Szczególna teoria względności/Teoria funkcji lagrangianu

Teoria funkcji lagrangianu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawimy tutaj teorię Lagrangianu, wektora pędu uogólnionego i funkcji hamiltonianu (i ich gęstości) oraz równania ruchu. Tutaj przedstawimy lagrangian, wektor pędu i funkcję hamiltonianu (i ich gęstości), równania ruchu dla ciał punktowych (i rozciągłych).

Układy fizyczne punktowe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał punktowych o stałych masach spoczynkowych oznaczone ogólnie $m_{0}\;$.

Lagrangian

Będziemy tutaj pisać o lagrangianie.

Szczególna teoria względności (lagrangian relatywistyczny)

Napiszemy tu lagrangianu szczególnej teorii względności w wersji wektorowej, a później tensorowej.

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian $L\;$ potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a w wersji wektorowej (27.25), ale w wersji wektorowej dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego, gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.1)

Wersja tensorowa

Napiszmy lagrangian, korzystając z wersji wektorowej, doprowadzając do wersji tensorowej tego elementu, który jest potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a tensorowej w postaci (27.31), do lagrangianu kinematycznego pisanego, wychodząc od lagrangianu wektorowego kinematycznego mechaniki Newtona dla prędkości dążących do zera w postaci (27.32), wtedy wykorzystując z definicji tensora prędkości teorii Newtona (20.9), wtedy z dokładnością do stałego składnika, dla tego przypadku, wychodząc od całkowitego lagranganu mechanki Newtona, czyli (28.4), wtedy na podstawie teorii transformacji (dla dowolnych prędkości) piszemy go:

$L=m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +qv_{i}A^{i}=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{0}u_{0}\mp qcu_{i}A^{i}=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{\mu }u_{\mu }\Rightarrow L=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{\mu }u_{\mu }\;$

(28.2)

Widzimy, że lagrangian w wersji tensorowej (28.2) ogólnie różni się od jego wersji wektorowej (28.1), tylko dla prędkości dążącej do zera z dokładnością do stałego składnika są tożsame, a to wynika z tego, że drugą zasadę Lagrange'a wyprowadziliśmy z mechaniki Newtona, a nie szczególnej teorii względności, przy niezmienniczym lagrangianie przechodząc do dowolnych współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej (19.11) mamy tożsmość przybliżoną (19.13), wtedy mamy lagrangian w przybliżeniu nierelatywistycznym:

$L\simeq -m_{0}c^{2}\left(1-{{1} \over {2}}{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})=-m_{0}c^{2}+m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.3)

Co na podstawie (28.3) z dokładnością do stałego składnika wychodzi:

$L=m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\simeq m{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.4)

Otrzymaliśmy z lagrangianu relatywistycznego (28.1) lagrangian nierelatywistyczny (28.4).

Lagrangian, a pęd uogólniony

Będziemy tutaj pisali o lagrangianie i pędzie uogólnionym z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.1) (wersja wektorowa lagrangianu) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{\partial L} \over {\partial (A{\vec {v}})}}=m_{0}c^{2}{{\vec {v}} \over {c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}+q{\vec {A}}=m_{0}{{\vec {v}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q{\vec {A}}=m_{0}\gamma {\vec {v}}+q{\vec {A}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(28.5)

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w mechanice Newtona wiedząc, że zachodzi (28.1) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się stosując (19.13) (transformacja masy relatywistycznej z masy spoczynkowej), stąd:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{\partial L} \over {\partial (A{\vec {v}})}}=m_{0}{\vec {v}}+q{\vec {A}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(28.6)

Hamiltonian, a energia całkowita (szczególna teoria względności) i mechaniczna (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o hamiltonanie.

Szczególna teoria względności

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na pęd uogólniony (28.5) (wynikający z definicji lagrangianu w wersji wektorowej) i wzór na na lagrangian całkowity (28.1), ale w wersji wektorowej, wtedy:

$H=({\vec {v}},{\vec {p}})-L=({\vec {v}},m{\vec {v}}+q{\vec {A}})-\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\right)={{m_{0}v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q({\vec {v}},{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi +\;$
$-q({\vec {v}},{\vec {A}})={{m_{0}v^{2}+m_{0}c^{2}-m_{0}v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi ={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi =m_{0}\gamma c^{2}+q\varphi =mc^{2}+q\varphi =E\;$

(28.7)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu $H\;$ jest równa energii całkowitej $E\;$ punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na energię relatywistyczną w (28.7) dla prędkości wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, zatem:

$E_{r}=mc^{2}={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq m_{0}c^{2}\left(1+{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=m_{0}c^{2}+{{m_{0}v^{2}} \over {2}}=E_{0}+E_{k}\;$

(28.8)

Na podstawie (28.8) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próźni energia relatywistyczna $E_{r}\;$ jest sumą energii spoczynkowej $E_{0}\;$ i energii kinetycznej $E_{k}\;$.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej, stosując wzór na pęd uogólniony (28.6), wtedy:

$H=({\vec {v}},{\vec {p}})-L=({\vec {v}},m{\vec {v}}+q{\vec {A}})-\left(m{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=mv^{2}+q({\vec {v}},{\vec {A}})-m{{v^{2}} \over {2}}+q\varphi -q({\vec {v}},{\vec {A}})={{mv^{2}} \over {2}}+q\varphi =E\;$

(28.9)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu $H\;$ jest równa energii mechanicznej $E\;$ punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że (28.7) w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do energii spoczynkowej $E_{0}\;$ w przybliżeniu do (28.9) na podstawie (28.8) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Układy fizyczne rozciągłe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał rozciągłych o gęstościach spoczynkowych oznaczone ogólnie $\rho _{0}\;$ zależącą od prędkości i położenia danej cząstki tych ciał w czasoprzestrzeni.

Gęstość lagrangianu

Będziemy tutaj pisać o gęstości lagrangianu.

Szczególna teoria względności (gęstość lagrangianu relatywistycznego)

Będziemy się tutaj zajmowali gęstością lagrangianu dla układów rozciągłych. Według tej teorii istnieją dwie wersje lagrangianu, tzn. wersji wektorowej i tensorowej.

Elektromagnetostatyka

Wyprowadzimy tutaj lagrangian szczególnej teorii względności w wersji wektorowej i tensorowej, jako:

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian $L\;$ dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym, wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy:

$A^{\mu }=\left({{\varphi } \over {c}},{\vec {A}}\right)\wedge A_{\mu }=A^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left({{\varphi } \over {c}},-{\vec {A}}\right)\;$

(28.10)

według (EK-26.33), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego $\varphi \;$ (współrzędna czasowa potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego ${\vec {A}}\;$ (współrzędna przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu zdefiniowany za pomocą gęstości ładunku pomnożonej przez prędkość światła w próżni jako współrzędna czasowa i gęstości prądu jako współrzędna przestrzenna, która jest równa iloczynowi $\gamma \;$, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego prędkości, co to wszystko jest równe iloczynowi prędkości światła w próżni, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego tensora prędkości:

$J^{\mu }=\left(c\rho _{q},{\vec {J}}\right)=\left(c\rho _{q},\gamma \rho _{0q}{\vec {v}}\right)=c\rho _{0q}u^{\mu }\wedge J_{\mu }=J^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left(c\rho _{q},-{\vec {J}}\right)=\left(c\rho _{q},-\gamma \rho _{0q}{\vec {v}}\right)=c\rho _{0q}u_{\mu }\;$

(28.11)

czyli jest (EK-26.5) (pierwsze przedstawienie (28.11)) i (EK-26.6) (ostatnie przedstawienie (28.11)), wtedy stosując wzór na skrócenie długości (18.7), co:

$L=\int dL=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(dm_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\int \left(\rho _{0m}c^{2}dV_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)dV\Rightarrow {\mathfrak {L}}=-\rho _{0m}c^{2}\mp J^{\mu }A_{\mu }\;$

(28.12)

Wersja tensorowa

Wykorzystajmy tutaj lagrangian dla układów punktowych szczególnej teorii względności dla układów punktowych (28.2) i napiszmy jego gęstość dla układów rozciągłych w postaci:

$L=\int LdV=\int \left(\mp {{1} \over {2}}dm_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp dqcA^{\mu }u_{\mu }\right)=\int \left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}dV_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp \rho _{0q}dV_{0}cA^{\mu }u_{\mu }\right)=\;$
$=\mp \int \left({{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+\rho _{0q}\gamma cA^{\mu }u_{\mu }\right)dV\Rightarrow {\mathfrak {L}}=\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp \rho _{0q}\gamma cA^{\mu }u_{\mu }\;$

(28.13)

Widzimy, że wzór na gęstość lagrangianu (28.13) dla wersji tensorowej różni się od jego wersji wektorowej (28.12), co do wyrazu kinematycznego i oddziaływań, one są tam inne, bo wersję tensorową wyprowadziliśmy z tego lagrangianu, ale w wersji Newtonowskiej, do układu o różnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych) i korzystaliśmy z definicji tensora prędkości, ale dla mechaniki Newtona, by przejść do dowolnych prędkości na podstawie prawa transformacji w rachunku tensorowym.

Elektromagnetodynamika

Całkowita gęstość lagrangianu masowego, ale wersji wektorowej, jest sumą lagrangianu mechanicznego (28.12), ale w wersji wektorowej, i elektromagnetycznego dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{mech}+{\mathfrak {L}}_{em}=-\rho _{0}c^{2}\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\;$

(28.14)

• gdzie definicja tensora elektromagnetycznego $F^{\mu \nu }\;$ w (28.14) według (EK-26.9) jest:

$F^{\mu \nu }=\pm {\begin{bmatrix}0&{{E_{x}} \over {c}}&{{E_{y}} \over {c}}&{{E_{z}} \over {c}}\\-{{E_{x}} \over {c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\-{{E_{y}} \over {c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\-{{E_{z}} \over {c}}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}\;$

(28.15)

Widzimy, że tutaj pojawił się dodatkowy człon $-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ w porównaniu z gęstością lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.12). Przecałkujmy obie strony gęstości lagrangianu (28.14) względem przestrzeni n-wymiarowej przestrzennej, co:

$L=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right)dV-{{1} \over {4\mu _{0}}}\int F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }dV\;$

(28.16)

W polu elektromagnetostatycznym ostatni człon w (28.16) jest stały i można go pominąć, wtedy lagrangian tego pola z dokładnością do stałej przepisujemy:

$L=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right)dV\;$

(28.17)

Na podstawie (28.17) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.16) (dla pola elektromagnetodynamicznego) widzimy, że gęstość lagrangianu (28.14) przechodzi w (28.12).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Do gęstości lagrangianu (28.12) zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: $v\ll c\;$ (dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni), stosując (19.12), co wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy (28.10), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego $\varphi \;$ (z dokładnością do odwrotności prędkości światła w próżni to część czasowa tensora potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego ${\vec {A}}\;$ (część przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu (28.11), w którym $\gamma \simeq 1\;$, wiedząc, że:

$dV=dV_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\simeq dV_{0}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)\simeq dV_{0}\Rightarrow dV\simeq dV_{0}\;$

(28.18)

wtedy na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) w układach, gdzie cząstki materii poruszają się z prędkościami o wiele mniejszymi od prędkości światła w próżni, i warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11) dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

$L=\int {\mathfrak {L}}dV\simeq \int \left(-dm_{0}c^{2}\left(1-{{1} \over {2}}{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\int \left(-dm_{0}c^{2}+dm_{0}{{v^{2}} \over {2}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}+{{\rho _{m}v^{2}} \over {2}}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)dV=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}+\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)dV=-M_{0}c^{2}+\int \left(\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)dV\;$

(28.19)

Co na podstawie (19.13) (niezmienniczość masy) i (28.18) (niezmienniczość objętości) z dokładnością do stałego składnika $-M_{0}c^{2}\;$ (gdzie $M_{0}\;$ to stała masa całego układu) w lagrangianie (28.19), wtedy gęstość lagrangianu wychodzi:

${\mathfrak {L}}=\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})=\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}-J^{\mu }A_{\nu }\simeq \rho _{m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\mu }\;$

(28.20)

Otrzymaliśmy z gęstości lagrangianu relatywistycznego (28.19) gęstość lagrangianu nierelatywistycznego (28.20).

Gęstość lagrangianu, a gęstość pędu uogólnionego

Będziemy tutaj pisali o gęstości lagrangianu i gęstości pędu uogólnionego z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.12) (wzór na gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {\mathfrak {p}}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{1} \over {dV}}{{\partial {\mathfrak {L}}dV} \over {\partial (A{\vec {v}})}}={{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}{{\vec {v}} \over {c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{{{dm_{0}} \over {dV}}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{dm_{0}} \over {dV}}\gamma {\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{dm} \over {dV}}{\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}=\;$
$=\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}}\;$

(28.21)

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.19) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, stąd na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej), a także warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {\mathfrak {p}}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{1} \over {dV}}{{\partial {\mathfrak {L}}dV} \over {\partial (A{\vec {v}})}}={{dm_{0}} \over {dV}}{\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}=\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}}\;$

(28.22)

Gęstość hamiltonianu, a gęstość energii całkowitej (szczególna teoria względności) i mechanicznej (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o gęstości hamiltonanu.

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj pisali gęstość hamiltonianu dla pola elektromagnetostatycznego i elektrodynamicznego w elektromagnetyzmie.

Elektromagnetostatyka

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4) pamiętając, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.21), ale wynikającej z gęstości lagrangianu wektorowego, i wzór na gęstość lagrangianu, ale podanej w wersji wektorowej, w (28.12), wtedy:

${\mathfrak {H}}=({\vec {v}},{\vec {\mathfrak {p}}})-{\mathfrak {L}}=({\vec {v}},\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}})-\left(\mp \rho _{0m}c^{2}u^{\mu }u_{\nu }\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)=\rho _{m}{\vec {v}}^{2}+\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})-\left(\mp \rho _{m}v^{\mu }v_{\mu }-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\rho _{m}c^{2}+\rho _{q}\varphi ={\mathfrak {E}}\;$

(28.23)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja gęstości hamiltonianu ${\mathfrak {H}}\;$ jest równa gęstości energii całkowitej ${\mathfrak {E}}\;$ w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na gęstość energii relatywistycznej w (28.23) wiedząc, że zachodzi (28.18) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, czyli stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem:

${\mathfrak {E}}_{r}=\rho _{m}c^{2}={{1} \over {dV}}{{dm_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq {{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}\left(1+{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)={{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}+{{{{dm_{0}} \over {dV}}v^{2}} \over {2}}\simeq \rho _{0m}c^{2}+\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\simeq \rho _{m}c^{2}+\rho _{m}{{v^{2}} \over {2}}={\mathfrak {E}}_{0}+{\mathfrak {E}}_{k}\;$

(28.24)

Na podstawie (28.24) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próżni gęstość energii relatywistycznej ${\mathfrak {E}}_{r}\;$ jest sumą gęstości energii spoczynkowej ${\mathfrak {E}}_{0}\;$ i gęstości energii kinetycznej ${\mathfrak {E}}_{k}\;$.

Elektromagnetodynamika

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.14) i gęstość pędu (28.5), też wychodząca z tej samej gęstości lagrangianu, zatem:

${\mathfrak {H}}=v_{i}{\mathfrak {p}}^{i}-{\mathfrak {L}}=\rho v^{i}v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}v^{i}+\left(\pm \rho v^{\mu }v_{\mu }\pm J^{\mu }A_{\mu }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)=\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathfrak {H}}=\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

(28.25)

Hamiltonian (28.25) jest to hamiltonian w elektromagnetodynamice. Przecałkujmy obie strony równania (28.25), licząc hamiltonian, wtedy:

$H=\int {\mathfrak {H}}dV=\int \left(\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)dV=\int (\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi )dV+{{1} \over {4\mu _{0}}}\int F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }dV\;$

(28.26)

Dla pola elektromagnetostatycznego ostatni człon we wzorze (28.26) jest stały, zatem wzór na hamiltonian z dokładnością do stałej piszemy

$H=\int {\mathfrak {H}}dV=\int \left(\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi \right)dV$

(28.27)

Zatem wzór (28.27) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.26) (dla pola elektromagnetodynamicznego) przechodzi w gęstość hamiltonianu (28.23). Widzimy, że hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego jest jednocześnie energią mechaniczną, już tak nie jest w elektromagnetodynamice, wtedy dochodzi energia pola elektromagnetycznego.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.22), wtedy:

${\mathfrak {H}}=({\vec {v}},{\vec {\mathfrak {p}}})-{\mathfrak {L}}=({\vec {v}},\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}})-\left(\rho _{0m}{{v^{2}} \over {c^{2}}}-J^{\mu }A_{\nu }\right)=\rho _{m}v^{2}+\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})-\rho _{m}{{v^{2}} \over {2}}+\rho _{q}\varphi -\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})={{\rho _{m}v^{2}} \over {2}}+\rho _{q}\varphi ={\mathfrak {E}}\;$

(28.28)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu ${\mathfrak {H}}\;$ jest równa gęstości energii mechanicznej ${\mathfrak {E}}\;$ w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że (28.23) w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do gęstości energii spoczynkowej ${\mathfrak {E}}_{0}\;$ w przybliżeniu do (28.28) na podstawie (28.24) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Równanie ruchu dla układów ogólnie nieprostokątnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj wyprowadzać równania ruchu ciał (cząstek materii) w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich z teorii lagrangianu (gęstości lagrangianu).

Wersja wektorowa

Będziemy tutaj wyprowadząc wersję wektorową szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Nierelatywistyczny (relatywistyczny) lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy przez wzór (28.1) (szczególna teoria względności, ale w wersji wektorowej) i (28.4)) (mechanika Newtona). W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony według (28.5) (szczególna teoria względności) i (28.6) (mechanika Newtona) równy:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(28.29)

W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki nierelatywistycznej (relawilistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami z mechaniki Newtona (szczególnej teorii względności):

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}=0\;$

(28.30)

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu (28.1) do wzoru Eulera-Lagrange'a (28.30), to dostajemy, że:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}}+q{\vec {A}})=-q\nabla \varphi +q\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})\Rightarrow {{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=-q\nabla \varphi -q{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+q\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.31)

Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu:

$d{\vec {A}}={{\partial {\vec {A}}} \over {\partial x^{i}}}dx^{i}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}dt\Rightarrow d{\vec {A}}=(d{\vec {r}},\nabla ){\vec {A}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}dt\Rightarrow {{d{\vec {A}}} \over {dt}}=({\vec {v}},\nabla ){\vec {A}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(28.32)

Obliczenia (28.31) na podstawie udowodnionej tożsamości (28.32) wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=-q\nabla \varphi -q{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}+q\left[-({\vec {v}},\nabla ){\vec {A}}+\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})\right]\;$

(28.33)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇:

${\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})-({\vec {v}},\nabla ){\vec {A}}\;$

(28.34)

Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie (28.34), ale tym razem dla układów prostokątnych, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity ε_ijk i symboli Kroneckera δ_ij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy:

$\left({\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\right)_{i}=\epsilon _{ijk}v_{j}\epsilon _{klm}\nabla _{l}A_{m}=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}v_{j}\nabla _{l}A_{m}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})v_{j}\nabla _{l}A_{m}=v_{m}\nabla _{i}A_{m}-v_{l}\nabla _{l}A_{i}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left({\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\right)_{i}=v_{m}\nabla _{i}A_{m}-v_{l}\nabla _{l}A_{i}\Rightarrow \left({\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\right)_{i}=\left(\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})\right)_{i}-\left(({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}\right)_{i}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left({\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\right)=\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})-({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}\;$

(28.35)

W obliczeniach zakładaliśmy, że $x^{i}\;$ i $v^{i}\;$ to są zmienne niezależne. Dla układów prostokątnych tożsamość (28.34) na podstawie (28.35) jest udowodniona, ale na podstawie transformacji ten wzór okazuje się również słuszny dla układów ogólnie nieprostokątnych. Przy obliczeniach (28.35) założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem (28.33) przyjmuje postać:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=q\left[-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right]+q{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\;$

(28.36)

Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(28.37)

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}\;$

(28.38)

Wyrażenie (28.36) na podstawie (28.37) (definicji natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}\;$ w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego $\varphi \;$ i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego ${\vec {A}}\;$ i to wszystko wzięte z minusem) i (28.38) (definicji indukcji pola magnetycznego ${\vec {B}}\;$ jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego ${\vec {A}}\;$) przyjmuje postać:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=q\left[{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\Rightarrow {{dm{\vec {v}}} \over {dt}}={\vec {F}}_{el}+{\vec {F}}_{mag}\;$

(28.39)

W (28.39) otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki relawilistycznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian (28.1) jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Układy rozciągłe

Nierelatywistyczna (relatywistyczna) gęstość lagrangianu cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasza opisywana gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, wyrażamy przez wzór (28.12) w elektromagnetostatyce i (28.14) w elektromagnetodynamice, czyli dla obu tych przypadków w szczególnej teorii względności z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego lub elektromagnetodynamicznego, i (28.20), czyli mechanika Newtona z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego. W formalizmie Lagrange'a współrzędne prędkości, położenia oraz potencjału tensorowego elektrycznego i ich pochodnych cząstkowych względem tensora prędkości są niezależne. Znając już gęstość lagrangianu wyznaczmy jaką cząstka posiada gęstość pędu uogólnionego według (28.21) (szczególna teoria względności) i (28.22) (mechanika Newtona) równą:

${\vec {\mathfrak {p}}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}=\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}}\;$

(28.40)

W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki relatywistycznej (nierelatywistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie na siłę (gęstość siły) działające na cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami ruchu z szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona):

${{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {r}}^{+}}}=0\;$

(28.41)

Szczególna teoria względności

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu (28.12) do wzoru Eulera-Lagrange'a (28.41), to dostajemy, że:

${{d} \over {dt}}(\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}})=-c^{2}\nabla \rho _{0m}-\rho _{q}\nabla \varphi -(\nabla \rho _{q})\varphi +\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})+(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}(\rho _{0m}\gamma ^{2}{\vec {v}})=-\rho _{q}\nabla \varphi -\rho _{q}{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\Rightarrow$
$\Rightarrow \rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})=-{{d\left(\rho _{0m}\gamma \right)} \over {dt}}\gamma {\vec {v}}-\rho _{q}\nabla \varphi -\rho _{q}{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.42)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: (28.34), stąd na podstawie (28.42):

$\rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})=\rho _{q}\left[-\nabla \varphi -\rho _{q}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right]+\rho _{q}{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-{{d(\rho _{0m}\gamma )} \over {dt}}\gamma {\vec {v}}-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.43)

Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego (28.37) i indukcję pola magnetycznego (28.38) znane z elektrodynamiki klasycznej:

$\rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}-{{d(\rho _{0m}\gamma )} \over {dt}}\gamma {\vec {v}}-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.44)

Równość (28.44) tak zapiszemy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równaia ruchu, a po prawej wyrazy przyszłego cechowania:

$\rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})-\rho _{q}{\vec {E}}-\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}=-{{d(\rho _{0m}\gamma )} \over {dt}}\gamma {\vec {v}}-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.45)

A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w (28.45) mamy, że prawa strona jest równa zeru, wtedy stąd wynikające cechowanie wynikający z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy:

$-{{d(\rho _{0m}\gamma )} \over {dt}}\gamma {\vec {v}}-c^{2}\nabla \rho _{0m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})=0\;$

(28.46)

Na podstawie równości zapisaną w (28.46) wzór (28.44) przedstawia się w formie:

$\rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow \rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow \rho _{0m}\gamma {{d} \over {dt}}(\gamma {\vec {v}})={\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\;$

(28.47)

Wzór (28.47) jest równaniem ruchu w szczególnej teorii względności z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Mechanika Newtona

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu (28.20) do wzoru Eulera-Lagrange'a (28.41), to dostajemy, że:

${{d} \over {dt}}(\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}})={{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-\rho _{q}\nabla \varphi -(\nabla \rho _{q})\varphi +\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})+(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}(\rho _{m}{\vec {v}})=-\rho _{q}\nabla \varphi -\rho _{q}{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\Rightarrow$
$\Rightarrow \rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}=-{{d\rho _{m}} \over {dt}}{\vec {v}}-\rho _{q}\nabla \varphi -\rho _{q}{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+\rho _{q}\nabla ({\vec {v}},{\vec {A}})+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.48)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: (28.34), stąd na podstawie (28.48):

$\rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}=\rho _{q}\left[-\nabla \varphi -\rho _{q}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right]+\rho _{q}{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-{{d\rho _{m}} \over {dt}}{\vec {v}}+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.49)

Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego (28.37) i indukcję pola magnetycznego (28.38) znane z elektrodynamiki klasycznej:

$\rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}-{{d\rho _{m}} \over {dt}}{\vec {v}}+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.50)

Równość (28.50) w takiej stronie zapiszmy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równania ruchu, a po prawej stronie cechowania, wtedy po przenoszeniu:

$\rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}-\rho _{q}{\vec {E}}-\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}=-{{d\rho _{m}} \over {dt}}{\vec {v}}+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})$

(28.51)

A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w (28.51) mamy, że obie strony są równe zero, wtedy cechowanie wynikające z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy:

$-{{d\rho _{m}} \over {dt}}{\vec {v}}+{{1} \over {2}}v^{2}\nabla \rho _{m}-{{d\rho _{q}} \over {dt}}{\vec {A}}-(\nabla \rho _{q})\varphi +(\nabla \rho _{q})({\vec {v}},{\vec {A}})=0\;$

(28.52)

Na podstawie cechowania zapisaną w (28.52) wzór na równanie ruchu (28.51) przedstawia się w formie:

$\rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow \rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}=\rho _{q}{\vec {E}}+\rho _{q}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow \rho _{m}{{d} \over {dt}}{\vec {v}}={\vec {\mathcal {F}}}_{el}+{\vec {\mathcal {F}}}_{mag}\;$

(28.53)

Wzór (28.53) jest równaniem ruchu w mechanice Newtona z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Wersja tensorowa

Wyznaczać tutaj będziemy wersję tensorową równań wynikających z teorii lagrangianu i wyjdą równania ruchu kolejno dla układów punktowych i rozciągłych szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną lagrangianu tensorowego (28.2) względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach:

${{\partial L} \over {\partial u_{\mu }}}=\mp {{1} \over {2}}2m_{0}c^{2}u^{\mu }\mp qcA^{\mu }=\mp m_{0}c^{2}u^{\mu }\mp qcA^{\mu }\;$

(28.54)

Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego $s\;$ wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości (27.31), by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach:

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial u_{\mu }}}=\mp m_{0}c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}\mp qc{{dA^{\mu }} \over {ds}}=\mp c{{dp^{\mu }} \over {ds}}\mp qc{{dA^{\mu }} \over {ds}}\;$

(28.55)

Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia:

${{\partial L} \over {\partial x_{\mu }}}=\mp qc{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\;$

(28.56)

Połączmy obliczenia (28.55) z (28.56) w jedno równanie według równania na drugą zasadę lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły:

$\mp c{{dp^{\mu }} \over {ds}}=\pm qc{{dA^{\mu }} \over {ds}}\mp qc{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow {{dp^{\mu }} \over {ds}}=-q{{dA^{\mu }} \over {ds}}+q{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{\mu }}}\;$

(28.57)

Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego $\mu =i\;$, by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy:

$-{{dA^{i}} \over {ds}}+{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{i}}}=-{{dA^{i}} \over {ds}}+{{\partial \left(A^{j}u_{j}\right)} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial \left(A^{0}u_{0}\right)} \over {\partial x_{i}}}={{\gamma } \over {c}}\left(-{{dA^{i}} \over {dt}}+{{\partial \left(A^{j}v_{j}\right)} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial \varphi } \over {\partial x_{i}}}\right)={{\gamma } \over {c}}\left(-{{dA^{i}} \over {dt}}+{{\partial \left({\vec {A}}{\vec {v}}\right)} \over {\partial x^{i}}}-{{\partial \varphi } \over {\partial x^{i}}}\right)=\;$
$={{\gamma } \over {c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}+q{\vec {E}}\right)\;$

(28.58)

Policzmy teraz (28.57) dla wskaźnika równego $\mu =0\;$, by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn ${\vec {v}}\times {\vec {B}}\;$ jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego (28.10), weźmy:

$-{{dA^{0}} \over {ds}}+{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{0}}}={{\gamma } \over {c}}\left(-{{d\varphi } \over {cdt}}+{{\partial (A^{i}v_{i})} \over {c\partial t}}+{{\partial \varphi } \over {c\partial t}}\right)={{\gamma } \over {c}}\left(-{{\partial \varphi } \over {\partial x_{i}}}{{v_{i}} \over {c}}-{{\partial \varphi } \over {c\partial t}}+{{\partial (A^{i}v_{i})} \over {c\partial t}}+{{\partial \varphi } \over {c\partial t}}\right)=\;$
$={{\gamma } \over {c}}\left(-{{\partial \varphi } \over {\partial x^{i}}}{{v^{i}} \over {c}}+{{\partial (A^{i}v_{i})} \over {c\partial t}}\right)={{\gamma } \over {c}}{{v_{i}} \over {c}}\left(-{{\partial \varphi } \over {\partial x^{i}}}-{{\partial A^{i}} \over {\partial t}}\right)={{\gamma } \over {c}}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}\right)={{\gamma } \over {c}}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

(28.59)

Na podstawie obliczeń w punkcie (28.58) i (28.59) formuła (28.57) przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego:

${{dp^{\mu }} \over {ds}}=q{{\gamma } \over {c}}\left[\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right),{\vec {v}}\times {\vec {B}}+{\vec {E}}\right]^{T}\Rightarrow {{dp^{\mu }} \over {ds}}={{\gamma } \over {c}}\left[\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {F}}\right),{\vec {F}}\right]^{T}\;$

(28.60)

• Wyrażenie po prawej stronie wzoru (28.60) jest to nic innego jak tensor siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły (20.41).

Końcowy wynik w (28.60) wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.

Układy rozciągłe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną gęstości lagrangianu tensorowego (28.13) względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial u_{\mu }}}=\mp {{1} \over {2}}2\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }\mp \rho _{0q}\gamma cA^{\mu }\mp {{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\mp A^{\mu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma =\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }\mp \rho _{0q}\gamma cA^{\mu }\mp {{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\mp A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma \;$

(28.61)

Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego $s\;$ wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości (27.31), by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach:

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial u_{\mu }}}=\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}\mp u^{\mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\rho _{0m}\gamma \mp \rho _{0q}\gamma c{{dA^{\mu }} \over {ds}}\mp A^{\mu }c{{d} \over {ds}}\rho _{0q}\gamma \mp {{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\mp {{d} \over {ds}}A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma \;$

(28.62)

Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x_{\mu }}}=\mp \rho _{0q}\gamma c{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\mp cA^{\nu }u_{\nu }{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{oq}\gamma \mp {{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\;$

(28.63)

Połączmy obliczenia (28.62) z (28.63) w jedno równanie według równania na drugą zasadę Lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły:

$\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}\mp u^{\mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\rho _{0m}\gamma \mp \rho _{0q}\gamma c{{dA^{\mu }} \over {ds}}\mp A^{\mu }c{{d} \over {ds}}\rho _{0q}\gamma \mp {{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\mp {{d} \over {ds}}A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma =\;$
$=\mp \rho _{0q}\gamma c{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\mp cA^{\nu }u_{\nu }{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{oq}\gamma \mp {{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\;$

(28.64)

Pomnóżmy równanie (28.64) przez $\mp \;$, zatem:

$\rho _{0m}\gamma c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}+u^{\mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\rho _{0m}\gamma +\rho _{0q}\gamma c{{dA^{\mu }} \over {ds}}+A^{\mu }c{{d} \over {ds}}\rho _{0q}\gamma +{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}+{{d} \over {ds}}A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma =\;$
$=\rho _{0q}\gamma c{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}+cA^{\nu }u_{\nu }{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{oq}\gamma +{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\;$

(28.65)

Napiszmy wyrazy przyszłego prawa ruchu po jego lewej stronie, a wyrazy cechowania po prawej stronie, w równości tensorowej (28.65), dochodzimy do wniosku:

$\rho _{0m}\gamma c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}+\rho _{0q}\gamma c{{dA^{\mu }} \over {ds}}-\rho _{0q}\gamma c{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}=-u^{\mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\rho _{0m}\gamma -A^{\mu }c{{d} \over {ds}}\rho _{0q}\gamma -{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}-{{d} \over {ds}}A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma +\;$
$+cA^{\nu }u_{\nu }{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{oq}\gamma +{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}\;$

(28.66)

• W prawej stronie równości (28.66) pochodne mogą być równe zero, stąd obie strony naszego równania w takim przypadku są równe zero.

Napiszmy cechowanie wychodząc z (28.65) zerując prawą stronę równości w formule (28.66), aby wyszły poprawne później równania ruchu dla układu rozciągłego:

$u^{\mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\rho _{0m}\gamma +A^{\mu }c{{d} \over {ds}}\rho _{0q}\gamma +{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}+{{d} \over {ds}}A^{\nu }u_{\nu }c{{\partial } \over {\partial u_{\mu }}}\rho _{0q}\gamma =cA^{\nu }u_{\nu }{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{oq}\gamma +{{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}\rho _{0m}\gamma c^{2}$

(28.67)

• Cechowanie (28.67), dla wersji tensorowej gęstości lagrangianu (28.13), dla $\mu =i\;$ jest równoważne cechowaniu (28.46) dla wersji wektorowej gęstości lagrangianu (28.12), co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

Napiszmy wzór (28.65) na podstawie cechowania (28.67), co sprowadza się do równości różniczkowej:

$\rho _{0m}\gamma c^{2}{{du^{\mu }} \over {ds}}+\rho _{0q}\gamma c{{dA^{\mu }} \over {ds}}=\rho _{0q}\gamma c{{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow \rho _{0m}\gamma c{{du^{\mu }} \over {ds}}+\rho _{0q}\gamma {{dA^{\mu }} \over {ds}}=\rho _{0q}\gamma {{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\Rightarrow \rho _{0m}\gamma c{{du^{\mu }} \over {ds}}=-\rho _{0q}\gamma {{dA^{\mu }} \over {ds}}+\rho _{0q}\gamma {{\partial A^{\nu }u_{\nu }} \over {\partial x_{\mu }}}\;$

(28.68)

Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego $\mu =i\;$, by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy, wykorzystując tutaj obliczenia w (28.58):

$-{{dA^{i}} \over {ds}}+{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{i}}}={{\gamma } \over {c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}+q{\vec {E}}\right)\;$

(28.69)

Policzmy teraz (28.68) dla wskaźnika równego $\mu =0\;$, by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn ${\vec {v}}\times {\vec {B}}\;$ jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego (28.10), weźmy, wykorzystując tutaj obliczenia w (28.59):

$-{{dA^{0}} \over {ds}}+{{\partial \left(A^{\nu }u_{\nu }\right)} \over {\partial x_{0}}}={{\gamma } \over {c}}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

(28.70)

Na podstawie obliczeń w punkcie (28.69) i (28.70) formuła (28.68) przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego:

$\rho _{0m}\gamma c{{du^{\mu }} \over {ds}}=\rho _{0q}\gamma {{\gamma } \over {c}}\left[\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right),{\vec {v}}\times {\vec {B}}+{\vec {E}}\right]^{T}\Rightarrow \rho _{0m}\gamma c{{du^{\mu }} \over {ds}}={{\gamma } \over {c}}\left[\left({{\vec {v}} \over {c}},{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\right),{{d{\vec {F}}} \over {dV}}\right]^{T}\;$

(28.71)

• Wyrażenie po prawej stronie wzoru (28.71) jest to nic innego jak gęstość tensora siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły (20.41).

Końcowy wynik (28.60) wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.