Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 1

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$

Wyrażenie pod znakiem sumy rozkładamy na ułamki proste:

${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}$

Stąd po rozwinięciu wyrażenia na sumę częściową szeregu otrzymujemy:

$S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+...{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}+{\frac {1}{n\cdot (n+1)}}=$

$=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$

Sąsiednie wyrazy redukują się, zatem otrzymujemy ostatecznie:

$S_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$

W granicy do nieskończoności otrzymujemy:

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=1$

Stąd mamy wniosek, że dany szereg jest zbieżny do sumy:

$S=1$