Fizyka dla liceum/Dynamika bryły sztywnej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Wstęp
2 Momenty bezwładności wybranych ciał
3 Twierdzenie Steinera
4 Cechy momentu siły
5 Praktyka
6 Moment pędu
7 Zasady dynamiki ruchu obrotowego
8 Zasada zachowania momentu pędu
9 Przykłady
10 Energia kinetyczna ruchu obrotowego
11 Energia kinetyczna toczącego się ciała

[edytuj] Wstęp

Aby ciało zaczęło się obracać należy podziałać na nie siłą. Efekt działania siły zależy m.in od rozłożenia masy względem osi obrotu bryły.

moment bezwładności - wielkość charakteryzująca rozłożenie masy danego ciała względem jego osi obrotu.

Gdy podzielimy ciało na n nieskończenie małych fragmentów, wzór ma postać:

$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + ... + m_n r_n^2$

Gdzie m - masa fragmentu, zaś r - jego odległość od osi obrotu.

[edytuj] Momenty bezwładności wybranych ciał

pręt - gdy oś obrotu jest osią symetrii pręta:

$I = \frac {1}{12} ml^2$

- gdy oś obrotu jest prostopadła i przechodzi przez koniec pręta:

$I = \frac {1}{3}ml^2$

rura cienkościenna

$\, I = m r ^ 2$

rura grubościenna

$I = \frac {1}{2}m(R^2 + r^2)$

walec/krążek

$I = \frac {1}{2}mr^2$

kula

$I = \frac {2}{5}mr^2$

[edytuj] Twierdzenie Steinera

Jeżeli bryła sztywna o znanym momencie bezwładności obraca się względem innej osi niż oś przechodząca przez środek ciężkości to wtedy jej moment bezwładności określa związek:

$\,I = I_0 + md^2$

d - odległość rzeczywistej osi obrotu od osi przechodzącej przez środek ciężkości

Na ruch obrotowy bryły sztywnej ma wpływ siła wprawiająca w ruch bryłę i jej odległość od osi obrotu.

Wielkością od której zależy ruch obrotowy bryły sztywnej jest moment siły.

Moment siły jest wektorem.

[edytuj] Cechy momentu siły

Moment siły jest wynikiem mnożenia wektorowego wektora wodzącego i wektora siły

$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$

wartość

$\,M = r F \sin{\alpha}$

kierunek

Jest prostopadły do płaszczyzny otworzonej przez wektor wodzący i wektor siły

zwrot

Jest określony regułą śruby prawoskrętnej.

[edytuj] Praktyka

Wartość momentu siły jest iloczynem siły i odległości jej wektora od osi obrotu:

$M = F r$

[edytuj] Moment pędu

wartość

Iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej:

$L = I ω$

kierunek

Prostopadły do płaszczyzny obrotu bryły.

zwrot

Zgodny z regułą śruby prawoskrętnej.

[edytuj] Zasady dynamiki ruchu obrotowego

Jeżeli wypadkowy moment sił działających na ciało jest równy 0 to bryła pozostaje w spoczynku lub obraca się ze stałą prędkością kątową.

Przyspieszenie kątowe zależy wprost proporcjonalnie od wypadkowego momentu sił i odwrotnie proporcjonalnie od momentu bezwładności bryły:

$\epsilon = \frac{M\omega}{I}$ [ $\frac {1}{s^2}$ ]

$\,V = \omega r$

$\,a = \epsilon r$

[edytuj] Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, lub działające momenty sił równoważą się, pozostaje stały.

[edytuj] Przykłady

Przeanalizuj ruch szpulki od nici ciągniętej za nitkę nawiniętą przez szpulkę. (bez poślizgu)

[trzy obrazki]

[edytuj] Energia kinetyczna ruchu obrotowego

$E_k = \frac {I\omega^2}{2}$

I - moment bezwładności

$ω$ - prędkość kątowa

Energie kinetyczne ruchu obrotowego wybranych ciał (bez poślizgu).

walec $E_k = \frac {\frac{1}{2}mr^2\omega^2}{2} = \frac {mV^2}{4}$
kula $E_k = \frac {\frac{2}{5}mr^2 \frac{V^2}{r^2}}{2} = \frac{mV^2}{5}$

[edytuj] Energia kinetyczna toczącego się ciała

Energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego:

$\, E_k = E_{k_p} + E_{k_o} = \frac {mV^2}{2} + \frac {I_0\omega^2}{2} = \frac {m\omega^2R^2}{2} + \frac {I_0\omega^2}{2} = \frac {(I_0+mR^2)\omega^2}{2}$

dla kuli

$E_k = \frac {7mV^2}{10}$

dla walca

$E_k = \frac {3mV^2}{4}$