Statystyka matematyczna

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Statystyka matematyczna

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Średnie w matematyce statystycznej 

 1

Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych 

 2

Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne 

 3

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej 

 4

Momenty statystyczne w działaniu 

 5

Pobieranie próby 

 6

Metoda największej wiarygodności 

 7

Funkcje charakterystyczne 

 8

Ważniejsze rozkłady statystyczne 

 9

Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego 

 10

Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym 

 11

Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym 

 12

Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym 

 13

Centralne twierdzenie graniczne 

 14

Twierdzenie o rozkładzie χ² 

 15

Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym 

 16

Twierdzenie o rozkładzie Poissona 

 17

Błędy pomiarowe w fizyce 

 18

Metoda najmniejszych kwadratów 

 19

Statystyka matematyczna to dział matematyki zajmująca się statystycznym opisem różnych układów statystycznej, którymi rządzą podlegające pewne rozkłady statystyczne, np. rozkład normalny.

Spis treści

Średnie w matematyce statystycznej

• 1Średnia arytmetyczna
• 2Średnia ważona
• 3Średnia geometryczna
• 4Średnia harmoniczna
• 5Średnia kwadratowa
• 6Średnia potęgowa

Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych

• 1Rozkłady statystyczne
• 2Prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa
• 3Rozkłady losowe jednej zmiennej
  • 3.1Dystrybuanta i prawdopodobieństwo uzyskania jednej zmiennej losowej
    • 3.1.1Zmienna losowa dyskretna
    • 3.1.2Zmienna losowa ciągła
  • 3.2Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
    • 3.2.1Zmienna losowa dyskretna
    • 3.2.2Zmienna losowa ciągła
  • 3.3Wartość modalna
  • 3.4Mediana, kwantyle i kwartyle
  • 3.5Rozkład jednostajny
  • 3.6Rozkład Cauchy'ego
  • 3.7Rozkład Lorentza (Breita-Wignera)
• 4Rozkłady losowe dwóch zmiennych
  • 4.1Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
  • 4.2Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
• 5Rozkłady losowe n-zmiennych
  • 5.1Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
  • 5.2Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja

Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne

• 1Moment statystyczny λ rzędu l
  • 1.1 Rozważając dla zmiennej typu dyskretnego:
  • 1.2 Rozważając dla zmiennej typu ciągłego:
• 2Momenty statystyczne μ względem wartości średniej
  • 2.1 Przypadek zmiennej dyskretnej:
    • 2.1.1Następnie policzmy dyskretny jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny:
  • 2.2 Dla zmiennej typu ciągłego:
    • 2.2.1Następnie policzmy ciągły jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny:
• 3Momenty statystyczne ciągłe μ dla dwóch zmiennych
• 4Momenty statystyczne ciągłe dla n-zmiennych
• 5Związek pomiędzy drugim a pierwszym momentem statystycznym

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

• 1Momenty statystyczne dla funkcji złożonej jednej zmiennej
  • 1.1Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x dyskretnej
  • 1.2Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x ciągłej
  • 1.3Uogólnienie momentu statystycznego na przypadek dowolnej jednej zmiennej
• 2Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem dwuwymiarowym
  • 2.1Moment statystyczny dla dwóch zmiennych
  • 2.2Momenty statystyczne względem pewnych punktów dla dwóch zmiennych
• 3Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem n-wymiarowym
  • 3.1Momenty statystyczne dla wielu zmiennych
  • 3.2Momenty statystyczne względem pewnego punktu dla wektora n-wymiarowego
  • 3.3Definicja wariancji przez moment statystyczny μ
  • 3.4Definicja kowariancji przez moment statystyczny μ
• 4Momenty statystyczne gdy H(x) =x

Momenty statystyczne w działaniu

• 1Działania na wartościach oczekiwanych
  • 1.1Suma wartości oczekiwanych
  • 1.2Iloczyn wartości oczekiwanych
• 2Wariancja, współczynnik korelacji, transformacje liniowe
  • 2.1Kowariancja dwóch zmiennych
  • 2.2Kowariancja dwóch niezależnych wyników w doświadczeniu
  • 2.3Wariancja kombinacji liniowej dwóch zmiennych
  • 2.4Współczynnik korelacji
    • 2.4.1Obliczenia z użyciem współczynnika korelacji
  • 2.5Transformacje liniowe i ortogonalne

Pobieranie próby

• 1Estymatory, wyznaczenie parametru λ w wyniku doświadczenia
• 2Związki pomiędzy wariancjami pojedynczego pomiaru a średniej arytmetycznej
• 3Pobieranie próby z rozkładów cząstkowych
• 4Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku przy n próbach
• 5Dystrybuanta w rozkładzie cząstkowym i w próbach
• 6Średnia arytmetyczna i wartość oczekiwana przy n próbach
• 7Wariancja i kwadrat z odchylenia standardowego dla n prób

Metoda największej wiarygodności

• 1Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności
• 2Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ
• 3Estymacja dla jednego estymowanego parametru
• 4Estymacja dla kilku estymowanych parametrów

Funkcje charakterystyczne

• 1Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej
• 2Funkcja charakterystyczna rozkładu
• 3Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu
• 4Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu
• 5Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych
• 6Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna

Ważniejsze rozkłady statystyczne

Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego

• 1Rozkład statystyczny
• 2Wartość oczekiwana
• 3Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego
• 4Zestaw momentów statystycznych

Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym

Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym

• 1Wielomianowa kombinacja trafień w układ doświadczalny
• 2Wyznaczanie wzoru przybliżonego na n!
• 3Logarytm kombinacji trafień w układ doświadczalny
• 4Całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń w rozkładzie normalnym
  • 4.1Rozszerzenie przedziałów uzyskania wyników na R lub przedział w R
  • 4.2Gęstość prawdpodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego lub quasiciągłego
• 5Maksymalizacja prawdopodobieństwa dla pomiaru równej wartości dokładnej
• 6Prawdopodobieństwo warunkowe względem prawdopodobieństwa wartości średniej
• 7Wyznaczamy stałe D i F we wzorze na rozkład normalny
• 8Związki w rozkładzie normalnym
• 9Rozkład normalny
• 10Obliczanie poszczególnych momentów statystycznych, wartość oczekiwana
• 11Punkt przegięcia w rozkładzie normalnym

Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym

• 1Wyprowadzenie twierdzenia o rozkładzie normalnym wielowymiarowym
• 2Wyznaczenie elementów macierzy B, wartość dokładna a wartość oczekiwana
  • 2.1Dowód równości wartości oczekiwanej i dokładnej
  • 2.2Definicja macierzy B poprzez macierz kowariancji

Centralne twierdzenie graniczne

• 1Dowód twierdzenia "Centralne twierdzenie graniczne"
• 2Rozkład statystyczny sumy wyników pomiarów
• 3Funkcja charakterystyczna a "Centralne twierdzenie graniczne"

Twierdzenie o rozkładzie χ²

• 1Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden
• 2Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki

Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym

• 1Wzór na rozkład hipergeometryczny
• 2Wartość oczekiwana rozkładu hipergeometrycznego
• 3Wariancja rozkładu hipergeometrycznego
• 4Rozkład Bernoulliego jako szczególny przypadek rozkładu hipergeometrycznego

Twierdzenie o rozkładzie Poissona

• 1Rozkład Poissona
• 2Wyprowadzenie rozkładu Poissona
• 3Normowanie rozkładu Poissona
• 4Wartość oczekiwana rozkładu Poissona
• 5Wariancja w rozkładzie Poissona
• 6Moment trzeci rozkładu Poissona i jego skośność

Błędy pomiarowe w fizyce

• 1Średnie odchylenie kwadratowe
• 2Określanie błędów pomiarowych metodą różniczki zupełnej
• 3Błąd przeciętny
• 4Średni błąd kwadratowy pomiaru
• 5Średni błąd pomiarowy wyników
• 6Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej

Metoda najmniejszych kwadratów

• 1Aproksymacja wielomianami W_n(x)

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.