Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Praca, moc i energia w szczególnej teorii względności w einsteinowskich układach odniesienia

Będziemy wyprowadzać wzór $E=mc^{2}\;$ dla poszczególnych mas układów i dla ich środka mas.

Wzór E=mc² (dowód) i wielkości związane z nim dla poszczególnych elementów masowych środka mas ciał, ale nie środka mas

Wyprowadżmy wzór $E=mc^{2}\;$ dla poszczególnych elementów masowych układu (nie środka mas układu ciał). Z definicji infinitezymalnej pracy znanej z fizyki klasycznej i siły relatywistycznej wyrażonej wzorem (19.14) otrzymujemy, że praca jest całką infinitezymalnej pracy względem czasu, w którym ta zmiana występuje, powiemy, że ona jest równa różnicy energii relatywistycznych w czasie t₂ i t₁, zatem praca wykonana przez ciało jest wyrażona:

$W=\int {\vec {F}}d{\vec {r}}=\int {{d{\vec {p}}} \over {dt}}{\vec {v}}dt=\int {\vec {v}}d{\vec {p}}=\int {\vec {v}}d{{m_{0}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}={\begin{Bmatrix}{\vec {v}}={\vec {e_{||}}}v\end{Bmatrix}}=\int {\vec {e_{||}}}vd{{m_{0}v{\vec {e_{||}}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=\;$
$=\int {\vec {e_{||}}}v\left\{e_{||}d{{m_{0}v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{{mv} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\underbrace {d{\vec {e_{||}}} \over {d\phi }} _{\vec {-e_{\perp }}}d\phi \right\}=\int m_{0}vd{{v} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=\int m_{0}v{{1\cdot {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-v{{1} \over {2{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\left(-{{2v} \over {c^{2}}}\right)} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}dv=\;$
$=\int m_{0}v{{1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}+{{v^{2}} \over {c^{2}}}} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{3 \over 2}}}dv=\int {{m_{0}vdv} \over {\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)^{3 \over 2}}}={\begin{Bmatrix}1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}=t\\-2vdv=c^{2}dt\\vdv=-{{1} \over {2}}c^{2}dt\end{Bmatrix}}=-\int m_{0}t^{-{{3} \over {2}}}{{1} \over {2}}c^{2}dt=-m_{0}c^{2}{{1} \over {2}}\int t^{-{{3} \over {2}}}dt=\;$
$=-m_{0}c^{2}{{1} \over {2}}(-2)t^{-{{1} \over {2}}}+A={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+A\;$

(31.1)

Na podstawie obliczeń (31.1), praca wykonywana ze stanu 1 do stanu 2 możemy zapisać jako różnicę pewnych wielkości zależnej od prędkości ciała w tychże punktach:

$W=\int \limits _{stan1}^{stan2}dW={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v_{2}^{2}} \over {c^{2}}}}}}-{{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v_{1}^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(31.2)

Przyjmujemy za Einsteinem, że energia jest równoważna masie, tzn. energia relatywistyczna jest iloczynem masy relatywistycznej i kwadratu wartości prędkości światła:

$E(v)=m(v)c^{2}={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(31.3)

• gdzie m(u) jest to masa relatywistyczną występującą we wzorze (31.3) jest napisana w punkcie (19.11), zatem jeśli wykorzystamy definicję energii relatywistycznej (31.3), wtedy ten nasz wspomniany wzór na pracę wykonaną od stanu 1 do 2 jest napisana jako różnicę energii relatywistycznej zapisanej w stanach 2 i 1.

$W=E(v_{2})-E(v_{1})\;$

(31.4)

Za pomocą (31.2), lub (31.4), (wielkość $dW\;$) i wzoru na energię relatywistyczną względem prędkości (31.3) możemy napisać moc siły ${\vec {F}}\;$ korzystając z definicji mocy, tzn.:

$P={{dW} \over {dt}}={{dE(v)} \over {dt}}=c^{2}{{dm} \over {dt}}\;$

(31.5)

Wzór E=mc² (dowód) i wielkości związane z nim dla środka mas układu ciał, ale nie poszczególnych elementów masowych środka mas

Wyprowadźmy wzór $E=mc^{2}\;$ dla układu środka mas ciał (nie poszczególnych elementów masowych tego układu). Siła działająca na środek mas ciał ${\vec {F}}\;$ (24.9) jest pochodną zupełną pędu relatywistycznego środka mas ciał ${\vec {P}}\;$ (24.8) względem czasu. Wzory (31.3) i (31.1) są słuszne dla ciał w teorii punktów, gdzie $v\;$, ${\vec {v}}\;$, ${\vec {p}}\;$ i ${\vec {r}}\;$ to jest wartość prędkości, prędkość, pęd i położenie pojedyńczego ciała, ale mając wielkość ${\vec {P}}\;$ (24.9) (wzór na pęd środka mas ciał) i ${\vec {R}}\;$ (24.1) (położenie środka masy) przedstawiamy w (31.1) zastępując: $v\rightarrow V\;$, ${\vec {v}}\rightarrow {\vec {V}}\;$, ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {P}}\;$ i ${\vec {r}}\rightarrow {\vec {R}}\;$, wtedy możemy napisać wzór (31.3), ale dla środka masy, i jest on dla tego prawdziwy. Jeżeli obiekt jest traktowany jako całość to wtedy on ma masę środka masy spoczynkową $M_{0}\;$, energię spoczynkową środka masy $E_{0}\;$, te wielkości są zależne względem siebie na podstawie (31.3) (ale dla środka mas ciał), a jeźeli będziemy traktować środek mas jako poszczególne elementy (ciała) to wtedy suma mas spoczynkowych poszczególnych elementów wyrażamy: $m_{0C}=\sum _{i}m_{0i}\;$, gdzie $i\;$ to numer ciała, jeżeli traktować te ciała jako poszczególne elementy, co stąd z rozważań logicznych wynika, że defekt masy układu mas jest: $\Delta M=m_{0C}-M_{0}\;$, a wtedy po rozdzieleniu elementów masowych wydziela się energia na podstawie definicji energii spoczynkowych poszczególnych mas i energii spoczynkowej układu mas jako całość przedstawiamy w postaci: $\Delta E=\Delta Mc^{2}\;$. Masa środka masy ciał spoczynkowa $M_{0}\;$ jest związana w zależności od mas spoczynkowych poszczególnych elementów masowych w postaci (30.49), którymi są $m_{0i}\;$ (masą spoczynkową i-tego elementu), $u_{i}^{\mu }\;$ (tensor prędkości i-tego elementu), a tensorem prędkości środka mas $U^{\mu }\;$.

Wzór na całkowitą energię w zależności od pędu i masy spoczynkowej

Wektor pędu wyrażonej wzorem napisanej w punkcie (19.13) możemy podnieść do kwadratu, wtedy dostaniemy, że kwadrat długości pędu w zależności od prędkości danego badanego ciała wyraża się:

$p^{2}={{m_{0}^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(31.6)

Zatem możemy wyznaczyć wyrażenie poniżej wykorzystując definicję kwadratu wartości pędu przestrzennego (31.6) i definicję energii relatywistycznej (31.3) i jak się przekonamy suma kwadratu iloczynu pędu przez prędkość światła i kwadratu energii spoczynkowej ciała, wtedy opisane wyrażenie jest równe kwadratowi energii relatywistycznej danego ciała pędzącego z prędkością "V".

$p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}={{m_{0}^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}={{m_{0}^{2}v^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}-m_{0}^{2}c^{2}v^{2}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}={{m_{0}^{2}c^{4}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\left({{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\right)^{2}=E^{2}\;$

(31.7)

Przepisując końcowy wynik wynikającego z uzyskanego punktu (31.7), który możemy go zapisać jako funkcję wartości pędu ciała p i jego masy spoczynkowej m₀.

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\;$

(31.8)

Kwadrat długości tensora pędu w przestrzeni metrycznej Minkowskiego

Końcowy wzór z poprzedniego rozdziału, czyli wzór (31.8) można przedstawić w troszeczkę w innej postaci wyznaczając je tak by po prawej stronie tej nierówności występowały wielkości związane z masą spoczynkową danego ciała poruszających się z pędem "p".

$\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(31.9)

Jeśli oznaczymy jako pęd czasowy ciała $p_{0}={{E} \over {c}}\;$ według (30.17), to przestrzeń Minkowskiego względem sygnatury (1,-1,-1,-1) jest taka, że wzór (31.9) przy wprowadzanych tensorze n+1 wymiarowego wektora pędu można napisać:

$p^{\mu }\eta _{\mu \nu }p^{\nu }=m_{0}^{2}c^{2}\Rightarrow ||{\mathcal {p}}||^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\Rightarrow ||{\mathcal {p}}||=m_{0}c^{2}\;$

(31.10)

• gdzie η_μν jest tensorem metrycznym (16.5) w szczególnej teorii względności.

Wzór (31.10) na podstawie (16.9) jest również spełniony gdy mamy tensor metryczny (16.4) wychodząc z wzoru (31.10), a oto dowód:

$m_{0}^{2}c^{2}={\overline {p}}^{\mu }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }{\overline {p}}^{\nu }=p^{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }p^{\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }=p^{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{\overline {\eta }}_{\mu \nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }p^{\beta }=p^{\alpha }{\eta }_{\alpha \beta }p^{\beta }\Rightarrow p^{\alpha }{\eta }_{\alpha \beta }p^{\beta }$

Równość (31.10) w szczególnej teorii względności możemy zapisać równoważnie do niego, korzystając z własności ogólnie tensora metrycznego, w tym przypadku tensora Minkowskiego:

$p_{\nu }p^{\nu }=m_{0}^{2}c^{2}\;$

(31.11)

Można udowodnić, że jeśli przyjmować będziemy, że mamy tensor metryczny Minkowskiego jest o przeciwnej macierzy do tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d{\vec {r}}^{T}Ad{\vec {r}}=-{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}^{T}\underbrace {\begin{bmatrix}-1&0\\0&A\end{bmatrix}} _{\eta }{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}^{T}\eta {\begin{bmatrix}cdt,d{\vec {r}}\end{bmatrix}}\;$

co wtedy wzór (31.9) przedstawia się w troszeczkę w innej postaci, ale wyrażonej przez tensor pędu (30.17) i masę spoczynkową danego badanego ciała m₀:

$p_{\nu }p^{\nu }=-m_{0}^{2}c^{2}\;$

(31.12)