Fale/Układy fizyczne, a jego drgania o wielu stopniach swobody

Układy fizyczne, a jego drgania o wielu stopniach swobody

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach:

$A:B:C:D=1:0,-3,-8\;$

To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy:

$\psi _{a}=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\varphi ){\mbox{, }}\psi _{b}=0{\mbox{, }}\psi _{c}=-3\psi _{a}{\mbox{, }}\psi _{d}=-8\psi _{a}\;$

Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest ψ(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia ψ_a(t), ψ_b(t), ψ_c(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji ψ nazywamy falami.

Drgania poprzeczne struny dyskretnej

Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka.

(Rys. 2.1) Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy

Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi.

Drgania poprzeczne struny ciągłej

Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania ψ_a, ψ_b, ψ_c, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone:

${\vec {\psi }}(x,y,z,t)={\hat {x}}\psi _{x}(x,y,z,t)+{\hat {y}}\psi _{y}(x,y,z,t)+{\hat {z}}_{z}\psi _{z}(x,y,z,t)\;$

(2.1)

Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie

Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy:

${\vec {\psi }}_{x}(z,t)={\hat {x}}\psi _{x}(z,t)+{\hat {y}}\psi _{y}(z,t)+{\hat {z}}\psi _{z}(z,t)\;$

(2.2)

Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru (2.2) możemy przepisać wzór na postać tychże drgań:

${\vec {\psi }}(z,t)={\hat {x}}\psi _{x}(z,t)+{\hat {y}}\psi _{y}(z,t)\;$

(2.3)

Polaryzacja struny ciągłej

Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa ρ. A masa na odcinku Δx wyrażamy poprzez wzór:

$\Delta M=\rho _{0}\Delta z\;$

(2.4)

(Rys. 2.2) Poprzeczne drgania struny ciągłej

Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez:

$F_{x}=T_{2}\sin \theta _{2}-T_{1}\sin \theta _{1}\;$

(2.5)

Chcemy wyrazić siłę F_x poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest:

• ${{\partial \psi (z,t)} \over {\partial t}}\;$, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę (2.5) możemy przestawić przy pomocy wzoru:

$F_{x}=T_{2}\sin \theta _{2}-T_{1}\sin \theta _{1}=T_{2}\cos \theta _{2}\operatorname {tg} \theta _{2}-T_{1}\cos \theta _{1}\operatorname {tg} \theta _{1}=T_{0}\operatorname {tg} \theta _{2}-T_{0}\operatorname {tg} \theta _{1}=$
$=T_{0}\left({{\partial \psi } \over {\partial z}}\right)_{2}-T_{0}\left({{\partial \psi } \over {\partial z}}\right)_{1}$

(2.6)

Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości ψ(z,t) względem położenia z, którego definicja:

$f(z)={{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\;$

(2.7)

Rozłóżmy funkcję (2.7) względem położenia wokół punktu z₁, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe:

$f(z_{2})=f(z_{1})+(z_{2}-z_{1})\left({{df} \over {dz}}\right)_{1}+{{1} \over {2}}(z_{2}-z_{1})^{2}\left({{d^{2}f} \over {dx^{2}}}\right)_{1}+...\;$

(2.8)

Biorąc Δz=z₂-z₁, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z₂ i z₁, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji ψ względem położenia przy stałej proporcjonalności równej Δz:

$f(z_{2})-f(z_{1})=\Delta z\left({{\partial f} \over {\partial z}}\right)_{1}=\Delta z{{d} \over {dz}}\left({{\partial \psi _{z}} \over {\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial \psi } \over {\partial z}}\left({{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\;$

(2.9)

Wniosek wypływający z tożsamości (2.9) i wzoru (2.6) na definicję siły F_x jest taki:

$F_{z}=T_{0}\Delta z{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\;$

(2.10)

Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F_x (2.10), który po skróceniu przez Δz otrzymujemy tożsamość robiąc te czynności po kolei:

$\rho _{0}\Delta z{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}=T_{0}\Delta z{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\Rightarrow {{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}={{T_{0}} \over {\rho _{0}}}{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial z^{2}}}\;$

(2.11)

Fale stojące drgającej struny

Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez:

$\psi (z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi )\;$

(2.12)

Druga pochodna cząstkowa wyrażenia (2.12) względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z):

${{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}\psi =-\omega ^{2}A(z)\cos(\omega t+\varphi )\;$

(2.13)

A druga pochodna funkcji Ψ(z,t) (2.12) względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu:

${{\partial ^{2}\psi } \over {\partial z^{2}}}={{\partial (A(z)\cos(\omega t+\varphi ))} \over {\partial z^{2}}}=\cos(\omega t+\varphi ){{d^{2}A(z)} \over {dz^{2}}}\;$

(2.14)

Biorąc równanie różniczkowe falowe (2.11) i po podstawieniu do niego wzoru (2.13) i (2.14) i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie:

${{d^{2}A(z)} \over {dz^{2}}}=\omega ^{2}{{\rho _{0}} \over {T_{0}}}A(z)\;$

(2.15)

Rozwiązując równanie (2.15) dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2πz/λ, wtedy:

$A(z)=A\sin \left(2\pi {{z} \over {\lambda }}\right)+B\cos \left(2\pi {{z} \over {\lambda }}\right)\;$

(2.16)

A także możemy napisać wniosek wynikający z (2.16), którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem:

${{d^{2}A(z)} \over {dz^{2}}}=-\left({{2\pi } \over {\lambda }}\right)^{2}A(z)\;$

(2.17)

Możemy porównać obie strony wzorów (2.15) z (2.17), a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T₀ i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny:

$\left({{2\pi } \over {\lambda }}\right)^{2}=\omega ^{2}{{\rho _{0}} \over {T_{0}}}\Rightarrow \left({{2\pi } \over {\lambda }}\right)^{2}=(2\pi \nu )^{2}{{\rho _{0}} \over {T_{0}}}\Rightarrow \lambda \nu ={\sqrt {{T_{0}} \over {\rho _{0}}}}\equiv v_{0}=\operatorname {const} \;$

(2.18)

Fale stojące

Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów (2.12) i (2.16), jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej:

$\psi (x,t)=\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left[A\sin \left(2\pi {{z} \over {\lambda }}\right)+B\cos \left(2\pi {{z} \over {\lambda }}\right)\right]\;$

(2.19)

Warunki brzegowe

Rozwiązanie na funkcje stojące (2.19) nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie (2.19) jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy:

$\psi (0,t)=\cos(\omega t+\varphi )[0+B]=0\;$

(2.20)

Patrząc na tożsamość (2.20) dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej (2.19) możemy zapisać, na podstawie dowodu (2.20), że stała B=0, jako:

$\psi (z,t)=A\cos(\omega t+\varphi )\sin {{2\pi z} \over {\lambda }}\;$

(2.21)

Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej (2.20) jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie:

$\sin {{2\pi L} \over {\lambda }}=0\;$

(2.22)

Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu (2.22), w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby λ/2, co można udowodnić przeprowadzając odpowiednie obliczenia:

${{2\pi L} \over {\lambda }}=\pi k\Rightarrow L={{\lambda } \over {2}}k{\mbox{ dla }}k=\pm 1,\pm 2,...\;$

(2.23)

W obliczeniach (2.23) pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda $\lambda _{1}=2L\;$, a z warunku (2.23) i z definicji na stałą λ₁ dalsze wzory na długość fali λ_k w zależności od k>1 zapisujemy:

$\lambda _{k}={{1} \over {k}}\lambda _{1}\;$

(2.24)

Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych

(Rys. 2.3) Drgania struny o jej nieruchomych końcach

Częstotliwości ν poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej ν₁ względem (2.24) w postaci wzorów:

$\nu _{1}={{v_{0}} \over {\lambda _{1}}}{\mbox{, }}\nu _{2}=2\nu _{1}{\mbox{, }}\nu _{3}=3\nu _{1}{\mbox{, }}\nu _{4}=4\nu _{4},{\mbox{...}}\;$

(2.25)

Kątowa liczba falowa

Liczbę falowa nazywamy liczbę falową σ, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2π, wtedy;

$\sigma ={{1} \over {\lambda }}\;$

(2.26)

$k=2\pi \sigma ={{2\pi } \over {\lambda }}\;$

(2.27)

Równanie fali (2.20) możemy przestawić przy pomocy (2.26) lub (2.27) na kilka równoważnych sposobów:

$\psi (z,t)=A\sin \left(2\pi {{t} \over {T}}\right)\sin \left(2\pi {{z} \over {\lambda }}\right)=A\sin 2\pi \nu t\sin \left(2\pi \sigma z\right)=A\sin \omega t\sin kz$

(2.28)

Patrząc na wzór (2.28), który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki:

$k_{1}L=\pi {\mbox{, }}k_{2}L=2\pi {\mbox{, }}k_{3}L=\pi {\mbox{,...}}\;$

(2.29)

lub w przestawieniu liczby falowej σ:

$\sigma _{1}L={{1} \over {2}}{\mbox{, }}\sigma _{2}L=1{\mbox{, }}\sigma _{3}L={{3} \over {2}}{\mbox{,...}}\;$

(2.30)

Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością

Patrząc na wzór (2.17) otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości ν:

$\nu ={\sqrt {{T_{0}} \over {\rho _{0}}}}{{1} \over {\lambda }}={\sqrt {{T_{0}} \over {\rho _{0}}}}\sigma \;$

(2.31)

Równość (2.31) mnożymy obustronnie przez liczbę 2π i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej:

$\omega ={\sqrt {{T_{0}} \over {\rho _{0}}}}k\;$

(2.32)

Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny

Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku ${{\omega ^{2}} \over {k^{2}}}\;$ w zależności od liczby kątowej przestawiamy:

${{\omega ^{2}} \over {k^{2}}}={{T_{0}} \over {\rho _{0}}}+\alpha k^{2}\;$

(2.33)

Związek (2.33) jest bardzo podobny do związku (2.32), tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała α jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności λ₁=2L, λ₂=1/2λ₁, λ₃=1/3λ₁, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego ν₂=2ν₁, ν₃=3ν₁, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy α dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek λν=const.

Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej

Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych:

$\psi (z,t)=A_{1}\sin k_{1}z\cos(\omega _{1}t+\varphi _{1})+A_{2}\sin k_{2}z\cos(\omega _{2}t+\varphi _{2})+...\;$

(2.34)

Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych

Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej znając współczynniki A_n i B_n naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest:

$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}\sin n{{2\pi } \over {\lambda _{1}}}z+B_{n}\cos n{{2\pi } \over {\lambda _{1}}}z\right]=B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin n{{2\pi } \over {\lambda _{1}}}z+\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}\cos n{{2\pi } \over {\lambda _{1}}}z=\;$
$=B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nk_{1}z+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\cos nk_{1}z$

(2.35)

Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B₀ i B_n, a także A_n, które wyznaczymy pamiętając przy tym, że zachodzi z₂=z₁+λ:

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}\sin nk_{1}zdz=0\;$

(2.36)

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}\cos nk_{1}zdz=0\;$

(2.37)

$\sin k_{1}z\sin mk_{1}z={{1} \over {2}}\cos(n-m)k_{1}z-{{1} \over {2}}\cos(n+m)k_{1}z\;$

(2.38)

$\cos k_{1}z\sin mk_{1}z={{1} \over {2}}\sin(n+m)k_{1}z+{{1} \over {2}}\sin(n-m)k_{1}z\;$

(2.39)

Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z₁,z₂), wykorzystując przy tym związek (2.36) oraz (2.37), w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B₀:

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}F(z)dz=\int _{z_{1}}^{z_{2}}B_{0}dz=B_{0}(z_{2}-z_{1})=B_{0}\lambda _{1}\;$

(2.40)

Wykorzystując fakty (2.38) i (2.39), a także fakty w postaci całek (2.36) i (2.37), wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z₁,z₂), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk₁z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako:

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}F(z)\sin mk_{1}zdz={{1} \over {2}}A_{n}\lambda _{1}\;$

(2.41)

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}F(z)\cos mk_{1}zdz={{1} \over {2}}\lambda _{1}B_{m}\;$

(2.42)

Współczynniki Fouriera

Patrząc na wzory (2.40) i (2.41) oraz (2.42), wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera (2.35) dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A_m, B_n:

$B_{0}={{1} \over {\lambda _{1}}}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda _{1}}F(z)dz\;$

(2.43)

$A_{m}={{2} \over {\lambda _{1}}}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda _{1}}F(z)\sin mk_{1}zdz\;$

(2.44)

$B_{m}={{2} \over {\lambda _{1}}}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda _{1}}F(z)\cos mk_{1}zdz\;$

(2.45)

Fala prostokątna i jego analiza Fouriera

(Rys. 2.4) Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny

Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z (2.41) dowiadujemy się, że współczynniki B_m są równe zero, a współczynniki A_m istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B₀, którego definicja jest w punkcie (2.41):

$B_{0}={{1} \over {\lambda _{1}}}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda }F(z)dz={{1} \over {\lambda _{1}}}\left(\int _{0}^{L}1dz+\int _{L}^{2L}(-1)dz\right)=0\;$

(2.46)

i dalej policzymy współczynniki B_m, którego definicja jest w punkcie (2.43):

$B_{m}={{2} \over {\lambda _{1}}}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda _{1}}F(z)\cos mk_{1}zdz={{2} \over {\lambda _{1}}}\left(\int _{0}^{L}\cos mk_{1}z-\int _{L}^{2L}\cos mk_{1}z\right)={{2} \over {\lambda _{1}}}\int _{0}^{L}\left(\cos mk_{1}z-\cos(mk_{1}(z+L))\right)dz=\;$
$={{2} \over {\lambda _{1}}}(2)\int _{0}^{L}\left[\sin \left({{1} \over {2}}mk_{1}(2z+L)\right)\sin \left({{1} \over {2}}mk_{1}L\right)\right]={{4} \over {\lambda _{1}}}\sin \left({{1} \over {2}}mk_{1}L\right)\int _{0}^{L}\sin {{1} \over {2}}mk_{1}(2z+L)dz=$
$=-{{4} \over {\lambda _{1}}}\sin \left({{1} \over {2}}m{{2\pi } \over {2L}}L\right){{1} \over {mk_{1}}}\left[\cos \left({{1} \over {2}}mk_{1}(2z+L)\right)\right]_{0}^{L}=-{{2} \over {\pi m}}\sin \left(m{{\pi } \over {2}}\right)\left[\cos(m{{3} \over {2}}\pi )-\cos(m{{1} \over {2}}\pi )\right]=\;$
$={{4} \over {\pi m}}\sin \left(m{{\pi } \over {2}}\right)\sin \left(m\pi \right)\sin \left(m{{\pi } \over {2}}\right)=0\;$

(2.47)

i dalej policzymy współczynniki A_m, którego definicja jest w punkcie (2.44):

$A_{m}={{2} \over {\lambda }}\int _{z_{1}}^{z_{1}+\lambda _{1}}F(z)\sin mk_{1}zdz={{2} \over {\lambda _{1}}}\left[\int _{0}^{L}\left(\sin mk_{1}z-\sin mk_{1}(z+L)\right)dz\right]=\;$
$=-{{4} \over {\lambda _{1}}}\left[\int _{0}^{L}\cos \left({{1} \over {2}}mk_{1}(2z+L)\right)\sin \left({{1} \over {2}}mk_{1}L\right)\right]=-{{4} \over {\lambda _{1}}}\sin({{1} \over {2}}mk_{1}L){{1} \over {mk_{1}}}\left[\sin {{1} \over {2}}mk_{1}(2z+L)\right]_{0}^{L}=\;$
$=-{{2} \over {m\pi }}\sin m{{\pi } \over {2}}\left(\sin 3m{{\pi } \over {2}}-\sin m{{\pi } \over {2}}\right)=-{{4} \over {m\pi }}\sin \left(m{{\pi } \over {2}}\right)\left[\cos \left(m\pi \right)\sin \left(m{{\pi } \over {2}}\right)\right]=\;$
$=-{{4} \over {m\pi }}\sin ^{2}\left(m{{\pi } \over {2}}\right)\cos \left(m\pi \right)={\begin{cases}{{4} \over {m\pi }}&{\mbox{m nieparzyste}}\\0&{\mbox{m parzyste}}\end{cases}}\;$

(2.48)

Jak widzimy, że współczynniki A_m (2.48), B₀ (2.46), B_m (2.47) są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B₀ (2.46), na współczynnik B_m (2.47) i na samym końcu na współczynnik A_m (2.48), wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera:

$F(z)=B_{0}+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}\cos mk_{1}z+\sum _{n=1}A_{m}\sin mk_{1}z={{4} \over {\pi }}\left[\sin k_{1}z+{{1} \over {3}}\sin 3k_{1}z+{{1} \over {5}}\sin 5k_{1}z+...\right]=\;$
$=\underbrace {\underbrace {1,273\sin {{\pi z} \over {L}}} _{f_{1}}+\underbrace {0,424\sin {{3\pi z} \over {L}}} _{f_{3}}+\underbrace {0,255\sin {{5\pi z} \over {L}}} _{f_{5}}} _{f_{1+3+5}}+...$

(2.49)

(Rys. 2.5) Analiza fourierowska impulsu prostokątnego

Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu

Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t₁ okresu T₁, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy:

$f(T+t_{1})=f(t_{1}){\mbox{ dla }}t\in R\;$

(2.50)

Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci:

$F(t)=B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\cos n\omega _{1}t+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin n\omega _{1}t\;$

(2.51)

Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera mając definicję współczynników Fouriera o postaciach:

$B_{0}={{1} \over {T_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{1}+t_{1}}F(t)dt\;$

(2.52)

$B_{n}={{2} \over {T_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{1}+T_{1}}F(t)\cos n\omega _{1}tdt\;$

(2.53)

$A_{n}={{2} \over {T_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{1}+T_{1}}F(t)\sin n\omega _{1}tdt\;$

(2.54)

Drgania struny niejednorodnej

Zakładamy, że siła T₀ działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem (2.6). Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych:

$f(z)=T_{0}(z){{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\;$

(2.55)

Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora (2.8) funkcję f(z) (2.55), w ten sposób otrzymujemy, że siła F_x działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest:

$F_{x}=\Delta z{{\partial } \over {\partial z}}\left[T_{0}(z){{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\right]\;$

(2.56)

Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny Δz i przez gęstość tegoż wycinka ρ(z), wtedy:

$\rho (z)\Delta z{{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t}}=\Delta z{{\partial } \over {\partial z}}\left[T_{0}(z){{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\right]\Rightarrow {{\partial ^{2}\psi (z,t)} \over {\partial t^{2}}}={{1} \over {\rho (z)}}\left[T_{0}(z){{\partial \psi (z,t)} \over {\partial z}}\right]\;$

(2.57)

Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(ωt+φ), piszemy:

$\psi (z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi )\;$

(2.58)

Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości:

${{d^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}A(z)\cos(\omega t+\varphi )\;$ (2.59)

${{\partial \psi } \over {\partial z}}=\cos(\omega t+\varphi ){{dA(z)} \over {dz}}\;$ (2.60)

Mając fakty (2.59) i (2.60), co one możemy podstawić do wzoru (2.57), w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej:

${{1} \over {\rho (z)}}{{d} \over {dz}}\left[T_{0}(z){{dA(z)} \over {dz}}\right]=-\omega ^{2}A(z)\;$

(2.61)

Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody

(Rys. 2.6) Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi

Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T₀, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a.

Równanie ruchu struny dyskretnej

(Rys. 2.7) Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych

Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru (2.6), tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy:

$M{{d^{2}\psi _{a}} \over {dt^{2}}}=T_{0}{{\psi _{n+1}(t)-\psi _{n}(t)} \over {a}}-T_{0}{{\psi _{n}(t)-\psi _{n-1}} \over {a}}\;$

(2.62)

Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci:

$\psi _{n}(t)=A_{n}\cos(\omega t+\varphi )\;$

(2.63)

Druga pochodna zupełna wyrażenia (2.63) względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy A_n i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci:

${{d^{2}\psi _{n}(t)} \over {dt}}=-\omega ^{2}\psi _{n}(t)=-\omega ^{2}A_{n}\cos(\omega t+\varphi )\;$

(2.64)

Równanie (2.62) możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu (2.63) i (2.64), które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci:

$-M\omega ^{2}A_{n}={{T_{0}} \over {a}}\left(A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}\right)\Rightarrow A_{n+1}+A_{n-1}=A_{n}\left(2-{{Ma} \over {T_{0}}}\omega ^{2}\right)\;$

(2.65)

Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę A_n możemy napisać w postaci:

$A_{n}=A\sin kna\;$

(2.66)

Zatem dzięki definicji amplitudy A_n według (2.66) wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy A_n+1 i A_n-1, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory:

$A_{n+1}=A\sin k(n+1)a=A\sin(kna+ka)=A(\sin kna\cos ka+coskna\sin ka\;$

(2.67)

$A_{n-1}=A\sin k(n-1)a=A\sin(kna-ka)=A(\sin kna\cos ka-\cos kna\sin ka)\;$

(2.68)

$A_{n+1}-A_{n-1}=2A\sin kna\cos ka=2A_{n}\cos ka\;$

(2.69)

Możemy wykorzystać końcowy związek (2.69) do (2.65), w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w A_n, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów:

$2A_{n}\cos ka=A_{n}(2-{{Ma} \over {T_{0}}}\omega ^{2})\;$

(2.70)

We związku (2.70) możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej λ:

$2\cos ka=2-{{Ma} \over {T_{0}}}\omega ^{2}\Rightarrow \omega ^{2}={{2T_{0}} \over {Ma}}(1-\cos ka)\Rightarrow \omega ^{2}={{4T_{0}} \over {Ma}}\sin ^{2}{{ka} \over {2}}={{4T_{0}} \over {Ma}}\sin ^{2}{{\pi a} \over {\lambda }}\;$

(2.71)

Ogólna postać drgań i warunki brzegowe

(Rys. 2.8) Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach

(Rys. 2.9) Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięć zaznaczonych punktów na wykresie odpowiada pięciu częstotliwościom struny z pięcioma z ciężarkami.

Ogólną postać drgań A_n możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna:

$A_{n}=A\sin kna+B\cos kna\;$

(2.72)

Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe i wykorzystując fakt (2.72) dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość:

$A_{n}=A\sin kna\;$

(2.73)

Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek:

$kL=n\pi \;$

(2.74)

Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości ω(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie (2.71) w postaci:

$\omega (k)=2{\sqrt {{T_{0}} \over {Ma}}}\sin {{ka} \over {2}}\;$

(2.75)

Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich

Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<λ, co jest równoważne 2πa/λ<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci:

$\sin x=x-{{1} \over {6}}x^{3}+...\;$

(2.76)

Do wzoru (2.75) możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin (2.76), by w ten sposób napisać:

$\omega (k)=2{\sqrt {{T_{0}} \over {Ma}}}\left[{{1} \over {2}}ka-{{1} \over {48}}(ka)^{3}+....\right]={\sqrt {{T_{0}a} \over {M}}}k\left[1-{{1} \over {48}}(ka)^{2}+....\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \omega (k)\simeq {\sqrt {{T_{0}a} \over {M}}}k\;$

(2.77)

Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami

(Rys. 2.10) Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami

Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek ψ_n, którego to przepis:

$M{{d^{2}\psi _{n}} \over {dt^{2}}}=K(\psi _{n+1}-\psi _{n})-K(\psi _{n}-\psi _{n-1})\;$

(2.78)

równanie tego typu (2.78) było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać:

$\omega (t)=2{\sqrt {{K} \over {M}}}\sin {{ka} \over {2}}=2{\sqrt {{K} \over {M}}}\sin {{\pi a} \over {\lambda }}\;$

(2.79)

Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji:

$\psi _{n}(t)=A\sin nka\cos(\omega (k)t+\varphi )\;$

(2.80)

Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów

(Rys. 2.11) Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów

Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci:

$L{{dI_{a}} \over {dt}}=-{{Q^{'}} \over {C}}+{{Q} \over {C}}\;$

(2.81)

Równanie (2.81) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa:

$L{{d^{2}I_{n}} \over {dt^{2}}}=-{{1} \over {C}}(I_{n}-I_{n+1})+{{1} \over {C}}\left(I_{n-1}-I_{n}\right)\;$

(2.82)

Co (2.82) możemy zapisać równoważnie w postaci:

$L{{d^{2}I_{n}} \over {dt^{2}}}={{1} \over {C}}(I_{n+1}-I_{n})-{{1} \over {C}}\left(I_{n}-I_{n-1}\right)$

(2.83)

Równanie (2.83) jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy:

$\omega (k)=2{\sqrt {{1} \over {LC}}}\sin {{ka} \over {2}}\;$

(2.84)

Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez:

$I_{n}(t)=(A\sin nka+B\cos nka)\cos \left(\omega (k)t+\varphi \right)\;$

(2.85)

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek

Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy:

$M{{d^{2}\psi _{n}(t)} \over {dt^{2}}}=-Mg{{\psi _{n}} \over {l}}+K(\psi _{n+1}-\psi _{n})-K(\psi _{n}-\psi _{n-1})\;$

(2.86)

[{Rysunek|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek.jpeg|wk13|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek}} Równanie (2.86) jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej:

$\omega ^{2}(k)={{g} \over {l}}+{{4K} \over {M}}\sin ^{2}{{ka} \over {2}}\;$

(2.87)

Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (1.6), i je oznaczymy przez $\omega _{0}^{2}\;$, wtedy nasz związek dyspersyjny (2.87) piszemy w postaci:

$\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+{{4K} \over {M}}\sin ^{2}{{ka} \over {2}}=\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}\sin ^{2}{{ka} \over {2}}\;$

(2.88)

Widzimy, że związek (2.88) zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego ω₀, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy $_{v_{0}^{2}={{\omega _{1}^{2}a^{2}} \over {4}}}\;$, wtedy związek dyspersyjny (2.88), przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej:

$\omega ^{2}(k)=\omega _{0}^{2}+v_{0}^{2}k^{2}\;$

(2.89)

Związek dyspersyjny dla plazmy

Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej ω_p, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru:

$\omega ^{2}(k)=c^{2}(k_{x}^{2}+\underbrace {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}} _{k^{2}})=\underbrace {c^{2}k_{x}^{2}} _{\omega _{0}^{2}}+c^{2}k^{2}=\omega _{p}^{2}+c^{2}k^{2}\;$

(2.90)

Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. $\omega _{p}^{2}\;$, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N₂ i O₂. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A:

(Rys. 2.12) Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami

$-\epsilon _{0}E_{x}A=Q\Rightarrow E_{x}=-{{Q} \over {\epsilon _{0}A}}\;$

(2.91)

Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru:

$Q=NeAx\;$

(2.92)

Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej:

$m{{d^{2}x} \over {dt}}=eE_{x}\;$

(2.93)

Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego E_x (2.91) i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie (2.92) podstawiamy do wzoru (2.93) opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona:

${{m} \over {NeA}}{{d^{2}Q} \over {dt^{2}}}=-e{{Q} \over {\epsilon _{0}A}}\Rightarrow {{d^{2}Q} \over {dt^{2}}}={{e^{2}N} \over {\epsilon _{0}m}}Q\;$

(2.94)

Końcowe równanie (2.93) jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej ω_p, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest:

$\omega ^{2}={{e^{2}N} \over {\epsilon _{0}m}}=\omega _{p}^{2}\;$

(2.95)