Fizyka wyższa/Energia, pęd i moment pędu pola elektromagnetycznego

Praca pola elektromagnetycznego na cząstce naładowanej

Siła Lorentza

Jeżeli pole elektromagnetyczne jest zadane przez w każdym punkcie przestrzeni przez wektory natężenia elektrycznego i indukcji magnetycznej $\mathbf {E} ,\,\mathbf {B}$ aoraz w polu tym porusza się cząstka naładowana o ładunku $q$ z prędkością $\mathbf {v}$, tp pole działa na cząstkę siłą Lorentza

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

Praca pola elektromagnetycznego

Jeżeli ładunek przemieści się o odcinek $\mathrm {d} \mathbf {l}$ , to pole wykona pracę ${\displaystyle \mathrm {d} W}=\mathbf {F} \ \mathrm {d} \mathbf {l}$. Ponieważ $\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathbf {v} dt$ , to otrzyma się

${\displaystyle \mathrm {d} W}=\mathbf {F} \ \mathrm {d} \mathbf {l}$$=q(\mathbf {E} \mathbf {v} )\ \mathrm {d} t$

Moc pola

Praca wykonana przez pole elektromagnetyczne w objętości $V$ oraz w jednostce czasu czyli moc wynosi

${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,q\,\mathbf {v} \ dV$

lub

${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,\mathbf {j} \,dV$

gdzie

$\mathbf {j} =q\mathbf {v}$ - prąd elektryczny związany z przemieszczeniem cząstki.

Energia pola elektromagnetycznego

Moc promieniowania pola el-m

Korzystając z równań Maxwella moc promieniowania pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci

${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}{\Big (}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}-\mathrm {div} (\mathbf {S} )\ {\Big )}dV$

gdzie

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \mathbf {D} +\mathbf {H} \mathbf {B} )$ - gęstość energii pola elektromagnetycznego

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ - wektor Pointinga

Równanie ciągłości

Energia pola nie zmienia się, jeżeli pole nie oddziałuje z cząstkami naładowanymi. Oznacza to, że

${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=0$

Przyrównując równanie ${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}{\Big (}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}-\mathrm {div} (\mathbf {S} )\ {\Big )}dV$ do zera otrzymuje się tzw. równanie ciągłości

${\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}+\mathrm {div} (\mathbf {S} )=0.$

Równanie ciągłości ma następującą interpretację:

Jeżeli pole nie wymienia energii z cząstkami naładowanymi, to strumień energii $\mathbf {S}$ wypływający z obszaru $dV$ tworzy rodzaj prądu energii, tj. $\mathbf {J} \equiv \mathbf {S}$, taki że dywergencja tego prądu jest równa ilości energii malejącej w obszarze $dV$.

Równanie ciągłości w wersji relatywistycznej można zapisać podobnie jak dla prawa zachowania ładunku

$\partial _{\mu }\mathbf {J} ^{\mu }=0$

gdxzie $\mathbf {J} ^{0}=c{\boldsymbol {\varepsilon }}$

Wektor Pointinga związany jest z gęstością pędu, który niesie samo pole elektromagnetyczne.

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }=\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {S}$

Energia, pęd, moment pędu pola el-m

Klasyczne pole el-m

Pole elektromagnetyczne niesie energię, pęd i moment pędu: dane wzorami

$E_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {el-m} }\ dV$

$P_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }\ dV$

$L_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\lambda }}_{\mathrm {el-m} }\ dV$

gdzie:

${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {el-m} }={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \mathbf {D} +\mathbf {B} \mathbf {H} )$ - gęstość energii pola elektromagnetycznego

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }=(\mathbf {D} \times \mathbf {B} )=\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {S}$ - gęstość pędu pola elektromagnetycznego; $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ - wektor Pointinga

${\boldsymbol {\lambda }}_{\mathrm {el-m} }=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el} }$ - gęstość momentu pędu pola elektromagnetycznego

Kwantowe pole el-m

Powyższe wzory przestają być słuszne dla małych porcji energii pola elektromagnetycznego. W takich sytuacjach ujawnia się dyskretny (kwantowy) charakter pola elektromagnetycznego. Np. w zjawisku fotoelektrycznym pole elektromagnetyczne musi być traktowane jako złożone z kwantów (porcji) energii, przy czym najmniejsza ilość energii jest równa

$E=h\nu$

gdzie $h$ - stała Plancka, $\nu$ - częstotliwość pola elektromagnetycznego

Fakt ten doprowadził do powstania mechaniki kwantowej.