Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Matematyczna teoria najmniejszego działania, dodawanie do niej dowolnych zer i jedynek z definicji całki

Matematyczna teoria najmniejszego działania, dodawanie do niej dowolnych zer i jedynek z definicji całki

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Będziemy tutaj rozpatrywali czasoprzestrzeń według szczególnej teorii względności i przestrzeń galiluszowską według mechaniki Newtona dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, i powiemy, że te teorie są spełnione tylko w sposób przybliżony dla układów słabozakrzywionych, a dla pierwotnych układów, dla których one zostały przyszykowane, z nich wychodzi tylko tensory (wektory) prędkości globalnie (lokalnie) stałe, czyli powiemy, że układy są jednak zakrzywione, a nie płaskie, a w najniższym przypadku układy mogą być słabozakrzywione, bo układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a słabozakrzywione układy są za to fizyczne według warunków szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona. Zachodzą ((21.7) i ((21.8)) (szczególna teoria względności) oraz ((21.9), (21.10) i (21.10)) (mechanika Newtona) przy przejściu od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (układy niefizyczne, tylko matematyczne) do układów słabozakrzywionych (układy fizyczne) o funkcjach transformacji będące funkcjami uogólnionymi. W układach słabozakrzywionych można powiedzieć, że w nich tak naprawdę jest spełniona w sposób przybliżony szczególna teoria względności i mechanika Newtona lub gadając inaczej też tak może być, że nasze prawa fizyki dla układów płaskich są przybliżone, co dlatego tak zachodzi stałość tensora prędkości i funkcji w lagrangianie dla tych układów jak nam wyjdzie poniżej.

Całka działania i rachunek lagrangianowy, a równanie Eulera-Lagrange'a

Całkę działania w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona dla układów punktowych przedstawiamy kolejno w postaci:

$S=\int _{t}Lcdt\;$

(28.1)

$S=\int _{t}Lcdt\;$

(28.2)

a dla układów rozciągłych ich odpowiedniki są kolejno w postaci:

$S=\int _{\tau }{\mathfrak {L}}|J|d^{n+1}dx^{\mu }\;$

(28.3)

$S=\int _{Vt}{\mathfrak {L}}dVcdt=\int _{Vt}{\mathfrak {L}}|J|d^{n}x^{i}cdt\;$

(28.4)

• gdzie $n\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej w szczególnej teorii względności, i wymiar przestrzeni w mechanice Newtona, oraz $dV=|J|d^{n}x^{i}\;$ w mechanice Newtona, ale przedstawienie końcowe w (28.3) jest dla układów współrzędnych spełniającego metrykę Minkowskiego (16.4), i (28.4) jest dla układów współrzędnych (odniesienia) we współrzędnych układu ogólnie nieprostokątego, krzywoliniowego lub uogólnionego.

Widzimy, że w całkach działania: (28.1) (układ punktowy) i (28.3) (układ rozciągły), w szczególnej teorii względności, oraz (28.2) (układ punktowy) i (28.4) (układ rozciągły), w mechanice Newtona, niezależnie jakie tam dodamy jedynki lub zera, to ona zawsze przyjmuje tą samą wartość, nawet gdy przyjmuje wartość najmniejszą zawsze tą samą. Równania Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu dla szczególnej teorii względności: (28.5) i (28.6), i mechaniki Newtona: (28.7) i (28.8), aby cała działania (28.1) w szczególnej teorii względności i (28.2) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

${{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial u^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(28.5)

${{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu ,\gamma }}}-{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=0\;$

(28.6)

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial v^{i}}}-{{\partial L} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(28.7)

${{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial g_{ij,k}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{ij}}}=0\;$

(28.8)

a dla gęstości lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a dla szczególnej teorii względności: (28.9) i (28.10), i mechaniki Newtona: (28.11) i (28.12), aby cała działania (28.3) w szczególnej teorii względności i (28.4) w mechanice Newtona przyjmowała wartość najmniejszą:

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial u^{\mu }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(28.9)

${{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\mu \nu ,\gamma }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=0\;$

(28.10)

${{d} \over {dt}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial v^{i}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}=0\;$

(28.11)

${{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{ij,k}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{ij}}}=0\;$

(28.12)

W powyższych równaniach $g^{\mu \nu }\;$ w (28.6) i (28.10) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, dla szczegónej teorii względności, a $g^{ij}\;$ w (28.8) i (28.12) jest to tensor metryczny dla współrzędnych krzywoliniowych i uogólnionych, a też dla współrzędnych układu ogólnie nieprostokątnego, w mechanice Newtona.

Gdy jakobian $|J|\;$ jest równe jeden dla układu spełniającego metrykę Minkowskiego (16.5) w szczególnej teorii względności lub układu spełniającego metrykę metryczną o macieży jednostkowej, wtedy całka działania przyjmuje wartość najmniejszą dla przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej i są spełnione wnioski: (28.5) (28.9), dla szczególnej teorii względności, lub wnioski: (28.7) i (28.11) w mechanice Newtona, a gdy czasoprzestrzeń (przestrzeń zwykła) jest we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych, albo ogólnie nieprostokątnych, wtedy dochodzą dalsze wnioski: (28.6) i (28.10), w szczególnej teori względności i też: (28.8) i (28.12), aby całka działania przyjmowała nadal wartość najmniejszą w tych teoriach fizycznych, nie tylko w układach globalnie (lokalnie) płaskich.

Szczególna teoria względności (mechanika relatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozpatrywali szczególną teorię względności w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a lokalnie płaskie udowodniliśmy poniżej punktu (20.28) (notacja einsteinowska) z niego, że też takie są.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające szczególną teorię względności

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (27.1) i rozciągłe ((27.14) w elektromagmnetostatyce lub (27.19)) w elektromagmetodynamice), a w nim ruch wynika z lagrangianu dla układów punktowych, za pomocą której piszemy lagrangian dla układów rozciągłych. Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym Minkowskiego (16.4) dla układów ogólnie nieprostokątnych.

Układy punktowe

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (27.1), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.13)

Wstawmy jedynkę do równania (28.13) następującą: (30.11), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (28.13) i on przyjmuje równoważną formę:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.14)

Równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (28.13) i (28.14), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się według wzoru (28.5). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (28.14) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (28.5), co:

${{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}={{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(28.15)

Policzmy pochodną lagrangianu (28.14) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (28.5), wtedy:

${{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }\;$

(28.16)

Zbierzmy nasze wyniki badań (28.16) i (28.15) do równości (28.5) (te obliczenia są dla lagrangianu (28.14), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (28.5)), wtedy:

${{d} \over {ds}}\left(-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }\right)+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.17)

---

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (28.13) i (28.14) są fizyczne, co udowodnimy później:
Dla Lagrangianu (28.13) równanie Eulera-Lagrange'a (28.5), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (28.17) wynikająca z (28.14), jest w postaci:

${{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.18)

Wykorzystując równość (28.18) do (28.17) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

${{d} \over {ds}}\left(-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }\right)=0\Rightarrow {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}_{\mu }=\operatorname {const} \wedge {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}^{\mu }=\operatorname {const} \Rightarrow {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\operatorname {const} \Rightarrow \;$
$\Rightarrow 1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const}$

(28.19)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (28.19) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (28.19), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

${\dot {x}}^{\mu }=\operatorname {const} \;$

(28.20)

Co (28.20) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli langrangiany (28.13) i (28.14) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale $(s,s+ds)\;$, prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (28.13) i (28.14) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (28.17), wtedy po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim , wtedy:

${{2m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}{{dv} \over {ds}}{\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\ddot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)+\;$
$-{{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.21)

Przenosząc wyraz pierwszy w (28.21) na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez $-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$, wtedy:

${\ddot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }=-{{1} \over {2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}{\Bigg (}-{{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}{{dv} \over {ds}}\eta _{\mu \nu }+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)+\;$
$-{{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right){\Bigg )}=C$

(28.22)

A więc po lewej stronie mamy zmienne względem drugiej pochodnej tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest dowolnej wartości, ale prawa względem prędkości, pochodnej zupełnej i cząstkowe wartości prędkości, i innych wielkości, a one są dowolnej wartości, stąd obie strony w (28.22) są równe stałej $C\;$ , a ta stała dla układów, w którym globalnie (lokalnie) zachodzi ${\ddot {x}}^{\mu }=0\;$, jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą: (28.20) i (28.18), stąd jeśli lagrangian (28.13) jest niefizyczny to również równoważnie lagrangian (28.14) jest też niefizyczny dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (7.5) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wzór na skrócenie długości (18.7), wykorzystając, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością ${\vec {v}}\;$, wtedy:

$S=c\int dLdt=\int \left(-\rho _{0}c^{2}-A^{\mu }J_{\mu }+{\begin{cases}0&{\mbox{ (1)}}\\-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&{\mbox{ (2)}}\end{cases}}\right)dVcdt=-\int \left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)dVcdt\Rightarrow \;$
$\Rightarrow S=\int {\mathcal {L}}dVcdt=\int {\sqrt {-\eta }}{\mathcal {L}}d^{n+1}x^{'}\Rightarrow {\mathcal {L}}=-\rho _{0}c^{2}-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(28.23)

• gdzie:

$n\;$ - jest to wymiar przestrzeni zwykłej.

$\eta \;$ - to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego $(\eta )\;$, czyli (16.4).

(1) - pole elektromagnetostatyczne, a (2) - pole elektromagnetodynamiczne.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału czasoprzestrzennego (30.11), wtedy równość (28.23) po rozpisaniu jedynki:

${\mathcal {L}}=-\rho _{0}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }c^{2}-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(28.24)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (28.23) przedstawia się w formi (28.9). Policzmy najpierw drugi wyraz w (28.9) wykorzystując (28.24), zatem:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{\alpha }}}=-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}\eta _{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-\rho _{0}{{\partial \eta _{\mu \nu }} \over {\partial x^{\alpha }}}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(28.25)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (28.9) wykorzystując (28.24):

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}=-\rho _{0}c^{2}\left(\eta _{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\alpha }{\dot {x}}^{\mu }+\rho _{0}c^{2}\eta _{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\dot {x}}^{\nu }\right)-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f\left(t,{\vec {r}},{\vec {v}}\right)\right)=-\rho _{0}c^{2}\left(\eta _{\alpha \mu }{\dot {x}}^{\mu }+\eta _{\alpha \nu }{\dot {x}}^{\nu }\right)-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=\;$
$=-\rho _{0}c^{2}\left(\eta _{\alpha \mu }{\dot {x}}^{\mu }+\eta _{\mu \alpha }{\dot {x}}^{\mu }\right)-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-2\rho _{0}c^{2}\left(\eta _{\alpha \mu }{\dot {x}}^{\mu }\right)-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=\;$
$=-2\rho _{0}c^{2}\eta _{\alpha \mu }{\dot {x}}^{\mu }-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(28.26)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (28.25) i (28.26), co podstawmy je do równania (28.9):

${{d} \over {ds}}\left[2\rho _{0}\eta _{\alpha \mu }{\dot {x}}^{\mu }c^{2}+{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 2\eta _{\alpha \mu }c^{2}{{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}{\dot {x}}^{\mu }\right)+{{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(28.27)

---

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (28.23) i (28.24) są niefizyczne, tylko matematyczne, co udowodnimy później:
Wykorzystajmy wzór (28.23) i podstawmy go do wzoru (28.9) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

${{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(28.28)

Wykorzystajmy równość (28.28) do równości otrzymanej (28.27), co:

$2\eta _{\alpha \nu }c^{2}{{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}{\dot {x}}^{\nu }\right)=0\Rightarrow {{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}{\dot {x}}^{\mu }\right)=0\Rightarrow \rho _{0}{{d{\dot {x}}^{\mu }} \over {ds}}+{\dot {x}}^{\mu }{{d\rho _{0}} \over {ds}}=0\;$

(28.29)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

${{d} \over {ds}}\rho _{0}={{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\alpha }+{{\partial \rho _{0}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}{\ddot {q}}^{\alpha }=0\;$

(28.30)

Wniosek (28.30) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale $\rho _{0}\;$, której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach $(s,s+ds)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: ${\dot {q}}^{i}=0\;$, ${\dot {q}}^{0}=1$ i z wniosków w niej mamy: ${\ddot {q}}^{\alpha }=0\;$, ale też wiadomo też tam ${{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{0}}}=0\;$ (z (25.4) dla $\phi _{0}=\rho _{m0}\;$ i $q^{0}=x^{0}=ct\;$), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (28.30) z niezmienniczości interwału czasoprzestrzennego i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (28.30):

$0=d\rho _{0}={{\partial \rho _{0}(x^{\mu },u^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\mu }\Rightarrow {{\partial \rho _{0}(x^{\mu },u^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(28.31)

Na podstawie (28.30) i (28.29), mamy:

$\rho _{0}{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}=0\Rightarrow {{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}=0\Rightarrow {\dot {x}}^{\nu }=\operatorname {const} \;$

(28.32)

Co (28.32) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (28.23) i (28.24) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (28.32) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale ${\dot {x}}^{\nu }\;$ jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach $(s,s+ds)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich ${\dot {x}}^{\mu }\;$ jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego $s\;$. Wnioski (28.30) i (28.31) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (28.32), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\rho _{0}\neq 0\;$ i nie zachodzi (28.31), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (28.23) i (28.24) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (28.27), co po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim, wtedy:

$2\eta _{\alpha \nu }c^{2}\left(\rho _{0}{{d{\dot {x}}^{\mu }} \over {ds}}+{\dot {x}}^{\mu }{{d\rho _{0}} \over {ds}}\right)+{{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(28.33)

Przekształacając dalej, co:

$2\eta _{\alpha \nu }c^{2}\rho _{0}{{d{\dot {x}}^{\mu }} \over {ds}}+2\eta _{\alpha \nu }c^{2}{\dot {x}}^{\mu }{{d\rho _{0}} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(28.34)

W (28.34) przenosimy wyraz $2\eta _{\alpha \nu }c^{2}{\dot {x}}^{\mu }{{d\rho _{0}} \over {ds}}\;$ z lewej na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez $2\eta _{\alpha \nu }c^{2}\rho _{0}\;$, w takim razie:

$\eta _{\alpha \nu }{{d{\dot {x}}^{\mu }} \over {ds}}=-{{1} \over {2c^{2}\rho _{0}}}{\Bigg (}-2\eta _{\alpha \nu }c^{2}{\dot {x}}^{\mu }{{d\rho _{0}} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}{\Big (}\rho _{0}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}}){\Big )}{\Bigg )}=C\;$

(28.35)

Lewa strona zależy od drugiej pochodnej tensora położenia względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest dowolnej wartości, a prawa od pochodnej zupełnej gęstości spoczynkowej względem interwału czasoprzestrzennego, gęstości spoczynkowej i pochodnych zupełnych i cząstkowych innych wielkości fizycznych, a one są dowolnej wartości, zatem obie strony są równe stałej $C\;$, obierzmy taki układ, w którym ${\ddot {x}}^{\mu }=0\;$, wtedy ta stała jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą: (28.32) i (28.28), a jeśli gęstość lagrangianu (28.23) jest niefizyczna, ale matematyczna, to również równoważnie gęstość lagrangianu (28.24) jest niefizyczna, ale matematyczna, dla układów płaskich (lokalnie płaskich) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym tensorze prędkości), a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione

Ale zachodzi na podstawie (28.20) (układy punktowe) i (28.32) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (15.26) (ogólny wniosek):

$d{\dot {x}}^{\mu }=0\;$

(28.36)

Jeśli zachodzi (28.36), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni spełniającego (28.20) (układy punktowe) i (28.32) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), (28.20) (układy punktowe) i (28.32) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

$0=d{\dot {x}}^{\mu }={{\partial {\dot {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\;$

(28.37)

Co się zgadza z wnioskiem (20.13) o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Co stąd zachodzi też (28.32) na podstawie (20.13) i (28.36), a także (28.37), co na tej podstawie mamy, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że czasoprzestrzeń jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od interwału czasoprzestrzennego, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale interwału czasoprzestrzennego $(s,s+ds)\;$ też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach zakrzywionych, wtedy tam panuje ogólna teoria względności, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (28.37) (lub (20.13)) przecinek średnikiem i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy otrzymujemy wzór w notacji einsteinowskiej (20.15) dla $\mu =0,1,2,3,...,n\;$, gdzie $n\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzesztrzeni, czyli:

${{\dot {q}}^{\mu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{\mu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\;$

(28.38)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (20.28), co wtedy spełniona jest cała dynamika Einsteina według (28.38). Stąd dynamika Einsteina (szczególna teoria względności) jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (21.7)) dla prędkości $v\leqslant c\;$, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli szczególna teoria względności jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ (15.33), wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją fizycznie układy lokalnie płaskie w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski ze szczególnej teorii względności.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona szczególna teoria względności i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (21.7) i (21.8).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną

Wykorzystując (28.37) i tensorowość prędkości (21.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

${{d{\overline {u}}^{\mu }} \over {ds}}={{d\left({\dot {x}}^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\right)} \over {ds}}={\dot {x}}^{\nu }{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }+{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}\simeq {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}=0\;$

(28.39)

Stąd szczególna teoria względności jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (20.6) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

${{\overline {u}}^{\mu }}_{,\nu }=\left({{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }u^{\alpha }\right)_{,\beta }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }\simeq {u^{\alpha }}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\cdot {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\;$

(28.40)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\partial {\overline {\eta }}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}\left(\eta ^{\omega \gamma }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\gamma }\right){{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }\simeq {{\partial \eta ^{\omega \gamma }} \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\gamma }{{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }=0\;$

(28.41)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona szczególna teoria względności) pochodne cząstkowe tensora prędkości (28.40) i tensora metrycznego (28.41) względem tensora położenia w czasoprzestrzeni są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną to (28.39), (28.40) i (28.41) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w szczególnej teorii względności z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Mechanika Newtona (nierelatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozpatrywali mechanikę Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, a lokalnie płaskie udowodniliśmy poniżej punktów (20.28) (notacja einsteinowska) i (20.29) (notacja Newtonowska) z nich, że też takie są.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w mechanice Newtona.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające mechanikę Newtona

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (27.6) i rozciągłe (27.22), a w nim ruch wynika z lagrangianu dla układów punktowych za pomocą, której piszemy lagrangian dla układów rozciągłych. Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym $(g)=A\;$ dla układów ogólnie nieprostokątnych.

Układy punktowe

Weźmy ciało punktowe dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (27.6), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

$L={{m_{0}v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})={{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.42)

Wstawmy jedynkę do równania (28.42) w postaci definicji różniczki długości:

$dl^{2}=dx^{i}g_{ij}dx^{j}\Rightarrow 1=u^{i}g_{ij}u^{j}\;$

(28.43)

wtedy lagrangian jest równy matematycznie (28.42) i on przyjmuje równoważną formę:

$L={{m_{0}v^{2}} \over {2}}u^{i}g_{ij}{u}^{j}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.44)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (28.42) i (28.44), dla obu lagrangianów równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia sidę w formie (28.7). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (28.44) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (28.7), co:

${{\partial L} \over {\partial x^{i}}}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(28.45)

Policzmy pochodną lagrangianu (28.44) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (28.7), wtedy:

${{\partial L} \over {\partial {u}^{i}}}={{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)+m_{0}v^{2}{u}^{j}g_{ij}\;$

(28.46)

Zbierzmy nasze wyniki badać (28.46) i (28.45) do równości (28.7) (te obliczenia są dla lagrangianu (28.44), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (28.7)), wtedy:

${{d} \over {dl}}\left(m_{0}v^{2}{u}^{j}g_{ij}\right)+{{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.47)

---

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (28.42) i (28.44) są niefizyczne, ale matematyczne, co udowodnimy później:
Dla Lagrangianu (28.42) równanie Eulera-Lagrange'a (28.7), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (28.47) wynikająca z (28.44), jest w postaci:

${{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.48)

Wykorzystując równość (28.48) do (28.47) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

${{d} \over {dl}}\left(m_{0}v^{2}{u}^{j}g_{ij}\right)=0\Rightarrow m_{0}v^{2}{u}_{i}=\operatorname {const} \wedge m_{0}v^{2}{u}^{j}=\operatorname {const} \Rightarrow m_{0}^{2}v^{4}{u}_{i}{u}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow m_{0}^{2}v^{4}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const}$

(28.49)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (28.49) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (28.49), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

${u}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow vu^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=\operatorname {const} \;$

(28.50)

Co (28.50) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli langrangiany (28.42) i (28.44) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale $(t,t+dt)\;$ prędkość jest lokalnie stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (28.42) i (28.44) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (28.47), wtedy po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim , wtedy:

$m_{0}v^{2}{{du^{j}} \over {dl}}g_{ij}+m_{0}{u}^{j}g_{ij}{{dv^{2}} \over {dl}}+{{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.51)

Przenosząc wyraz pierwszy w (28.51) na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez $m_{0}v^{2}\;$, wtedy:

${{du^{j}} \over {dl}}g_{ij}=-{{1} \over {m_{0}v^{2}}}{\Bigg (}-m_{0}{u}^{j}g_{ij}{{dv^{2}} \over {dl}}+{{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}{\Big (}{{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t){\Big )}{\Bigg )}=C$

(28.52)

A więc po lewej stronie mamy zmienne względem drugiej pochodnej elementów wektora położenia względem interwału wielkości długości toru, która jest dowolnej wartości, a prawa względem prędkości, elementów wektora prędkości, pochodnej zupełnej i cząstkowe wartości prędkości, i innych wielkości, które są dowolnej wartości, stąd obie strony w (28.52) są równe stałej $C\;$, a ta stała dla układów, w którym lokalnie zachodzi ${{du_{j}} \over {dl}}=0\;$, jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą: (28.50) i (28.48), stąd jeśli lagrangian (28.42) jest niefizyczny, to również równoważnie lagrangian (28.44) jest niefizyczny dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (7.5) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wykorzystując, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością ${\vec {v}}\;$, wtedy:

$S=\int dLcdt=\int \left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}-A^{\mu }J_{\mu }\right)dVcdt=\int \left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)dVcdt\Rightarrow S=\int {\mathcal {L}}dVcdt=\int {\sqrt {g}}{\mathcal {L}}d^{n}x^{'}cdt\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathcal {L}}=\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.53)

• gdzie:

$n\;$ - jest to wymiar przestrzeni zwykłej,

$g\;$ - to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego $(g)=A\;$.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji różniczki długości (28.43), wtedy równość (28.53) po rozpisaniu jedynki:

${\mathcal {L}}=\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}u^{i}g_{ij}u^{j}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(28.54)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (28.53), przedstawia się w formie (28.12). Policzmy najpierw drugi wyraz w (28.12) wykorzystując (28.54), zatem:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)$

(28.55)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (28.12) wykorzystując (28.54):

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {u}^{i}}}=\rho _{0}v^{2}g_{ij}{u}^{j}+{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)$

(28.56)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (28.55) i (28.56), co podstawmy je do równania (28.12):

${{d} \over {dl}}\left[\rho _{0}v^{2}g_{ij}{u}^{j}+{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}g_{ij}{u}^{j}\right)+{{d} \over {dl}}\left[{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.57)

---

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (28.53) i (28.54) są niefizyczne, co udowodnimy później:
Wykorzystajmy wzór (28.53) i podstawmy go do wzoru (28.12) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

${{d} \over {dl}}\left[{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.58)

Wykorzystajmy równość (28.58) do równości otrzymanej (28.57), co:

${{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}g_{ij}{u}^{j}\right)=0\Rightarrow {{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}{u}_{i}\right)=0\Rightarrow \rho _{0}{{dv^{2}{u}_{i}} \over {dl}}+v^{2}{u}^{i}{{d\rho _{0}} \over {dl}}=0\;$

(28.59)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

${{d} \over {dl}}\rho _{0}={{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{\alpha }}}{{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}+{{\partial \rho _{0}} \over {\partial {{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}}}{{d{{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}} \over {dl}}=0\;$

(28.60)

Wniosek (28.60) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale $\rho _{0}\;$, której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach $(t,t+dt)\;$ w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: ${\dot {q}}^{i}=0\;$, ${\dot {q}}^{0}=1$ i z wniosków w niej mamy: ${\ddot {q}}^{\alpha }=0\;$, ale też wiadomo też tam ${{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{0}}}=0\;$ (z (25.4) dla $\phi _{0}=\rho _{m0}\;$ i $q^{0}=x^{0}=ct\;$), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (28.60) z niezmienniczości czasu $t\;$ i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (28.60):

$0=d\rho _{0}={{\partial \rho _{0}(x^{\mu })} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\mu }\Rightarrow {{\partial \rho _{0}} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(28.61)

Na podstawie (28.60) i (28.59), mamy:

$\rho _{0}{{dv^{2}{u}_{i}} \over {dl}}=0\Rightarrow v^{2}u_{i}=\operatorname {const} \wedge v^{2}{u}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{4}u^{i}u_{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{4}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const} \Rightarrow vu^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=\operatorname {const} \;$

(28.62)

Co (28.32) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (28.53) i (28.54) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Wniosek (28.32) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale ${\dot {x}}^{\mu }\;$ jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach $(t,t+dt)\;$ w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach płaskich ${\dot {x}}^{\mu }\;$ jest o wartości takiej samej dla dowolnego czasu $t\;$. Wnioski (28.60) i (28.61) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały wektor prędkości choćby lokalnie, więc dla (28.62), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\rho _{0}\neq 0\;$ i nie zachodzi (28.61), bo nie da się przejść z układu słabozakrzywionego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (28.53) i (28.54) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości:
Rozważmy inny sposób rozwiązania równania (28.27), co po zróżniczkowaniu pierwszego wyrazu w nim, wtedy:

$\rho _{0}v^{2}g_{ij}{{du^{j}} \over {dl}}+g_{ij}u^{j}{{d\rho _{0}v^{2}} \over {dl}}+{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(28.63)

W (28.63) przenosimy wyraz $g_{ij}u^{j}{{d\rho _{0}v^{2}} \over {dl}}\;$ z lewej na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez $\rho _{0}v^{2}\;$, w takim razie:

$g_{ij}{{du^{j}} \over {dl}}=-{{1} \over {\rho _{0}v^{2}}}\left(g_{ij}u^{j}{{d\rho _{0}v^{2}} \over {dl}}+{{\partial } \over {\partial {u}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right)=C\;$

(28.64)

Lewa strona zależy od drugiej pochodnej elementów wektora położenia względem długości toru, która jest dowolnej wartości, a prawa od pochodnej gęstości spoczynkowej względem interwału czasoprzestrzennego, gęstości spoczynkowej i pochodnych zupełnych i cząstkowych innych wielkości fizycznych, które są dowolnej wartości, zatem obie strony są równe stałej $C\;$, obierzmy taki układ, w którym ${\ddot {x}}_{i}=0\;$, a więc ta stała jest równa zero, co na tej podstawie zachodzą: (28.62) i (28.58), stąd jeśli gęstość lagrangianu (28.23) jest niefizyczna, ale matematyczna, to również równoważnie gęstość lagrangianu (28.24) jest niefizyczna, ale matematyczna, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie)stałym wektorze prędkości, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwszy lagrangian jest fizyczny, a drugi tylko matematyczny.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione

Ale zachodzi na podstawie (28.50) (układy punktowe) i (28.62) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (15.26) (ogólny wniosek):

$d{\dot {x}}^{i}=0\;$

(28.65)

Jeśli zachodzi (28.36), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w przestrzeni Galileusza spełniającego (28.50) (układy punktowe) i (28.62) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), (28.50) (układy punktowe) i (28.62) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

$0=d{v}^{i}={{\partial {v}^{i}} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{i}}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{i}}_{,\nu }=0\;$

(28.66)

Co się zgadza z wnioskiem (20.14) o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości. Co stąd zachodzi też (28.50) na podstawie (20.14) i (28.65), a także (28.66), co na tej podstawie mamy, że przestrzeń Galileusza jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że przestrzeń Galileusza jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy też szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od czasu, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale czasu $(t,t+dt)\;$ też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach zakrzywionych, wtedy tam panuje ogólna teoria względności, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (28.66) (lub (20.14)) przecinek średnikiem i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy:

${{\dot {q}}^{i}}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{i}+{\Gamma ^{i}}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0\;$

(28.67)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (20.29), co wtedy spełniona jest cała dynamika Newtona według (28.67). Stąd dynamika Newtona jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (21.9)) dla małych prędkości, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli mechanika Newtona jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}\;$ (15.31) wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski z mechaniki Newtona.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona mechaniki Newtona i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (21.9), (21.10) i (21.11).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną

Wykorzystując (28.37) i tensorowość prędkości (21.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

${{d{\overline {v}}^{i}} \over {dt}}={{d\left({\dot {x}}^{j}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}\right)} \over {ds}}={\dot {x}}^{j}{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}+{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{d{\dot {x}}^{j}} \over {ds}}\simeq {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{d{\dot {x}}^{j}} \over {ds}}=0\;$

(28.68)

Stąd mechanika Newtona jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (20.7) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

${{\overline {v}}^{i}}_{,\nu }=\left({{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}v^{j}\right)_{,\beta }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }\simeq {v^{j}}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\cdot {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\;$

(28.69)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\partial {\overline {g}}^{ij}} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}\left(g^{kl}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\overline {\Lambda }}^{j}}_{l}\right){{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }\simeq {{\partial g^{kl}} \over {\partial x^{\xi }}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\overline {\Lambda }}^{j}}_{l}{{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }=0\;$

(28.70)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona mechanika Newtona) pochodne cząstkowe tensora prędkości (28.40) i tensora metrycznego (28.41) względem tensora położenia w przestrzeni Galileusza są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem płaskich (lokalnie płaskim) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym wektorze prędkości) jest funkcją uogólnioną

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną to (28.68), (28.69) i (28.70) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w mechanice Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.

Dalsze rozważania dotyczące lagrangianu (gęstości lagrangianu) układów punktowych i rozciągłych dla mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Ogólny lagrangian szczególnej teorii względności dla układów punktowych

W lagrangianie (28.13) (szczególna teoria względności) dla układów punktowych rozpiszmy według:

$f({\vec {r}},{\vec {v}},t)=f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.71)

Wtedy równość na ten lagrangian ogólnie według rozpisu (28.71) przedstawia się w formie:

$L=L_{k}+f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.72)

• $L_{k}\;$ to jest człon kinematyczny lagrangianu szczególnej teorii względności.

Wstawmy jedynkę do sumy w (28.72) do pierwszego składnika sumy (28.71) przedstawianą według równania (30.11), wtedy ten lagrangian przyjmuje równoważną inną formę:

$L=L_{k}+f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu }+f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(28.73)

Ale funkcja $f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$ jest równa z symetrii stałej, bo zachodzi (15.26), podobnie zachodzi z funkcją $f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, a także z $f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, stąd składniki w (28.71) i cała jego suma są równe stałym.

---

Gdy oba lagrangiany, tzn.: (28.72) i (28.73) są niefizyczne, ale matematycznie, co udowodnimy później:
Wtedy równanie Eurela-Lagrange'a (28.5) przedstawia się w formie po wykorzystaniu (28.73) i (28.72), wtedy:

${{d\left(2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\mu }\eta _{\mu \nu }\right)} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(28.74)

Równanie Eurela-Lagrange'a dla (28.72) przyjmuje postać (28.5), wtedy równość (28.74) przedstawia się w formie po rachunku całkowym:

$2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t){\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\operatorname {const} \Rightarrow f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)=\operatorname {const} \;$

(28.75)

---

Dowód, że lagrangiany, tzn.: (28.72) i (28.73) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
Zróbmy operacje różniczkowania w równaniu różniczkowym (28.74), co:

$2f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\eta _{\mu \nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}+2{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }{{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}+{{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(28.76)

Ale w szczególnej teori względności dla układów punktowych mamy (28.20), co na tej podstawie równość po przekształceniu i przenoszeniu wyrazów przyjmuje postać:

${{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}=-{{1} \over {2{\dot {x}}^{\nu }\eta _{\mu \nu }}}\left({{d} \over {ds}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}^{\mu }}}-{{\partial L} \over {\partial x^{\mu }}}\right)=C\;$

(28.77)

Ale prawa i lewe strona zależą od różnych wyrazów, i one są o dowolnej wartości, a więc te strony są równe stałej, ale obierzmy taki układ, w którym ${{df_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)} \over {ds}}=0\;$, stąd ta stała $C\;$ jest równa zero, stąd równość (28.5) jest spełniona, stąd jeśli lagrangian (28.72) jest niefizyczny, ale matematyczny, to również lagrangian lagrangian (28.73) jest niefizyczny, ale matematyczny, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości.

---

Ciąd dalszy rozważań:
Gdy wstawimy jedynkę przy $f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, a nie do $f_{1}({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, wtedy rozważania jak do (28.73) są podobne:

$f_{2}({\vec {r}},{\vec {v}},t)=\operatorname {const} \;$

(28.78)

A gdy wstawimy jedynkę tylko przy $f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$, wtedy rozważania jak do (28.73) są podobne, co:

$f({\vec {r}},{\vec {v}},t)=\operatorname {const} \;$

(28.79)

Stąd składniki w (28.71) i cała jego suma są równe stałym.

Lagrangian (28.72) dla układów punktowych jest fizyczny w układach słabozakrzywionych.

Ogólna gęstość lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych

Rozważania dla gęstości lagrangianu szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (28.71).

Ogólny lagrangian mechaniki Newtona dla układów punktowych

Rozważania dla lagrangianu mechaniki Newtona dla układów punktowych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (28.71).

Ogólna gęstość lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych

Rozważania dla gęstości lagrangianu mechanika Newtona dla układów rozciągłych są podobne jak dla wyjściowego lagrangianu (28.71).

Tensory prędkości w szczególnej teorii względności i wektory prędkości w mechanice Newtona, cząstek kolejno w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej

Szczególna teoria względności

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynikiem, tzn. (30.11), wtedy mamy:

$L^{'}=L+\alpha \left(1-u^{\mu }g_{\mu \nu }u^{\nu }\right)\;$

(28.80)

Lagrangiany: $L^{'}\;$ i $L\;$, mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (28.6) przyjmuje postać:

$0={{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial L} \over {\partial {g_{\mu \nu ,\gamma }}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{\mu \nu }}}+\alpha u^{\mu }u^{\nu }\;$

(28.81)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (28.6), wtedy (28.81) przyjmuje postać:

$\alpha u^{\mu }u^{\nu }=0\Rightarrow u^{\mu }=0\;$

(28.82)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (28.80) występuje zamiast lagrangianu $L\;$ gęstość lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$.

Mechanika Newtona

Weźmy lagrangian tej teorii i dodajmy do niej zero, wynikającą z definicji jedynki, z pewnym współczynikiem, tzn. (28.43), wtedy mamy:

$L^{'}=L+\alpha \left(1-u^{i}g_{ij}u^{j}\right)+\beta (1-u^{0}g_{00}u^{0})\;$

(28.83)

Lagrangiany: $L^{'}\;$ i $L\;$, mają tak samą wartość, zatem całka działania przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy równanie Eulera-Lagrange'a (28.8) przyjmuje postać:

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{ij,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{ij}}}+\alpha u^{i}u^{j}\;$

(28.84)

$0={{\partial } \over {\partial x^{k}}}{{\partial L} \over {\partial {g_{00,k}}}}-{{\partial L} \over {\partial g_{00}}}+\beta u^{0}u^{0}\;$

(28.85)

Wykorzystajmy jeszcze raz wzór Eulera-Lagrange'a (28.8), wtedy (28.84) i (28.85) przyjmują postać:

$\alpha u^{i}u^{j}=0\Rightarrow u^{i}=0\;$

(28.86)

$\beta u^{0}u^{0}=0\Rightarrow u^{0}=0\;$

(28.87)

Podobnie wychodzi dla układów rozciągłych, tylko w (28.83) występuje zamiast lagrangianu $L\;$ gęstość lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$.