Elektrodynamika klasyczna/Pola skalarne i wektorowe a równania elektrodynamiki Maxwella

Pola skalarne i wektorowe a równania elektrodynamiki Maxwella

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wprowadzenie do potencjałów - skalarnego i wektorowego 2Cechowania w magnetostatyce i elektrodynamice Maxwella

Będziemy się zajmować, gdy pola elektryczne i magnetyczne w ogólności są zmienne w czasie i na jej podstawie wprowadzimy pojęcie pola skalarnego za pomocą potencjału skalarnego i pola wektorowego za pomocą potencjału wektorowego, które w ogólności zmieniają się w czasie.

Wprowadzenie do potencjałów - skalarnego i wektorowego

Definicja potencjału wektorowego jest taka sama jak w magnetostatyce, którego definicja jest w punkcie (10.1), ale my dla przejrzystości wykładu powtórzymy tą definicję i powiemy, że ona jest słuszna również dla pól zmiennych w czasie:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}\;$

(20.1)

W magnetetostatyce taka definicją prowadziła, że spełnione jest prawo Gaussa (9.7), także również zachodzi to samo w elektrodynamice Maxwella dla drugiego prawa Maxwella (15.15). Posłużmy się trzecim prawem i dokonajmy w nim pewnych przekształceń, stosując w nim wzór na indukcję pola magnetycznego w zależności od potencjału wektorowego, i po tej czynności wszystkie wyrazy wsadźmy pod dywergencję (operator nabla):

$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\Rightarrow \nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial } \over {\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\Rightarrow \nabla \times {\vec {E}}+\nabla \times {{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}=0\Rightarrow \nabla \times \left({\vec {E}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)=0\;$

(20.2)

Aby powyższe równanie było tożsamościowo równe zero, to w powyższym równaniu należy zastąpić wyrażenie, która jest mnożnikiem wyrażeniem -∇φ, zatem przeprowadzając te same obliczenia, co w punkcie (3.11), dostajemy, że podstawienie jest automatycznie spełnione. Zatem na podstawie tego zastąpienia i końcowego równania (20.2), otrzymujemy wtedy gradient potencjału skalarnego definiowany wedle sposobu:

$-\nabla \varphi ={\vec {E}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(20.3)

Natężenie pole elektrycznego, używając powyższego równania (20.3), jak się przekonamy w tym równaniu jest ona zależna od gradientu potencjału skalarnego i od potencjału wektorowego zależnego od czasu.

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(20.4)

Widzimy, że gdy pole magnetyczne nie zmienia się w czasie, to definicja natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny jest taki sama jak w elektrostatyce, tzn. jak w punkcie (3.5).

Znając definicję potencjału wektorowego, że jeśli potencjał skalarny i wektorowy zmieniać się będą w czasie, to wektor natężenia pola elektrycznego będzie w ogólności też się zmieniać w czasie. Gdy potencjał wektorowy zmienia się w czasie, to wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcje też w ogólności będzie się zmieniał w czasie. Drugie równanie Maxwella jest automatycznie spełnione, bo zachodzi na podstawie obliczeń (10.11). Wprowadzając potencjał skalarny i wektorowy w elektromagnetyzmie, to wtedy dochodzimy do wniosku, że drugie i trzecie prawo elektrodynamiki Maxwella dla próżni stają tożsamościami, zostało nam tylko dwa równania, tzn.: pierwsze i trzecie równanie. Pierwsze z nich zależy od gęstości objętościowej ładunku, a ostanie zależy od gęstości prądu płynącego w naszym przewodniku.

Cechowania w magnetostatyce i elektrodynamice Maxwella

Mamy już wyznaczone natężenie pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny i wektorowy, oraz indukcję pola magnetycznego przez potencjał wektorowy.

Weźmy pod lupę czwarte prawo elektrodynamiki Maxwella (15.17), podstawmy do niego definicję indukcji magnetycznej poprzez potencjał wektorowy (20.1) i definicję natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny i wektorowy, dalej wykorzystując związek udowodniony w punkcie (17.1), ale tym razem zamiast natężenia pola elektrycznego występuje potencjał wektorowy, zatem dochodzimy do wniosku:

$\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial } \over {\partial t}}\left(-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)\Rightarrow \nabla \left(\nabla {\vec {A}}\right)-\Delta {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {J}}-\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla {{\partial \varphi } \over {\partial t}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial ^{2}{\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(20.5)

Teraz przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą jej stronę, oprócz wyrazu z gęstością prądu elektrycznego, i odpowiednie je grupować będziemy, zatem otrzymujemy:

$\nabla \cdot \left(\nabla {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}\right)-\left(\Delta {\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}\right)=\mu _{0}{\vec {J}}\;$

(20.6)

Przyjmijmy cechowanie, które wiąże potencjał skalarny z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Widzimy, że w tym cechowaniu poniżej jest ona zależna od dywergencji potencjału wektorowego i od pochodnej pierwszej względem czasu potencjału skalarnego:

$\nabla {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}=0\;$

(20.7)

Powyższe równanie jest cechowaniem Lorentza, a gdy potencjał nie zmienia się w czasie, to otrzymujemy cechowanie Coulomba w postaci równania (10.4).

Zatem nasze czwarte prawo Maxwella po uwzględnieniu naszego cechowania Lorentza i podstawiając go do pierwszego składnika pod operatorem nabla (∇), wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od potencjału wektorowego pola elektromagnetycznego:

$\Delta {\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {J}}\;$

(20.8)

Następnie krokiem jest skorzystanie z pierwszego prawa Maxwella (15.14) i zastosowanie w nim związku (20.4) na natężenie pola elektrycznego w zależności od dywergencji pola potencjału skalarnego i względem pochodnej czasowej potencjału wektorowego względem czasu, wtedy dostajemy związek:

$\nabla \cdot {\vec {E}}=0\Rightarrow \nabla \cdot \left(-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)=0\Rightarrow -\Delta \varphi -{{\partial } \over {\partial t}}\nabla {\vec {A}}={{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \;$

(20.9)

Równanie na cechowanie Lorentza (20.7) zastosujmy do równania (20.9) wyznaczając z tego cechowania dywergencję potencjału wektorowego podstawiając do niego, wtedy dostając wzór zależny tylko od potencjału skalarnego φ

$-\Delta \varphi +\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial ^{2}\varphi } \over {\partial t^{2}}}={{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \Rightarrow \Delta \varphi -\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial ^{2}\varphi } \over {\partial t^{2}}}=-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \;$

(20.10)

Określając ze wzoru (17.11) wielkość $\mu _{0}\epsilon _{0}={{1} \over {c^{2}}}\;$, że iloczyn przenikalności elektrycznej i magnetycznej w próżni, że jest odwrotnością kwadratu wartości prędkości światła, zatem nasze te dwa uzyskane równania zależne tylko od potencjału wektorowego (20.8) i od potencjału skalarnego (20.10) są one w postaci:

$\Delta {\vec {A}}-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {J}}\;$

(20.11)

$\Delta \varphi -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\varphi } \over {\partial t^{2}}}=-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \;$

(20.12)

Jeśli zdefiniujemy operator, który jest zależna od kwadratu operatora nabla, czyli operatora delty i od drugiej pochodnej względem czasu, którego definicję podajemy tutaj:

$\square =\Delta -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(20.13)

co (20.13) nazywamy dalambercjanem .

Zatem nasze równania elektrodynamiki Maxwella dla potencjału wektorowego (20.11) i skalarnego (20.12), przy zastosowaniu definicji operatora dalambercjanu (20.13), zapisujemy:

$\square \varphi =-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \;$

(20.14)

$\square {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {J}}\;$

(20.15)

Jak widzimy, że możemy osobno wyznaczyć potencjały skalarne i potencjały wektorowe, a później za pomocą cechowania Lorentza powiązać oba te pola, tzn. potencjał skalarny φ z wektorowym ${\vec {A}}\;$, a następnie na tej podstawie wyznaczyć pola wektorowe, tzn. natężenia pola elektrycznego oraz indukcję pola magnetycznego.