Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Działania
2 Działania - przykłady
- 2.1 Działania wewnętrzne
- 2.2 Działania zewnętrzne

[edytuj] Działania

[edytuj] Działanie wewnętrzne

Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego AxA w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A (zwany wynikiem działania na elementach a i b).

Jeżeli *:AxA→A jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania $*$ na elementach a,b∈A oznaczamy przez: a*b (nie zaś przez *(a,b) ).

Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: $*, +, \cdot$ . W przypadku użycia symbolu $+$ mówić możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia $\cdot$ o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast $a\cdot b$ piszemy $a b$ .

[edytuj] Działanie zewnętrzne

Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.

[edytuj] Działanie łączne

Mówimy, że działanie $*$ w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c∈A zachodzi równość $(a*b)*c=a*(b*c) \quad$ .

[edytuj] Działanie przemienne

Mówimy, że działanie $*$ w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b∈A zachodzi równość $a*b=b*a \quad$ .

Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.

[edytuj] Działanie rozdzielne

Niech w zbiorze A określone będą działania $*$ oraz $+$ . Mówimy, ze działanie $*$ jest rozdzielne względem działania $+$ , jeśli dla dowolnych $a,b,c\in A$ zachodzą równości:

$a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$ (rozdzielność lewostronna działania $*$ względem działania $+$ ),

$(a + b) * c = (a * c) + (b * c)$ (rozdzielność prawostronna działania $*$ względem działania $+$ ).

[edytuj] Element neutralny

Mówimy, że element $e\in A$ jest elementem neutralnym działania $*$ określonego w A, jeśli dla każdego $a\in A$ zachodzi równość $a * e = e * a = a$ .

Element neutralny działania $*$ w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $e,e'\in A$ były elementami neutralnymi działania $*$ , to: $e = e * e'$ , bo e' jest elementem neutralnym oraz $e' = e * e'$ , bo e jest elementem neutralnym, wobec czego: $e = e'$ .

[edytuj] Element odwrotny

Niech działanie $*$ w zbiorze A ma element neutralny e i niech a∈A. Każdy element b∈A spełniający równość $a * b = b * a = e$ nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a, to oznaczamy go symbolem $a - 1$ . W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy –a. Ponadto, zamiast pisać $a + ( - b)$ piszemy zazwyczaj $a - b$ .

Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.

Ponadto, jeżeli działanie $*$ w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu $a\in A$ , o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem $b,b'\in A$ były odwrotne do a, to: $b' = b' * e = b' * (a * b) = (b' * a) * b = e * b = b$ .

Element neutaralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.

[edytuj] Działania - przykłady

[edytuj] Działania wewnętrzne

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $2 X$ oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania $\cup:2^X\times 2^X\to 2^X$ i $\cap:2^X\times 2^X\to 2^X$ są działaniami wewnętrznymi w $2 X$ . Działania te są łączne, przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania $\cup$ jest $\emptyset$ . Elementem neutralnym względem działania $\cap$ jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne względem tych działań są ich elementy neutralne.

Niech $X = {x}$ będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez $S (X)$ oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej 3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem neutralnym do danej funkcji jest jej funkcja odwrotna.

[edytuj] Działania zewnętrzne

Oznaczmy przez $\mathcal{U}$ zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez $\mathcal{W}$ zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie $f:\mathcal{U}\times\mathcal{W}\to\mathcal{W}$ następująco: dla $A\in\mathcal{U}$ i $B\in\mathcal{W}$ przyjmujemy: $f(A,B)=B\setminus A$ . Funkcja $f$ jest działaniem zewnętrznym w zbiorze $\mathcal{W}$ .