Liczby zespolone/Moduł liczby

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Moduł liczby zespolonej

Wartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - określającą odległość liczby od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują się dwie liczby: +4 oraz -4.

Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi . O ile tylko potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej Re, ale również względem początku osi urojonej Im, w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego .

Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: a równej części rzeczywistej i b równej części urojonej . Wartość bezwzględna będzie określała odległość od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z Twierdzenia Pitagorasa, dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c: c² = a² + b². Skoro wartość c równa jest odległości liczby z od punktu (0,0) - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną | z | :

(wzór na odległość punktu od początku płaszczyzny liczb zespolonych )

Modułem liczby zespolonej | z | (wartością bezwzględną liczby zespolonej ) nazywamy jej odległość od początku układu współrzędnych, określoną wzorem: (moduł liczby zespolonej to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej)

Stąd też można napisać, że:

({{{2}}})

[edytuj] Własności modułu

Moduł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:

1. Moduł liczby zespolonej , sprzężonej , i przeciwnej :

   

2. Kwadrat modułu liczby zespolonej:

   ,

3. Moduł iloczynu liczb zespolonych:

   ,

4. Moduł ilorazu liczb zespolonych:

   ,  o ile ,

Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:

1. Moduł sumy liczb zespolonych:

   ,

2. Moduł różnicy liczb zespolonych:

   ,

3. Moduł części rzeczywistej:

   ,

4. Moduł części urojonej:

   ,