Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Wprowadzenie do teorii kwarków i układów kwarkowych (hadrony)

Wprowadzenie do teorii kwarków i układów kwarkowych (hadrony)

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Powiemy tutaj wszystko o kwarkach i hadronach, z czego one są zbudowane, a także w jakich stanach występują kwarki powabne i piękne, czyli mezony Ψ, a także o stanach bottomonium czyli mezony γ. Powiemy coś o spinach i kolorach kwarków, o oktecie barionowym jakie tworzą hadrony.

Stany kwarków pięknych, czyli czarmonium (mezony Ψ)

Czarmonium są to stany mezonowe $\psi =c{\overline {c}}\;$, które wąskimi rezonansami anihilacji e⁺ i e^-. Te stany są bardzo podobne do stanów pozytonium, czyli układy zbudowanego pozytonu i elektronu. Są to stany kwarków powabnych. Stany e⁺e^- o najniższych energiach nazywamy Ψ, lub też J/Ψ. Te stany można opisać jako:

$e^{+}+e^{-}\rightarrow \psi \rightarrow {\mbox{ hadrony}}\;$

(4.1)

$p+Be\rightarrow \psi /J+{\mbox{ cokolwiek}}\;$

(4.2)

Przemiana (4.1) wykryto w laboratorium SLAC na akceleratorze SLAC , a (4.2) na akceleratorze BNL. Wąskie rezonanse mezonu Ψ w akceleratorze SPEAR odpowiadało energii 3,1 GeV, a także jest tam drugi rezonans o masie 3,7 GeV. Przekrój czynny na zderzenia dwóch cząstek o elektronu i pozytonu o spinie s₁ i s₂ jest opisana wzorem Breta-Wignera, przy produkcji rezonansu J dla zachodzącej przemianie (4.1):

$\sigma (E)_{e^{+}e^{-}\rightarrow \psi \rightarrow e^{+}e^{-}}={{4\pi \not {\lambda }^{2}(2J+1){{\Gamma _{e^{+}e^{-}}^{2}} \over {4}}} \over {(2s_{1}+1)(2s_{2}+1)\left((E-E_{R})^{2}+{{\Gamma ^{2}} \over {4}}\right)}}\;$

(4.3)

• We wzorze (4.3) $\not {\lambda }\;$, która jest kreśloną długością fali de Broglie'a dla pozyton-elektron w układzie środka masy, a E_R odpowiada maksimum danego rezonasu, a oczywiście Γ oznacza całkowitą szerokość rezonansu, idąc dalej $\Gamma _{e^{+}e^{-}}\;$ jest to szerokość rezonansu pozyton-elektron. Jeśli będziemy przyjmować $s_{1}=s_{2}={{1} \over {2}}\;$, a rezonans nas ma spin J równy jeden. Jeżeli przecałkujemy wyrażenie (4.3) względem energii od zera do nieskończoności, jeśli przyjmować będziemy $\operatorname {tg} \theta ={{2(E-E_{R})} \over {\Gamma }}\;$, otrzymujemy:

$\int _{0}^{\infty }\sigma (E)dE\simeq \int _{0}^{{\pi } \over {2}}{{4\pi \not {\lambda }^{2}3{{\Gamma _{e^{+}e^{-}}^{2}} \over {4}}} \over {4\left({{\Gamma ^{2}} \over {4}}\operatorname {tg} ^{2}\theta +{{\Gamma ^{2}} \over {4}}\right)}}{{\Gamma } \over {\cos ^{2}\theta }}d\theta =3\pi \not {\lambda }^{2}\left({{\Gamma _{e^{+}e^{-}}} \over {\Gamma }}\right)^{2}\Gamma \int _{0}^{{\pi } \over {2}}d\theta ={{3\pi ^{2}} \over {2}}\not {\lambda }^{2}\left({{\Gamma _{e^{+}e^{-}}} \over {\Gamma }}\right)^{2}\Gamma \;$

(4.4)

Wyniki oddziaływania dwóch cząstek elektron i pozyton może powstawać układ hadronów, czyli $e^{+}+e^{-}\rightarrow {\mbox{hadrony}}\;$ lub $e^{+}+e^{-}\rightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}\;$ dla |cosθ|≤0,6, a także $e^{+}+e^{-}\rightarrow e^{+}+e^{-}\;$ dla |cosθ|≤0,6. Jeżeli wartość całkowitego przekroju czynnego (4.4), obserwowanego w doświadczeniach nad anihilacją elektronu i pozytonu jest 800nb⋅MeV. a także Γ_e⁺e^-/Γ, wtedy szerokość rezonansu jest Γ=0,087 MeV o wiele mniejsza niż oczywiście którą obserwujemy doświadczalnie. Gdy weżniemy dla porównania mezony zbudowane z lekkich kwarków ρ o energii 776 MeV, który ma szerokość Γ=150 MeV, lub też ω o masie 784 MeV z szerokością Γ=8,4 MeV mezon ψ o energii 3100 MeV ma bardzo małą szerokość energetyczną, którą policzyliśmy teoretycznie,a doświadczalnie uzyskano, że szerokość energetyczna procesu rozpadu czarmonium (ψ→e⁺e^-), który jest Γ=5keV. Dla porównania szerokość energetyczna w przypadku rozpadu innych stanów rezonansowych, tzn. ω→e⁺e^- jest Γ=0,6 keV, a Φ→e⁺+e^- jest Γ=1,4 keV.

Stany kwarków powabnych, bottomonium (mezony γ)

(Rys. 4.1) Para elektron e⁺ i pozyton e^-, przy której zaobserwowano istnienie bottomonium

(Rys. 4.2) Wykres pokazujący istnienie bottomonium i istnienie rezonansów γ i γ

Oprócz czarmonium ψ wykryto również wąskie obszary mas 9,5-10,5 GeV, które są związane z kwarkiem pięknym $b\;$ i antykwarkiem pięknym ${\overline {b}}\;$, czyli: $b{\overline {b}}\;$, ten stan jest stanem rezonansowym γ. Jeżeli produkowali miony μ^± z jądrami protonów, które mają energię p+Be,Cu,Pt→μ⁺+μ^-+cokolwiek, wykryto rezonans w okolicy energii 10 GeV, w którym szerokość rezonansu jest 1,2 GeV, ale ponieważ zdolność rozdzielcza układu pomiarowego była większa niż 0,5 GeV, to wysunięto przypuszczenie, że, że istnieją czy rezonanse w okolicy energii 9,4 i 10,0 oraz 10,4 GeV, które są stanami bottomomium (mezony γ), które nazywamy mezonami γ, γ',γ'' . Również zaobserwowano stan bottomonium przy anihilacji pozytonu e⁺ i elektronu e^-.

Kwarkoniowe poziomy energetyczne

Oddziaływanie kulombowskie w pozytonium wiąże się z potencjałem elektrycznym zdefiniowanej w zależności od odległości pomiędzy pozytonem e⁺ a elektronem ^- i wielkości stałej proporcjonalności:

$V_{em}=-{{\alpha } \over {r}}\;$

(4.5)

(Rys. 4.3) Wykres potencjału V_QCD, potencjału odpychającego-4/3α_s/r i potencjału przyciagającego kr.

Na podstawie elektrodynamiki kwantowej QED oddziaływanie silne jest związane z wymianą bez masowych cząstek wektorowych czyli fotonów, zatem można będzie oczekiwać, że potencjał w oddziaływaniu silnym ma podobną zależność jak potencjał pola elektrycznego, która została potwierdzona doświadczalnie. Jednak kwarki w hadronach i mezonach są uwięzione, a wieć w oddziaływaniu poiwnien występować dodatkowy człon związanym przyciąganiem na dużych odległościach:

$V_{QCD}=-{{4\alpha _{s}} \over {3r}}+kr\;$

(4.6)

α_s jest to stała sprzężenia oddziaływania pomiędzy kwarkiem a gluonem. Współczynnik ${{4} \over {3}}\;$ wynika z symetrii kolorowej, ale wiadomo, że α_s=0,2 i k=1GeV⋅fm^-1. Rozwiązując nierelatywistyczne równanie Schrodingera poziomy energetyczne pędów w zależności od liczby kwantowej głównej n dla małych odległości "r" jest związana zależnością:

${{p} \over {mc}}={{\alpha } \over {2n}}\;$

(4.7)

przy którym wiadomo, że powinno zachodzić p<<mc. Dla małych odległości w oddziaływaniu silnym dominuje człon kulombowski. Przy nieelastycznym rozpraszaniach leptonów powstaje przypuszczenie, że jest wtedy równe &*alpha;=0,2. Stąd wniosek, że przybliżenie nierelatywistyczne jest uzasadnione. W przypadku lżejszych kwarków takie przyjęcie nie jest uzasadnione, bowiem wtedy &alfa; przyjmuje wartości około jedynki. Dla układów kwarkowych wartość rozszczepienia subtelnego jest rzędu $\alpha _{s}^{2}\;$, co które jest znacznie większe w kwarkonium niż w pozytonium, co obserwuje się w doświadczeniach. Stany 2S i 2P nie są obserwowane w takim układzie jakie obserwowaliśmy w pozytonium. Stany P dla ściśle określonego n mają przesunięte energie, co jest w szczególności w bottomonium. Cłony kulombowskie dają rozszczepienie 2S->1S, która jest wprost proporcjonalna do masy cząstki, ale w połączeniu z drugim członem kr daje rozszczepienie wprost proporcjonalne do $-m^{-{{1} \over {3}}}\;$. To połączenie powoduje rozszczepienie w układzie 2S-1S dla układu kwarkonium kwarku powabnego i antypowabnego ${\overline {c}}c\;$, które wynosi 589 MeV, co tyle samo wychodzi jak w układzie kwarka pięknego i antypięknego ${\overline {b}}b\;$ wynoszącą 565 MeV. Istnienie stanu proporcjonalności w (4.6) jest udokumentowane rosnącą funkcją masy dla mezonów $Q{\overline {u}}\;$ i ${\overline {Q}}u\;$. Oczywiste jest dla stanu $t{\overline {t}}\;$ dla $m\sim 175GeV\;$ istnieje około dziesięciu stanów związanych.

Struktura subtelna stanów pozytonium (e⁺e^-)

Stan elektron e⁺ i pozyton e^- zachowuje się jak atom, ten stan nazywamy pozytonium, o pewnym czasie życia, który ten stan po pewnej chwili rozpada się oczywiście na kwanty γ. Dłuższy czas życia wiąże się z rozpadem 3γ niż z rozpadem na 2γ. Z symetrii Bosego wynika, że układ fotonów, który jest stanem końcowym pozytonium pokazuje, że musi powstać ze stanu o parzystej liczbie kwantowym, który jest singletem, w którym spin wynosi J=0, a sprzężenie spinowe jest C=+1, ale ju dla n fotonów, to w przypadku rozpadu pozytonium sprzężenie ładunkowe jest C=+1. Wykonując obliczenia na mechanice kwantowej z polem kulombowskim, to wtedy będziemy mieli poziomy energetyczne, wiedząc, że α, to stała struktury subtelnej, a μ to masa zredukowana pozytonium μ=mM/(M+m), gdzie M to masa pozytonu, a m to masa elektronu, ale ponieważ M=m, to masa zredukowana pozytonu jest μ=m/2.

$E_{n}=-{{\alpha ^{2}\mu c^{2}} \over {4n^{2}}}=-{{\alpha ^{2}mc^{2}} \over {4n^{2}}}\;$

(4.8)

Wzór (4.8) powstał przy pomocy obliczeń nie uwzględniając efektów relatywistycznych, a jeśli je uwzględnimy, to nastąpi znoszenie degeneracji stanów spin-orbita S,P,.., który jest reprezentowany przy różnych liczbach kwantowych momentu pędu. Oddziaływania spin-spin powoduje, że powstają stany trypletowe ³S₁ oraz singletowe ¹S₀. W spektroskopii stany subtelne powstają i są zależne do odwrotności trzeciej liczby kwantowej liczby kwantowej reprezentujących numer powłoki:

$\Delta E\sim {{\alpha ^{4}mc^{2}} \over {n^{3}}}\;$

(4.9)

W jednostkach zredukowanych $\hbar =c=1\;$ szerokości rezonasu dla 2γ i 3γ są:

$\Gamma (2\gamma )={{\alpha ^{5}m} \over {2}}\;$

(4.10)

$\Gamma (3\gamma )={{2(\pi ^{2}-9)} \over {9\pi }}\alpha ^{5}m\;$

(4.11)

Częstość rozpadu jest proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej opisującej pozytonium |ψ(0)|²=1/(πa³), gdzie w tym w tym przypadku jest $a=2\hbar /(mc\alpha )\;$. Jesli będziemy wykorzystywać wzor (4.8) wnioskujemy, że w przy przybliżeniu nierelatywistycznym ΔE=3α²mc²/16=5,1 taka jest odległość poziomów 2S→1S. Natomiast, jeśli uwzględnimy rozszczepienie subtelne przy przejściu ze stanu 1³S₁→1¹S₀., to wtedy nastąpi rozszczepienie ΔE≈23α⁴mc²/960≈3,5⋅10^-5 eV. Stany pozytonium oznaczamy za pomocą liczby kwantowej sprzężenia ładunkowego C i parzystości, czyli inwersii przestrzennej) P.

Stany poziomów układu kwarków (kwarkonium)

Z elektrodynamiki kwantowej potencjał jest zależny od "r" i "k" dla układu kwarkonium, czyli układu kwarków jest opisany (2.11). Pęd każdej cząstki jest zależny od głównej liczby kwantowej n i jest opisana poprzez:

$p={{\alpha mc} \over {2n}}\;$

(4.12)

• gdzie (4.12) jest wyrażeniem otrzymanym z postulatu Bohra, wiedząc, że moment pędu jest wielkością skwantowaną $pa=n\hbar \;$, a jeśli p<<mc, to efekty relatywistyczne odrywają rolę w postaci stanów subtelnych.

Drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne (2.11), dzięki temu powstają dwa efekty, czyli stany 2S i 2P są praktycznie niezdegenerowane, inaczej było w pozytonium. Człon Kulombowski powoduje roszczepienie 2S→1S, które jest proporcjonalne do masy cząstki, a człon liniowy jest proporcjonalne do odwrotności z pierwiastka trzeciego stopnia z masy cząstki w kwarkonium. A połączenie członu Kulombowskiego i liniowego powoduje rozszczepienie 2S-1S w układzie kwark-antykwark $c{\overline {c}}\;$. wynoszącą 589 MeV, a w układzie $b{\overline {b}}\;$ rozszczepienie 569 MeV.

Masa kwarka powabnego jest m=1,6 GeV , to współczynnik sprzężenia oddziaływania silnego jest α_s≈0,23, a dla stanów trypletowych kwarka pięknego jest $b{\overline {b}}\;$, stąd współczynnik sprzężenia oddziaływania silnego jest α_s≈0,2.

Właściwości kwarków

Przedstawimy tabelkę przedstawiające liczby kwantowe sześciu kwarków, tzn. liczba barionowa, izospin I, trzecią składową izospinu I₃, dziwność S, piękność kwarka B^*, a także top kwarka T:

Zapach	I	I3	S	C	B*	T	Q/e
u	${{1} \over {2}}\;$	${{1} \over {2}}\;$	0	0	0	0	$+{{2} \over {3}}\;$
d	${{1} \over {2}}\;$	$-{{1} \over {2}}\;$	0	0	0	0	$-{{1} \over {3}}\;$
s	0	0	-1	0	0	0	$-{{1} \over {3}}\;$
c	0	0	0	1	0	0	$+{{2} \over {3}}\;$
b	0	0	0	0	-1	0	$-{{1} \over {3}}\;$
c	0	0	0	0	0	1	$+{{2} \over {3}}\;$

Na podstawie powyższej tabelki wykazano, że zachodzi związek pomiędzy liczbami Q, I₃, S, C, B^*, T, Q/e:

${{Q} \over {e}}=I_{3}+{{1} \over {2}}\left(B+S+C+B^{*}+T\right)\;$

(4.13)

Układ barionowy w postaci dekupletu

(Rys. 4.4) Dekuplet barionowy z trzema kwarkami

Przedstawimy tutaj układ barionowy zwany dekupletem barionowym składający się z kwarku u (górnego), d(dolnego) i s(dziwnego). Te kwarki mają ułamkowy ładunek, a mimo to nie znaleziono kwarków nieuwięzionych. Na rysunku obok pokazano obok pokazano stany barionowe o spinie i parzystości $J^{p}={{3} \over {2}}^{+}\;$, które są ustawione na rysunku obok na wykresie dziwności S (oś pionowa) od trzeciej składowej izospinu I₃ (oś pozioma). Na wykresie mamy cztery stany cząstki Δ o dziwności S=0 o zakresie izospinu $-1{{1} \over {2}}\;$, aż $1{{1} \over {2}}\;$, dla dziwności -1 mamy trzy stanu Δ o izospinie I=1. Dla S=-2 mamy Ξ dwa stany cząstki o izospinie I=1. Dla dziwności S=-3 mamy mamy jeden stan o izospinie I=0. Przedstawmy jak powstaje cząstka Ω^-, i na jakie cząstki ona się rozpada:

$K^{-}+p\rightarrow \Omega ^{-}+K^{+}+K^{0}\;$

(4.14)

Cząstka $\Omega ^{-}\rightarrow \Xi ^{0}+\pi ^{-}\;$, w którym następuje ΔS=1, który z kolei $\Xi ^{0}\rightarrow \pi ^{0}+\Lambda ^{0}\;$ (ΔS=1 rozpad słaby), co z kolei $\Lambda ^{0}\rightarrow \pi ^{-}+p\;$ (ΔS=1 jest rozpadem słabym) i $\pi ^{0}\rightarrow 2\gamma \;$ (rozpad elektromagnetyczny), co każdy foton γ tworzy parę elektron i pozyton. Wyjaśniając dekuplet bariony można powiedzieć, że bariony składają się z trzech kwarków, a więc kwarków u id o dziwności S=0, tzn. kwarka u o izospinie I₃=1/2 i d o izospinie I₃=-1/2, a także z izosingletu s o dziwności S=-1. Rozsądne wydaje się przydzielenie kwarkom liczby bnarionowej B=1/3. W oktecie barionowym dziwność, liczbę barionową i ładunek powiązane są ze sobą wzorem Gell-Manna i Nishijimy:

${{Q} \over {e}}={{1} \over {3}}\left(B+S\right)+I_{3}\;$

(4.15)

Dla kwarków przyjmujemy liczbę barionową $B={{1} \over {3}}\;$, wtedy dochodzimy do wniosku, że kwarki powinny mieć ładunki ${{Q} \over {e}}=+{{1} \over {3}}\;$ w przypadku kwarka u (górnego) dla której trzecia składowa izospinu jest $I_{3}=+{{1} \over {2}}\;$, a także dla kwarka d (dolnego) ładunek jest ${{Q} \over {e}}=-{{1} \over {3}}\;$ dla której trzecia składowa izospinu jest $I_{3}=-{{1} \over {2}}\;$. Dla kwarka dziwnego s, której ładunek jest ${{Q} \over {e}}=-{{1} \over {3}}\;$ dla której izospin jest $I=0\;$ a dziwność jest równa $S+-1\;$. Rozpatrzmy cząstkę elementalną, która składa się z dwóch kwarków d (dolnych) i jednego kwarka u (górnego), wtedy funkcję falową symetryczną piszemy:

${{1} \over {\sqrt {3}}}\left(ddu+udd+dud\right)\;$

(4.16)

Cząstki z dekupletu barionowego mają funkcje symetryczną ze względu na przedstawienie zapachu jako stopień swobody, ale też ze względu na wielkość fizyczną zwana spinem. A jeżeli będziemy rozpatrywać funkcję falową symetryczną ze względu na przedstawienie funkcji falowych mamy:

${{1} \over {\sqrt {6}}}\left(dsu+uds+sud+sdu+dus+usd\right)\;$

(4.17)

A funkcja całkowicie asymetryczną cząstki elementarnej usd jest:

${{1} \over {\sqrt {6}}}\left(dsu+uds+sud-usd-sdu-dus\right)\;$.

(4.18)

Dowody na istnienie wielkości spinu, a także kolorów kwarków, a teoria Pauliego

Rozpatrzmy, że istnieje taka wielkość jak spin, i rozpatrzmy trzy jednakowe kwarki dolne u, wtedy spin jego jest ${{3} \over {2}}\;$, zakładamy przy tym, że kwarki znajdują się w stanie podstawowym, w której istnieje symetryczna funkcja falowa. Ale wiadomo, że ustawienie, w której dla cząstki $\Delta ^{++}\;$ mamy trzy kwarki górne o spinach zwróconych do góry, której parzystość jest dodatnia, tzn. $\Delta ^{++}=u\uparrow u\uparrow u\uparrow \;$, co jest niezgodne z teorią Pauliego, że w jednym stanie może znajdować conaj najwyżej jedna cząstka, aby obejść to ograniczenie należy wprowadzić wielkość, która jest liczbą kwantową zwaną kolorem. Na podstawie teoria kwarków powiedziano, że istnieją trzy kolory zwane czerwony, zielony i niebieski. Jeżeli będziemy budować bariony i mezony, to całkowity kolor kwarków powinien wychodzić zero, tzn. są singletami kolorowymi. Dowodem na istnienie kwarków jest oddziaływania pozyton elektron (e⁺e^-, który rozpada się na hadrony lub miony naładowane przeciwnie μ⁺μ^-:

${{\sigma (e^{+}e^{-}\rightarrow {\mbox{hadrony}})} \over {\sigma (e^{+}e^{-}\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-})}}\;$

(4.19)

By wielkość (4.15) była zgodna z doświadczeniem należy go pomnożyć przez czynnik wkładu kwarków przez czynnik N_c=3. Pierwszy eta oddziaływania pozyton ielektron jest jego defragmentacja na $e^{+}+e^{-}\rightarrow {\overline {Q}}+{\overline {Q}}\;$, przy której przy dłuższym interwale czasowym następuje jego rozpad na handrony, tzn. ${\overline {Q}}+Q\rightarrow {\mbox{hadrony}}\;$. Kolory kwarków w wyżej opisywanym procesie są wielkościami rozróżnialnymi, a także amplitudy dla wszystkich kwarków są różróżnialne, więc daje to nam czynnik N_C.

(Rys. 4.5) Diagram Feynmana dotyczący procesu rozpadu pionu obojętnego na dwa fotony.

Następnym przykładem istnienia kolorów jest rozpad pionu obojetnego na dwa kwarki $\pi ^{0}\rightarrow 2\gamma \;$. W tym procesie kolory kwarków są rozróznialnem a także ich trzy amplitudy, a więc przy szerokości rozpadu pojawia się czynnik $N_{c}^{2}=9\;$. Można powiedzieć, że zachodzi:

$\Gamma (\pi ^{0}\rightarrow 2\gamma )=\left({{N_{c}} \over {3}}\right)^{2}{{\alpha ^{2}m_{\pi }^{3}} \over {64\pi ^{3}f_{\pi }^{2}}}=7,73\left({{N_{c}} \over {3}}\right)^{2}{\mbox{eV}}\;$

(4.20)

W doświadczeniu zaobserwowano szerokość rozpadu (4.16) w postaci wyniku Γ(obs)=7,7±0,6 eV, co daje w wyniku wartość N_c w postaci liczby 2,99±0,12.

Przestawienie barionów w postaci oktetu barionowego

(Rys. 4.6) Oktet barionowy o spinie równej połowie jedynki i parzystości dodatniej wraz z budową kwarkową.

Można zbudować stany o funkcjach falowych symetrycznych ze względu na przedstawienie zapachu i spinu cząstki jednocześnie, a nie osobno, taj jak to robiliśmy przy dekuplecie barionowym. Zbudujmy funkcję falową, która jest symetryczna przy jednoczesnym zmianie spinu i zapachu kwarku, co na tej podstawie powiemy:

${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow \right)\;$

(4.21)

Rozpatrzmy izosinglet barionowy, którego zapis jest, gdy będziemy rozpatrywać zapachy cząstek górnych u i dolnych u:

${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(ud-du\right)\;$

(4.22)

A jeżeli będziemy rozpatrywać spin zapachów kwarków, wtedy układ w nawiasie (4.22) po dodaniu trzeciego kwarku $u\uparrow \;$, zapisujemy:

$(u\uparrow d\downarrow -u\downarrow d\uparrow -d\uparrow u\downarrow +d\downarrow u\uparrow )u\uparrow \;$

(4.23)

Rozpatrzmy funkcje falowe układu trzech kwarków górnego u, gólrnego u i dolnego d, wtedy funkcja falowa przy kwantowej liczbie spinowej $J_{z}=+{{1} \over {2}}\;$, która jest symetryczna ze względu na przestawienie zapachów i spinu cząstek piszemy jako:

${{1} \over {\sqrt {18}}}{\Bigg (}2u\uparrow u\uparrow d\downarrow +2d\downarrow u\uparrow u\uparrow +2u\uparrow d\downarrow u\uparrow -u\downarrow d\uparrow u\uparrow -u\uparrow u\downarrow d\uparrow -u\downarrow u\uparrow d\uparrow -d\uparrow u\downarrow u\uparrow -u\uparrow d\uparrow u\downarrow -d\uparrow u\uparrow u\downarrow {\Bigg )}\;$

(4.24)

Cząstki w oktecie barionowym mają spin $J_{z}={{1} \over {2}}^{+}\;$, w której cząstki nukleon neutron i proton , dla których izospin jest $I={{1} \over {2}}\;$, a dziwność jest S=0, izotryplet Σ, której izospin I=1 i dziwność S=-1, izodublet Ξ, której izospin $I={{1} \over {2}}\;$ i dziwność S=-2, a także mamy izosinglet Λ, której izospin jest I=0 i dziwność S=-1. Dla dekupletu barionowego, której $J^{p}={{3} \over {2}}^{+}\;$, wtedy energia Σ-Δ, która jest równa 152 MeV, a Ξ-Σ, której energia jest równa 149 MeV, i w końcu Ω^--Ξ, której energia jest równa 139 MeV. Dla oktetu barionowego $J^{p}={{1} \over {2}}^{+}\;$ otrzymujemy w końcu M_Σ=M_Λ, w której lewa strona jest równa 1193 MeV, a prawa 1116 MeV, a także otrzymujemy również równość M_Λ-M_N=M_Ξ-M_Λ, której lewa strona jest równa 177 MeV, a prawa 203 MeV.

Mezony lekkie jako układy pseudoskalarne

(Rys. 4.7) Lekkie mezony pseudoskalarne o J^p=0^-.

(Rys. 4.8) Nonety mezonów wektorowych o spinie i parzystości J^P=1^-, których skład kwarkowy jest taki sam jak na rysunku powyżej.

Stany obserwowane w przyrodzie są to stany układów trzech kwarków zwanych barionami, a także stany dwóch cząstek zwanych mezonami. W ograniczeniu do zapachów możemy obserwować stany trzech kwarków zwanych nonetami, których jest 3²=9. Ponieważ kwarki mają spin równy ${{1} \over {2}}\;$ obserwuje się układy kwarkowe o spinie i parzystości $J^{P}=0^{-}\;$, a także stany o spinie i parzystości $J^{P}=1^{-}\;$. Zwykle nie obserwuje się przemian $Q\leftrightarrow {\overline {Q}}\;$, ale można w takim razie napisać przemianę z u do ${\overline {u}}\;$ w postaci wzoru $u\rightarrow {\overline {u}}e^{i\phi }\;$, co zgodnie z konwencją Condona-Shortleya Φ powinno być takie, że w przemianie z u do ${\overline {u}}\;$ powinno zachodzić: $u\rightarrow -{\overline {u}}\;$. W takim bądź razem mamy $u\rightarrow -{\overline {u}}\;$ i $d\rightarrow +{\overline {d}}\;$, wtedy dla protonu $p\rightarrow -{\overline {p}}\;$ i dla neutronu $n\rightarrow +{\overline {n}}\;$. Biorąc, że stan spinowy mezonów pseudoskalarnych jest l=0 oraz parzystości wewnętrzne fermionu i antyfermionu są przeciwne do siebie, otrzymujemy liczbę barionową B=0 i J^P=0^-. Jeżeli będziemy używać kwarka górnego u i dolnego d, to mamy 2² kombinacji kwarkowych izospinowych. Kombinacje dla I=1 tworzą tryplet o trzeciej składowej izospinu I₃=-1,0,1, której odpowiadają czastki π⁺, π^-, π⁰, a także singlet o I=0, którą nazwiemy η. Zdefiniujmy operaror I^±, wtedy:

$I^{\pm }\Psi (I,I_{3})={\sqrt {(I(I+1)-I_{3}(I_{3}\pm 1)}}\Psi (I,I_{3}\pm 1)\;$

(4.25)

Jeśli będziemy działać operatorem I⁺ na kwark dolny d, górny u i antykwark górny ${\overline {u}}\;$, a także dla antykwarku dolnego d ${\overline {d}}\;$ mamy dla pierwszego przypadku $I^{+}d=u\;$, dla drugiego przypadku $I^{+}{\overline {u}}=-{\overline {d}}\;$, a dla przypadku następnego $I^{+}u=I^{+}{\overline {d}}=0\;$. Rozpatrzmy przypadek funkcji Ψ i izospinie I, wtedy możemy powiedzieć $I^{-}\Psi (1,1)=I^{+}\Psi (1,-1)={\sqrt {2}}\Psi (1,0)\;$, a także $I^{+}\Psi (1,0)={\sqrt {2}}\Psi (1,1)\;$, dalej $I^{+}\Psi (1,1)=I^{-}\Psi (1,-1)=0\;$.

I	I3	Funkcja falowa cząstki	Q/e
1	1	$u{\overline {d}}=\pi ^{+}\;$	+1
1	-1	$-{\overline {u}}d=\pi ^{-}\;$	-1
1	0	${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(d{\overline {d}}-u{\overline {u}}\right)=\pi ^{0}\;$	0
0	0	${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(d{\overline {d}}+u{\overline {d}}\right)=\eta \;$	0

Wykorzystując definicję operatora I^± (4.21) mamy:

$I^{+}\pi ^{+}=I^{+}(-d{\overline {u}})=-u{\overline {u}}+d{\overline {d}}={\sqrt {2}}\pi ^{0}\;$

(4.26)

$I^{+}\pi ^{0}=I^{+}{{d{\overline {d}}-u{\overline {u}}} \over {\sqrt {2}}}={{u{\overline {d}}+u{\overline {d}}} \over {\sqrt {2}}}=\;$
$={\sqrt {2}}u{\overline {d}}={\sqrt {2}}\pi ^{+}\;$

(4.27)

Jeśli weżniemy pod uwagę cząstkę η i na nią będziemy działać operatorem I^±, wtedy:

$I^{\pm }\eta =I^{+}{{d{\overline {d}}+u{\overline {u}}} \over {\sqrt {2}}}={{u{\overline {d}}-u{\overline {d}}} \over {\sqrt {2}}}=0\;$

(4.28)

Przedstawimy tabelkę z lekkimi mezonami pseudoszkalarnymi, które są kombinacjami kwarków i antykwarków:

oktet lub singlet	I	I3	S	Mezon	Budowa kwarkowa	Kanały rozpadu	Masa [MeV]
oktet	1	1	0	π+	$u{\overline {d}}\;$	$\pi ^{+}\rightarrow \mu ^{+}+\nu _{\mu }\;$	140
	1	-1	0	π-	$d{\overline {u}}\;$	$\pi ^{-}\rightarrow \mu ^{-}+{\tilde {\nu }}_{\mu }\;$
	1	0	0	π0	${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(d{\overline {d}}-u{\overline {u}}\right)\;$	$\pi ^{0}\rightarrow 2\gamma \;$	135
	${{1} \over {2}}\;$	${{1} \over {2}}\;$	+1	K+	$u{\overline {s}}\;$	$K^{+}\rightarrow \mu ^{+}+\nu _{\mu }\;$	494
	${{1} \over {2}}\;$	$-{{1} \over {2}}\;$	+1	K0	$d{\overline {s}}\;$	$K^{0}\rightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}\;$	498
	${{1} \over {2}}\;$	$-{{1} \over {2}}\;$	-1	K-	${\overline {u}}s\;$	$K^{-}\rightarrow \mu ^{-}+{\tilde {\nu }}_{\mu }\;$	494
	${{1} \over {2}}\;$	${{1} \over {2}}\;$	-1	${\overline {K}}^{0}\;$	${\overline {d}}s\;$	${\overline {K}}^{0}\rightarrow \pi ^{0}+\pi ^{-}\;$	498
	0	0	0	η8	${{1} \over {\sqrt {6}}}\left(d{\overline {d}}+u{\overline {u}}-2s{\overline {s}}\right)\;$	$\eta \rightarrow 2\gamma \;$	549
singlet	0	0	0	η0	${{1} \over {\sqrt {3}}}\left(d{\overline {d}}+u{\overline {u}}+s{\overline {s}}\right)\;$	$\eta ^{'}\rightarrow \eta +\pi ^{+}+\pi ^{-}\;$	958
						$\eta ^{'}\rightarrow 2\gamma \;$

Wprowadzając kwark s (kwark dziwny) do zestawy kwarków u (kwark górny) i d (kwark dolny) daje nam 3²=9 możliwości stanów, te stany możemy podzielić na siglet, w której funkcja jest symetryczna i na oktet, której mamy dziewięć mozliwości. Wzór opisujący masy multipletów na podstawie powyższej tabelki zwany formułą Gell Manna i Okubo jest:

$2\left(M_{K^{0}}^{2}+M_{{\overline {K}}^{0}}^{2}\right)=\underbrace {4M_{K^{0}}^{2}} _{0,988GeV^{2}}=\underbrace {M_{\pi ^{0}}^{2}+3M_{\eta }^{2}} _{0,924GeV^{2}}\;$

(4.29)

Mezony wektorowe lekkie jako mezonowe układy kwarków (nonety)

ABy uzyskać zgodność z doświadczeniem dla nomnetów (mezonów wektorowych I^P=1^-, musimy zmieszać stany singletowe i oktetowe. Weźmy sobie θ, który jest kątem mieszania, wtedy na podstawie tego:

$\phi =\psi _{0}\sin \theta -\phi _{8}\cos \theta \;$

(4.30)

$\omega =\phi _{8}\sin \theta +\phi _{0}\cos \theta \;$

(4.31)

W którym Φ i ω oznaczają fizyczne mezony wektorowe, które się obserwuje, a Φ₀ i Φ₈ są to stany oktetowe i singletowe, których przepisujemy izospin jest równy dziwności, a to z kolei jest równe zero, czyli I=S=0. Zakładamy, że kwadrat elementu macierzowe operatora energii pomiędzy stanami daje nam kwadrat masy i wiedząc dodatkowo wiedz, że Φ i ω są do siebie ortogonalne, wtedy na podstawie tego otrzymujemy:

$M_{\phi }^{2}=M_{0}^{2}\sin ^{2}\theta +M_{8}^{2}\cos ^{2}\theta -2M_{08}^{2}\sin \theta \cos \theta \;$

(4.32)

$M_{\omega }^{2}=M_{8}^{2}\sin ^{2}\theta +M_{0}^{2}\cos ^{2}\theta +2M_{08}^{2}\sin \theta \cos \theta \;$

(4.33)

A na podstawie ortogonalności Φ i ω piszemy na podstawie elementów macierzowych M₀ i M₈, a także M₀₈ i z kąta zmieszania θ:

$M_{\phi \omega }^{2}=0=(M_{0}^{2}-M_{8}^{2})\sin \theta \cos \theta +M_{08}^{2}(\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta )\;$

(4.34)

Wykorzystując wzory (4.34) możemy napisać na kwadrat tangensa z kąta zmieszania, w którym występuje w równaniach (4.32) i (4.33):

$\operatorname {tg} ^{2}\theta ={{M_{\phi }^{2}-M_{8}^{2}} \over {M_{8}^{2}-M_{\omega }^{2}}}\;$

(4.35)

Wykorzystując związek (4.25) powiemy, że kwadrat elementu macierzowego M₈ w zależności od masy cząstki K i cząstki ρ:

$M_{8}^{2}={{1} \over {3}}\left(4M_{K}^{*2}-M_{\rho }^{2}\right)\;$

(4.36)

W doświaczeniach zaobserwowano, że kąty zmieszania są równe θ=40^o, ale przyjmując θ≈35⁰, wtedy $\sin \theta ={{1} \over {\sqrt {3}}}\;$, wtedy piszemy $\phi ={{1} \over {\sqrt {3}}}\left(\phi _{0}-{\sqrt {2}}\phi _{8}\right)\;$ i $\omega ={{1} \over {\sqrt {3}}}\left(\phi _{8}+{\sqrt {2}}\phi _{0}\right)\;$. Jeśli przyjmować będziemy parametry Φ₀ i Φ₈ w zależności od funkcji falowej kwarka dolnego d i antykwarka dolnego ${\overline {d}}\;$, górnego u i antykwarka górnego ${\overline {u}}\;$, dziwnego s i antykwarka dziwnego ${\overline {s}}\;$, piszemy jako:

$\phi _{0}={{1} \over {\sqrt {3}}}\left(d{\overline {d}}+u{\overline {u}}+s{\overline {s}}\right)\;$

(4.37)

$\phi _{8}={{1} \over {\sqrt {6}}}\left(d{\overline {d}}+u{\overline {u}}-2s{\overline {s}}\right)\;$

(4.38)

Stan	I	Y	Masa [MeV]	Dominujący kanał rozpadu
$\rho \;$	1	0	776	$\rho \rightarrow 2\pi \;$
$K^{*}\;$	${{1} \over {2}}\;$	±1	892	$K^{*}\rightarrow K\pi \;$
$\omega \;$	0	0	783	$\omega \rightarrow 3\pi \;$
$\phi \;$	0	0	1019	$\phi \rightarrow K{\overline {K}}\;$

Wtedy na podstawie (4.37) i (4.38) funkcje falowe cząstek fizycznych Φ i ω w zależności od kwarku i antykwarka dolnego, kwarka i antykwarka górnego, kwarka i antykwarka dziwnego wyglądają tak:

$\phi =s{\overline {s}}\;$

(4.39)

$\omega ={{1} \over {\sqrt {2}}}\left(u{\overline {u}}+d{\overline {d}}\right)\;$

(4.40)

Kanałami rozpadu cząstki Φ są $\phi \rightarrow K^{+}+K^{-}\;$, $\phi \rightarrow K^{0}+{\overline {K}}^{0}\;$ i ostatni kanał $\phi \rightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}+\pi ^{0}\;$, w którym dwie pierwsze kanały zachodzą z 84% procentową częstością a ostatni kanał z 15% częstością, dalej kanałami rozpadu cząstki ω są $\omega \rightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}+\pi ^{0}\;$, następnie $\omega \rightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}\;$, i ostatni kanał $\omega \rightarrow \pi ^{0}+\gamma \;$, przy czym pierwszy kanał zachodzi z 90% częstością, a dwa ostatnie kanały zachodzą z 10% częstością.

Rozpraszanie cząstek pion-nukleon i jego przekroje czynne

przy energiach 60GeV przekroje czynne na rozpraszanie cząstek π⁺ i p oraz π^- i p są równe sobie i wynoszą 25mb, a dla tego samego zakresu energii przekroje czynne σ(pp) i σ(pn) wynoszą w przybliżeniu 38mb i rzeczywiście ten przekrój jest bliski wartości ${{2} \over {3}}\;$.

Produkowanie par leptonów przy tarczach izoskalarnych

Dzięki temu procesowi można przyporządkować ładunek kwarkom, produkowanie pary leptonów przy zdrzeniu dwóch cząstek pionu i nukleonu, który odpowiada anihilacji antykwarka z pionem z kwarkiem oraz z nukleonem, co dzięki temu powstaje wirtualny foton, który natychmiast potem przechodzi w parę mionową, przekrój tego zjawiska jest wprost proporcjonalny do ładunku kwarka. Gdy będziemy rozpatrywać rozpraszanie $\pi ^{-}(={\overline {u}}d)\;$ na izoskalarnym jądrze ${}^{12}C\;$, co w wyniku takiego procesu zdarzy się anihilacja $u{\overline {u}}\;$, czyli:

$\sigma (\pi ^{-}C\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-}+...)\sim 19Q_{u}^{2}=18\left({{4} \over {9}}\right)\;$

(4.41)

ale już na rozpraszaniu π⁺ $u{\overline {d}})\;$:

$\sigma (\pi ^{+}C\rightarrow \mu ^{+}\mu ^{-}+...)\sim 19Q_{d}^{2}=18\left({{1} \over {9}}\right)\;$

(4.42)

Iloraz przekrojów czynnych (4.37) i (4.38) równy cztery do jednego znacznie powyżej ciężkich rezonansów $\psi \rightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}\;$.

Rozpady wektorowych mezonowe na leptony

Ułamkowe wartości ładunków elektrycznych i kwarkowa budowę mezonów wektorowych można sprwadzić przy pomocy szerokości cząstkowych rozpadu mezonów na parę leptonów czyli e⁺e^-, którego szerokość rozpadu jest Γ(e⁺e^-). W nierelatywistycznej teorii rozpadów mezonów wektorowych zależy od sprzężenia z fotonem i wtedy jest wprost proporcjonalne do ładunków kwarków. Iloraz ${{\Gamma _{e^{+}e^{-}}} \over {\left|\sum a_{i}Q_{i}\right|}}\;$. Szerokości rozpadów dla mezonów ρ, ω,Φψ i γ mają zbliżone do siebie wartości. Mianownik w ostatnim stosunku, tzn. $\left|\sum a_{i}Q_{i}\right|^{2}\;$ jest podniesioną do kwadratu sumy ładunków znajdujących się w mezonach kwarków.

Szerokości cząstkowe dla rozpadów leptonowych mezonów wektorowych
Mezon	Funkcja falowa kwarka	$\left|\sum a_{i}Q_{i}\right|^{2}$	$\Gamma _{e^{+}e^{-}}{\mbox{ keV}}\;$	${{\Gamma _{e^{+}e^{-}}} \over {\left|\sum a_{i}Q_{i}\right|}}\;$
ρ	${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(u{\overline {u}}-d{\overline {d}}\right)\;$	${{1} \over {2}}\;$	$6,8\pm 0,3\;$	$13,6\pm 0,6\;$
ω	${{1} \over {\sqrt {2}}}\left(u{\overline {u}}+d{\overline {d}}\right)\;$	${{1} \over {18}}\;$	$0,60\pm 0,02\;$	$10,8\pm 0,4\;$
Φ	$s{\overline {s}}\;$	${{1} \over {9}}\;$	$1,37\pm 0,05\;$	$12,3\pm 0,5\;$
ψ	$c{\overline {c}}\;$	${{4} \over {9}}\;$	$5,3\pm 0,4\;$	$11,9\pm 0,9\;$
γ	$b{\overline {b}}\;$	${{1} \over {9}}\;$	$1,32\pm 0,05\;$	$11,9\pm 0,5\;$

Szerokość rozpadów leptonowych dla ich bezwzględnych wartości przy oznaczeniu $Q^{2}=\left|\sum a_{i}Q_{i}\right|^{2}\;$ oraz $\psi (0)\;$, gdzie jest to funkcja falowa funkcji układu $Q{\overline {Q}}\;$ w środku układu kwarkowego w mezonie, a $M_{V}\;$ jest to masa mezonu wektorowego, co dzieki tym oznaczeniu możemy napisać;

$\Gamma \left(V\rightarrow I^{+}I^{-}\right)={{16\pi \alpha ^{2}Q^{2}} \over {M_{V}^{2}}}|\psi (0)|^{2}\;$

(4.43)

Propagator pojedyńczego fotonu w omawianym procesie daje w takim razie czynnik q^-4, którego kwadrat wartości bezwzględnej wielkości q jest równy $|q|^{2}=M_{V}^{2}\;$, ale czynnik do dwuciałowego stanu końcowego podsuwa nam czynnik q², ale wielkość ${\sqrt {\alpha }}Q_{i}\;$ przy oznaczeniu Q_i, który jest ładunkiem kwarka, mówi nam coś o sprzężeniu z fotonem, ale amplitudy a_i uwzględniają superpozycję kwarków w układzie kwarkowycm, który jest mezonem. Jeśli uzupełnimy o sprzężenie z fotonem, to otrzymamy amplitudę z wynikiem ${\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\alpha }}\sum a_{i}Q_{i}\;$, ale jeżeli chcemy uzyskać szerokość całkowitą rozpadu mezonowego, to ostatnią wielkość należy podnieść do kwadratu. Wielkość $\left|\psi (0)\right|^{2}\;$ określa prawdopodobieństwo, że dwa kwarki, tzn. kwark i antykwark będą oddziaływały z fotonem gdzieś w przestrzeni. Dla cząstek ρ, ω i Φ, które mają mała masę, promień rozpadu ładunku według przybliżenia jest równy 0,6 fm.

Związki masowe w rozszczepianiach nadsubtelnych

Różnice masowe w multipletach hadronowych jak dotychczas się dowiedzieliśmy wynikają wynikają z różnic masowych kwarków u,d i s, które są elementami składowymi hadronów. Chcemy wyjaśnic różnice mas hadronów o takim samym składzie fermionowym, którą to rozbieżność można wyjaśnić z oddziaływania kwark-kwark, którą opisuje chromodynamika kwantowa. Weźmy pod rozważania atom wodoru, w którym elektron jest opisywany funkcją falową n,l i j, który jest rozszczepiony nadsubtelnie na dwa bardzo blisko poziomy. Przejście pomiędzy tymi poziomami położonych blisko siebie daje nam linie radiową od częstości 1420 MHz o długości fali 21cm za pomocą którego można określić skład wodorowy we wszechświecie. Przyjmijmy pod rozważania dwa fermiony μ_i i %mu;_j. Ruch względny tych stanom fermionów względny odpowiada stanowi S, której opisuje funkcja falowa ruchu względnego. Dipol j oddziaływuje z polem wytworzonym przez dipol i, którego to pole liczymy wiedząc że dipol i jest rozmieszczony losowo we wnętrzu kuli o objętości V, w którym środku znajduje się dipol j o momencie magnetycznym μ_j. Indukcja w środku, w którym to w objętości jest jednorodne pole o rozkładzie namagnesowania $B={{2M\mu } \over {3V}}\;$. Ale już wielkość V^-1 jest określona wzorem $V^{-1}=\left|\psi (0)\psi \right|^{2}\;$. Energia z jaką oddziaływuje dipol i z j jest określona formułą:

$\Delta E={\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}={{2} \over {3}}{\vec {\mu }}_{i}{\vec {\mu }}_{j}\left|\psi (0)\right|^{2}={{2\pi } \over {3}}{{\alpha } \over {m_{i}m_{j}}}\left|\psi (0)\right|^{2}{\vec {\sigma }}_{i}{\vec {\sigma }}_{j}\;$

(4.44)

Zakładamy we wrzorze (4.40) jednostki zredukowane, tzn. $\hbar =c=1\;$. (4.40) wynika ze wzoru Diraca, w którym przyjelismy, że definicja momentum agnetycznego jest określona przez ${\vec {\mu }}={{e_{i}} \over {2m_{i}}}{\mathfrak {\sigma }}\;$, w którym ${\mathfrak {\sigma }}\;$ jest operatorem spinu, którego kwadrat jest równy jeden. Przyjelismy definicję, że $e_{i}e_{j}=4\pi \alpha \;$. Oddziaływanie magnetyczne jest związane z ładunkiem magnetycznym i spinem kwarków, które generują to oddziaływanie. W skali hadronów oddziaływanie magnetyczne jest oddziaływaniem słabym. A jeżeli kwark obdarzony jest ładunkiem kolorowym ma z dużym prawdopodobieństwem postać $\sim {{1} \over {r}}\;$, tak samo jak pole elektryczne. Ładunek kolorowy powoduje pojawienie się oddziaływania magnetycznego, którego energię określamy ze wzoru (4.40), tylko, że zamiast ładunku elektrycznego tam występuje ładunek kolorowy. Energia oddziaływania (4.40) jest związana czy oddziaływanie jest pomiędzy kwarkiem i kwarkiem, czy kwarkiem i antykwarkiem. W (4.5) α nalezy zastąpić przez 4α_s/3 dla pary $Q{\overline {Q}}\;$ natomiast dla barionu QQQ czynnik α jest w postaci 2α_s/3, który jest o połowę mniejszy od układu mezonowego. Dla układów $Q{\overline {Q}}\;$ i $QQ\;$ wzory na oddziaływania spin-spin opisujemy wzorami:

$\Delta E(Q{\overline {Q}})={{8\pi \alpha _{s}} \over {9m_{i}m_{j}}}|\psi (0)|^{2}{\mathfrak {\sigma }}_{i}{\mathfrak {\sigma }}_{j}\;$

(4.45)

$\Delta E(QQ)={{4\pi \alpha _{s}} \over {9m_{i}m_{j}}}|\psi (0)|^{2}{\mathfrak {\sigma }}_{i}{\mathfrak {\sigma }}_{j}\;$

(4.46)

Iloczyny wektorów spinowych występujących we wzorach (4.45) i (4.46) zależą od wektorówb spinu kwarku, a to z koleii od całkowitego spinu kwarków i spinnu kwarków poszczególnych układu kwark-kwark i kwark-antykwark w sposób:

$\sigma _{i}\sigma _{j}=4s_{i}s_{j}=2[S(S+1)-s_{i}(s_{i}+1)-s_{j}(s_{j}+1)]=\left\{{{+1{\mbox{ dla }}S=1} \atop {-3{\mbox{ dla }}S=0}}\right.\;$

(4.47)

Dla barionów zbudowanych z trzech kwarków jest sumowanie po spinach kwarków na które składa się ten układ, wtedy:

$\sum \sigma _{i}\sigma _{j}=4\sum s_{i}s_{j}=2[S(S+1)-3s(s+1)]=\left\{{{+3{\mbox{ dla }}S={{3} \over {2}}} \atop {-3{\mbox{ dla }}S={{1} \over {2}}}}\right.\;$

(4.48)

Dla cząstek Δ, N, Σ rozszczepienia nadsubtelna są określone wzorami:

$(\Delta E)_{\Delta }={{3} \over {m_{u}^{2}}}K\;$

(4.49)

$(\Delta E)_{N}=-{{3} \over {m_{u}^{2}}}K\;$

(4.50)

$(\Delta E)_{\Sigma }=\left({{1} \over {m_{u}^{2}}}-{{4} \over {m_{u}m_{s}}}\right)K\;$

(4.51)

Przy czym wiadomo, ze we wzorach powyższych przyjęto σ_uσ_u=1, a także $2\sigma _{u}\sigma _{s}=\sum \sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{u}\sigma _{u}=-4\;$, również $K={{4\pi \alpha _{s}} \over {9}}|\sigma (0)|^{2}\;$. Parametry K, m_u i m_s uzyskujemy z dopasowania ośmiu izomultipltetów barionów w dekuplecie i oktecie. Przyjmować będziemy, że m_n=m_u=m_d=363 MeV, m_s=538 MeV oraz ${{K} \over {m_{n}^{2}}}=50{\mbox{ MeV}}\;$, wtedy masy barionów przyjmujemy w postaci:

Barion, masa[MeV	Skład kwarkowy	${{\Delta E} \over {K}}\;$	Przewidywana masa [MeV]
N(939)	3n	$-{{3} \over {m_{n}^{2}}}\;$	939
Λ(1116)	2n,1s	$-{{3} \over {m_{n}^{2}}}\;$	1114
Σ(1193)	2n,1s	${{1} \over {m_{n}^{2}}}-{{4} \over {m_{n}m_{s}}}\;$	1179
Ξ(1318)	1n2s	${{1} \over {m_{n}^{2}}}-{{4} \over {m_{n}m_{s}}}\;$	1327
Δ(1232)	3n	${{3} \over {m_{n}^{2}}}\;$	1239
Σ(1384)	2n,1s	${{1} \over {m_{n}^{2}}}+{{2} \over {m_{n}m_{s}}}\;$	1381
Ξ(1533)	1n,2s	${{1} \over {m_{s}^{2}}}+{{2} \over {m_{n}m_{s}}}\;$	1529
Ω(1672)	3s	${{3} \over {m_{s}^{2}}}\;$	1682

W powyższej tabeli przyjęto, że:

$m_{n}=m_{u}=m_{d}=363MeV\;$

$m_{s}=538MeV\;$

${{K} \over {m_{n}^{2}}}=50MeV\;$

Opis symetrii izospinowej i wynikająca stąd elektromagnetyczna różnica mas

Masę hadronów jest to suma mas kwarków plus przyczynek pochodzący od oddziaływania pomiędzy kwarkowego w hadronie, tzn. na które wchodzą oddziaływania elektryczne pomiędzy kwarkami i oddziaływania silne pomiędzy tymi samymi obiektami. Rożnica pomiędzy gołą masą hadronu a masa zmniejszenie masy dzięki oddziaływaniu elektrycznym i silnym określamy wzorem stąd wniosek:

$\Delta m_{p}=\Delta m_{\Sigma ^{+}}\;$

(4.52)

$\Delta m_{\Sigma ^{-}}=\Delta m_{\Xi ^{-}}$

(4.53)

$\Delta m_{\Xi ^{0}}=\Delta m_{n}\;$

(4.54)

Jeśli dodamy do sibie obie strony wzorów (4.52), (4.53) i (4.54), co później możemy przepisać to według ogólnego wzoru:

$m_{p}+m_{\Sigma ^{-}}+m_{\Xi ^{0}}=m_{\Sigma ^{+}}+m_{\Xi ^{-}}+m_{n}\;$

(4.55)

co możemy przepisać w troszeczkę innej formie:

$[\underbrace {(m_{p}-m_{n})} _{-1,3MeV}=\underbrace {\underbrace {(m_{\Sigma ^{+}}-m_{\Sigma ^{-}})} _{-8,0MeV}+\underbrace {(m_{\Xi ^{-}}-m_{\Xi ^{0}})} _{+6,4MeV}} _{-1,6MeV}\;$

(4.56)

Podejmując różnicę mas w modelu kwarkowym we wzorze (4.56) należy brać pod uwagę różnicę mas kwarków u i d, przy który masy tych kwarków wskazują na nierówność $m_{d}>m_{u}\;$. Energię elektryczną wiążącą kwarki przy ich oddziaływaniu, wiedząc, że R₀ jest promieniem barionu, tzn.: ${{e^{2}} \over {R_{0}}}={{e^{2}} \over {\hbar c}}{{\hbar c} \over {R_{0}}}\;$, co w tym wzorze oznaczając $\hbar c=197MeV\cdot fm\;$, $R_{0}\simeq 0,8fm\;$, wtedy wielkość ${{e^{2}} \over {R_{0}}}\simeq 2MeV\;$. Także należxy brać pod uwagę energię wiązania kwarków z oddziaływania momentów magnetycznych (nadsubtelnych) kwarków, która jest rzędu: $\left({{e\hbar } \over {mc}}\right)^{2}\left({{1} \over {R_{0}}}\right)^{3}\;$, gdzie m jest masą kwarków,a kwardrat modułu funkcji falowej w stanie poczatkowym $|\psi (0)|^{2}\simeq R_{0}^{-3}\;$, wtedy energia oddziaływania momentów magnetycznych jest bliska rzędu ${{e^{2}} \over {R_{0}}}\;$ i wynosi w przybliżeniu 1 lub 2 MeV. Dopasowując przyczynki we wrzorze (4.56) dostajemy: $m_{d}-m_{u}=2MeV\;$.

Momenty magnetyczne opisujące bariony

Cząstki, które się kwarkami zachowują się jak punktowe cząstki, które zachowują się według równań Diraca, moment dipolowe kwarków możemy napisać:

${\mathfrak {\mu }}_{i}=\left({{e_{i}} \over {2m_{i}}}\right){\mathfrak {\sigma }}_{i}\;$

(4.57)

gdzie $e_{i}\;$, $m_{i}\;$, ${\mathfrak {\sigma }}_{i}\;$ są to odpowiernio ładunek, masa i spin kwarka. Moment magnetyczny naszych hadronów opisujemy poprzez sumę momentów magnetycznych kwarków, który to momenty opisujemy wzorem (4.58). Stan kwarków u w protonie uud możemy opisać w stanie tryppletowym, którego funkcja falowa jest $\chi (J=1,m=0,\pm 1)\;$, a stan trzeciego kwarka d w protonie,tzn. d jest można opisać według stanu $\phi \left({{1} \over {2}},m=\pm {{1} \over {2}}\right)\;$. Jeżeli będziemy opisywali proton to jego funkcja falowa opisana za pomocą współczynników Clebscha-Gordona jest napisana przez:

$\Phi \left({{1} \over {2}},{{1} \over {2}}\right)={\sqrt {{2} \over {3}}}\chi (1,1)\phi \left({{1} \over {2}},-{{1} \over {2}}\right)-{\sqrt {{1} \over {2}}}\chi (1,0)\phi \left({{1} \over {2}},{{1} \over {2}}\right)\;$

(4.58)

We formule (4.58) odpowiada moment magnetyczny $\mu _{d}+\mu _{u}-\mu _{d}\;$, a drugiemu moment magnetyczny $\mu _{d}\;$, zatem wzór opisujący moment magnetyczny protonu piszemy:

$\mu _{d}={{2} \over {3}}\left(2\mu _{u}-\mu _{d}\right)+{{1} \over {3}}\mu _{d}={{4} \over {3}}\mu _{u}-{{1} \over {3}}\mu _{d}\;$

(4.59)

Moment magnetyczny dla neutronu opisujemy przez (4.59), tylko tam należy zamienić u na d i d na u. Moment magnetyczny Σ⁺ piszemy poprzez zamienienie we wzorze (4.59) wielkości μ_d na μ_s, a już dla cząstki Σ^- zamieniamy z μ_d na μ_s oraz poprzez zamienienie μ_s na μ_d. Zakładając, że masy cząstek (kwarków) u (kwark górny) i d są zbliżone(kwark dolny) do siebie, zatem wtedy wzór (4.59) piszemy w troszeczkę uproszczonej postaci dla protonu i neutronu:

$\mu _{n}=-{{2} \over {3}}\mu _{p}\;$

(4.60)

Ustalone wartości momentów magnetycznych hiperonu i protonu są potrzebne do oszacowania mas protonu m_n i kwarka dziwnego m_s. Narysujemy teraz tabelę, którym wartości momentów magmnetycznych są podane w magnetonach jądrowych $\mu ={{e\hbar } \over {2Mc}}\;$, w którym M jest to masa protonu i neutronu uwzględniając, że one w przybliżeniu mają zbliżone masy. Poniższa tabelka przedstawia bariony wraz ze wzorem na moment magmnetyczny barionu w zalezności od momentów magnetycznych poszczególnych kwarków wchodzących w tą cząstkę w jednostkach magnetonu jądrowego, jego wartość przewidywalna i obserwowana też w magnetonach jądrowych.

Barion	Moment magmnetyczny w modelu kwarkowym	Wartość przewidywana w jednostkach momenty jądrowego	Wartość obserwowana w jednostkach momentu magnmetycznego jądrowego
p	${{4} \over {3}}\mu _{u}-{{1} \over {3}}\mu _{d}\;$	2,79	2,793
n	${{4} \over {3}}\mu _{d}-{{1} \over {3}}\mu _{u}\;$	-1,86	-1,913
Λ	$\mu _{s}$	-0,61	-0,614±0,005
Σ+	${{4} \over {3}}\mu _{u}-{{1} \over {3}}\mu _{s}$	2,68	2,46±0,01
Σ-	${{4} \over {3}}\mu _{d}-{{1} \over {3}}\mu _{s}$	-1,04	-1,16±0,03
Ξ0	${{4} \over {3}}\mu _{d}-{{1} \over {3}}\mu _{u}$	-1,44	-1,25±0,014
Ξ-	${{4} \over {3}}\mu _{s}-{{1} \over {3}}\mu _{d}$	-0,51	-0,65±0,01
Ω-	$3\mu _{s}$	-1,84	-2,02±0,05

Jeżeli będziemy dobierać parametry zgodne z doświadczeniem dla protonu i hiperonu, to otrzymujemy m_n=m_u=m_d=336 MeV i m_s=509 MeV.

Kwark lekki i ciężki jako składniki szczególnych wybranych mezonów

W 1974 odkryto mezony, którego składniki będące kombinacjami kwarków lekkich i ciężkich, te mezony, które są powabnymi cząstkami D psełdoskalarnymi J^P=0^-, D⁺($c{\overline {d}}$),D⁰($c{\overline {u}}$),D_s⁺($c{\overline {d}}$), a także te mezony są cząstkami wektorowymi J^P=1^-, którymi są D^**0($c{\overline {u}}$),D_s^*+($c{\overline {s}}$), a także wzbudzenia radialne które opisujemy wzorami J^P=2⁺. Mezony psełdoskalarne ulegają procesom słabych oddziaływań $\Delta C=\pm 1\;$ ze zwykłym czasem życiowym $\tau \simeq 10^{-12}s\;$ rozpadając się na cząstki z zerowym powabem, które ze względu czynnika Cabbibi, one rozpadają się bardziej na mezony dziwne $D^{0}\rightarrow K^{-}\pi ^{+}$. Mezony składające się z kwarka b i z kwarków lekkich dających psełdoskalarne B i wektorowe mezony, wśród których mezony wektorowe są to $B^{*}\left\{B^{+}(u{\overline {b}}),B^{0}(d{\overline {b}}),B_{s}^{0}(s{\overline {b}})\right\}\;$. Mezony rozpadają się za pomocą oddziaływań słabych z czasem życiowym $\tau \simeq 10^{-12}s$, ale ze względu na czynnik Cabbibo bardziej korzystniejsze są rozpady dla przykładu $B^{0}\rightarrow D^{-}\pi ^{+}\;$. Podamy teraz tabelkę symbolizujących rozszczepienia nadsubtelne dla mezonów B i D.

Masa ciężkiego kwarka	Różnica pomiędzy trypletem a singletem	Iloczyn
$M_{c}\simeq 1,86GeV$	$M_{D^{*}}-M_{D}=0,14GeV$	$M_{c}(M_{D^{*}}-M_{D})=0,26GeV^{2}$
$M_{b}\simeq 5,28GeV$	$M_{B^{*}}-M_{B}=0,046GeV$	$M_{b}(M_{B^{*}}-M_{B})=0,24GeV^{2}$

Porównując masy mezonów D i B z najmniejszymi cząstkami budowy materii o róźnych zapachach, to różnica mas mezonów stanów psełdoskalarnych $D_{s}(c{\overline {s}})$, $D(c{\overline {u}})\;$ jest zapisana jako wielkości $M_{D_{s}}-M_{D}=90\pm 3MeV\;$, ale już dla mezonów B piszemy $M_{B_{s}}-M_{B}=90\pm 3MeV\;$.

Kwark szósty z niebywalną dużą masą, który jest kwarkiem top

Kwark szósty odkryto w 1977, ten kwark nazywamy kwarkiem top. Ten kwark ma dużą masę, która wynosi $M\simeq 175GEV$. Został odkryty kolajderze $p{\overline {p}}\;$ w Fermilab w laboratorium przy pomocy wiązek mających zaskakującą dużą masę 1,8 TeV w układzie środka masy. Do wytwarzania $t{\overline {t}}\;$ w zderzeniach $p{\overline {p}}$, gdzie w $t{\overline {t}}\;$ jest kwark i antykwark top, co potem to ulega rozpadowi słabemu według kanału:

$t{\overline {t}}\rightarrow W^{+}b+W^{-}{\overline {b}}\;$

(4.61)

Ten rozpad jest rozpadem ezgoenergetycznych, ponieważ masa kwarka t jest większa od sumy mas kwarka b i bozonu W. Kwarki w (4.61) powstające kwarki b ulegają fragmentacji na dzety hadronowe, ale już bozony W rozpadają się na leptony według (4.62) lub na dżety hadronowe $W\rightarrow Q{\overline {Q}}\;$:

$W\rightarrow e^{+}\nu ,\mu \nu ,\tau \nu \;$

(4.62)