Teoria grup przemiennych/Wstęp do teorii ciał

Grupa przemienna z dodatkowym działaniem

Strukturę grupy przemiennej można wzbogacać na różne sposoby – nie tylko przez relację porządku. Innym sposobem jest drugie działanie dwuargumentowe: $G^{2}\to G.$ Trudno, żeby zbiór $G$ był grupą przemienną ze względu na oba działania, ale zdarza się coś podobnego. Można się przyjrzeć liczbom wymiernym $(\mathbb {Q} ):$

• ze względu na dodawanie są grupą przemienną $(\mathbb {Q} ,+);$
• nie są grupą ze względu na mnożenie, ponieważ zero nie jest tu odwracalne – równanie liniowe $0x=1$ nie ma rozwiązań;
• po wycięciu zera z dziedziny zbiór $(\mathbb {Q} _{\neq 0},\cdot )$ istotnie jest grupą przemienną.

Przykłady można mnożyć – podobnie jest z liczbami rzeczywistymi $(\mathbb {R} ,+,\cdot ),$ zespolonymi $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ i nie tylko. Takie grupy przemienne, które po wycięciu zera są grupami przemiennymi ze względu na inne działanie, są dość często rozważane w algebrze, teorii liczb i ich zastosowaniach. Dlatego warto mieć na nie osobną nazwę i zdefiniować ją ściśle – przez abstrakcję istotnych, pożytecznych cech. To nas prowadzi do pojęcia ciała. To kolejna koncepcja z XIX wieku, która w wieku XX bardzo się upowszechniła, nie tylko wśród matematyków, choć poza matematyką czystą ta nazwa nie jest pilnie potrzebna.

Uogólnienie ciał

Dość często rozważania o ciałach są poprzedzone wprowadzeniem bardziej ogólnej koncepcji – „słabszej” i „uboższej”, tzn. mającej mniej założeń. Ta koncepcja to pierścień – zbiór z dwoma działaniami $(R,+,\cdot )$ definiowany aksjomatycznie:

• ze względu na dodawanie jest to grupa przemienna;
• mnożenie jest łączne: (ab)c = a(bc), przez co można pisać krócej: abc. Niektórzy lubią nazywać takie struktury półgrupami;
• mnożenie rozdzielne względem dodawania: a(b+c) = ab + ac, (b+c)a = ba + ca.

Co istotne:

• to mnożenie nie musi być przemienne ani nie musi mieć jedynki. Mówiąc uczenie: pierścień ze względu na mnożenie nie musi być półgrupą przemienną ani monoidem;
• te „bonusowe” własności są dla pierścieni niezależne od siebie – istnieją pierścienie nieprzemienne z jedynką oraz pierścienie przemienne bez jedynki;
• przemienność jest też niezależna od dzielenia – zdarzają się nieprzemienne pierścienie z dzieleniem.

Z jednej strony przykłady pierścieni, które nie są ciałami, są bardzo powszechne. Chyba najbardziej podstawowym są liczby całkowite (ℤ), ale też różne klasy wielomianów: o współczynnikach całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych. Pierścienie można traktować jako dalekie uogólnienie liczb całkowitych i wielomianów – pierścienie to zbiory, w których możliwe jest dodawanie, odejmowanie i mnożenie, ale już niekoniecznie dzielenie, za to przynajmniej czasami można mówić o podzielności i dzieleniu z resztą. Z drugiej strony teoria pierścieni ma inne miejsce w nauce niż teoria grup – ogólne własności pierścieni są stosowane głównie w matematyce czystej, np. algebraicznej teorii liczb. Dlatego pierścienie są nauczane głównie na studiach matematycznych i dlatego są wspomniane właśnie w tym miejscu, po ciałach. Pierścienie mają jednak pewne znaczenie dla teorii grup przemiennych, nie tylko jako jej zastosowanie i kontynuacja. Pierścienie stosują się też do niej samej: dla każdej grupy przemiennej A można skonstruować pierścień endomorfizmów End(A), wspominany już wcześniej. Własności grupy przemiennej wiążą się ściśle z własnościami tego pierścienia. Analogiczne konstrukcje są rozważane w algebrze liniowej i tam także pełnią sporą rolę.