Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności/Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności

Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Postulaty szczególnej teorii względności i rodzaje układów 2Podstawy teorii względności 3Przypomnienie o operatorach rzutowych 4Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji 5Wydłużenie podłużne a poprzeczne 6Układy inercjalne i nieinercjalne 7Transformacje prędkości - początek rozważań 8Transformacje różniczek czasu i położenia 9Transformacje prędkości - równania końcowe 10Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne 11Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione 12Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia 13Równoważności macierzy transformacji 14Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych 15Przechodniość macierzy transformacji 16Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła 17Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona 18Własności czasoprzestrzeni 19Trzy zasady dynamiki Einsteina 20Tensory w czasoprzestrzeni 21Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona 22Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona 23Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił 24Formułowanie zasad dynamiki ruchu obrotowego 25Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona 26Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości 27Pierwsza i druga zasada Lagrange'a 28Teoria funkcji lagrangianu 29Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wprowadzenie 30Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności 31Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona 32Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - wnioski 33Anormalne układy, tylko matematyczne, a nie fizyczne 34Definicja masy i energii, spoczynkowej i relatywistycznej, i pędu 35Niezmienniczość ciśnienia od układu odniesienia 36Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu 37Lokalna zasada zachowania tensora pędu 38Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu 39Dyskretne i ciągłe równanie ruchu 40Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z zasady zachowania energii(masy)-pędu 41Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu 42Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu 43Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona 44Oddziaływanie elektromagnetyczne ogólnie zmienne i statyczne (pole elektromagnetyczne) z teorii gęstości lagrangianu 45Gęstość lagrangianu i równanie Eulera-Lagrange'a, a paradoks niespełnienia zasady najmniejszego działania

Spis treści
1Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza 2Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza 3Macierz transformacji równoległy i prostopadły 4Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego 5Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki 6Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji 7Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego 8Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych 9Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych 10Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym 11Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza 12Tranformacje operatorów rzutowych 13Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia 14Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa

Następny rozdział: Wydłużenie podłużne a poprzeczne. Poprzedni rozdział: Przypomnienie o operatorach rzutowych.

Podręcznik: Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności.

Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza

Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych $A$ jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą:

(X_{p}^{'}, X_{p}^{'}) = X_{p}^{' T} A^{'} X_{p}^{'} \land X_{p}^{'} = C_{p} X_{p} \Rightarrow (X_{p}^{'}, X_{p}^{'}) = X_{p}^{T} C_{p}^{T} A^{'} C_{p} X_{p} = X_{p}^{T} A X_{p} = (X_{p}, X_{p}) \Rightarrow C_{p}^{T} A^{'} C_{p} = A

(4.1)

Własność (4.1), tzn. transformację z $A^{'}$ na $A$ jest również spełniona w szczególnej teorii względności, jak udowodnimy.

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza

A jeżeli $A^{' T} = A^{'}$ to z oczywistych powodów $A^{T} = A$ i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie $C_{p}$ jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza:

Transformacje proste		Transformacje odwrotne
$d {\vec{r}}^{'} = C_{p} (d \vec{r} - \vec{V} d t)$ (4.2)	${\vec{v}}^{'} = C_{p} (\vec{v} - \vec{V})$ (4.3)	$d \vec{r} = C_{p}^{'} (d {\vec{r}}^{'} - {\vec{V}}^{'} d t)$ (4.4)	$\vec{v} = C_{p}^{'} ({\vec{v}}^{'} - {\vec{V}}^{'})$ (4.5)

Wzory (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze $C_{p}$ i $C_{p}^{'}$ (gdzie $C_{p} = C_{p}^{' - 1}$ ) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje (4.2), (4.3), (4.4) i (4.5) mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: $d t^{'} = d t$ .

Macierz transformacji równoległy i prostopadły

Przyjmujemy, że zachodzi wzór na $C_{p}$ w zależności od $C_{p | |}$ i $C_{p ⊥}$ , które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do $\vec{V}$ , czyli:

C_{p} = C_{p | |} + C_{p ⊥} \land C_{p | |} = C_{p} P_{| |} \land C_{p ⊥} = C_{p} P_{⊥}

(4.6)

We wzorze (4.6) przyjmujemy warunki na macierze $C_{p | |}$ i $C_{p ⊥}$ , czyli zachodzą $C_{p | |} X_{⊥} = 0 \land C_{p ⊥} X_{| |} = 0$ . Związki (4.6) przyjmujemy również w szczególnej teorii względności.

Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego

Przejrzyjmy się właściwości macierzy $C_{p}$ , $C_{p | |}$ i $C_{p ⊥}$ , którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem:

{\vec{V}}^{'} = C_{p} (0 - \vec{V}) = - C_{p} \vec{V} = - C_{p | |} \vec{V}

(4.7)

Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki

Do (4.4) podstawmy (4.2) i (4.7), co na podstawie tego:

d \vec{r} = C_{p}^{'} (d {\vec{r}}^{'} - {\vec{V}}^{'} d t) = C_{p}^{'} (C_{p} (d \vec{r} - \vec{V} d t) + C_{p} \vec{V} d t) = C_{p}^{'} C_{p} (d \vec{r} - \vec{V} d t + \vec{V} d t) = C_{p}^{'} C_{p} d \vec{r} \Rightarrow I = C_{p}^{'} C_{p} \Rightarrow C_{p}^{'} = C_{p}^{- 1}

(4.8)

Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji

Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości $\vec{V}$ w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.:

d {\vec{r}}_{| |}^{'} = C_{p | |} (d {\vec{r}}_{| |} - \vec{V} d t)

(4.9)

d {\vec{r}}_{| |} = C_{p | |}^{'} (d {\vec{r}}_{| |}^{'} - {\vec{V}}^{'} d t)

(4.10)

d {\vec{r}}_{⊥}^{'} = C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥}

(4.11)

d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p ⊥}^{'} d {\vec{r}}_{⊥}^{'}

(4.12)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego

Zachodzą tożsamości na iloczynach $C_{p | |}$ i $C_{p ⊥}$ :

C_{p | |}^{'} C_{p ⊥} (d \vec{r} - \vec{V} d t) = C_{p | |}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p | |}^{'} d {\vec{r}}_{⊥}^{'} = C_{p}^{'} P_{| |}^{'} d {\vec{r}}_{⊥}^{'} = 0 \land C_{p ⊥}^{'} C_{p | |} (d \vec{r} - \vec{V} d t) = C_{p ⊥}^{'} C_{p | |} (d {\vec{r}}_{| |} - \vec{V} d t) = C_{p ⊥}^{'} d {\vec{r}}_{| |}^{'} =

= C_{p}^{'} P_{⊥}^{'} d {\vec{r}}_{| |}^{'} = 0 \Rightarrow C_{p | |}^{'} C_{p ⊥} = C_{p | |} C_{p ⊥}^{'} = C_{p ⊥}^{'} C_{p | |} = C_{p ⊥} C_{p | |}^{'} = 0

(4.13)

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych

Weźmy wzór (4.10) i do niego podstawmy (4.9) i (4.7), zatem:

d {\vec{r}}_{| |} = C_{p | |}^{'} (d {\vec{r}}_{| |}^{'} - {\vec{V}}^{'} d t) = C_{p | |}^{'} (C_{p | |} (d {\vec{r}}_{| |} - \vec{V} d t) + C_{p | |} \vec{V} d t) = C_{p | |}^{'} C_{p | |} d {\vec{r}}_{| |} \Rightarrow d {\vec{r}}_{| |} = C_{p | |}^{'} C_{p | |} d {\vec{r}}_{| |} = C_{p}^{'} P_{| |}^{'} C_{p}^{'} P_{| |}^{'} d {\vec{r}}_{| |} =

= C_{p}^{'} (1 - P_{⊥}^{'}) C_{p} d {\vec{r}}_{| |} = C_{p}^{'} C_{p} d {\vec{r}}_{| |} - C_{p ⊥}^{'} C_{p | |} d {\vec{r}}_{| |} = C_{p}^{'} C_{p} d {\vec{r}}_{| |} = C_{p}^{- 1} C_{p} d {\vec{r}}_{| |} = d {\vec{r}}_{| |}

(4.14)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8).

Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych

Weźmy wzór (4.12) i podstawmy do niego wzór (4.11), wtedy:

d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p ⊥}^{'} d {\vec{r}}_{⊥}^{'} = C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} \Rightarrow d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p}^{'} P_{⊥}^{'} C_{p}^{'} P_{⊥}^{'} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p}^{'} (1 - P_{| |}^{'}) C_{p} d {\vec{r}}_{⊥} =

= C_{p}^{'} C_{p} d {\vec{r}}_{⊥} - C_{p | |}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p}^{- 1} C_{p} d {\vec{r}}_{⊥} = d {\vec{r}}_{⊥}

(4.15)

Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości (4.8). Własności macierzy $C_{p}$ , $C_{p | |}$ i $C_{p ⊥}$ pokazane w punkcie (4.8), (4.13), (4.14) i (4.15) są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym

Ale:

d \vec{r} = C_{p}^{- 1} C_{p} d \vec{r} = C_{p}^{'} C_{p} d \vec{r} = C_{p | |}^{'} C_{p | |} d {\vec{r}}_{| |} + C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} d {\vec{r}}_{⊥} = C_{p | |}^{'} C_{p | |} (d \vec{r} - d {\vec{r}}_{⊥}) + C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} (d \vec{r} - d {\vec{r}}_{| |}) = C_{p | |}^{'} C_{p | |} d \vec{r} +

+ C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} d \vec{r} = (C_{p | |}^{'} C_{p | |} + C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥}) d \vec{r} \Rightarrow I = C_{p | |}^{'} C_{p | |} + C_{p ⊥}^{'} C_{p ⊥} \land I = C_{p | |} C_{p | |}^{'} + C_{p ⊥} C_{p ⊥}^{'}

(4.16)

Związek (4.16) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy.

Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza

W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek:

A = B_{p}^{T} B_{p}

(4.17)

Gdzie $B_{p} = [{\vec{e}}_{p 1}, {\vec{e}}_{p 2}, ..., {\vec{e}}_{p i}, ..., {\vec{e}}_{p n}]$ jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza:

B_{p}^{'} X_{p}^{'} = B_{p} X_{p} \Rightarrow B_{p}^{'} C_{p} X_{p} = B_{p} X_{p} \Rightarrow B_{p}^{'} = B_{p} C_{p}^{- 1}

(4.18)

Wzór (4.18)(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a (4.17) będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako:

B_{p}^{'} = B_{p} C_{p}^{- 1} \Rightarrow B_{p} = B_{p}^{'} C_{p} \land B_{p} = B_{p}^{'} {C_{p}^{'}}^{- 1} \Rightarrow C_{p}^{'} = C_{p}^{- 1}

(4.19)

Wzór (4.19) jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z (4.8). Niech mamy (4.17) i (4.18) i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego (4.1), zatem przystępujemy do obliczeń:

A^{'} = {B^{'}}^{T} B_{p}^{'} = C_{p}^{- T} B_{p}^{T} B C_{p}^{- 1} = C_{p}^{- T} A C_{p}^{- 1}

(4.20)

Po wyznaczeniu macierzy $A$ ze wzoru (4.20) dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli (4.1), zatem wzory (4.17) i (4.18) są poprawne bo otrzymujemy z nich (4.1). Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną:

A^{T} = {(B_{p}^{T} B_{p})}^{T} = B_{p}^{T} {(B_{p}^{T})}^{T} = B_{p}^{T} B_{p} = A \Rightarrow A^{T} = A

(4.21)

Tranformacje operatorów rzutowych

Na podstawie (4.7) i (4.1) oraz dla operatorów rzutowych równoległych według (3.3) możemy otrzymać transformacje:

P_{| |}^{'} = \frac{{\vec{V}}^{'} {\vec{V}}^{' T}}{V^{' 2}} A^{'} = C_{p} \frac{\vec{V} {\vec{V}}^{T}}{V^{2}} C_{p}^{T} A^{'} = C_{p} \frac{\vec{V} {\vec{V}}^{T}}{V^{2}} A C_{p}^{- 1} = C_{p} P_{| |} C_{p}^{- 1}

(4.22)

Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie (3.5) możemy otrzymać transformacje:

P_{⊥}^{'} = I - P_{| |}^{'} = C_{p} I C_{p}^{- 1} - C_{p} P_{| |} C_{p}^{- 1} = C_{p} (I - P_{| |}) C_{p}^{- 1} = C_{p} P_{⊥} C_{p}^{- 1}

(4.23)

Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia

Na podstawie (4.2) możemy napisać transformacje, gdy zachodzi ${\vec{r}}_{0}^{'} = {\vec{r}}_{0} = 0$ i $t_{0}^{'} = t_{0} = 0$ , co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia:

{\vec{r}}^{'} = C_{p} (\vec{r} - \vec{V} t)

(4.24)

{\vec{v}}^{'} = C_{p} (\vec{v} - V)

(4.25)

{\vec{a}}^{'} = C_{p} (\vec{a} - \vec{A})

(4.26)

({\vec{r}}^{'})^{(n)} = C_{p} ({\vec{r}}^{(n)} - {\vec{r}}_{0}^{(n)})

(4.27)

Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa

A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza $t^{'} = t$ . Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy:

d {\vec{r}}_{2}^{'^{'}} = C_{p 2}^{'} (d {\vec{r}}_{2}^{'} - {\vec{V}}_{2}^{'} d t^{'})

(4.28)

d {\vec{r}}_{2}^{'} = C_{p 1} (d {\vec{r}}_{2} - {\vec{V}}_{1} d t)

(4.29)

d {\vec{\vec{r}}}_{2}^{'^{'}} = C_{p 2} (d {\vec{r}}_{2} - {\vec{V}}_{2} d t)

(4.30)

{\vec{V}}_{2}^{'} = C_{p 1} ({\vec{V}}_{2} - {\vec{V}}_{1})

(4.31)

Policzmy wyrażenie (4.28) podstawiając do niego wyrażenie (4.29) na transformację położenia względem układu $K$ , która jest transformacją do układu $K^{'}$ , i wykorzystując (4.31) transformacje prędkości względem układu $K$ , która jest transformacją do układu $K^{'}$ , co w końcu otrzymujemy wzór (4.30), co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc:

d {\vec{r}}_{2}^{'^{'}} = C_{p 2}^{'} (d {\vec{r}}_{2}^{'} - {\vec{V}}_{2}^{'} d t^{'}) = C_{p 2}^{'} [C_{p 1} (d {\vec{r}}_{2} - {\vec{V}}_{1} d t) - C_{p 1} ({\vec{V}}_{2} - {\vec{V}}_{1}) d t] = C_{p 2}^{'} C_{p 1} (d {\vec{r}}_{2} - {\vec{V}}_{1} d t - {\vec{V}}_{2} d t + {\vec{V}}_{1} d t) =

= C_{p 2} (d {\vec{r}}_{2} - {\vec{V}}_{2} d t)

(4.32)

Co końcowy wzór (4.32) zgadza się ze wzorem (4.30), te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla $C_{p 2} = I$ i ${\vec{V}}_{2} = 0$ , czyli wtedy $d \vec{r} = C_{p 2} (d \vec{r} - {\vec{V}}_{2} d t) = I (d \vec{r} - 0 d t) = d \vec{r}$ , co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo.