.31)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona szczególna teoria względności) pochodne cząstkowe tensora prędkości (2.30) i tensora metrycznego (2.31) względem tensora położenia w czasoprzestrzeni są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną[edytuj]

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną to (2.29), (2.30) i (2.31) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w szczególnej teorii względności z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Mechanika Newtona (nierelatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali mechanikę Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są jedynym argumentem, że układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich[edytuj]

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w mechanice Newtona.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające mechanikę Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (1.439) i rozciągłe (1.454), a w nim ruch wynika z lagrangianu dla układów punktowych za pomocą, której piszemy lagrangian dla układów rozciągłych. Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym dla układów ogólnie nieprostokątnych.

Układy punktowe[edytuj]

Weźmy ciało punktowe dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (1.439), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

(2.32)

Wstawmy jedynkę do równania (2.32) w postaci definicji różniczki długości:

(2.33)

wtedy lagrangian jest równy matematycznie (2.32) i on przyjmuje równoważną formę:

(2.34)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (2.32) i (2.34), dla obu lagrangianów równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, co:

(2.35)

Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (2.34) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (2.35), co:

(2.36)

Policzmy pochodną lagrangianu (2.34) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (2.35), wtedy:

(2.37)

Zbierzmy nasze wyniki badać (2.37) i (2.36) do równości (2.35) (te obliczenia są dla lagrangianu (2.34), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (2.35)), wtedy:

(2.38)

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (2.32) i (2.34) są niefizyczne, ale matematyczne, co udowodnimy później:
Dla Lagrangianu (2.32) równanie Eulera-Lagrange'a (2.35), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (2.38) wynikająca z (2.34), jest w postaci:

(2.39)

Wykorzystując równość (2.39) do (2.38) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

(2.40)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (2.40) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (2.40), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

(2.41)

Co (2.41) zgadza się z wnioskiem (1.211), czyli langrangiany (2.32) i (2.34) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale prędkość jest lokalnie stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.


Dowód, że lagrangiany, tzn.: (2.32) i (2.34) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (2.38), wtedy po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim , wtedy:

(2.42)

Przenosząc wyraz pierwszy w (2.42) na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez , wtedy:

(2.43)

A więc po lewej stronie mamy zmienne względem drugiej pochodnej elementów wektora położenia względem interwału wielkości długości toru, która jest dowolnej wartości, a prawa względem prędkości, elementów wektora prędkości, pochodnej zupełnej i cząstkowe wartości prędkości, i innych wielkości, które są dowolnej wartości, stąd obie strony w (2.43) są równe stałej , a ta stała dla układów, w którym lokalnie zachodzi , jest równa zero, co na tej podstawie zachodzi (2.41) i (2.39), stąd jeśli lagrangian (2.32) jest niefizyczny to również równoważnie lagrangian (2.34) jest niefizyczny dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Układy rozciągłe[edytuj]

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (1.85) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wykorzystując, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością , wtedy:


(2.44)
  • gdzie:
- jest to wymiar przestrzeni zwykłej,
- to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego .

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji różniczki długości (2.33), wtedy równość (2.44) po rozpisaniu jedynki:

(2.45)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (2.44), co:

(2.46)

Policzmy najpierw drugi wyraz w (2.46) wykorzystując (2.45), zatem:

(2.47)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (2.46) wykorzystując (2.45):

(2.48)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (2.47) i (2.48), co podstawmy je do równania (2.46):


(2.49)

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (2.44) i (2.45) są niefizyczne, co udowodnimy później:
Wykorzystajmy wzór (2.44) i podstawmy go do wzoru (2.46) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(2.50)

Wykorzystajmy równość (2.50) do równości otrzymanej (2.49), co:

(2.51)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

(2.52)

Wniosek (2.52) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: , i z wniosków w niej mamy: , ale też wiadomo też tam (z (1.491) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (2.52) z niezmienniczości czasu i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (2.52):

(2.53)

Na podstawie (2.52) i (2.51), mamy:

(2.54)

Co (2.22) zgadza się z wnioskiem (1.211), czyli gęstości langrangianów (2.44) i (2.45) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Wniosek (2.22) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach płaskich jest o wartości takiej samej dla dowolnego czasu . Wnioski (2.52) i (2.53) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały wektor prędkości choćby lokalnie, więc dla (2.54), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi i nie zachodzi (2.53), bo nie da się przejść z układu słabozakrzywionego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.


Dowód, że lagrangiany, tzn.: (2.44) i (2.45) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (2.17), co po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim, wtedy:

(2.55)

W (2.55) przenosimy wyraz z lewej na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez , w takim razie:

(2.56)

Lewa strona zależy od drugiej pochodnej elementów wektora położenia względem długości toru, która jest dowolnej wartości, a prawa od pochodnej gęstości spoczynkowej względem interwału czasoprzestrzennego, gęstości spoczynkowej i pochodnych zupełnych i cząstkowych innych wielkości fizycznych, które są dowolnej wartości, zatem obie strony są równe stałej , obierzmy taki układ, w którym , a więc ta stała jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą (2.52), (2.22) i (2.18), stąd jeśli gęstość lagrangianu (2.12) jest niefizyczna, ale matematyczna, to również równoważnie gęstość lagrangianu (2.13) jest niefizyczna, ale matematyczna, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie)stałym wektorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione[edytuj]

Ale zachodzi na podstawie (2.41) (układy punktowe) i (2.54) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (1.211) (ogólny wniosek):

(2.57)

Jeśli zachodzi (2.26), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w przestrzeni Galileusza spełniającego (2.41) (układy punktowe) i (2.54) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla dowolnego, bo według (1.211) (ogólny wniosek), (2.41) (układy punktowe) i (2.54) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

(2.58)

Co się zgadza z wnioskiem (1.308) o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości. Co stąd zachodzi też (2.41) na podstawie (1.308) i (2.57), a także (2.58), co na tej podstawie mamy, że przestrzeń Galileusza jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że przestrzeń Galileusza jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy też szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od czasu, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale czasu też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach zakrzywionych, wtedy tam panuje ogólna teoria względności, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (2.58) (lub (1.308)) przecinek średnikiem i zamieniając (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy:

(2.59)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (1.324), co wtedy spełniona jest cała dynamika Newtona według (2.59). Stąd dynamika Newtona jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (1.335)) dla małych prędkości, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli mechanika Newtona jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji (1.216) wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe[edytuj]

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski z mechaniki Newtona.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona mechaniki Newtona i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (1.335), (1.336) i (1.337).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną[edytuj]

Wykorzystując (2.27) i tensorowość prędkości (1.327), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

(2.60)

Stąd mechanika Newtona jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (1.301) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

(2.61)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

(2.62)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona mechanika Newtona) pochodne cząstkowe tensora prędkości (2.30) i tensora metrycznego (2.31) względem tensora położenia w przestrzeni Galileusza są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem płaskich (lokalnie płaskim) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym wektorze prędkości) jest funkcją uogólnioną[edytuj]

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną to (2.60), (2.61) i (2.62) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w mechanice Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Dalsze rozważania dotyczące lagrangianu (gęstości lagrangianu) układów punktowych i rozciągłych dla mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości[edytuj]

Ogólny lagrangian szczególnej teorii względności dla układów punktowych[edytuj]

W lagrangianie (2.1) (szczególna teoria względności) dla układów punktowych rozpiszmy według:

(2.63)

Wtedy równość na ten lagrangian ogólnie według rozpisu (2.63) przedstawia się w formie:

(2.64)
  • to jest człon kinematyczny lagrangianu szczególnej teorii względności.

Wstawmy jedynkę do sumy w (2.64) do pierwszego składnika sumy (2.63) przedstawianą według równania (3.11), wtedy ten lagrangian przyjmuje równoważną inną formę:

(2.65)

Ale funkcja jest równa z symetrii stałej, bo zachodzi (1.211), podobnie zachodzi z funkcją , a także z , stąd składniki w (2.63) i cała jego suma są równe stałym.


Gdy oba lagrangiany, tzn.: (2.64) i (2.65) są niefizyczne, ale matematycznie, co udowodnimy później:
Wtedy równanie Eurela-Lagrange'a (2.3) przedstawia się w formie po wykorzystaniu (2.65) i (2.64), wtedy:

(2.66)

Równanie Eurela-Lagrange'a dla (2.64) przyjmuje postać (2.3), wtedy równość (2.66) przedstawia się w formie po rachunku całkowym:

(2.67)

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (2.64) i (2.65) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Zróbmy operacje różniczkowania w równaniu różniczkowym (2.66), co:

(2.68)

Ale w szczególnej teori względności dla układów punktowych mamy (2.9), co na tej podstawie równość po przekształceniu i przenoszeniu wyrazów przyjmuje postać:

(2.69)

Ale prawa i lewe strona zależą od różnych wyrazów, i one są o dowolnej wartości, a więc te strony są równe stałej, ale obierzmy taki układ, w którym , stąd ta stała jest równa zero, stąd równość (2.3) jest spełniona, stąd jeśli lagrangian (2.64) jest niefizyczny, ale matematyczny, to również lagrangian lagrangian (2.65) jest niefizyczny, ale matematyczny, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości.


Ciąd dalszy rozważań:
Gdy wstawimy jedynkę przy , a nie do , wtedy rozważania jak do (2.65) są podobne:

(2.70)

A gdy wstawimy jedynkę tylko przy , wtedy rozważania jak do (2.65) są podobne, co:

(2.71)

Stąd składniki w (2.63) i cała jego suma są równe stałym.

Lagrangian (2.64) dla układów punktowych jest fizyczny w układach słabozakrzywionych.

Ogólna gęstość lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych[edytuj]

Rozważania dla gęstości lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (2.63).

Ogólny lagrangian mechaniki Newtona dla układów punktowych[edytuj]

Rozważania dla lagrangianu mechaniki Newtona dla układów punktowych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (2.63).

Ogólna gęstość lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych[edytuj]

Rozważania dla gęstości lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (2.63).

Paradoks niespełnienia mechaniki Newtona oraz szczególnej teorii względności, a istnienie układów zakrzywionych[edytuj]

Pisząc różniczkę wyznacznika tensora metrycznego podwójnie kowariantnego , zdefiniowanego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, o wartości niezależnym od czasu, w układzie globalnie (lokalnie) o globalnie (lokalnie) zerowej prędkości względem współrzędnych w tym samym układzie, to wtedy dojdziemy dla cząstki do:

(2.72)

Wniosek (2.72) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale jest inną stałą w dowolnych różnych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest ono takie same. Co zachodzi też dla układów ogólnie nieprostokątnych nie tylko dla układów globalnie (lokalnie) o zerowej prędkości. Ale transformacja macierzy tensora metrycznego z układu jednego do innego jest:

(2.73)

Weźmy i oraz niech będzie tożsame z , wtedy mamy zmiennych w i zmiennych w (gdzie to wymiar czasoprzestrzeni lub wymiar przestrzeni w teorii Galileusza), a również jest: niezależnych równań, zatem stopni swobody jest , czyli da się znaleźć takie . Jeszcze niech układ, w którym panuje będzie globalnie (lokalnie) o zerowej prędkości, wtedy mamy mniej stopni swobody, bo , stąd całkowita liczba stopni swobody jest , czyli nadal da się znaleźć taki układ z tensorem metrycznym , a jeżeli przyjmiemy lokalnie , co wtedy nasz układ równań ma stopni swobody, czyli również da się znaleźć takie . Stąd

(2.74)

Wniosek (2.74) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , a więc też , są innymi stałymi w dowolnych różnych tych przedziałach w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale są one takie same. W układach ogólnie krzywoliniowych możemy napisać wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego (na podstawie (2.74)) pisząc względem współrzędnych w dowolnym układzie niezależnie jakim, mamy dla cząstki w ruchu:

(2.75)

W danym punkcie może być ciało o dowolnej prędkości, ale równość (2.75) jest spełniona dla wyznacznika tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dowolnego układu ogólnie krzywoliniowego zależnego od czasu, stąd jedynym możliwym układem jest układ ogólnie nieprostokątny, a przecież to nie prawda, zatem dla cząstki w ruchu:

(2.76)

Stąd cząstki nie zmieniają położenia w czasie i przestrzeni, czyli również czas w tym przypadku nie płynie, stąd układ współrzędnych jest globalnie (lokalnie) płaski dla tego przypadku. W dowolnym innym układzie współrzędnym globalnie (lokalnie) płaskim mając (2.76) też to samo zachodzi z definicji transformacji tensora z jednego układu na drugi. Ale może być tak, że nie da się znaleźć takiego , bo układ równań może być sprzeczny mimo istnienia stopni swobody do jego liczenia. Co dowodzi jako pierwszy argument prawdziwość szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, ale też mechaniki Newtona, ale gdyby naprawdę czas nie płynął i wszystkie zmiany ruchu czasoprzestrzeni były zerowe według (2.76) (bo w tych układach funkcje transformacji nie są funkcjami uogólnionymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich), ale w nich tensory prędkości są ogólnie niezerowe z definicji nieoznaczoności w matematyce (bo i , wtedy z lekcji matematyki mamy ogólnie ), a dla układów słabozakrzywionych opisywanych jako przejście z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych przez macierz transformacji (1.133), stąd dochodzimy do wniosku, że jeżeli czas się nietransformuje, to nadal , ale też nadal zachodzi z definicji nieoznaczności ogólnie , czyli żyjemy w nieruchomej czasoprzestrzeni, w której z definicji nieoznaczności tensor prędkości ma jakąś wartość, który opisuje ruch informacji (tylko informacji, bo ciała według rozważań tutaj się nie poruszają), w czasoprzestrzeni słabozakrzywionej, która według procedury uniezerowacyjnej spełnia mechanika Newtona dla małych prędkości i mechanika Einsteina dla dowolnych prędkości , podobnie też zachodzi dla czasoprzestrzeni zakrzywionej opisywanej przez ogólną teorię względności, a więc stąd dochodzimy do prawdziwości ogólnej teorii względności i innych teorii dla układów zakrzywionych, a także mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych zanurzonych w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne.