Fale/Odbicie fal klasycznych

Odbicie fal klasycznych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem (4.49). Falę padającą możemy wyrazić przez (4.4), którą tutaj przepiszemy:

$\psi _{pad}(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;$

(5.1)

W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem (5.1), którą możemy zapisać formułą:

$\psi _{pad}(0,t)=A\cos \omega t\;$

(5.2)

Współczynnik odbicia

Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana:

$F_{pad}(P{\mbox{ na }}L)=-Z_{1}{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.3)

$F_{odb}(P{\mbox{ na }}L)=Z_{1}{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.4)

A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił (5.3) i (5.4), i po prostu jest napisana:

$F_{pad}(P{\mbox{ na }}L)=-Z_{1}{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}+Z_{1}{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.5)

Fala odbita ψ_odb i padająca ψ_pad, której superpozycją jest fala ψ, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej:

${{\partial \psi (0,t)} \over {\partial t}}={{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}+{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\;,$

(5.6)

Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" ψ,, dla którego impedancja jest wyrażona przez Z₂, jest wyrysowana:

$F(P{\mbox{ na }}L)=-Z_{2}{{\partial \psi (0,t)} \over {\partial t}}=-Z_{2}\left({{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}+{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\right)=-Z_{2}{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}-Z_{2}{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.7)

Siła (5.5) jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci (5.7), wtedy przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek:

$-Z_{1}{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}+Z_{1}{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}=-Z_{2}{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}-Z_{2}{{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.8)

Wzór (5.8) możemy napisać troszeczkę w innej postaci grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór:

${{\partial \psi _{odb}(0,t)} \over {\partial t}}=\left[{{Z_{1}-Z_{2}} \over {Z_{1}+Z_{2}}}\right]{{\partial \psi _{pad}(0,t)} \over {\partial t}}\;$

(5.9)

Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal

W równanie ruchu (5.9) możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej:

$\psi _{odb}(0,t)=R_{12}\psi _{pad}(0,t)=R_{12}A\cos \omega t\;$

(5.10)

Współczynnik odbicia występującej we wzorze (5.8) nazywamy wielkość określaną:

$R_{12}={{Z_{1}-Z_{2}} \over {Z_{1}+Z_{2}}}\;$

(5.11)

Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0 zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/v_f, dla której v_f jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez:

$\psi _{odb}(z,t)=R_{12}A\cos \left[\omega \left(t+{{z} \over {v_{f}}}\right)\right]=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$

(5.12)

Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem (5.12):

$\psi (z,t)=A\cos(\omega t-kz)+R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$

(5.13)

Przemieszczenia fali odbitej i padającej, a siła kierująca

Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie (4.42), która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej (5.11). Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania.

Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru (5.12):

$\psi _{pad}=A\cos(\omega t-kz)\;$

(5.14)

$\psi _{odb}=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$

(5.15)

Porównując wzory (5.14) i (5.15) dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest R₁₂. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej (5.14) i odbitej (5.15):

${{\partial \psi _{pad}} \over {\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;$

(5.16)

${{\partial \psi _{odb}} \over {\partial t}}=-R_{12}\omega A\sin(\omega t+kz)\;$

(5.17)

Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako R₁₂. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać:

${{\partial \psi _{pad}} \over {\partial z}}=kA\sin(\omega t-kz)\;$

(5.18)

${{\partial \psi _{odb}} \over {\partial z}}=-R_{12}kA\sin(\omega t+kz)\;$

(5.19)

Porównując tożsamość (5.18) z (5.19) możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór:

$R_{{\partial \psi } \over {\partial z}}=-R_{12}\;$

(5.20)

Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków

Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja (4.42)) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez:

$-T_{1}{{\partial \psi _{1}} \over {\partial z}}+T_{2}{{\partial \psi _{1}} \over {\partial z}}=0{\mbox{ dla }}z=0\;$

(5.21)

Skokowi siły napinającej struny według (5.21) towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej.

Współczynnik transmisji

Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór:

$\varphi _{1}(z,t)=\varphi _{0}\cos(\omega t-k_{1}z)+R\varphi _{0}\cos(\omega t+k_{1}z)\;$

(5.22)

Wzór (5.21) określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez R₁₂. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T:

$\varphi _{2}=T\varphi _{0}\cos(\omega t-k_{2}z)\;$

(5.23)

Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości (5.23) z wielkością (5.22) piszemy według:

$\varphi _{2}(0,t)=\varphi _{1}(0,t)\;$

(5.24)

Do wzoru (5.24) możemy podstawić wzory (5.22) i (5.23), by w ten sposób otrzymać tożsamość:

$T\varphi _{0}\cos \omega t=\varphi _{0}(1+R)\cos \omega t\;$

(5.25)

Z równości (5.25) możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia:

$T=1+R\;$

(5.26)

We wzorze (5.26) R jest równe R₁₂, gdy φ₀ jest to przemieszczenie φ lub prędkością ∂ψ/∂ t, natomiast gdy jest równa -R₁₂, co wtedy mamy do czynienia z siła kierującą -T∂ψ/∂ z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji).