Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezalezności działania tensorów (wektorów) sił

Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezalezności działania tensorów (wektorów) sił

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu • Jak edytować artykuły

Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji wektorowej z przejściem do tensorowej

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\wedge {\vec {p}}=m{\vec {v}}\;$

(22.1)

Dowód: Udowodnijmy prawo (22.1). Rozwińmy funkcję $f({\vec {r}},{\vec {v}})\;$ względem położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być $v\leqslant c$ w najprostszej postaci, będąca pewną macierzą $mI$ oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało w układach spoczywających, która jest masą relatywistyczną pomnożoną przez macierz jednostkową, a ${\vec {f}}_{m}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})\;$ jest wektorem prędkości ciała, i ${{df} \over {dt}}\;$ jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję $d{\vec {f}}\;$ w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości wiedząc, że w definicji wektora siły ten dodatkowy człon jest związany z dodatkową siłą, np. będącym oporem od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora ${\vec {f}}\;$ względem czasu nazwijmy siłą:

$d{\vec {f}}={\vec {f}}_{\vec {r}}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})d{\vec {r}}+{\vec {f}}_{\vec {v}}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})d{\vec {v}}+{\vec {f}}_{m}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})dm\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {f}}} \over {dt}}=m{{d{\vec {v}}} \over {dt}}+{\vec {v}}{{dm} \over {dt}}={{dm{\vec {v}}} \over {dt}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(22.2)

W (20.13) pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi ${\vec {f}}_{\vec {r}}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})\neq 0\;$. Napiszmy z definicji wektora siły w (22.2) tensor siły:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\Rightarrow K^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}\;$

(22.3)

Ostatnie przedstawienie prawa na drugą zasadę dynamiki Newtona-Einsteina (22.3) jest w postaci tensorowej. Zajmijmy się dodatkowym członem w (22.2) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy w postaci wektora siły zakładając, że wielkość w nim $B\;$ jest dla układów $v<c\;$ stałą zależną od masy ciała dla klasy układów odniesienia względem siebie spoczywających:

${\vec {F}}=B{\vec {v}}\Rightarrow {\vec {F}}^{'}=C_{p}{\vec {F}}=C_{p}B{\vec {v}}=C_{p}BC_{p}^{-1}C_{p}{\vec {v}}=C_{p}BC_{p}^{-1}{\vec {v}}^{'}\Rightarrow B=C_{p}BC_{p}^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow {\vec {F}}=-bm{\vec {v}}=-b{\vec {p}}\Rightarrow {\vec {F}}=-b{\vec {p}}\;$

(22.4)

Końcowe równanie (22.4) jest również słuszne z definicji transformacji wektora siły z jednego układu odniesienia do drugiego względem siebie spoczywających. Na podstawie (22.4) wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzór (22.4) stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona (22.2), czyli w takiej formie:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}=-b{\vec {p}}+{\vec {F}}_{z}\;$

(22.5)

Zasada niezależności działania wektorów sił

Ale siła jest wielkością wektorową i addytywną, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że ${\vec {v}}_{i}\;$ jest i-tą prędkością z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a dalej rozważmy na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina, a zatem ${{\vec {g}}_{{\vec {v}}_{i}}^{'}}(x_{j}^{\mu },{\vec {v}}_{j},m_{j})\;$ jest równa masie relatywistycznej rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową, a ${{\vec {g}}_{m_{i}}}^{'}(x_{j}^{\mu },{\vec {v}}_{j},m_{j})\;$ jest równa ${\vec {v}}_{i}\;$, stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w (20.13) w wektorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji wektorowej:

$d{\vec {g}}=\sum _{i}\left({\vec {g}}_{{\vec {v}}_{i}}^{'}(x_{j}^{\mu },{\vec {v}}_{j},m_{j})d{\vec {v}}_{i}+{\vec {g}}_{m_{i}}^{'}(x_{j}^{\mu },{\vec {v}}_{j},m_{j})dm_{i}\right)=\sum _{i}\left(m_{i}{{d{\vec {v}}_{i}} \over {dt}}dt+{\vec {v}}_{i}{{dm_{i}} \over {dt}}dt\right)\Rightarrow {{d{\vec {g}}} \over {dt}}=\sum _{i}{{dm_{i}{\vec {v}}_{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;$

(22.6)

Na podstawie (22.6) siła jest wielkością addytywną i siła zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił.

Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji tensorowej z przejściem do wektorowej

Jeżeli na ciało działa tensor siły niezrównoważony, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającego tensora siły i odwrotnie proporcjonalna do masy spoczynkowej tego ciała. Wielkość masy spoczynkowej występujący we wzorze Newtona-Einsteina nazywamy masą bezwładnościową spoczynkową. Tą zasadę formujemy:

${K}^{\mu }=m_{0}c{{du}^{\mu } \over {ds}}\Rightarrow \left(K^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}\wedge p^{\mu }=m_{0}cu^{\mu }\right)\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(22.7)

Dowód: Udowodnijmy prawo (22.7). Rozwińmy funkcję $f^{\nu }(x^{\alpha },u^{\alpha })\;$ względem tensora położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina (22.7), wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość ${{f^{\nu }}^{'}}_{u^{\mu }}(x^{\alpha },u^{\alpha })\;$ jest pewną macierzą $M_{0}$, w najprostszej postaci oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą spoczynkową pomnożoną przez macierz jednostkową, i ${{df^{\mu }} \over {ds}}\;$ jest tensorem siły, a także postać wzoru na tensor siły nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając tensor $df^{\mu }\;$ w różniczkę zupełną z różniczką tensora położenia i różniczką tensora prędkości wiedząc, że w definicji tensora siły ten dodatkowy człon jest związany z dodatkowym tensorem siły, np. będącym oporem od ośrodka, a więc wzór na tensor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną tensora $f^{\nu }\;$ względem interwału czasoprzestrzennego nazwijmy tensorem siły:

$df^{\nu }={f^{\nu }}_{x^{\mu }}^{'}(x^{\mu },u^{\mu })dx^{\mu }+{{f^{\nu }}^{'}}_{u^{\mu }}(x^{\mu },u^{\mu })du^{\mu }\Rightarrow K^{\nu }={{df^{\nu }} \over {ds}}={f^{\nu }}_{x^{\mu }}^{'}(x^{\mu },u^{\mu })u^{\mu }+{{M_{0}}^{\nu }}_{\mu }{{du^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow \mathbf {K} =\mathbf {M} _{0}{{d\mathbf {u} } \over {ds}}\;$

(22.8)

W (22.8) pierwszy wyraz we wzorze na tensor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi ${f^{\nu }}_{x^{\mu }}^{'}(x^{\alpha },u^{\beta })\neq 0\;$. Napiszmy transformacje tensorów siły z jednego układu inercjalnego w drugi:

${\mathbf {K} ^{'}}=\mathbf {M} \mathbf {K} =\mathbf {M} \mathbf {M} _{0}{{d\mathbf {u} } \over {ds}}=\mathbf {M} \mathbf {M} _{0}\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {M} {{d\mathbf {u} } \over {ds}}=\mathbf {M} \mathbf {M} _{0}\mathbf {M} ^{-1}{{d\mathbf {u} ^{'}} \over {ds}}\Rightarrow \mathbf {M} _{0}=\mathbf {M} \mathbf {M} _{0}\mathbf {M} ^{-1}\Rightarrow \mathbf {M} _{0}=m_{0}c\mathbf {I} \;$

(22.9)

Na podstawie (22.8) i (22.9) mamy drugie prawo Newtona-Einsteina:

$K^{\mu }=m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow K^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(22.10)

Wzór (22.10) jest spełniony dla wszystkich prędkości. Zatem na podstawie (22.10) jest spełniona druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina. Zajmijmy się dodatkowym członem w (22.8) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji tensorowej w postaci tensorów siły zakładając, że stała macierzowa $B\;$ jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego spoczywających względem siebie:

$\mathbf {K} =B\mathbf {u} \Rightarrow \mathbf {K} ^{'}=M\mathbf {K} =MB\mathbf {u} =MBM^{-1}M\mathbf {u} =MBM^{-1}\mathbf {u} ^{'}\Rightarrow B=MBM^{-1}\Rightarrow B=-b{{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}{{v^{2}} \over {c^{2}}}m_{0}c&0\\0&m_{0}cI\end{bmatrix}}\;$

(22.11)

Napiszmy wzór na tensor siły od ośrodka znając stałą macierz $B\;$, wtedy:

$\mathbf {K} =B\mathbf {u} =-b{{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}{{v^{2}} \over {c^{2}}}m_{0}c&0\\0&m_{0}cI\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u^{0}\\{\vec {u}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},-b{\vec {p}}\right)\\-b{\vec {p}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {F}}_{o}\right)\\{\vec {F}}_{o}\end{bmatrix}}\;$

(22.12)

Zgodnie z definicją tensora siły (30.41) i wzorem na wektor siły działającej ze strony ośrodka na ciało (22.4) wzór na tensor siły od ośrodka (22.12) zgadza się, czyli stała macierz $B\;$ (22.11) jest prawidłowa. Przedstawmy inaczej wzór na tensor siły:

$\mathbf {K} =B\mathbf {u} =-b{{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}{{v^{2}} \over {c^{2}}}m_{0}c&0\\0&m_{0}cI\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u^{0}\\{\vec {u}}\end{bmatrix}}=-b{{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}{{v^{2}} \over {c^{2}}}&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p^{0}\\{\vec {p}}\end{bmatrix}}=-b{{\gamma } \over {c}}B_{p}\mathbf {p}$, gdzie $B_{p}={\begin{bmatrix}\beta ^{2}&0\\0&I\end{bmatrix}}\;$

(22.13)

Na podstawie (22.13) tensor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest równy iloczynowi macierzowemu, w którym z jednych ze czynników jest tensor pędu. Wzór (22.13) stawiamy po stronie tensorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina, czyli w takiej formie:

$m_{0}c{{d\mathbf {u} } \over {ds}}=\mathbf {K} =-b{{\gamma } \over {c}}B_{p}\mathbf {p} +\mathbf {K} _{z}\Rightarrow {{d\mathbf {p} } \over {ds}}=\mathbf {K} =-b{{\gamma } \over {c}}B_{p}\mathbf {p} +\mathbf {K} _{z}\Rightarrow {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}=-b{\vec {p}}+{\vec {F}}_{z}\;$

(22.14)

Jeśli uwzględniać opór od ośrodka to wzór (22.14) dla spoczywającego ośrodka ruchu ciała dla wszystkich prędkości, nawet tych relatywistycznych, jest spełniony.

Zasada niezależności działania tensorów sił

Ale wielkość wskaźnikowa siły jest wielkością tensorową, bo wielkość wskaźnikowa siły jest tensorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak tensor, zatem tensory siły działające na ciało dodają się jak wielkości tensorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że $u_{i}^{\mu }\;$ jest i-tym tensorem prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ty tensor sił z tensorów sił działających na to ciało, a zatem ${f_{u_{i}^{\alpha }}^{\mu }}^{'}(x_{j}^{\nu },u_{j}^{\nu }){{ds_{i}} \over {ds}}\;$ powinna być taka sama niezależna od $i\;$ i równa masie spoczynkowej $m_{0}\;$ rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych dowolnych tensorów prędkości i wielkości wskaźnikowej położenia, ponieważ gdy by pozostałe tensory sił były by równe zero inne niż i-ty tensor sił, stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w (22.8) w tensorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji tensorowej, to ona spełnia wzór (22.7), wtedy:

$df^{\mu }=\sum _{i}{f_{u_{i}^{\alpha }}^{\mu }}^{'}(x_{j}^{\nu },u_{j}^{\nu })du_{i}^{\alpha }=\sum _{i}{f_{u_{i}^{\alpha }}^{\mu }}^{'}(x_{j}^{\nu },u_{j}^{\nu }){{ds_{i}} \over {ds}}{{du_{i}^{\alpha }} \over {ds_{i}}}ds=\sum _{i}m_{0}cI{{du_{i}^{\mu }} \over {ds_{i}}}ds\Rightarrow {{df^{\mu }} \over {ds}}=\sum _{i}m_{0}c{{du_{i}^{\mu }} \over {ds_{i}}}=\sum _{i}K_{i}^{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow K^{\mu }=\sum _{i}K_{i}^{\mu }\;$

(22.15)

Na podstawie (22.15) wielkość wskaźnikowa siły ogólnie oznaczoną $K^{\mu }\;$ jest wielkością addytywną i jest tensorem, a także jest spełniona zasada niezależności działania tensorów sił.

Dowód trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina

Udowodnimy tutaj trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego i obrotowego.

Przypadek ruchu liniowego

Będziemy tutaj udowodniali trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego.

W przypadku, gdy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego jest spełniona

Na podstawie (20.15) mamy zależność dla szczególnej teorii względności (postać einsteinowska):

${{du^{\mu }} \over {ds}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=0\Rightarrow m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}+m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=0\Rightarrow K_{1}^{\mu }+H_{2}^{\mu }=0\wedge K_{1}^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}={{\gamma } \over {c}}{{dp^{\mu }} \over {dt}}={{\gamma } \over {c}}F_{1}^{\mu }\wedge \;$
$\wedge H_{2}^{\mu }=m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}F_{1}^{\mu }+H_{2}^{\mu }=0\Rightarrow F_{1}^{\mu }+\underbrace {{{c} \over {\gamma }}H_{2}^{\mu }} _{F_{2}^{\mu }}=0\Rightarrow F_{1}^{\mu }+F_{2}^{\mu }=0\Rightarrow {\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0\;$

(22.16)

• Ale ogólnie: $F_{2}^{\mu }={{c} \over {\gamma }}H_{2}^{\mu }={{c} \over {\gamma }}m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }={{c} \over {\gamma }}{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{{\gamma } \over {c}}v^{\alpha }p^{\beta }={\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }v^{\alpha }p^{\beta }\neq 0\;$.
• gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola.

---

Na podstawie (20.16), mamy zależność dla mechaniki Newtona w postaci newtonowskiej:

$m_{0}{{d} \over {dt}}{\dot {q}}^{k}+\left(m_{0}{\Gamma ^{k}}_{ls}({\dot {q}}^{s}-V^{s})({\dot {q}}^{l}-V^{l})-m_{0}{{d} \over {dt}}V^{k}-({\dot {q}}^{k}-V^{k})_{,\mu }m_{0}V^{\mu }\right)=0\Rightarrow {\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0\;$

(22.17)

lub rozważając w postaci einsteinowskiej według wzoru (20.15):

${{du^{\mu }} \over {ds}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=0\Rightarrow m_{0}{{dv^{\mu }} \over {dt}}+m_{0}{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }v^{\alpha }v^{\beta }=0\Rightarrow {{dp^{\mu }} \over {dt}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }v^{\alpha }p^{\beta }=0\Rightarrow F_{1}^{\mu }+F_{2}^{\mu }=0\Rightarrow {\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0$

(22.18)

Na podstawie postaci einsteinowskiej (22.17) i newtonowskiej (22.18) w mechanice Newtona mamy, że suma sił działającej na ciało i pole jest równa zero, co:

${\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0\;$

(22.19)

• gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola.

---

Zatem względem niezależności działania sił (22.6) rozważmy układ jedno pole i ciało, wtedy na tej podstawie suma sił działający na to pole i ciało jest równa zero na podstawie dowodu (22.16) (szczególna teoria względności) i (22.19) (mechaniki Newtona). Rozważmy przypadki podzbioru $k\;$ ciał, tzn.: i=1,2,3,...,k, ze zbioru wszystkich ciał ($n\;$ ciał) wytwarzających pewne pola działających na ciała j-te dla j=1,2,...,n, wtedy na podstawie końcowego wzoru (22.16) (szczególna teoria względności) i (22.19) (mechanika Newtona) sumując obustronnie te wzory dla każdej z teorii sformułowane dla każdego i-tego przyjmując zasadę niezależności działania sił (22.6) nawet dla pól (co jest spełnione dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich), czyli przyjmując, że pole od jednego ciała jest niezależne od pól innych ciał:

$\sum _{i=1}^{k}{\vec {F}}_{1i}+\sum _{i=1}^{k}{\vec {F}}_{2i}=0\;$

(22.20)

Napiszmy przez ${\vec {F}}_{mech}=\sum _{i=1}^{k}{\vec {F}}_{1i}\;$ i ${\vec {F}}_{pole}=\sum _{i=1}^{k}{\vec {F}}_{2i}\;$ we formule (22.20), dzięki temu dochodzimy do wniosku:

${\vec {F}}_{mech}+{\vec {F}}_{pole}=0\;$

(22.21)

Końcowy wzór (22.21) jest również spełniony w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy ${\vec {F}}_{pole}\;$, to jest siła działająca na pola w układzie wszystkich pól i ciał. Suma sił wtedy w (22.21) jest równa zero jak tam napisano, co wynika z równania geodezyjnego ruchu ciała w układach słabozakrzywionych. Wedle wzoru w (22.21) zakładając, że suma sił działających na pola jest równa zero, bo te pola są wytwarzane przez ciała, jeżeli w ogóle to jest spełnione, tzn.: ${\vec {F}}_{pole}=0\;$ (tzn. przyjmujemy, że pole ma masę relatywistyczną prawie równą zero (co tutaj możemy przyjąć, że dokładnie) i jest natychmiastowe (można tak powiedzieć, bo prędkość światła, z którą rozpowszechnia się pole jest bardzo dużą prędkością, a więc można powiedzieć, że jest prędkością prawie nieskończoną), a to pole na pewno spełnia drugą zasadę dynamiki Newtona i w przybliżeniu Einsteina dla ruchu liniowego), wtedy:

${\vec {F}}_{mech}=0\;$

(22.22)

Wzór (22.22) zachodzi dla każdego podzbioru ciał jeżeli przyjmniemy niezależność działania sił, wtedy podzbiór sił działający na ciało nadaje taką zmianę tensora pędu względem czasu opisującą ciało, jak gdy by sił innych niż w tym podzbiorze sił nie było. We wzorze (22.22) rozważając podukład dwóch ciał ($k=2\;$) z układu $n\;$ ciał:

${\vec {F}}_{1ij}+{\vec {F}}_{1ji}=0\Rightarrow {\vec {F}}_{1ij}=-{\vec {F}}_{1ji}\;$

(22.23)

Widzimy, że ze wzoru pierwszego (22.23) po sumowaniu go obustronnie względem wszystkich "i" i "j", mając na myśli i<j, mamy równanie (22.22) dla układu ciał, co powinno zachodzić. Wzór (22.23), który jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego przedstawia, że ciało i-te oddziałuje na ciało j-te z siłą ${\vec {F}}_{1ij}\;$, a ciało j-te na ciało i-te z siłą ${\vec {F}}_{1ji}=-{\vec {F}}_{1ij}\;$. Ale (22.23) jest dokładnie spełniona pomiędzy ciałem (cząstką materii) a polem na podstawie (22.16).

Kiedy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego nie jest spełniona

Z oczywistych powodów pole ma masę i rozprzestrzenia się ze skończoną prędkością, co ogólnie zachodzi ${\vec {F}}_{pole}\neq 0\;$, więc trzecia zasada dynamiki dla ruchu liniowego ogólnie nie jest spełniona.