Algebra abstrakcyjna/Podgrupy

Podgrupy

Definicja podgrupy

Niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: dla każdegoa,b należą do G [ab-1 należy do H] i [a+(-b) należy do H].

Twierdzenie o podgrupach

Podzbiór H grupy G jest podgrupą grupy (G,*) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

• (pG1) eH,
• (pG2) a,bH [abH],
• (pG3) aH [a-1H].

Dowód:

) Przypuśćmy, że niepusty podzbiór H grupy G spełnia warunek (pG). Biorąc dowolny element aH, na mocy warunku (pG) otrzymujemy, ze aa-1=eH. Zatem spełniony jest warunek (pG1). Ponieważ eH i aH, więc z warunku (pG) wynika, że ea-1=a-1H. Spełniony jest więc warunek (pG3). Dla dowolnych a,bH równość ab=a(b-1)-1 oraz warunki (pG3) i (pG) pociągają przynależność abH. Zatem warunek (pG2) jest również spełniony.

) oczywiste.

Działanie zawężone do podgrupy

Jeśli zbiór H jest podgrupą grupy G, to zawężenie działania w zbiorze G do podzbioru H jest działaniem w zbiorze H. Co więcej, zbiór H z tym działaniem tworzy grupę Fakt, ze H jest podgrupą grupy G zapisuje się: H<G.

Podgrupy grupy liczb całkowitych

Każda podgrupa grupy Z jest postaci nZ, gdzie nN{0}.

Dowód:

Ponieważ {0}=0Z, więc podgrupa zerowa jest żądanej postaci. Przypuśćmy teraz, że H jest podgrupą niezerową grupy Z. Do H należy więc pewna liczba całkowita m0. Ponieważ z warunku mH wynika, że -mH, więc zbiór liczb naturalnych należących do H nie jest pusty. Niech n będzie najmniejszą liczbą naturalną należącą do H. Wtedy dla każdego kN mamy knH i na mocy warunku (pG3) również każda z liczb –kn należy do H. Zatem nZH. Pokażemy, ze zachodzi też inkluzja przeciwna. Weźmy w tym celu dowolną liczbę aH i podzielmy ją z resztą przez n: a=nq+r, gdzie 0r<n. Ponieważ aH oraz -nqH, więc r=a+(-nq)H. Wobec tego, że n jest najmniejszą liczbą naturalną należącą do H, może jedynie być r=0. Stąd a=nqnZ. Łącząc obie inkluzje dostajemy żądany związek H=nZ.