Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawa zachowania energii (masy), pędu i energii(masy)-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych, a także słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne albo krzywoliniowe lub we współrzędnych uogólnionych według procedury (Proc. Niedopasowany uchwyt: FG).

Szczególna teoria względności[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania energii, pędu i energii-pędu dla szczególnej teorii względności.

Lokalna zasada zachowania energii dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(37.1)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(37.2)

Z definiujmy jako tensor prądu względem tensora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ0:

(37.3)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (37.4) do (37.2) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(37.4)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (37.3) do (37.2) dla elementów przestrzennych tensora prądu prądu j , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

(37.5)

Ale elementy tensora według (37.4) (elementy czasowe) i (37.5) (elementy przestrzenne), czyli mamy wzór na definicję tensora prądu (37.3), które doprawdzają z (37.3) do (37.2), w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, co stąd na tej podstawie ogólnie mamy uwzględniając pochodne cząstkowe ciśnienia i elementy czasowe gęstości wielkości wskaźnikowej siły w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (37.3) (wzór na gęstość prądu o współrzędnych j), (25.2) (pochodnej czasowej ciśnienia) i (36.3) (wzór na gęstość tensora siły):


(37.6)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania wielkości gęstości składowej pędu, tzn.: dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości:


(37.7)

Zdefiniujmy współrzędną czasową x0 jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x0=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

(37.8)

Z definiujmy jako tensor prądu jako:

(37.9)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (37.9) do (37.8) dla ν=0 tensora prądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

(37.10)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (37.9) do (37.8) dla ν=i tensora prądu kontrawariantnego przestrzennego (i-tego):

(37.11)

Zatem lokalnie prawo zachowania pędu na podstawie (37.7) i (37.8) wynikające z (37.9) (w tym według dowodu (37.10) i (37.11), w których dochodzimy do (37.9)) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości przedstawia się w formie patrząc na (37.9) (tensor gęstości prądu) i (36.3) (gęstość tensora siły):


(37.12)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych oraz słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątnych albo we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych według procedury (Proc. Niedopasowany uchwyt: FG).

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Na podstawie definicji gęstości prądu (37.3) (dla lokalnego zachowania energii) i (37.9) (dla lokalnego zachowania współrzędnych pędu) mamy wzór na tensor prądu , czyli:

(37.13)

Łącząc wzory (37.6) i (37.12) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (37.13) (wzór na gęstość tensora prądu) i (36.3) (wzór na gęstość tensora siły):

(37.14)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (35.1) w szczególnej teorii względności, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania energii-pędu dla einsteinowskich układów odniesienia[edytuj]

Wzór (37.14) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:


(37.15)

Ostatni wzór w (37.15) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (21.8) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (37.15) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (37.15) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. Niedopasowany uchwyt: FG) otrzymując wzór (37.16), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (37.17) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (37.15)):

(37.16)
(37.17)

Ostateczny wzór (37.16) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (37.17) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (37.16) przedstawia się w formie:

(37.18)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (37.16):

(37.19)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania energii-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu przy działającej na dany punkt różniczce tensora siły dla einsteinowskich układów odniesienia[edytuj]

Uzupełnienie prawa (37.14) przy definicji tensora siły (36.3) stosując twierdzenie (Twier. Niedopasowany uchwyt: GH) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (33.10) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (20.6), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (25.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (25.1), gdzie po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do układów słabozakrzywionych daje nam wzór (33.13), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania energii-pędu (37.16), i też w niego wynika równanie ruchu (36.10).

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w szczególnej teori względności[edytuj]

Lokalne prawo zachowania energii-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe lub płaskie we współrzędnych uogólnionych, tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (37.16), jest równy zero, przedstawia się w formie:

(37.20)
(37.21)

Prawo dokładne (37.20) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie krzywoliniowe lub we współrzędnych krzywoliniowych przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu przy gęstości tensora sił równej zero, a w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne to prawo jest z przecinkiem zamiast średnika i przedstawia się jako prawo (37.21).

Mechanika Newtona[edytuj]

Będziemy tutaj określali lokalne prawo zachowania masy, pędu i masy-pędu dla mechaniki Newtona.

Lokalna zasada zachowania masy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:


(37.22)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

(37.23)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (37.23) i formułę na lokalne prawo zachowania masy (37.22) patrząc na (36.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły), co:

(37.24)

Lokalna zasada zachowania pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości[edytuj]

Napiszmy z definicji zasady zachowania jakieś wielkości o gęstości spoczynkowej dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałej wielkości wskaźnikowej prędkości:


(37.25)

Zdefiniujmy gęstość prądu w postaci:

(37.26)

Wykorzystując wzór na gęstość prądu (37.26) i formułę na lokalne prawo zachowania pędu (37.25) patrząc na (36.7) (wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły), co:

(37.27)

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Patrząc na wzory (37.23) i (37.26) mamy wzór na wielkość wskaźnikową gęstości prądu:

(37.28)

Wielkość wskaźnikową gęstości prądu (37.28) jest iloczynem gęstości spoczynkowej i dwóch o ogólnie różnych wskaźnikach wielkości wskaźnikowej prędkości.

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalne prawo zachowania masy-pędu dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. Łącząc wzory (37.24) i (37.27) otrzymujemy dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości patrząc na (37.28) (wzór na gęstość prądu) i (36.7) (wzór na wielkość wskaźnikową siły):

(37.29)

Jest to wzór dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jest to taki sam wzór jak (35.2) w mechanice Newtona, tylko że zamiast średnika jest przecinek.

Końcowy rezultat lokalnego prawa zachowania masy-pędu[edytuj]

Wzór (37.29) na lokalne prawo zachowania energii-pędu transformujemy do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (w tym układzie możemy postawić zamiast przecinka średnik, co zrobimy, bo symbole Christoffela są dokładnie równe zero, a w układach słabozakrzywionych już się nie zerują), wtedy:

(37.30)

Ostatni wzór w (37.30) dla układów słabozakrzywionych ma taką samą postać jak pierwszy wzór tam, bo skorzystaliśmy tam z przybliżonych praw w postaci (21.10) i (21.11) przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Obliczenia w (37.30) są dla układów słabozakrzywionych przy macierzy transformacji będących funkcjami uogólnionymi transformujący z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego.

W (37.30) w końcowym wzorze dla układów słabozakrzywionych (dla dowolnych prędkości w czasie i przestrzeni) niech mamy układy słabozakrzywione uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, wtedy symbole Christoffela uważamy za równe zero według procedury (Proc. Niedopasowany uchwyt: FG) otrzymując wzór (37.31), wtedy możemy napisać z niego wynikający końcowy wzór (37.32) dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (a to wynikanie jest podobne jak z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego napisanego jak w punkcie (37.30)):

(37.31)
(37.32)

Ostateczny wzór (37.31) przedstawia lokalną zasadę zachowania energii-pędu (końcowy wzór) w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a formuła (37.32) przedstawia się w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych. Dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne lokalne prawo zachowania energii według wzoru (37.31) przedstawia się w formie:

(37.33)

A lokalne prawo zachowania pędu też w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne też według (37.31) jest:

(37.34)

Doprowadzenie lokalnego prawa zachowania masy-pędu do lokalnej zachowawczości tensora gęstości masy-pędu przy działającej na dany punkt różniczce wielkości wskaźnikowej siły dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych[edytuj]

Uzupełnienie prawa (37.29) przy definicji wielkości wskaźnikowej siły (36.7) stosując twierdzenie (Twier. Niedopasowany uchwyt: GH) daje nam lokalną zachowawczość tensora gęstości masy-pędu, w którym na dany punkt w przestrzeni działa różniczka tensora siły zewnętrznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. daje to (33.11) na podstawie globalności (lokalności) stałego tensora prędkości (20.7), globalności (lokalności) stałej gęstości masy spoczynkowej (25.5) i globalności (lokalności) stałego ciśnienia (25.1), gdzie po przejściu do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości daje nam wzór (33.18), czyli w tym wzorze zawarte jest w przybliżeniu całe lokalne prawo zachowania masy-pędu (37.31), i też z niego wynika równanie ruchu (36.16), co te formuły są dla układów słabozakrzywionych.

Gdy tensor siły niezrównoważonej jest równy zero w układach słabozakrzywionych[edytuj]

Lokalne prawo zachowania masy-pędu zakładając, że w układach słabozakrzywionych tensor siły niezrównoważonej pamiętając, że zachodzi (37.31), jest równy zero, przedstawia się w formie dla układów uważanych za płaskie we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych i płaskie ogólnie nieprostokątne:

(37.35)
(37.36)

Prawo przybliżone (37.35) ((37.36)) dla układów słabozakrzywionym przedstawia lokalną zasadę zachowania masy-pędu przy gęstości tensora sił równej zero.