Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 1.1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami , oraz , zależnymi od jednej zmiennej niezależnej .

Wartości własne macierzy współczynników[edytuj]

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych macierzy współczynników :

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

Zatem rozwiązaniem równania:

są liczby , oraz

Rzeczywiste wartości własne[edytuj]

Pierwsza[edytuj]

Szukamy wektora własnego odpowiadającego rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej .

zatem:

następnie:

co ostatecznie daje układ równań:

Do pierwszego równania dodamy 4 razy drugie równanie. Otrzymamy wówczas . Podstawiając tę wartość do równania drugiego, otrzymamy, że , gdzie jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymujemy:

co w zapisie wektorowym wygląda następująco:

Druga[edytuj]

Szukamy wektora własnego odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej .

zatem:

następnie:

co ostatecznie daje układ równań:

Od trzeciego równania 6 razy odejmujemy drugie, skąd otrzymujemy , a następnie – podstawiając tę wartość do pierwszego lub drugiego równania – otrzymujemy zależność , gdzie jest dowolnym parametrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzymujemy:

co wektorowo zapiszemy jako:

Trzecia[edytuj]

Szukamy wektorów własnych odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej .

zatem:

następnie:

co ostatecznie daje układ równań:

Od trzeciego równania odejmujemy 3 razy równanie drugie, co daje nam . Następnie podstawiając tę wartość do któregokolwiek z trzech równań, otrzymujemy zależność , gdzie jest dowolnym parametrem. Podsumowując powyższe obliczenia, otrzymujemy:

co wektorowo zapiszemy jako:

Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego[edytuj]

Ostatecznie rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma postać:

co w zapisie zawierającym macierz Wrońskiego będzie miało postać:

Układ równań niejednorodny[edytuj]

Po nieznacznej modyfikacji opisywanego układu równań otrzymujemy równanie niejednorodne postaci:

co w postaci macierzowej zapiszemy jako:

Znając ogólne rozwiązanie układu jednorodnego, za pomocą metody uzmienniania stałych obliczymy rozwiązanie szczególne układu jednorodnego:

Musimy zatem rozwiązać równanie macierzowe zawierające macierz Wrońskiego:

które sprowadza się do układu trzech prostszych równań:

z których wyznaczymy wartości:

a następnie:

Na koniec skorzystamy ze wzoru znanego z równań różniczkowych liniowych:

Znając rozwiązanie ogólne równania, możemy przejść do rozwiązania problemu Cauchy'ego.