Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności/Lokalna zasada zachowania tensora pędu

Lokalna zasada zachowania tensora pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Lokalna zasada zachowania tensora pędu - etap wstępny rozważań

Wzór na gęstość sił zewnętrznych działający na dany punkt ośrodka i stąd dodatkowa wynikająca różniczka siły działająca na dany punkt ośrodka z definicji tensora siły w przestrzeni zwykłej (20.35) (szczególna teoria względności) i (20.43) (mechanika Newtona) oraz lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego (36.23) są przedstawione według równania:

${T_k^{i\nu }}_{,\nu }=\frac{d{F}_z^i}{dV}\Rightarrow F_z^i={\int }_V{T_k^{i\nu }}_{,\nu }dV={\int }_V{T_k^{i0}}_{,0}dV+{\int }_V{T_k^{ij}}_{,j}dV=\frac{d}{dct}{\int }_V{T}_k^{i0}dV+{\int }_V{T_k^{ij}}_{,j}dV\Rightarrow$
$\Rightarrow \frac{d}{dct}{\int }_V{T}_k^{i0}dV=-{\int }_V{T_k^{ij}}_{,j}dV+F_z^i$

(37.1)

Strumień energii(masy)-pędu

Będziemy tutaj badać ten strumień energii(pędu) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):

$\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T}_k^{i0}dV=\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V[(\rho c{v}^{\mu }+p{\gamma }^2\frac{v^{\mu }}{c})\mp p{\eta }^{\mu 0}]dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left\{\right[p({\gamma }^2\frac{v^{\mu }}{c}+$
$\mp p{\eta }^{\mu 0}\left)\right]\}dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left\{\left[p({\gamma }^2\frac{1}{\gamma }{u}^{\mu }\mp {\eta }^{\mu 0})\right]\right\}dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+$
$+\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}[\gamma u^{\mu }{\int }_{V}pdV\mp {\eta }^{\mu 0}{\int }_{V}pdV]=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\underset{V\to 0}{lim}[\frac{d}{dct}(\gamma u^{\mu }){\int }_{V}pdV+\gamma u^{\mu }{\int }_V{p}_{,0}dV\mp \frac{d}{dct}{\eta }^{\mu 0}{\int }_{V}pdV+$
$\mp {\eta }^{\mu 0}{\int }_V{p}_{,0}dV]=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\underset{V\to 0}{lim}[(\gamma u^{\mu }{)}_{,\nu }{\gamma }^{-1}{u}^{\nu }{\int }_{V}pdV+\gamma u^{\mu }{\int }_V{p}_{,0}dV\mp {{\eta }^{\mu 0}}_{,\nu }{u}^{\nu }{\gamma }^{-1}{\int }_{V}pdV+$
$\mp {\eta }^{\mu 0}{\int }_V{p}_{,0}dV]=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\underset{V\to 0}{lim}[(\gamma u^{\mu }{)}_{;\nu }{\gamma }^{-1}{u}^{\nu }{\int }_{V}pdV+\gamma u^{\mu }{\int }_V{p}_{,0}dV\mp {{\eta }^{\mu 0}}_{;\nu }{\gamma }^{-1}{u}^{\nu }{\int }_{V}pdV\mp {\eta }^{\mu 0}{\int }_V{p}_{,0}dV]=$
$=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^{\mu }\right)dV$

(37.2)

Mechanika Newtona

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):

$\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T}_k^{i0}dV=\frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V(\rho c{v}^i\mp p{\eta }^{i0})dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)\mp \frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(p{\eta }^{i0}\right)dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)+$
$\mp \frac{d}{dct}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(p{\eta }^{i0}\right)dV=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)dV\mp \underset{V\to 0}{lim}[\frac{d}{dct}{\eta }^{i0}{\int }_{V}pdV+{\eta }^{i0}{\int }_V{p}_{,0}dV]=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)dV+$
$\mp \underset{V\to 0}{lim}({{\eta }^{i0}}_{;\mu }{u}^{\mu }{\int }_{V}pdV-{\eta }^{i0}{\int }_V{p}_{,0}dV)=\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)dV$

(37.3)

Dalsze obliczenia wspólne dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona

Na podstawie policzonego wyrażenia (37.2) i (37.3) oraz napisanej równości (37.1) dostajemy wzór na zmianę pędu w ininitezymalnej objętości $V$ względem czasu $t$, czyli:

$\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)=-\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T_k^{ij}}_{,j}dV+F_z^i$

(37.4)

Jeżeli przyjmiemy, że w (37.4) $F_z^i={\int }_V\frac{d{F}_z^i}{dV}dV$, gdzie $\frac{d{F}_z^i}{dV}$ jest to wektor gęstości i-tej współrzędnej siły działającej na daną infinitezymalną obiętość ośrodka, co na tej podstawie wzór (37.4) przyjmuje postać:

$\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\left(\rho v^i\right)dV=-\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T_k^{ij}}_{,j}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{F}_z^i}{dV}dV\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}(\rho v^i)=-{T_k^{ij}}_{,j}+\frac{d{F}_z^i}{dV}$

(37.5)

Wzór ostateczny (37.5) jest równaniem ruchu opisujący zmianę i-tej współrzędnej gęstości pędu względem czasu. Dla przypadku $\mu =0$ mamy wzór na zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) w danym punkcie wyprowadzając go w taki sposób jak równanie (37.5), ale zamiast $i$ jest $0$, a zamiast $v^i$ jest $c$, wtedy:

$\frac{d}{dt}\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\rho cdV=-\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T_k^{0j}}_{,j}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{F}_z^0}{dV}dV\Rightarrow \underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho c\right)dV=-\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{T_k^{0j}}_{,j}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{F}_z^0}{dV}dV\Rightarrow$
$\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left(\rho c\right)=-{T_k^{0j}}_{,j}+\frac{d{F}_z^0}{dV}$

(37.6)

Wzór ostateczny (37.6) jest równaniem ruchu opisujący zmianę zerowej współrzędnej wartości gęstości pędu względem czasu, czyli zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) wynikającej ze wzoru (20.15), tzn.: ${𝓅}^0=\rho c=\frac{\rho c^2}{c}=\frac{{ℰ}_r}{c}$. Łącząc wzory (37.5) i (37.6), wtedy dostajemy z definicji gęstości siły niezrównoważonej:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{T_k^{\mu j}}_{,j}+\frac{d{F}_z^{\mu }}{dV}$

(37.7)

A wzór (37.7) przepisujemy w formie całkowej całkując obie strony wersji różniczkowej tego równania i przenosząc pochodną czastkową przed całkę zamieniając ją na pochodną zupełną z definicji pochodnej, wtedy:

$\frac{d}{dt}\left({\int }_V\rho v^{\mu }dV\right)=-\oint T_k^{\mu j}d{S}_j+F_z^{\mu }$

(37.8)

Wzór (37.8) przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem czasu i ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez siłę zewnętrzną $F_z^{\mu }$ i pędowi jaka wpłynęła do układu. Wzory (37.7) i (37.8) możemy je napisasć w innej postaci korzystając z definicji interwału czasoprzestrzennego w zalezności od prędkości i różniczki czasu w formie (16.6), wtedy:

$\frac{\partial }{\partial s}\left(\rho v^{\mu }\right)=-\frac{\gamma }{c}{T_k^{\mu j}}_{,j}+\frac{d{K}_z^{\mu }}{dV}$

(37.9)

$\frac{d}{ds}\left({\int }_V\rho v^{\mu }dV\right)=-\oint \frac{\gamma }{c}{T}_k^{\mu j}d{S}_j+K_z^{\mu }$

(37.10)

Dla mechaniki Newtona w (37.10) wielkość $\gamma$ jest równa jeden, tzn.: $\gamma =1$.

Strumień energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem czasu opisujące przestrzeń zwykłą

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wzór na strumień energii(masy)-pędu możemy napisać (37.7), napiszmy go w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego $s$ opisujące przestrzeń zwykłą (wtedy macierz transformacji jest (21.20)), wiedząc, że w układach szczególnej teorii względności i mechanice Newtona mamy (37.9), wtedy:

${{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\alpha }}_{\mu }\frac{\partial }{\partial s}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\alpha }}_{\mu }\frac{\gamma }{c}{T_k^{\mu r}}_{,s}{{\delta }^s}_r+{{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\alpha }}_{\mu }\frac{d{K}_z^{\mu }}{dV}\Rightarrow \frac{\partial }{\partial s}\left(\rho {\bar{v}}^{\alpha }\right)=-{{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\alpha }}_{\mu }\frac{\gamma }{c}{T_k^{\mu r}}_{,s}{{\mathrm{\Lambda }}^s}_p{{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^p}_r+\frac{d{\bar{K}}_z^{\mu }}{dV}\Rightarrow \frac{\partial }{\partial s}\left(\bar{\rho }{\bar{v}}^{\alpha }\right)=\frac{\bar{\gamma }}{\bar{c}}{{\bar{T}}_k^{\alpha p}}_{;p}+\frac{d{\bar{K}}_z^{\mu }}{d\bar{V}}$

(37.11)

Zatem pisząc bez nadkreśleń wzór dla układów o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego o postaci podobnej do (21.19) opisujące przestrzeń zwykłą na podstawie (37.11) spełnione w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona, mamy:

$\frac{\partial }{\partial s}\left(\rho v^{\mu }\right)=-\frac{\gamma }{c}{T_k^{\mu j}}_{;j}+\frac{d{K}_z^{\mu }}{dV}$

(37.12)

Napiszmy jaka jest interpretacja wzoru (37.12), napiszmy całkę objętościową obu stron tego równania, zatem:

$\int \frac{\partial }{\partial s}\left(\rho v^{\mu }\right)dV=-\oint \frac{\gamma }{c}{T}_k^{\mu j}d{S}_j+K_z^{\mu }\Rightarrow \frac{d}{ds}\int \rho v^{\mu }dV=-\oint \frac{\gamma }{c}{T}_k^{\mu j}d{S}_j+K_z^{\mu }$

(37.13)

Wzór przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez tensor siły zewnętrznej $K_z^{\mu }$ i pędowi, która wpłynęła do tej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą przez tą powierzchnię, w jednostce interwału czasoprzestrzennego.

Równość (37.13) otrzymujemy po podziale objętości zamkniętej powierzchnią $S$ na nieskończenie wiele infinitezymalnych prostopadłościanów, wtedy otrzymamy to równanie dla nich i po złączeniu równań w nich w jedno równanie otrzymujemy tą równość.

Szczególna teoria względności

W szczególnej teorii względności prawa (37.12) (wersja różniczkowa) i (37.13) (wersja całkowa) przy definicji tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (36.20) przy klasie transformacji Lorentza są spełnione.

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona prawa (37.7) (wersja różniczkowa) i (37.8) (wersja całkowa) są spełnione dla $\mu =i$ przy definicji tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (36.21) przy klasie transformacji Galileusza:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v^i\right)=-{T_k^{ij}}_{,j}+\frac{d{F}_z^i}{dV}$

(37.14)

$\frac{d}{dt}\int \rho v^{i}dV=-\oint T_k^{ij}d{S}_j+F_z^i$

(37.15)

Prawa (37.12) (wersja różniczkowa) i (37.13) (wersja całkowa) dla $\mu =0$ w mechanice Newtona przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) opisujące przestrzeń zwykłą przy klasie macierzy transformacji Galileusza, które są funkcjami uogólnionymi, są dokładnie tożsamościowo spełnione (tzn. prawa i lewa strona są równe zero), czyli w prawach w (37.14) i (37.15) je tylko piszemy dla $\mu =i$. Przepiszmy wzór (37.12) dla $\mu =i$ wiedząc, że dla $\mu =0$ prawa i lewa jego strona są tożsamościowo równe zero, w takim razie:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v^i\right)=-{T_k^{ij}}_{;j}+\frac{d{F}_z^i}{dV}$

(37.16)