Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Tensory w czasoprzestrzeni

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego $T^{\mu }$ i kowariantnego $T_{\mu }$, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej ${\eta }_{\mu \nu }$ (16.5):

$T^{\mu }=\left[\begin{array}{c}{T}_t\\ \overrightarrow{T}\end{array}\right]=[T_t,T_x,T_y,T_z{]}^T\wedge T_{\mu }=T^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{c}\pm T_t\\ \mp \overrightarrow{T}\end{array}\right]=[\pm T_t,\mp T_x,\mp T_y,\mp T_z{]}^T$

(20.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

$x^{\mu }={[ct,x,y,z,\mathrm{...}]}^T=\left[\begin{array}{c}ct\\ x^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ct\\ \overrightarrow{r}\end{array}\right]\wedge x_{\mu }=x^{\nu }{\eta }_{\nu \mu }={[\pm ct,\mp x,\mp y,\mp z,\mathrm{...}]}^T=\left[\begin{array}{c}\pm ct\\ \mp x^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pm ct\\ \mp \overrightarrow{r}\end{array}\right]$

(20.2)

• gdzie pierwsza współrzędna $x^0=ct$ jest to współrzędna czasowa, a $x^i=\overrightarrow{r}={[x,y,z,\mathrm{...}]}^T$ jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds}$

(20.3)

• gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (16.1) (przestrzeń nieprostokątna) i (16.2) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (16.12) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (16.1):

$u^0=\frac{d{x}^0}{ds}=\frac{cdt}{cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma$

(20.4)

$u^i=\frac{d{x}^i}{ds}=\frac{d{x}^0}{ds}=\frac{d{x}^i}{cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{v^i}{c}\gamma$

(20.5)

Zbierając wnioski (20.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

$u^{\mu }=\left[\begin{array}{c}{u}^0\\ u^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}^0\\ \overrightarrow{u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\gamma \\ \frac{\overrightarrow{v}}{c}\gamma \end{array}\right]=\frac{\gamma }{c}\left[\begin{array}{c}c\\ \overrightarrow{v}\end{array}\right]=\frac{\gamma }{c}{v}^{\mu }\wedge v^{\mu }=\left[\begin{array}{c}c\\ v^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ \overrightarrow{v}\end{array}\right]$

(20.6)

Mechanika Newtona

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (20.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (16.12):

$u^0=\frac{d{x}^0}{ds}=\frac{cdt}{cdt}=1$

(20.7)

$u^i=\frac{d{x}^i}{ds}=\frac{d{x}^i}{cdt}=\frac{v^i}{c}$

(20.8)

Zbierając wnioski (20.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

$u^{\mu }=\left[\begin{array}{c}{u}^0\\ u^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}^0\\ \overrightarrow{u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{\overrightarrow{v}}{c}\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{c}c\\ \overrightarrow{v}\end{array}\right]=\frac{v^{\mu }}{c}\wedge v^{\mu }=\left[\begin{array}{c}c\\ v^i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ \overrightarrow{v}\end{array}\right]$

(20.9)

Patrząc na (20.9) wielkości $u^{\mu }$ i $v^{\mu }$ są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (20.2), zatem wzór (16.1) jest wyrażony:

$d{s}^2=\pm {\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }\Rightarrow 1=\pm {\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\frac{d{x}^{\nu }}{ds}$

(20.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.3), to końcową tożsamość wynikową (20.10) przepisujemy:

$1=\pm {\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }$

(20.11)

Co (20.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego η_ij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

$1=\pm u_{\nu }{u}^{\nu }$

(20.12)

Mechanika Newtona

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (16.6) w szczególnej teorii względności przy $||\overrightarrow{v}||<<c$, które spełnia mechanika Newtona, jest (16.12) znając definicję tensora prędkości (20.3) przepiszmy:

$ds=cdt\Rightarrow 1=\frac{dct}{ds}=\frac{d{x}^0}{ds}=u^0\Rightarrow u^0=1\wedge v^0=u^{0}c=c\Rightarrow v^0=c$

(20.13)

Na podstawie obliczeń (20.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła $v^0=c$, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (20.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeni

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (20.3), masy spoczynkowej badanego ciała m₀ i prędkości światła w próżni:

$p^{\mu }=m_{0}c{u}^{\mu }$

(20.14)

Szczególna teoria względności

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

$p^0=m_{0}c{u}^0=m_{0}c\gamma =m_0\gamma c=mc=\frac{m{c}^2}{c}=\frac{E_r}{c}$

(20.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vⁱ:

$p^i=m_{0}c{u}^i=m_{0}c\frac{v^i}{c}\gamma =m_0\gamma v^i=m{v}^i$

(20.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

$p^{\mu }=\left[\begin{array}{c}\frac{E_r}{c}\\ \overrightarrow{p}\end{array}\right]$

(20.17)

Mechanika Newtona

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

$p^0=m_{0}c{u}^0=m_{0}c=\frac{m_0{c}^2}{c}=\frac{E_0}{c}$

(20.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej vⁱ:

$p^i=m_{0}c{u}^i=m_{0}c\frac{v^i}{c}=m_0{v}^i$

(20.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

$p^{\mu }=\left[\begin{array}{c}\frac{E_0}{c}\\ \overrightarrow{p}\end{array}\right]$

(20.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.2) przyjmuje postać:

${p^{\text{'}}}^{\mu }=\left[\begin{array}{c}\frac{E_r^{\text{'}}}{c}\\ {\overrightarrow{p}}^{\prime }\end{array}\right]={M^{\mu }}_{\nu }{p}^{\nu }=\left[\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma \frac{{\overrightarrow{V}}^T}{c}A\\ -M_p\frac{\overrightarrow{V}}{c}& M_p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{E_r}{c}\\ \overrightarrow{p}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{\gamma }{c}{E}_r-\gamma \frac{(\overrightarrow{V},\overrightarrow{p})}{c}\\ -M_p\frac{\overrightarrow{V}}{c}\frac{E_r}{c}+M_p\overrightarrow{p}\end{array}\right]$

(20.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (20.21) postać:

$E_r^{\text{'}}=\gamma (E_r-(\overrightarrow{V},\overrightarrow{p}))$

(20.22)

${\overrightarrow{p}}^{\text{'}}=M_p(\overrightarrow{p}-\frac{\overrightarrow{V}}{c^2}{E}_r)=M_p(\overrightarrow{p}-m\overrightarrow{V})$

(20.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (20.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że $\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_{||}+{\overrightarrow{p}}_{\perp }$:

${\overrightarrow{p}}_{||}^{\text{'}}=\gamma C_p({\overrightarrow{p}}_{||}-m\overrightarrow{V})$

(20.24)

${\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}=C_p{\overrightarrow{p}}_{\perp }$

(20.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych $\overrightarrow{V}$ wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

${{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}}^2={{\overrightarrow{p}}^{\text{'}}}_{\perp }^T{A}^{\text{'}}{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}={\overrightarrow{p}}_{\perp }^T{C}_p^T{A}^{\text{'}}{C}_p{\overrightarrow{p}}_{\perp }={\overrightarrow{p}}_{\perp }^{T}A{\overrightarrow{p}}_{\perp }={\overrightarrow{p}}_{\perp }^2\Rightarrow {{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}}^2={\overrightarrow{p}}_{\perp }^2\Rightarrow |{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}|=|{\overrightarrow{p}}_{\perp }|$

(20.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.15) przyjmuje postać:

${p^{\text{'}}}^{\mu }=\left[\begin{array}{c}\frac{E_0^{\text{'}}}{c}\\ {\overrightarrow{p}}^{\prime }\end{array}\right]={M^{\mu }}_{\nu }{p}^{\nu }=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -C_p\frac{\overrightarrow{V}}{c}& C_p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{E_0}{c}\\ \overrightarrow{p}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{E_0}{c}\\ -C_p\frac{\overrightarrow{V}}{c}\frac{E_0}{c}+C_p\overrightarrow{p}\end{array}\right]$

(20.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (20.27) postać:

$E_0^{\text{'}}=E_0\Rightarrow m_0^{\text{'}}=m_0$

(20.28)

${\overrightarrow{p}}^{\text{'}}=C_p(\overrightarrow{p}-\frac{\overrightarrow{V}}{c^2}{E}_0)=C_p(\overrightarrow{p}-m_0\overrightarrow{V})$

(20.29)

Na podstawie (20.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (20.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że $\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_{||}+{\overrightarrow{p}}_{\perp }$:

${\overrightarrow{p}}_{||}^{\text{'}}=C_p({\overrightarrow{p}}_{||}-m_0\overrightarrow{V})$

(20.30)

${\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}=C_p{\overrightarrow{p}}_{\perp }$

(20.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych $\overrightarrow{V}$ wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

${{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}}^2={{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}}^T{A}^{\text{'}}{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}={\overrightarrow{p}}_{\perp }^T{C}_p^T{A}^{\text{'}}{C}_p{\overrightarrow{p}}_{\perp }={\overrightarrow{p}}_{\perp }^{T}A{\overrightarrow{p}}_{\perp }={\overrightarrow{p}}_{\perp }^2\Rightarrow {{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}}^2={\overrightarrow{p}}_{\perp }^2\Rightarrow |{\overrightarrow{p}}_{\perp }^{\text{'}}|=|{\overrightarrow{p}}_{\perp }|$

(20.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (20.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (16.1) (lub (16.2)):

$K^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{ds}$

(20.33)

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (20.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (19.16):

$K^i=\frac{d{p}^i}{cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{d{p}^i}{dt}\frac{\gamma }{c}=F^i\frac{\gamma }{c}$

(20.34)

Wedle wzoru (20.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{K}\frac{c}{\gamma }\Rightarrow \overrightarrow{K}=\frac{\gamma }{c}\overrightarrow{F}$

(20.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (20.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m₀c)² i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (20.12), to:

$m_0^2{c}^2={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }$

(20.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (20.24) względem linii światła:

$0={\eta }_{\mu \nu }(\frac{d{p}^{\mu }}{ds}{p}^{\nu }+p^{\mu }\frac{d{p}^{\nu }}{ds})\Rightarrow 0={\eta }_{\mu \nu }\frac{d{p}^{\mu }}{ds}{p}^{\nu }+{\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }\frac{d{p}^{\nu }}{ds}$

(20.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (20.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

$0={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }\frac{d{p}^{\nu }}{ds}\Rightarrow 0=p_{\nu }\frac{d{p}^{\nu }}{ds}$

(20.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (20.33) we wzorze (20.38), to:

$0=p_{\nu }{K}^{\nu }$

(20.39)

W równaniu (20.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (20.33), właśnie ten element można zapisać:

$0=p_0{K}^0+p_i{K}^i\Rightarrow K^0=-\frac{p_i{K}^i}{p_0}=-\frac{p_i{F}^i\gamma /c}{E_r/c}=-\frac{-p^i{a}_{ij}{F}^j}{E_r}\gamma =\frac{{\overrightarrow{p}}^{T}A\overrightarrow{F}}{E_r}\gamma =\frac{(\overrightarrow{p},\overrightarrow{F})}{E_r}\gamma$

(20.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (20.34) (część przestrzenna tensora siły) i (20.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

$K^{\mu }=\left[\begin{array}{c}\frac{(\overrightarrow{p},\overrightarrow{F})}{E_r}\gamma \\ \overrightarrow{F}\frac{\gamma }{c}\end{array}\right]=\frac{\gamma }{c}\left[\begin{array}{c}(\frac{\overrightarrow{v}}{c},\overrightarrow{F})\\ \overrightarrow{F}\end{array}\right]=\frac{\gamma }{c}{F}^{\mu }\wedge F^{\mu }=\left[\begin{array}{c}(\frac{\overrightarrow{v}}{c},\overrightarrow{F})\\ \overrightarrow{F}\end{array}\right]$

(20.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością $\overrightarrow{V}$ względem układu K, i dalej ponieważ tensor $K^{\mu }$ jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły $F^{\mu }$ w (20.41) nie jest tensorem, a $K^{\mu }$ jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (20.41), a w mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9) mamy:

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9), mamy:

$K^{\mu }=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{c}\overrightarrow{F}\end{array}\right]=\frac{1}{c}\left[\begin{array}{c}0\\ \overrightarrow{F}\end{array}\right]=\frac{1}{c}{F}^{\mu }\wedge F^{\mu }=\left[\begin{array}{c}0\\ \overrightarrow{F}\end{array}\right]$

(20.42)

Wielkości w (20.42), tzn.: $K^{\mu }$ i $F^{\mu }$ są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe $F^{\mu }$ są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

$\overrightarrow{K}=\frac{1}{c}\overrightarrow{F}$

(20.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas

Mając tensory położenia (20.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

$X^{\mu }=\frac{\sum _k{m}_k{x}_k^{\mu }}{\sum _k{m}_k}$

(20.44)

Gdzie $x_k^{\mu }$ to tensor położenia ciała o numerze $k$, a $X^{\mu }$ to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej $\lambda$ możemy napisać w postaci podobnej do (25.2),tzn:

${\left(X^{\mu }\right)}^{(n)}(\lambda )=\frac{\sum _k{m}_k\cdot {\left(x_k^{\mu }\right)}^{(n)}(\lambda )}{\sum _k{m}_k}$

(20.45)

Wzór (20.45) podobnie się udowadnia jak wzór (25.2). A więc twierdzenie (20.45) zostało udowodnione. Wzory (20.44) i (20.45) są równoważne ze wzorami (25.1) i (25.2) dla $\mu =i$ i $\lambda =t$. Gdy we wzorze (20.44) mamy $m_k=m_{0k}\gamma$, gdzie w nim $m_{0k}$ to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze $k$, a także $x^0=t$, to wtedy dostajemy:

$t\sum _k{m}_k=\sum _k{m}_{k}t\Rightarrow \sum _k{m}_k=\sum _k{m}_k\wedge M_0=\sum _k{m}_{0k}\wedge M=\sum _k{m}_{0k}{\gamma }_k\Rightarrow M_0\mathrm{\Gamma }=M\Rightarrow M_0=\frac{\sum _k{m}_{0k}{\gamma }_k}{\mathrm{\Gamma }}=\frac{M}{\mathrm{\Gamma }}$

(20.46)

Widzimy, że według wzoru (20.46) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (20.44) dla $\mu =0$ jest tożsamością. Stąd wzór (20.45) jest słuszny dla każdego $\mu$ dla $\lambda =t$. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez $\mathrm{\Gamma }$, które jest zdefiniowane wzorem (19.10)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas $\overrightarrow{V}$. Przepiszmy wzór (20.45) dla $\mu =i$ i $\lambda =t$, $n=1$ i $m_k=m_{0k}{\gamma }_k$, co po przekształceniu go wykorzystując (20.46) i (20.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez $c$, wtedy:

$\frac{V^i}{c}M=\sum _i{m}_i\frac{v^i}{c}\Rightarrow \frac{V^i}{c}{M}_0\mathrm{\Gamma }=\sum _k{m}_{0k}{\gamma }_k\frac{v_k^i}{c}\Rightarrow U^i{M}_0=\sum _k{m}_{0k}{u}_k^i$

(20.47)

Stąd na podstawie (20.47) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi $\frac{d{x}^0}{cdt}=\frac{cdt}{cdt}=1$ i $u^0=\gamma \frac{d{x}^0}{cdt}=\gamma$ według (20.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (20.46) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości $\frac{d{x}_k^0}{cdt}$ i $\frac{d{X}_k^0}{cdt}$, a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

$U^0{M}_0=\sum _k{m}_{0k}{u}_k^0$

(20.48)

Łącząc wzory (20.47) i (20.48) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

$U^{\mu }=\frac{\sum _i{m}_{0i}{u}_i^{\mu }}{M_0}$

(20.49)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas $M_0$ jest zdefiniowana według (20.46).

Tensor siły dla środka mas

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (20.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (25.1) o środku mas układu cząstek, to wzory (20.33) i (20.41) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (25.9) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (25.9) udowodniliśmy wychodząc z (19.16). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

Twierdzenie pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych) (Twier.  20.1)
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji ${{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }}_{\nu }$ (popatrz na definicję macierzy transformacji (15.31) w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.

• 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:

$u^{\mu }\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}=0$

(20.50)

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.50) jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej (26.5) i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6). Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji (15.31):

${{\bar{\mathrm{\Lambda }}}^{\nu }}_{\mu }{u}^{\mu }\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}={\bar{u}}^{\nu }\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}=0$

(20.51)

Wyraz w (20.51) jest równy zero ze względu, że wyraz $\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}=0$ w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

• 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

$u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}=0\Rightarrow \underset{V\to 0}{lim}\int u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}dV=\underset{V\to 0}{lim}\int ((u^i{u}^{\mu }{)}_{,i}-u^{\mu }{u^i}_{,i})dV=\underset{S\to 0}{lim}\int u^i{u}^{\mu }d{S}_i-\underset{V\to 0}{lim}\int u^{\mu }{u^i}_{,i}dV=$
$=u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\oint }_S{u}^{i}d{S}_i-u^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{u^i}_{,i}dV=u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\oint }_S{u}^{i}d{S}_i-u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\oint }_S{u}^{i}d{S}_i=0$

(20.52)

A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia (20.52) do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

• 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

$\underset{S\to 0}{lim}{\oint }_S({\rho }_0{c}^2+p)u^{\mu }{u}^{j}d{S}_j=0\Rightarrow \underset{V\to }{lim}{\int }_V{(({\rho }_0{c}^2+p)u^{\mu }{u}_j)}_{,j}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V(({\rho }_0{c}^2+p{)}_{,j}{u}^{\mu }{u}^j+({\rho }_0{c}^2+p){u^{\mu }}_{,j}{u}^j+$
$+({\rho }_0{c}^2+p)u^{\mu }{u^j}_{,j})dV=u^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d}{ds}({\rho }_0{c}^2+p)dV+({\rho }_0{c}^2+p)\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{u^{\mu }}_{,j}{u}^{j}dV+({\rho }_0{c}^2+p)u^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{u^j}_{,j}dV=$
$=u^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d}{ds}({\rho }_0{c}^2+p)dV+({\rho }_0{c}^2+p)\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{u^{\mu }}_{,j}{u}^{j}dV+({\rho }_0{c}^2+p)u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\oint }_S{u}^{j}d{S}_j=0$

(20.53)

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej (26.5) i niezależności ciśnienia (26.2) względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w (20.53) jest równy zero na podstawie przykładu (20.52). Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według (21.6). A więc przejście całki (20.53) od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci (20.33), piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (18.7) (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć:

$d{K}^{\mu }=d{m}_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}={\rho }_{0}cd{V}_0\frac{d{u}^{\mu }}{ds}={\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{ds}dV\Rightarrow \frac{d{K}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{ds}$

(20.54)

Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci (20.54). Korzystając z definicji gęstości tensora siły $\frac{d{K}^{\mu }}{dV}$ według wzoru (20.54) przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły $\frac{d{F}^{\mu }}{dV}$ na podstawie (20.41):

$\frac{d{K}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{ds}\Rightarrow \frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{dt}$

(20.55)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (20.55), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu (20.54) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6) i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy (26.5) oraz twierdzenie (Twier. 20.1), jako:

$\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{K}^{\mu }}{dV}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{ds}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_{0}c\gamma u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial t}\frac{dt}{ds})dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_{0}c\gamma u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}+$
$+{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial t}\frac{\gamma }{c})dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_{0}c\gamma u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s})dV={\rho }_{0}c\gamma \underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{u}^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial s}\rho v^{\mu }dV+$
$-c{u}^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}dV={\rho }_{0}c\gamma \underset{V\to 0}{lim}{\int }_V[{\left(u^i{u}^{\mu }\right)}_{,i}-u^{\mu }{u^i}_{,i}]dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial s}\rho v^{\mu }dV-c{u}^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}dV=$
$={\rho }_{0}c\gamma u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\int }_S{u}^{i}d{S}_i-{\rho }_{0}c\gamma u^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\int }_S{u}^{i}d{S}_i+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial s}\rho v^{\mu }dV-c{u}^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial {\rho }_0\gamma }{\partial s}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial s}\rho v^{\mu }dV\Rightarrow$
$\frac{d{K}^{\mu }}{dV}=\frac{\partial }{\partial s}\rho v^{\mu }$

(20.56)

Wzór na gęstość tensora siły (20.56) zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w (20.56), mamy:

$\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{K}^{\mu }}{dV}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_{0}c\gamma u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s})dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_{0}c\gamma u^i\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^i}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s}dV=$
$=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s}dV\Rightarrow \frac{d{K}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s}$

(20.57)

Wzór na gęstość tensora siły (20.57) jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.56) i (20.57) piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość (20.41), wtedy

$\frac{d{K}^{\mu }}{dV}=\frac{\partial }{\partial s}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge \frac{d{K}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial s}\Rightarrow \frac{d{K}^{\mu }}{dV}=\frac{\gamma }{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge \frac{d{K}^{\mu }}{dV}=\frac{\gamma }{c}{\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial t}\Rightarrow \frac{d{F}^{\mu }}{dV}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge$
$\wedge \frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{\partial u^{\mu }}{\partial t}$

(20.58)

Wzory na gęstość tensora siły (20.56) i (20.57) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.54) oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (20.58) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.55) na mocy twierdzenia (Twier. 20.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (20.55), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według (19.16), a więc:

$\frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_{0}c\gamma \frac{d{u}^{\mu }}{dt}$

(20.59)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

${\rho }_0\gamma dV=\frac{d{m}_0}{dV}dV=m_0{\delta }^n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_0)dV$

(20.60)

• gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (20.59) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

$F^{\mu }={\int }_V\frac{d{F}^{\mu }}{dV}dV=m_0{\int }_V{\delta }^n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_0)c\frac{d{u}^{\mu }}{dt}dV\Rightarrow F^{\mu }=m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{dt}\Rightarrow F^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{dt}\Rightarrow \overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

(20.61)

Stąd wzór (20.59) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (20.61) (końcowy wzór), czyli w (19.16). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci (20.33), a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (20.54) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (MT-Niedopasowany uchwyt: 1.31), piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć:

$d{F}^{\mu }=d{m}_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}={\rho }_{0}dV\frac{d{v}^{\mu }}{dt}={\rho }_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}dV\Rightarrow \frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}$

(20.62)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (20.62), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu (20.62) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.7) i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej (26.5) oraz twierdzenie (Twier. 20.1), jako:

$\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{F}^{\mu }}{dV}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_0{v}^i\frac{\partial v^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t})dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_0{v}^i\frac{\partial v^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t})dV=$
$=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_0{v}^i\frac{\partial v^{\mu }}{\partial x^i}+\frac{\partial }{\partial t}\rho v^{\mu }-v^{\mu }\frac{\partial {\rho }_0}{\partial t})dV={\rho }_0\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\left(v^i{v}^{\mu }\right)}_{,i}-{v^i}_{,i}{v}^{\mu })dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial t}\rho v^{\mu }-v^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial {\rho }_0}{\partial t}dV=$
$={\rho }_0{v}^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\int }_S{v}^{i}d{S}_i-{\rho }_0{v}^{\mu }\underset{S\to 0}{lim}{\int }_S{v}^{i}d{S}_i+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial t}\rho v^{\mu }dV-v^{\mu }\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial {\rho }_0}{\partial t}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{\partial }{\partial t}\rho v^{\mu }dV\Rightarrow \frac{d{F}^{\mu }}{dV}=\frac{\partial }{\partial t}\rho v^{\mu }$

(20.63)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w (20.63), mamy:

$\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V\frac{d{F}^{\mu }}{dV}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V({\rho }_0{v}^i\frac{\partial v^{\mu }}{\partial x^i}+{\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t})dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_0{v}^i\frac{\partial v^{\mu }}{\partial x^i}dV+\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t}dV=\underset{V\to 0}{lim}{\int }_V{\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t}dV\Rightarrow$
$\Rightarrow \frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_0\frac{\partial v^{\mu }}{\partial t}$

(20.64)

Wzór (20.64) jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (20.63) i (20.64) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.62) na mocy twierdzenia (Twier. 20.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (20.62), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według (19.16), a więc:

$\frac{d{F}^{\mu }}{dV}={\rho }_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}$

(20.65)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

$dV=d{V}_0\wedge dm=d{m}_0\wedge {\rho }_{0}d{V}_0=d{m}_0=\frac{d{m}_0}{dV}dV=m_0{\delta }^n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_0)dV$

(20.66)

• gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie (20.65) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

$F^{\mu }={\int }_V\frac{d{F}^{\mu }}{dV}dV=m_0{\int }_V{\delta }^n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_0)\frac{d{v}^{\mu }}{dt}dV\Rightarrow F^{\mu }=m_0\frac{d{v}^{\mu }}{dt}\Rightarrow F^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{dt}\Rightarrow \overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

(20.67)

Stąd wzór (20.65) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (20.67) (końcowy wzór), czyli w (MT-Niedopasowany uchwyt: 1.31). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci (MT-Niedopasowany uchwyt: 1.31), a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (20.62) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.