Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Stosunek oddziaływań leptonów z kwarkami za pomocą oddziaływań słabych

Stosunek oddziaływań leptonów z kwarkami za pomocą oddziaływań słabych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj opisywali proces oddziaływań leptonów z kwarkami, a mianowicie proces oddziaływania elektron-pozyton co w wyniku tego powstaje mion o ładunku dodatnim i ujemnym, a także proces anihilacji elektron-pozyton, rozpraszanie elektronów na mionach o ładunku dodatnim, a także neutrin na elektronach, rozpraszaniem leptonów na nukleonach z zachowaniem zasady zachowania energii, doskonale nieelastyczne rozpraszaniami, partonami, regułom sum.

Proces oddziaływania elektron e^- i pozyton e⁺

(Rys. 5.1) Proces oddziaływania elektron-pozyton za pośrednictwem oddziaływania słabego

(Rys. 5.2) Proces oddziaływania elektron-pozyton za pośrednictwem oddziaływania słabego gdy zamienimy cząstki antycząstkami w stanie końcowym

Wyniku oddziaływania elektronu e^- z pozytonem e⁺ powstaje mion dodatni i ujemny, co ten proces oddziaływania przebiega według:

$e^{+}+e^{-}\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-}\;$

(5.1)

Elementy macierzowe oddziaływania (5.1) zapisujemy jako:

$M_{if}={{e^{2}} \over {q^{2}}}={{4\pi \alpha } \over {q^{2}}}\;$

(5.2)

We wzorze (5.2) wielkość q² jest kwadratem czteropędu wirtualnego fotonu, czyli $q^{2}=-E_{0}^{2}=-s\;$, w którym s jest kwadratem całkowitej energii związanej z układem środka masy CM, przy czym całkowity pęd przestrzenny w tym układzie jest równy zero. Prędkości w stanie początkowym i końcowym z oczywistych powodów piszemy w postaci: v_i=v_f=2c oraz E₀=2p_fc w jednostkach $\hbar =c=1\;$ piszemy w postaci formuły:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}={{\alpha ^{2}} \over {4s}}\;$

(5.3)

Przy oddziaływaniach o charakterze pseudowektorowym i wektorowym, które zachodzą pomiędzy cząstkami ultrarelatywistycznymi, skrętność jest z oczywistych powodów zachowana. Biorąc skrętności elektronów mamy $e_{L}^{-}\rightarrow e_{L}^{-}\;$ i $e_{R}^{-}\rightarrow e_{R}^{-}\;$. W układzie środka masy CM wybierzmy sobie oś zgodną z kierunkiem ruchu cząstek z oczywistych powodów przed zderzeniem. Stan początkowy przy rozpraszaniu elektron-pozyton jest kombinacją RL (J_z) lub kombinacją LR (J_z), co stąd dochodzimy do wniosku, że nasz wirtualny foton jest spolaryzowany liniowo. Za porządek dzienny weźmy kombinację RL w stanie początkowym, wtedy kombinacja prawdopodobieństwa J_z:

$A_{RL\rightarrow RL}=d_{m,m^{'}}^{J}=d_{1,1}^{1}(\theta )={{1+\cos \theta } \over {2}}\;$

(5.4)

A amplituda procesu ze stanu LR do RL piszemy według wzoru (5.5), co w odróżnieniu od wzoru (5.4) inny znak występuje przed $cos\theta \;$, wtedy:

$A_{LR\rightarrow RL}=d_{1,-1}^{1}(\theta )={{1-\cos \theta } \over {2}}\;$

(5.5)

Możemy policzyć sumę kwadratów wielkości $A_{RL\rightarrow RL}\;$ (5.4) i wielkości $A_{LR\rightarrow RL}$ (5.5) możemy napisać całkowitą amplitudę rozpraszania:

$P(\theta )=A_{RL\rightarrow RL}^{2}+A_{LR\rightarrow RL}^{2}={{1+\cos ^{2}\theta } \over {2}}\;$

(5.6)

Musimy uwzględnić układy spinów w stanie końcowym co ich jest cztery i uwzględnić po poczatkowych orientach spinów (dwie z czterech możliwości, czyli równanie (5.6) należy pomnożyć przez dwa, te orientacje spinów dwie z czterech są postaciach $RL\rightarrow LR\;$, $LR\rightarrow LR\;$, wtedy różniczkowy przekrój czynny piszemy mnożąc (5.3) przez (5.6), co rezultat możemy przepisać jako:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}(e^{+}e^{-}\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-})={{\alpha ^{2}} \over {4s}}(1+cos^{2}\theta )\;$

(5.7)

Możemy policzyć całkowity przekrój czynny mając różniczkowy przekrój czynny (5.7) całkując po kącie bryłowym od zero do 4π, zatem:

$\sigma (e^{+}e^{-}\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-})={{4\pi \alpha ^{2}} \over {3s}}\;$

(5.8)

Równość (5.8) dobra jest do anihilacji i kreacji leptonów, które są z oczywistych powodów punktowe, przy rozpraszaniu jednofotonowym, a przy wysokich energiach masy fotonów można pominąć. Jeżeli chcemy uwzględnić masy mionu należy uwzględnić, że (5.8) należy pomnożyć przez:

$\left(1+{{z} \over {2}}\right){\sqrt {1-z}}\;$

(5.9)

Proces anihilacji pary elektron-pozyton w handrony

W wyniku zderzenia elektronu e^- z pozytonem e^- powstają powstają naładowane i obojętne hadrony, które tworzą przeciwnie naładowane dźety. Powstają one w wyniku dwustopniowej przemiany produkcji i fragmentacji pary kwark-antykwark, tzn.

$e^{+}e^{-}\rightarrow Q{\overline {Q}}{\mbox{, }}Q{\mbox{, }}{\overline {Q}}\rightarrow {\mbox{hadrony}}\;$

(5.10)

Określmy wielkość R, która jest stosunkiem przekroju czynnego przemiany dwustopniowej (5.10) i (5.8), wtedy piszemy:

$R={{\sigma (e^{+}e^{-}\rightarrow {\mbox{handrony}})} \over {\sigma (e^{+}e-\rightarrow \mu ^{+}\mu -)}}\;$

(5.11)

Wielkość R (5.11) możemy policzyć w bardzo łatwy sposób przyjmując , że punktowe twory wewnątrz cząstek to punktowe niezależne kwarki, wtedy wspomnianą wartość piszemy za pomocą ładunków kwarków:

$R={{\sum _{i}e_{i}^{2}} \over {1}}\;$

(5.12)

Dla małych wartości s poniżej pewnej wartości do produkcji $c{\overline {c}}\;$ w oddziaływaniach uczesticzą mkwarki u, d, s, co w następującej sprawie zachodzi:

$R_{pr}({\sqrt {s}}<3GeV)=\left({{1} \over {3}}\right)^{2}+\left({{1} \over {3}}\right)^{2}+\left({{2} \over {3}}\right)^{2}={{6} \over {9}}={{2} \over {3}}\;$

(5.13)

Ale już dla dużych wielkości s, w którym w przemianie biorą udział kwarki u, d, s, c, b, wtedy wielkość R (5.12) piszemy w postaci:

$R_{pr}\left({\sqrt {s}}>10GeV\right)=\left({{1} \over {3}}\right)^{2}+\left({{1} \over {3}}\right)^{2}+\left({{1} \over {3}}\right)^{2}+\left({{2} \over {3}}\right)^{2}+\left({{2} \over {3}}\right)^{2}={{11} \over {9}}\;$

(5.14)

Perzy wysokich energiach hadrony wyprodukowane w procesie dwustopniowym (5.10) są skolimowane w dwóch naciwnych skierowanych dżetach. W przypadku procesu (5.1) rozkład kątowy w zależności od kąte θ piszemy jako pochodna wielkości N względem kąta bryłowego:

${{dN} \over {d\Omega }}\sim 1+\cos ^{2}\theta \;$

(5.15)

Rozpraszanie elastyczne elektronów nad mionami

(Rys. 5.3) Czteropędy leptonów uczestniczących w procesie anihilacji e^-e⁺→ μ⁺μ^-

(Rys. 5.4) Proces anihilacji e^-μ⁺→e^-μ⁺.

Proces rozpraszania elastycznego elektronów na mionach piszemy w postaci:

$e^{-}\mu ^{+}\rightarrow e^{-}\mu ^{+}\;$

(5.16)

Opiśmy proces (5.1) mając wielkości k₂,k₁,k₄,k₃, które sa czteropędami cząstek biorącej udział w opisywanym procesie, co opisując poprzez niezmienniki s,t,u. Te zmienne nazywamy zmiennymi Mandelstama. Tymi zmiennymi są to kwadrat energii w układzie środka masy CM, kwadrat przekazu czteropędu, kwadrat przekazu czteropędu w kanale krzyżowym. Patrząc na rysunki obok możemy napisać wzory na s,t,u mamy:

$s=-(k_{1}+k_{2})^{2}=-(k_{1}+k_{4})^{2}=-2k_{1}k_{2}=-2k_{3}k_{4}\;$

(5.17)

$t=q^{2}=(k_{1}-k_{3})^{2}=(k_{2}-k_{4})^{2}=-2k_{1}k_{3}=-2k_{2}k_{4}\;$

(5.18)

$u=(k_{2}-k_{3})^{2}=(k_{1}-k_{4})^{2}=-2k_{2}k_{3}=-2k_{1}k_{4}\;$

(5.19)

Związek pomiędzy wielkościami s (5.17), t(5.18), u(5.19):

$s-t-u=\sum m^{2}\;$

(5.20)

a jeżeli zaniedbamy masy spoczynkowe cząstek biorącej uddział w przemianie (5.16) we wzorze (5.20), wtedy piszemy s=u+t. Przyjmując, że kąt pomiędzy e^- i μ^- jest θ, a p jest to trójpęd cząstki, wtedy wielkości (5.17),(5.18),(5.19) piszemy jako:

$s=4p^{2}\;$

(5.21)

$t=q^{2}=2p^{2}(1-\cos \theta )=4p^{2}\sin ^{2}{{\theta } \over {2}}\;$

(5.22)

$u=2p^{2}(1+\cos \theta )=4p^{2}\cos ^{2}{{\theta } \over {2}}\;$

(5.23)

W takim bodź razem wzór na przekrój rózniczkowy przemiany (5.16) piszemy jako:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}(e^{+}e^{-}\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-})={{\alpha ^{2}} \over {8p^{2}}}\left({{t^{2}+u^{2}} \over {s^{2}}}\right)\;$

(5.24)

Biorąc wzór na przekrój czynny różniczkowuy (5.24) i wzory (5.21), (5.22) i (5.23) i zamieniając pewne cząstki na inne, tzn. zastępując przemianę (5.1) przemianą (5.16), tzn. przechodza z jednej przemiany na inną poprzez zamienienie jednych cząstek na inne, otrzymujemy:

${{d\sigma } \over {d\Omega }}(e^{-}\mu ^{+}\rightarrow e^{-}\mu ^{+})={{\alpha ^{2}} \over {8p^{2}}}\left({{s^{2}+u^{2}} \over {t^{2}}}\right)={{\alpha ^{2}} \over {8p^{2}\sin ^{4}{{\theta } \over {2}}}}\left(1+\cos ^{4}{{\theta } \over {2}}\right)\;$

(5.25)

Równanie (5.25) otrzymuje się z elektrodynamiki kwantowej mając stałą sprzężenia α przy założeniu, że masy spoczynkowe leptonów zaniedbujemy z oczywistych powodów. Wzór (5.25) został napisany w układzie środka masy. Oznaczmy przez E_e energie padającego elektronu w układzie laboratoryjnym, a przez E_μ energię mionu odrzuconego po zderzeniu, wtedy mając θ i p w układzie środka masy możemy napisać:

$E_{\mu }=\gamma p(1-\cos \theta )\;$ (5.26)

$E_{e}=2\gamma p\;$ (5.27)

$y={{E_{\mu }} \over {E_{e}}}={{1-\cos \theta } \over {2}}\;$ (5.28)

Wtedy dla 0<y<1 możemy napisać $\cos ^{2}{{\theta } \over {2}}={{1+\cos \theta } \over {2}}=1-y\;$ i $d\Omega =2\pi d(cos\theta )=4\pi dy\;$, zatem wzór (5.25) możemy przepisać w postaci:

${{d\sigma } \over {dy}}(e^{-}\mu ^{+}\rightarrow e^{-}\mu ^{+})={{2\pi \alpha ^{2}s} \over {q^{4}}}[(1+(1-y)^{2}]\;$

(5.29)

Zaniedbując masy spoczynkowe cząstek biorących w uddział w przemianie (5.16), wtedy wielkość y(5.28) piszemy:

${{d\sigma } \over {dq^{2}}}={{16\pi \alpha ^{2}} \over {q^{4}}}p^{2}{{dy} \over {dq^{2}}}={{4\pi \alpha ^{2}} \over {q^{4}}}\;$

(5.30)

Wzór (5.31) nazywamy wzorem Rutherforda dla określonego przypadku gdy pominiemy efekty związane ze spinem.

Rozpraszanie elastyczne neutrin elektronowych na elektronach

(Rys. 5.5) Rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach

(Rys. 5.6) Rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach

Oddziaływaniu elektron a neutrino elektronowe polega na wymianie bozonu W^±. Oznaczmy stałą sprzężenia W dla tego rozpraszania przez g. Do tego również wkład będzie dawała wymiane również bozonu Z⁰, ale my będziemy rozważać tylko tego pierwszego dotyczących wymiany bozonu w naszym rozpraszaniu. Wykorzystując wzór (2.6), która jest transformatą pędu cząstki, co dla naszego rozpraszania możemy napisać w jednostkach zredukowanych:

$M(\nu e\rightarrow \nu e)={{\left(g/{\sqrt {2}}\right)^{2}} \over {q^{2}+M_{W}^{2}}}\;$

(5.31)

W propagatorze (5.31) pojawia się różna od zera masa bozonu W, w którym czynnik $1/{\sqrt {2}}\;$ jest wynikiem konwencji Clebscha-Gordona, którą stosujemy przy oddziaływaniach elektrosłabych. Ale M_W=80 GeV i q²(max)≈2mE_ν, co dla energii cząstek nienaładowanych neutrin elektronowych będącej rzędu GeV, co bardziej rzędu TeV, powoduje że mając q²<<M_W², wtedy formuła (5.31) przechodzi w:

$M(\nu e\rightarrow \nu e)={{g^{2}} \over {2M_{W}^{2}}}\;$

(5.32)

Mając różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach w układzie środka masy mając na myśli v=2c,${{dp} \over {dE_{f}}}={{1} \over {2}}\;$. Co w tym rozważanym wzorze na przekrój czynny sumujemy po spinach końcowych i uśredniając stan poczatkowy względem spinów, co w rezultacie otrzymujemy czynnik 2. Padające neutrono ma zetową połówkową dodatnią liczbę kwantową, a w stanie końcowym ta liczba kwantowa może być ze znakiem ujemnym lub dodatnim. Przyjmując $q^{2}=2p^{2}(1-\cos \theta )\;$ oraz ${d\Omega \over dq^{2}}={\pi \over p^{2}}\;$, wtedy:

${{d\sigma } \over {dq^{2}}}={{2\pi } \over {v}}|M|^{2}p^{2}{{dp} \over {dE_{f}}}{{d\Omega } \over {dq^{2}}}{{2} \over {(2\pi )^{3}}}\Rightarrow {{d\sigma } \over {dq^{2}}}={{2} \over {\pi }}\left({{g^{2}} \over {8M_{W}^{2}}}\right)^{2}\;$

(5.33)

Weźmy pod ostrzał stałą Fermiego G zdefiniowanej dla przejść wektorowych wtedy mając stałe G i g możemy napisać:

${{G} \over {\sqrt {2}}}={{g^{2}} \over {8M_{W}^{2}}}\;$

(5.34)

Biorąc (5.34),który podstawimy do wzoru (5.32) otrzymujemy:

${{d\sigma } \over {dq^{2}}}(\nu _{e}e\rightarrow \nu _{e}e)={{G^{2}} \over {\pi }}\;$

(5.35)

Biorąc pod uwagę (5.35) i całkując go w granicach od $q^{2}=0\;$ do $q_{max}^{2}=s=4p^{2}\;$ mamy wzór na przekrój czynny rozpraszania neutrin elektronowych na lektronach:

$\sigma (\nu _{e}e\rightarrow \nu _{e}e)=\int _{0}^{q_{max}^{2}}{{G^{2}} \over {\pi }}dq^{2}={{G^{2}s} \over {\pi }}\;$

(5.36)

Patrząc na wzór (5.36) energia padającego neutrina rośnie wraz z energią padajacego neutrina jeżeli zauważymy $s\simeq 2mE_{\nu }\;$. Z diagramu w tym rozdziale mamy J_z=+1,J=1, ale z zasady zachowania momentu pędu musi być J_z również w stanie końcowym. Amplituda rozpraszania prawdpodobieństwa, która zależy od kąta rozpraszania jest pisana:

$d_{1,1}^{1}={{1} \over {2}}(1+\cos \theta )\;$

(5.37)

Mnożymy wzór na pochodną przekroju czynnego względem q² (5.35) przez kwadrat wielkości amplitudy prawdopodobieństwa (5.37) przy tym wykorzystując:

${{d\sigma } \over {d\cos \theta }}=2\pi {{d\sigma } \over {d\Omega }}={{s} \over {2}}{{d\sigma } \over {dq^{2}}}\;$

(5.38)

wtedy pochodna przekroju czynnego σ względem kosinusa θ a także przekrój czynny rozpraszania neutrinów na elektronach piszemy:

${{d\sigma } \over {dq^{2}}}({\overline {\nu }}_{e}e\rightarrow {\overline {\nu }}_{e}e)={{G^{2}} \over {\pi }}{{(1+\cos \theta )^{2}} \over {4}}\Rightarrow {{d\sigma } \over {d\cos \theta }}({\overline {\nu }}_{e}e\rightarrow {\overline {\nu }}_{e}e)={{G^{2}} \over {8s}}(1+cos\theta )^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \sigma ({\overline {\nu }}_{e}e\rightarrow {\overline {\nu }}_{e}e)={{G^{2}s} \over {3\pi }}\;$

(5.39)

jeżeli weżniemy pod uwagę $y={{E_{e}} \over {E_{\nu }}}\;$ i patrząc (5.9) wtedy piszemy $(1+cos\theta )^{2}=4(1-y)^{2}\;$, co w takim razie wzory (5.35) i końcowy wzór (5.39), w takim bądź razem:

${{d\sigma } \over {dy}}(\nu _{e}e\rightarrow \nu _{e}e)={{G^{2}s} \over {\pi }}\;$

(5.40)

${{d\sigma } \over {dy}}({\overline {\nu }}_{e}e\rightarrow {\overline {\nu }}_{e}e)={{G^{2}s} \over {\pi }}(1-y^{2})^{2}\;$

(5.41)

Doskonale sprężyste rozpraszanie leptonów na składnikach jądra atomowego (nukleony)

Elektronami lub neutrinami naświetlano w XX wieku tarcze nukleonowe, które nazywamy procesami ekskluzywnymi, są to takie procesy w którym stan końcowy jest dobrze znany, np. dla przypadku pomiarów elastycznych i quasi-elastycznych piszemy:

$e+p\rightarrow e+p\;$

(5.42)

$\nu _{\mu }+n\rightarrow \mu ^{-}+p\;$

(5.43)

W procesach (5.42) i (5.43) dominujące znaczenie mają formfaktory, czyli czynnik kształtu. Formfaktory oznaczamy przez $F(q^{2})\;$, która jest funkcją szybko malejącą kwadratu q², a wielkość $\left|F(q^{2})\right|^{2}\;$ jest miarą prawdopodobieństwa, że nukleon się nie rozpadnie i gdy będzie przekazywał czteropęd q to nukleon zostanie odrzucony elastycznie. Te formfaktory opisujemy za pomocą wzoru dipolowego:

$F(q^{2})={{1} \over {\left(1+{{q^{2}} \over {M_{\nu }^{2}}}\right)^{2}}}\;$

(5.44)

przy którym mamy $M_{\nu }\simeq 0,9GeV\;$. Proces quasi-elastyczny (5.43) jest wynikiem oddziaływań słabych.

Doskonale niesprężyste zderzenia elektronów na nukleonach a właściwie na składnikach nukleonów, czyli partonów

(Rys. 5.7) Rozpraszanie elektronów na składnikach nukleonów czyli na partonach

Będziemy się zajmować głeboko nieelastycznym zderzeniami leptonami na nukleonach. Rozważmy proces w układzie odniesienia, którego protonowi można przepisać czteropęd P=(p,0,0,p). Wyobrażamy sobie proton jako równoległą strugę quasiswobowdnych cząstek zwanych partonami, w którym te partony niesą czteropęd xP, gdzie wiadomo 0<x<1. Jeśli P jest ogromne to masy i pędy poprzeczne możemy zaniedbać. Zauważmy , że parton o masie m w nukleonie pochłonął czteropęd q, wtedy:

$(xP+q)^{2}=-m^{2}\simeq 0\Rightarrow x^{2}P^{2}+q^{2}+2xPq\simeq 0\;$

(5.45)

Jeśli we wzorze (5.45) będziemy przyjmować $\left|x^{2}P^{2}\right|=x^{2}M^{2}<<q^{2}\;$, to wtedy możemy napisać:

$x=-{{q^{2}} \over {2Pq}}={{q^{2}} \over {2M\nu }}\;$

(5.46)

We wzorze (5.46) przyjeliśmy, że Pq nie zależy od układu współżędnych, którą obliczymy w układzie laboratoryjnym, a więc przekaz energii jest równy ν, a nukleon w tym układzie spoczywa, a x przedstawia ułamek pędu partonu niesionego przez nukleon. Ale:

$q^{2}={(\nu +m)^{2}-m^{2}}=\nu ^{2}+m^{2}+2\nu m-m^{2}=2\nu ^{2}+2\nu m\simeq 2\nu m\;$

(5.47)

Mając na myśli (5.46) i ostateczny wynik (5.47) otrzymujemy:

$x={{q^{2}} \over {2M\nu }}={{2\nu m} \over {2M\nu }}={{m} \over {M}}\;$

(5.48)

Doskonale niesprężyste rozpraszanie elektronów na nukleonach a kwarki

Kwarki s punktowymi cząstkami posiadający spin połówkowy. Naszym pytaniem jest czy kwarki są uwięzione, na potrzeby naszych rozważań będziemy je traktować jako swobodne cząstki punktowe. Ale niech u(x)dx, d(x)dx mają znaczenie liczby kwarków u i d w protonie niosący ułamek pędu protonu, który mieści się w przedziale (x,x+dx). W protonie również musimy dopuścić możliwość istnienia kwarków i antykwarków dziwnych. Przekrój czynny jest wprost proporcjonalny do kwadratu ułamków ładunków kwarków, co zatem należy oczekiwać, że zachodzi:

${{d^{2}\sigma (ep)} \over {dxdy}}={{4\pi \alpha ^{2}} \over {q^{4}}}xs{{F_{2}^{ep}(x)} \over {x}}\left[{{1+(1-y)^{2}} \over {2}}\right]\;$

(5.49)

Natomiast wielkość $F_{2}^{ep}(x)\;$ występująca we wzorze (5.49) jest funkcją rozkładu kwarków w protonie o kwadratach ładunków kwarków jako wagi:

${{F_{2}^{ep}(x)} \over {x}}={{4} \over {9}}\left[u(x)+{\tilde {u}}(x)\right]+{{1} \over {9}}\left[d(x)+{\tilde {d}}(x)+s(x)+{\tilde {s}}(x)\right]\;$

(5.50)

Opierając się na symetri izospinowej funkcje rozkładu w neutronie będą funkcjami rozpadu $d\;$ i ${\overline {d}}\;$, wtedy:

${{F_{2}^{en}(x)} \over {x}}={{4} \over {9}}\left[d(x)+{\tilde {d}}(x)\right]+{{1} \over {9}}\left[u(x)+{\tilde {u}}(x)+s(x)+{\tilde {s}}(x)\right]\;$

(5.51)

Ale już dla tarczy nuklenowej, która składa się z protonów i neutronów z równą ilością tych cząstek, zatem piszemy:

${{F_{2}^{eN}(x)} \over {x}}={{5} \over {18}}\left[u(x)+{\tilde {u}}(x)+d(x)+{\tilde {d}}(x)\right]+{{1} \over {9}}\left[s(x)+{\tilde {s}}(x)\right]\;$

(5.52)

Rozpraszanie elastyczne i nieelastyczne neutrin na składnikach jądra atomowego (na nukleonach) i kwarkach

Mając wzory (5.40) i (5.41), co odpowiednikami tych wzorów mówiące rozpraszaniu neutrin na kwarkach co odbywa się za pomocą bozonu W są przemiany:

$\nu _{\mu }+d\rightarrow \mu ^{-}+u\;$

(5.53)

$\mu _{\mu }+{\overline {u}}\rightarrow \mu ^{-}+{\overline {d}}\;$

(5.54)

A rozpraszanie antyneutrin na kwarkach odbywa się według przemian:

${\overline {\nu }}_{\mu }+u\rightarrow \mu ^{+}+d\;$

(5.55)

${\overline {\nu }}_{\mu }+{\overline {d}}\rightarrow \mu ^{+}+{\overline {u}}\;$

(5.56)

W przemianach (5.53), (5.54), (5.55) i (5.56) oddziaływania z kwarkami $s\;$ i ${\overline {s}}\;$ ulegaja dysypacji przez czynnik Cabibbo. Jeżeli kwarki będziemy traktować jako cząstki punktowe tak jak traktujemy elektrony jako cząstki punktowe wtedy drugie pochodne przekroju czynnego rozpraszania neutrina na protonie i rozpraszania neutrina na neutronie przedstawiamy wzorami:

${{d^{2}\sigma (\nu p)} \over {dydx}}={{G^{2}xs} \over {\pi }}\left[d(x)+{\overline {u}}(x)(1-y)^{2}\right]\;$

(5.57)

${{d^{2}\sigma (\nu n)} \over {dydx}}={{G^{2}xs} \over {\pi }}\left[u(x)+{\overline {d}}(x)(1-y)^{2}\right]\;$

(5.58)

W przypadku gdy mamy równą liczbę neutronów i protonów, to wtedy druga pochodną przekroju czynnego przedstawia się:

${{d^{2}\sigma (\nu N)} \over {dydx}}={{G^{2}xs} \over {2\pi }}\left\{[u(x)+d(y)]+[{\overline {u}}(x)+{\overline {d}}(x)](1-y)^{2}\right\}\;$

(5.59)

A w przypadku antyneutrin otrzymujemy analogiczny wzór do (5.59) na drugą pochodną przekroju czynnego antyneutrinów na nukleonach przedstawiamy wzorem:

${{d^{2}\sigma ({\overline {\nu }}N)} \over {dydx}}={{G^{2}xs} \over {2\pi }}\left\{[u(x)+d(x)](1-y)^{2}+[{\overline {u}}(x)+{\overline {d}}(x)]\right\}\;$

(5.60)

Napiszmy funkcje struktury podobnie jak w przypadku rozpraszania elektronów:

${{F_{2}^{\nu N}(x)} \over {x}}=u(x)+d(x)-{\overline {u}}(x)+{\overline {d}}(x)\;$

(5.61)

$F_{3}^{\nu N}(x)=u(x)+d(x)-{\overline {u}}(x)-{\overline {d}}(x)\;$

(5.62)

Przekrój czynny na zderzenie na zderzenie neutrina i antyneutrina z nukleonami piszemy formułą zależną od funkcji struktury (5.61) i (5.62):

${{d^{2}\sigma ^{\nu N,{\overline {\nu }}N}} \over {dydx}}={{G^{2}ME} \over {\pi }}\left\{\left[{{F_{2}(x)\pm xF_{3}(x)} \over {2}}\right]+\left[{{F_{2}(x)\mp xF_{3}(x)} \over {2}}\right](1-y)^{2}\right\}\;$

(5.63)

Weźmy nazwy dla całek dla całkowania w obszarze x=[0,1] mając ułamkowy pęd kwarków i antykwarków i zakładając jeszcze że funkcje rozkładu będziemy mnożyć przez x:

$Q=\int x[u(x)+d(x)]dx\;$

(5.64)

${\overline {Q}}=\int x[{\overline {u}}(x)+{\overline {d}}(x)]dx\;$

(5.65)

Gdy będziemy całkować w obszarze x=[0,1] to wzory (5.57),(5.58) to całkowite przekroje czynne na zderzenia elastyczne mneutrinów z nukleonami i antyneutrinów z nukleonami wykorzystując oznaczenia (5.63) i (5.64) piszemy według wzoru:

$\sigma (\nu N)={{G^{2}ME} \over {\pi }}\left(Q+{{1} \over {3}}{\overline {Q}}\right)\;$

(5.66)

$\sigma ({\overline {\nu }}N)={{G^{2}ME} \over {\pi }}\left({\overline {Q}}+{{1} \over {3}}Q\right)$

(5.67)

Stosunek przekroju czynnego zderzenia antyneutrina z nukleonami (5.67) i przekroju czynnego zderzenia neutrina z nukleonami (5.66) piszemy wzorem:

$R={{\sigma ({\overline {\nu }}N)} \over {\sigma (\nu N)}}={{{\overline {Q}}+{{1} \over {3}}Q} \over {Q+{{1} \over {3}}{\overline {Q}}}}={{1+3{{\overline {Q}} \over {Q}}} \over {3+{{\overline {Q}} \over {Q}}}}\;$

(5.68)

Reguły sum Gottfrieda, Grossa, LIewellyn-Smitha, Bjorkena

Reguła sum Gottfrieda

Wykorzystując wzory (5.50) i (5.51) możemy napisać różnicę tych funkcji podzielonej przez x:

$\int _{0}^{1}\left[F_{2}^{ep}(x)-F_{2}^{ep}(x)\right]{{dx} \over {x}}=\int _{0}^{1}{\Bigg \{}{{4} \over {9}}[u(x)+{\overline {u}}(x)]+{{1} \over {9}}[d(x)+{\overline {d}}(x)+s(x)+{\overline {s}}(x)]+\;$
$-{{4} \over {9}}[d(x)+{\overline {d}}(x)]-{{1} \over {9}}[u(x)+{\overline {u}}(x)+s(x)+{\overline {s}}(x)]{\Bigg \}}=$
$={{1} \over {3}}\int _{0}^{1}\left[u(x)+{\overline {u}}(x)\right]-{{1} \over {3}}\int _{0}^{1}[d(x)+{\overline {d}}(x)]={{2} \over {3}}\int _{0}^{1}[{\overline {u}}(x)-{\overline {d}}(x)]+\;$
$+{{1} \over {3}}\int _{0}^{1}[u(x)+{\overline {u}}(x)-{\overline {u}}(x)+{\overline {d}}(x)]=$
$={{2} \over {3}}\int _{0}^{1}[{\overline {u}}(x)-{\overline {d}}(x)]+{{1} \over {3}}\int _{0}^{1}[u(x)+{\overline {d}}(x)]={{1} \over {3}}+{{2} \over {3}}\int _{0}^{1}[{\overline {u}}(x)-{\overline {d}}(x)]$

(5.69)

Na podstawie wyników doświadczalnych całka (5.69) ma wartość $0,24\pm 0,03\;$, co oświadcza że morze pary kwarku i antykwarków nie jest symetryczna, czyli nie równa zero pod względem zapachu, a w protonie jest więcej antykwarków dolnych ${\overline {d}}\;$ niż kwarków górnych $u$.

Reguła sum Grossa i LIewellyna-Smitha przy zderzeniach neutrina z nukleonem

Wykorzystajmy wzór (5.62) mając definicje $d_{V}=u-{\overline {u}}\;$, $d_{V}=d-{\overline {d}}\;$, które są rozkładami kwarków walencyjnych w protonie:

$\int _{0}^{1}xF_{3}^{\nu N}(x){{dx} \over {x}}=\int _{0}^{1}F_{3}^{\nu N}(x)dx=\int _{0}^{1}\left[u(x)+d(x)-{\overline {u}}(x)-{\overline {d}}(x)\right]dx=\;$
$=\int _{0}^{2}[u(x)-{\overline {u}}(x)+d(x)-{\overline {d}}(x)]dx=\int _{0}^{1}\left[u_{V}(x)+d_{V}(x)\right]dx=3\;$

(5.70)

Obliczenia (5.70) jest przewidywaniem swobodnych partonów,które z drugiej strony jest naiwne i jest ono słuszne dla granicy $q^{2}\rightarrow \infty \;$. Gdy mamy skończone wartości $q^{2}\;$ przewidywanie (5.70) jest modyfikowany przez ustalony czynnik $1-{{\alpha _{s}\left(q^{2}\right)} \over {\pi }}\;$ gdzie $\alpha _{s}\left(q^{2}\right)\;$ jest stałą sprzężenia QCD, która jest funkcją, która się wolno zmienia w zależności od $q^{2}\;$.

Reguła sum Bjorkena w przedstawieniu spinowych funkcji struktury

Dla wiązek podłużnie spolaryzowanych elektronów oraz mionów dla przeprowadzonej w doświadczeniu polaryzacji wynoszącej 80%, które idą podłużnie na tarcie wodorowe, robiono właśnie takie eksperymenty z wiązkami podłużnie spolaryzowanymi, ale również przeprowadzane były doświadczenia z wiązkami niespolaryzowanymi, które były nieelastyczno rozpraszane. Oczywiste jest, że wiązki spolaryzowane, a także nie spolaryzowane są opisywane przez pewne funkcje struktury, które piszemy w sposób:

$F_{1}(x)={1 \over 2}\sum z^{2}[q\uparrow (x)+{\overline {q}}\uparrow (x)+q\downarrow (x)+{\overline {q}}\downarrow (x)]$

(5.71)

a także wzór na g₁(x), zatem:

$g_{1}(x)={1 \over 2}\sum z^{2}\left[q\uparrow (x)+{\overline {q}}\uparrow (x)-q\downarrow (x)-{\overline {q}}\downarrow (x)\right]\;$

(5.72)

Wielkość $ze\;$ przedstawia ładunek kwarka a sumowanie we wzorach (5.71) i (5.72) odbywa się po zapachach kwarków. Wielkości oznaczone przez $q\uparrow \;$, a także $q\downarrow \;$ mówią o spinach równoległych i antyrównoległych kwarków do spinu bozonu proton. Przedstawmy parametr asymetrii przedstawionej przez formułę, którą przedstawiamy od przekrojów czynnych kwarków równoległych i antyrównoległych ustawień spinów samego leptonu $d\sigma \uparrow \uparrow \;$ i nukleonu $d\sigma \uparrow \downarrow \;$.

$A(x)={{d\sigma \uparrow \uparrow (x)-d\sigma \uparrow \downarrow (x)} \over {d\sigma \uparrow \uparrow (x)+d\sigma \uparrow \downarrow (x)}}\;$

(5.73)

Przedstawmy regułę sum pisaną za pomocą stałych sprzężenia protonu i neutronu oraz stałej sprzężenia oddziaływania silnego, wtedy na podstawie doastajemy:

$I=\int _{0}^{1}\left(g_{1}^{p}-g_{1}^{n}\right)dx={1 \over 6}\left({g_{\Lambda } \over g_{V}}\right)\left(1-{\alpha _{s} \over \pi }+...\right)\;$

(5.74)

Z oczywistych powodów we wzorze (5.74) piszemy ${g_{\Lambda } \over g_{V}}=1,26\;$, która jest ilorazem odziaływania silnego sprzężenia psełdowektorowego i wektorowego w rozpadzie neutronu.Najwcześniejsze eksperymenty wskazują na to, że zachodzi 0.16, co jest inne niż przewiduje równanie(5.74).