Analiza matematyczna/Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona

W myśl powyższej definicji całkowanie funkcji $f(x)$ polega na znalezieniu jej funkcji pierwotnej. Korzystając z alternatywnego zapisu pochodnej funkcji, powyższe równanie przyjmie postać:

${\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)$

Po obustronnym pomnożeniu przez dx:

$dF(x)=f(x)dx$

Po obustronnym całkowaniu powyższą relację możemy zapisać jako:

$\int dF(x)=\int f(x)dx\,$

$F(x)=\int f(x)dx$

Można zatem powiedzieć z pewnym przybliżeniem, że operacja całkowania jest operacją odwrotną do różniczkowania. Powyższe przybliżenie wynika z faktu, że o ile różniczkowanie jest operacją jednoznaczną, o tyle całkowanie już nie. Funkcja f(x) ma jedną i tylko jedną pochodną f'(x). Natomiast f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotych F(x). Mówimy zatem, że wyznaczamy całkę nieoznaczoną funkcji f(x) z dokładnością do stałej addytywnej C, co zapisujemy jako:

$F(x)+C=\int f(x)dx$

Własności

Najczęściej stosowane i najbardziej użyteczne własności całek to:

• liniowość

Jeśli w funkcji podcałkowej znajduje się czynnik stały, w celu uproszczenia obliczeń możemy tenże czynnik wyciągnąć przed znak operacji całkowania. Przykładowo jeśli daną mamy funkcję $f(x)=Asinx$, gdzie A należy do zbioru liczb rzeczywistych, to jej całkę obliczamy następująco:

$\int {f(x)dx}=\int {A\sin {x}dx}=A\int {\sin {x}dx}=-A\cos {x}+C\quad C\in \mathbb {R}$

• addytywność

Jeśli funkcja podcałkowa jest sumą bądź różnicą wielu funkcji, całkę tejże funkcji możemy rozbić na odpowiednio sumę bądź różnicę całek poszczególnych funkcji, które się na nią składają. W tenże sposób, mając daną funkcję $g(x)=e^{x}-\ln ^{2}{x}+\cos {x}$, jej całka to:

$\int {g(x)dx}=\int {(e^{x}-\ln ^{2}{x}+\cos {x})dx}=\int {e^{x}dx}-\int {\ln ^{2}{x}dx}+\int {\cos {x}dx}=e^{x}-x(\ln {x}(\ln {x}-2)+2)+\sin {x}+C\quad C\in \mathbb {R}$

gdzie $\int {\ln ^{2}{x}dx}$ obliczamy, stosując dwukrotnie całkowanie przez części.

Całkowanie przez części

Wzór na całkowanie przez części wynika bezpośrednio ze wzoru na pochodną z iloczynu funkcji, czyli:

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Obustronnie całkując to wyrażenie, otrzymujemy:

$\int {(f(x)\cdot g(x))'dx}=\int {(f'(x)\cdot g(x))dx}+\int {(f(x)\cdot g'(x))dx}$

$f(x)\cdot g(x)=\int {(f'(x)\cdot g(x))dx}+\int {(f(x)\cdot g'(x))dx}$

Oraz po przeniesieniu właściwych czynników na przeciwną stronę równania:

$\int {(f(x)\cdot g'(x))dx}=f(x)\cdot g(x)-\int {(f'(x)\cdot g(x))dx}$

Otrzymujemy wzór na całkowanie przez części.

Dla przykładu policzymy tą metodą całkę $\int {\ln {x}dx}$. Rozpoczynamy od zauważenia, że możemy ją przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, mianowicie:

$\int {\ln {x}dx}=\int {(1\cdot \ln {x})dx}$

Za pochodną pewnej funkcji, czyli g'(x), przyjmiemy 1. Za drugą funkcję (niezróżniczkowaną) f(x) pozostaje nam więc przyjąć ln(x).

Mając tak dobrane funkcje, przystępujemy do obliczania całki. Rozpoczynamy od obliczenia elementów potrzebnych nam do wzoru na całkowanie przez części, tak więc:

Jeśli $g'(x)=1$, to $g(x)=\int {1\cdot dx}=x$.

Jeśli $f(x)=\ln {x}$, to $f'(x)={\frac {1}{x}}$.

Podstawiając powyższe rachunki do wzoru:

$\int {\ln {x}dx}=\int {(1\cdot \ln {x})dx}=x\cdot \ln {x}-\int {{\frac {x}{x}}dx}=x\cdot \ln {x}-\int {dx}=x\cdot \ln {x}-x=x(\ln {x}-1)+C\quad C\in \mathbb {R}$

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest metodą z reguły wygodniejszą i szybszą od całkowania przez części, trzeba jednak zdawać sobie sprawę z tego, że nie do każdego wyrażenia możliwe jest jej zastosowanie.

Całkując przez podstawienie, podmieniamy jedną z funkcji występujących pod znakiem całki na funkcję prostszą, obliczamy jej pochodną, a następnie całkę z takiego – prostszego – wyrażenia. Przy podawaniu końcowego wyniku powracamy do "starych" oznaczeń.

Na przykładzie:

$\int {{\frac {\ln {x}}{x}}dx}$

Takie wyrażenie możemy z łatwością obliczyć przez podstawienie. Oznaczmy jako $u$ funkcję $\ln {x}$. Tak więc, co wynika z podstaw rachunku różniczkowego, pochodna tego wyrażenia to $du={\frac {dx}{x}}$.

Zauważmy teraz, że wprowadzone nowe zmienne możemy zastosować w podanej całce, bo:

$\int {{\frac {\ln {x}}{x}}dx}=\int {\ln {x}\cdot {\frac {dx}{x}}}=\int {udu}$

Jako że:

$\int {udu}={\frac {1}{2}}u^{2}+C$

to powracając do starych oznaczeń, mamy:

$\int {{\frac {\ln {x}}{x}}dx}={\frac {1}{2}}\ln ^{2}{x}+C$

Trzeba jednak pamiętać, że powodzenie tej metody i to, ile uprości nam rachunki, zależy głównie od tego, pod którą funkcję podstawimy nową zmienną. Jeśli widzimy na samym początku, że funkcji podcałkowej nie da się wyrazić przez iloczyn jednej z funkcji w niej występujących i jej pochodnej, to znaczy, że najprawdopodobniej nie jesteśmy w stanie zastosować metody całkowania przez podstawienie.

Przedstawmy teraz trochę trudniejszy przykład:

$\int {x^{3}e^{x^{2}}dx}$

Na pierwszy rzut oka takiej całki nie da się rozwiązać przez podstawienie. Korzystając z własności działań na potęgach, możemy ją jednak zapisać w sposób następujący:

$\int {x^{3}e^{x^{2}}dx}=\int {xx^{2}e^{x^{2}}dx}$

Wykonamy teraz podstawienie:

$t=x^{2}\quad dt=2xdx\quad xdx={\frac {1}{2}}dt$

Po zastosowaniu go do naszej wejściowej całki otrzymujemy całkę:

$\int {xx^{2}e^{x^{2}}dx}=\int {x^{2}e^{x^{2}}xdx}=\int {te^{t}{\frac {1}{2}}dt}={\frac {1}{2}}\int {te^{t}dt}$

którą rozwiążemy, stosując całkowanie przez części. Tak więc:

$u=t\Rightarrow du=dt$

$dv=e^{t}dt\Rightarrow v=\int {e^{t}dt}=e^{t}$

$\int {te^{t}dt}=te^{t}-\int {e^{t}dt}=te^{t}-e^{t}=e^{t}(t-1)$

Wracając do naszego wejściowego równania, mamy:

${\frac {1}{2}}\int {te^{t}dt}={\frac {1}{2}}e^{t}(t-1)+C$

I powracając do starych zmiennych, czyli podstawiając z powrotem $t=x^{2}$:

${\frac {1}{2}}e^{t}(t-1)+C={\frac {1}{2}}e^{x^{2}}(x^{2}-1)+C$

Całka oznaczona

Całka oznaczona służy do obliczenia pola powierzchni pod wykresem funkcji. W przeciwieństwie do całki nieoznaczonej rozwiązaniem całki oznaczonej jest liczba.

Całka krzywoliniowa nieskierowana

Przykład

$\int _{l}xydl$ , gdzie l jest łukiem elipsy $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ leżącym w I ćwiartce układu współrzędnych

Całka krzywoliniowa skierowana

Przykład

$\int _{C}(3x^{2}y-3y)dx+(x^{3}+y^{3})dy$, gdzie C jest okręgiem o środku (2,0) i promieniu 2