Wikipedysta:Persino/Szczególna teoria względności/Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona

Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Będziemy tutaj rozważali, czy poszczególne wielkości są tensorami, czy tylko wektorami, w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej prędkości w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej

Wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem z definicji różniczki zupełnej dla postaci einsteinowskiej (21.1) i nie jest tensorem w postaci newtonowskiej według (21.2):

${\overline {u}}^{\mu }={{d{\overline {x}}^{\mu }} \over {ds}}={{\partial {\overline {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}{{dx^{\nu }} \over {ds}}={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\;$

(21.1)

${\overline {v}}^{k}={{d{\overline {x}}^{k}} \over {dt}}={{\partial {\overline {x}}^{k}} \over {\partial x^{l}}}\left({{dx^{l}} \over {dt}}-V^{l}\right)={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}(v^{l}-V^{l})\;$

(21.2)

Według (21.1) wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor prędkości, ale dla przestrzeni zwykłej, według (21.2) nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy $V^{l}\;$ jest równe zero. Transformacja tensorowa (21.1) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie (10.3) i jego definicji (21.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (21.2) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (21.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej pędu w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej

Ale mamy z definicji tensora pędu jako tensora i jego transformacji z jednego układu współrzędnych do innego na podstawie tensorowości wielkości wskaźnikowej prędkości (21.1) (postać insteinowska) i (21.2) (postać newtonowska) mamy kolejno (21.3) i (21.4):

${\overline {p}}^{\mu }=m_{0}c{\overline {u}}^{\mu }=m_{0}u^{\nu }c{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=p^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {p}}^{\mu }=p^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$

(21.3)

${\overline {p}}^{k}=m_{0}{\overline {v}}^{k}=m_{0}\left(v^{l}-V^{l}\right){{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}=\left(p^{l}-m_{0}V^{l}\right){{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\overline {p}}^{k}=\left(p^{l}-m_{0}V^{l}\right){{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\;$

(21.4)

Według (21.3) wielkość wskaźnikowa pędu jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor pędu, ale dla przestrzeni zwykłej, według (21.4) nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy $V^{l}\;$ jest równe zero. Transformacja tensorowa (21.3) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie tożsamości dla układów słabozakrzywionych (10.3) i jego definicji (21.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (21.4) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (21.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej siły w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy badali tutaj układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie ogólnie nieprostokątne oraz słabozakrzywione i płaskie, ale krzywoliniowe.

Układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i globalnie (lokalnie) płaskie ogólnie nieprostokątne

Korzystając ze wzoru (20.30) (postać einsteinowska) i (20.31) (postać newtonowska) na definicję odpowiednio tensora i wektora siły oraz wzorów na transformację tensora i wektora pędu kolejno (21.3) i (21.4), a także z niezmienniczości różniczki kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego wiedząc, że zachodzi globalna (lokalna) stałość wektora prędkości nowego układu odniesienia względem starego, tzn.: (20.8), co wtedy kolejno (21.5) i (21.6) przedstawiają się:

${\overline {K}}^{\mu }={{d{\overline {p}}^{\mu }} \over {ds}}={{d} \over {ds}}\left(p^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\right)={{dp^{\nu }} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }+p^{\nu }{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=\;$
$=K^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }+p^{\nu }{{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {ds}}\;$

(21.5)

${\overline {F}}^{k}={{d{\overline {p}}^{k}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\left(\left(p^{l}-m_{0}V^{l}\right){{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\right)={{dp^{l}} \over {dt}}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}+\;$
$+\left(p^{l}-m_{0}V^{l}\right){{d} \over {dt}}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}=F^{l}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}+\left(p^{l}-m_{0}V^{l}\right){{d{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {dt}}\;$

(21.6)

Do wyprowadzeń w punkcie (21.6) stosowaliśmy (20.8), tzn. prędkość układu odniesienia względem innego jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich pochodna zupełna macierzy transformacji z jednego układu odniesienia do drugiego względem kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego oraz cząstkowa względem wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej i czasu są równe zero w sposób przybliżony w układach słabozakrzywionych, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) dokładnie, tzn. dla postaci einsteinowskiej (21.7) i (21.8) oraz newtonowskiej (21.9), (21.10) i (21.11):

${{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {ds}}\simeq 0\Rightarrow {{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {dt}}\simeq 0$

(21.7)

${{\partial {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {\partial x^{\gamma }}}\simeq 0\;$

(21.8)

${{d{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {dt}}\simeq 0\;$

(21.9)

${{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial x^{s}}}\simeq 0\;$

(21.10)

${{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial t}}\simeq 0\;$

(21.11)

Wzory (21.7) i (21.8) w postaci einsteinowskiej oraz (21.9), (21.10) i (21.11) w postaci newtonowskiej w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości są dokładnie równe zero. Udowodnijmy wzory na pochodną cząstkową macierzy transformacji względem tensora położenia (21.8) (postać einsteinowska) i (21.10) (postać newtonowska) na podstawie pochodnej zupełnej macierzy transformacji względem kolejno interwału czasoprzestrzennego (21.7) i czasu absolutnego (21.9):

$0\simeq {{d{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {ds}}={{\partial {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {\partial x^{\gamma }}}u^{\gamma }\Rightarrow {{\partial {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }} \over {\partial x^{\gamma }}}\simeq 0\;$

(21.12)

$0\simeq {{d{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {dt}}={{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial x^{s}}}v^{s}+{{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial t}}\Rightarrow {{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial x^{s}}}\simeq 0\wedge {{\partial {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}} \over {\partial t}}\simeq 0\;$

(21.13)

Ale ponieważ w układach słabozakrzywionych (21.7) (postać einsteinowska) i (21.9) (postać newtonowska) zachodzą w dowolnym kierunku dla dowolnego tensora (wektora) prędkości, stąd spełnione są kolejno wzory (21.8) oraz (21.10) i (21.11) na podstawie dowodów dla nich kolejno (21.12) i (21.13). Oczywiste jest, że kolejno z przedstawień (21.8) oraz (21.10) i (21.11) wynikają kolejno z nich (21.7) i (21.9) na podstawie formuł kolejno (21.12) i (21.13).

Weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski, w którym mamy wielkość wskaźnikową będącą tam tensorem ${T^{\alpha }}_{,\beta }\;$, a ponieważ zachodzą związki dla mechaniki Einsteina (21.8) oraz Newtona (21.10) i (21.11), zatem możemy powiedzieć, że po transformacji otrzymujemy dwa wzory ze sobą równoważne, pierwszy z wykorzystaniem związków układu słabozakrzywionego, a drugi z wykorzystaniem własności tensorowych, ale ${T^{\alpha }}_{,\beta }\simeq {T^{\alpha }}_{;\beta }\;$, co stąd z definicji pochodnej tensorowej wynika, że symbole Christoffela w takich układach są w przybliżeniu równe zero ${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\simeq 0\;$, czyli układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie.

• Tensor siły (pierwsza równość) w (20.30) według równania geodezyjnego (20.15) (notacja einsteinowska) i na podstawie wniosku, wynikającego z (21.8) (mechanika Einsteina) lub (21.10) i (21.11) (mechanika Newtona), dotyczącego, jakie wartości przyjmują symbole Christoffela, mechanika Einsteina i Newtona są niespełnione dla bardzo dużych sił, bo symbole Christoffela są małe.

Co na podstawie kolejno zapisów (21.7) i (21.9) wzory na transformację wielkości wskaźnikowej siły coś w rodzaju wielkości tensorowych kolejno (21.5) i (21.6) przybierają postać:

${\overline {K}}^{\mu }\simeq K^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$

(21.14)

${\overline {F}}^{k}\simeq F^{l}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\;$

(21.15)

Stąd wielkości wskaźnikowe siły coś w rodzaju wielkości tensorowych na podstawie przybliżonych transformacji (21.14) (postać einsteinowska) i (21.15) (postać newtonowska) są w przybliżeniu tensorami w układach słabozakrzywionych i dokładnie w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Widzimy, że jeśli nie są spełnione (21.7) i (21.9) to już nie są spełnione kolejno wzory (21.14) i (21.15) to wielkości (20.30) i (20.31) nie są tensorami nawet w przybliżeniu, co jest spełnione dla układów zakrzywionych w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej, ale nie globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywiownych. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich na podstawie co najwyżej przybliżonej tensorowości w postaci einsteinowskiej (21.14) i newtonowskiej (21.15) prawa fizyki są ogólnie spełnione.

Układy słabozakrzywione jako przestrzenie opisywane przez mechanikę Einsteina i Newtona

Weźmy w szczególnej teorii względności wzór na tensor siły i w mechanice Newtona wzór wektor siły i napiszemy je w postaci tensorowej:

$K^{\mu }=m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow K^{\mu }e_{\mu }=m_{0}c{{de_{\mu }u^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow K^{\mu }e_{\mu }=m_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }u^{\nu }e_{\mu }\Rightarrow K^{\mu }=m_{0}c{u^{\mu }}_{;\nu }u^{\nu }\;$

(21.16)

$F^{\mu }=m_{0}{{dv^{\mu }} \over {dt}}\Rightarrow F^{\mu }e_{\mu }=m_{0}{{de_{\mu }v^{\mu }} \over {dt}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow F^{\mu }e_{\mu }=m_{0}{v^{\mu }}_{;\nu }v^{\nu }e_{\mu }\Rightarrow F^{\mu }=m_{0}{v^{\mu }}_{;\nu }v^{\nu }\;$

(21.17)

Napiszmy równania transformacyjne równań ruchu kolejno (21.16) i (21.17) wiedząc, że w tym pierwszym tensor prędkości jest tensorem, a w tym drugim wielkość wskaźnikowa prędkości jest też tensorem:

${\overline {K}}^{\nu }=K^{\mu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }=m_{0}c{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{u^{\mu }}_{;\gamma }{\Lambda ^{\gamma }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\xi }}_{\zeta }u^{\zeta }\Rightarrow {\overline {K}}^{\nu }=m_{0}c{{\overline {u}}^{\nu }}_{;\gamma }{\overline {u}}^{\gamma }\;$

(21.18)

${\overline {F}}^{\nu }=F^{\mu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }=m_{0}{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{v^{\mu }}_{;\gamma }{\Lambda ^{\gamma }}_{\xi }{{\overline {\Lambda }}^{\xi }}_{\zeta }v^{\zeta }\Rightarrow {\overline {F}}^{\nu }=m_{0}{{\overline {v}}^{\nu }}_{;\gamma }{\overline {v}}^{\gamma }\;$

(21.19)

W układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i we układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tensory siły w szczególnej teorii względności na podstawie (21.18) i wielkości wskaźnikowa siły w mechanice Newtona na podstawie (21.19) są w przybliżeniu tensorami, tzn. transformują się jak tensory. We wzorach (21.16) i (21.17) już nie zachodzi ogólnie ${u^{\mu }}_{;\nu }=0\;$ i ${v^{\mu }}_{;\nu }=0\;$ według równości na linie geodezyjne na podstawie (20.15) (pierwszy wzór), bo postępujemy według (Proc. 20.1).

• Prawą część wzorów w (21.18) i (21.19) nazywamy częścią kinematyczną, a lewą dynamiczną.

Tensorowość wielkości wskaźnikowej położenia w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej

Udowodnijmy, że różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni według postaci einsteinowskiej jest tensorem w sposób przybliżony, a różniczka dokładnie, na podstawie tego, że tensor prędkości jest dokładnie tensorem (21.1), a różnica wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej według postaci newtonowskiej nie jest tensorem nawet w posób przybliżony, a jego różniczka też, na podstawie (21.2), co to wszystko kolejno o tym powiemy w przypadku o postaci einsteinowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym jest równa:

${{d{\overline {x}}^{\mu }} \over {ds}}={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{dx^{\nu }} \over {ds}}\Rightarrow \int {{d{\overline {x}}^{\mu }} \over {ds}}ds=\int {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{dx^{\nu }} \over {ds}}ds\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{\mu }=\int {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }dx^{\nu }\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }(\xi ^{\alpha })\int dx^{\nu }\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }(\xi ^{\alpha })\Delta x^{\nu }$

(21.20)

lub w przypadku o postaci newtonowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym układem jest równa:

${{d{\overline {x}}^{k}} \over {dt}}={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\left({{dx^{l}} \over {dt}}-V^{l}\right)\Rightarrow \int {{d{\overline {x}}^{k}} \over {dt}}dt=\int {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\left({{dx^{l}} \over {dt}}-V^{l}\right)dt\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{k}=\int {{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\left(dx^{l}-V^{l}dt\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{k}={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}(\xi ^{s})\int \left(dx^{l}-V^{l}dt\right)\Rightarrow \Delta {\overline {x}}^{k}={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}(\xi ^{s})\left(\Delta x^{l}-V^{l}\Delta t\right)\;$

(21.21)

Widzimy, że wzór (21.20) dla opisu ruchu w czasoprzestrzeni przyjmując, że $M({\vec {\xi }})={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }(\xi ^{\alpha })\;$, zgadza się dla dowolnych układów odniesienia zakrzywionych, słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich ze wzorem (6.5). Jeśli zachodzi (21.20) (postać einsteinowska) i (21.21) (postać newtonowska), wtedy różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest w przybliżeniu tensorem, gdy macierz transformacji kolejno ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ praktycznie się nie zmienia na drodze od $x_{1}^{\nu }\;$ do $x_{2}^{\nu }$, a nie jest tensorem dla przestrzeni zwykłej, nawet gdy macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}$ praktycznie się nie zmienia na drodze od $x_{1}^{l}\;$ do $x_{2}^{l}$ i od $t_{1}\;$ do $t_{2}$, ale gdy kolejno $x_{2}^{\nu }\rightarrow x_{1}^{\nu }\;$, to wtedy różniczka wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest tensorem w postaci (21.22), a gdy $x_{2}^{l}\rightarrow x_{1}^{l}\;$ i $t_{2}\rightarrow t_{2}\;$ to według (21.23) różniczka położenia nie jest tensorem w przestrzeni zwykłej:

$d{\overline {x}}^{\mu }={{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }dx^{\nu }\;$

(21.22)

$d{\overline {x}}^{k}={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\left(dx^{l}-V^{l}dt\right)\;$

(21.23)

Ze wzorów (21.22) i (21.23) kolejno wynikają wzory (21.20) i (21.21). Wzory (21.22) i (21.23) kolejno wynikają też bezpośrednio ze wzorów (21.1) i (21.2). Wzory (21.20) i (21.22) oraz (21.21) i (21.23) są też spełnione dla układów zakrzywionych kolejno dla czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej. Transformacja tensorowa (21.22) zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie (10.3) i jego definicji (21.7) (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w (21.23) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (21.9) (postać newtonowska) też zachodzi w nim.

Tensorowość wyrażenia wskaźnikowego: dx^s-V^sdt, v^s-V^s i p^s-m₀V^s, w postaci newtonowskiej

Rozpatrzmy postać Newtonowską, wtedy z układu $K\;$ do $K^{''}\;$ oraz z układu $K^{'}\;$ do $K^{''}\;$ transformacje piszemy w postaci:

$d{x^{''}}^{k}={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{l}\left(dx^{l}-V^{l}dt\right)\;$

(21.24)

$d{x^{''}}^{k}={{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{k}}_{l}\left(d{x^{'}}^{l}-{V^{'}}^{l}dt\right)\;$

(21.25)

• gdzie $V^{l}\;$ jest współrzędną prędkości układu $K^{''}\;$ względem układu $K\;$, a ${V^{'}}^{l}\;$ jest współrzędną prędkości układu $K^{''}\;$ względem układu $K^{'}\;$.

Łącząc wzory (21.24) i (21.25) stronami, mamy:

${{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{k}}_{l}\left(d{x^{'}}^{l}-{V^{'}}^{l}dt\right)={{\overline {\Lambda }}^{k}}_{s}\left(dx^{s}-V^{s}dt\right)\Rightarrow d{x^{'}}^{l}-{V^{'}}^{l}dt=\left({{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{l}}_{k}\right)^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{s}\left(dx^{s}-V^{s}dt\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow d{x^{'}}^{l}-{V^{'}}^{l}dt={\Lambda ^{l}}_{s}\left(dx^{s}-V^{s}dt\right)\wedge {\Lambda ^{l}}_{s}=\left({{{\overline {\Lambda }}^{'}}^{l}}_{k}\right)^{-1}{{\overline {\Lambda }}^{k}}_{s}\;$

(21.26)

A więc wzór (21.26) zapiszmy w postaci lepszej właściwej z nadkreśleniami w układzie $K^{'}\;$ i pisząc macierz transformacji też z nadkreśleniem, stąd:

$d{\overline {x}}^{l}-{\overline {V}}^{l}dt={{\overline {\Lambda }}^{l}}_{s}\left(dx^{s}-V^{s}dt\right)\;$

(21.27)

Na podstawie (21.27) wielkość różniczkowa $dx^{s}-V^{s}dt\;$ transformuje się jak tensor i jest tensorem w postaci newtonowskiej. Gdy układy, tzn.: $K^{'}=K^{''}\;$ (wtedy ${\overline {V}}^{l}=0\;$), to transformacja tensorowa (21.27) przechodzi w (21.23). Na podstawie (21.27), która jest dla postaci newtonowskiej, różnica $v^{l}-V^{l}\;$ jest tensorem też w postaci newtonowskiej, to otrzymujemy dzieląc obustronnie ten wzór przez różniczkę czasu absolutnego $dt\;$, czyli:

${\overline {v}}^{l}-{\overline {V}}^{l}={{\overline {\Lambda }}^{l}}_{s}\left(v^{s}-V^{s}\right)$

(21.28)

Wzór (21.28) przechodzi w (21.2), gdy zachodzi $K^{'}=K^{''}\;$ (wtedy ${\overline {V}}^{l}=0\;$). Na podstawie (21.28) możemy napisać pewne prawo transformacji w postaci newtonowskiej:

${\overline {p}}^{l}-m_{0}{\overline {V}}^{l}={{\overline {\Lambda }}^{l}}_{s}\left(p^{s}-m_{0}V^{s}\right)\;$

(21.29)

Wielkość ${p}^{l}-m_{0}{V}^{l}\;$ jest tensorem w postaci newtonowskiej. Wzór (21.29) przechodzi w (21.4), gdy zachodzi $K^{'}=K^{''}\;$ (wtedy ${\overline {V}}^{l}=0\;$). Wzory transformacyjne wielkości wskaźnikowych w (21.27), (21.28) i (21.29) na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej (10.4) i definicji układów słabozakrzywionych (21.9) (postać newtonowska) też zachodzą w układach słabozakrzywionych.