Mechanika kwantowa

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Mechanika kwantowa

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Podstawy mechaniki kwantowej 

 1

Teoria atomu wodoru Bohra 

 2

Teoria atomu wodoru Sommerfelda 

 3

Zjawisko Comptona 

 4

Postulat zerowy mechaniki kwantowej 

 5

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej 

 6

Komutacja operatorów fizycznych 

 7

Postulat drugi mechaniki kwantowej 

 8

Zaawansowane własności funkcji kulistych 

 9

Postulat trzeci mechaniki kwantowej 

 10

Postulat czwarty mechaniki kwantowej 

 11

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych 

 12

Równanie Ehrenfesta 

 13

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera 

 14

Cząstki o spinie połówkowym 

 15

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek 

 16

Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej 

 17

Kwantowy oscylator harmoniczny 

 18

Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana 

 19

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu 

 20

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca 

 21

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu 

 22

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów 

 23

Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej 

 24

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona 

 25

Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca 

 26

Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca 

 27

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca 

 28

Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a 

 29

Symetria cechowania transformacji ładunkowej 

 30

Funkcje Greena w teorii kwantów 

 31

Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje 

 32

Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego 

 33

Zasada wariacyjna Schwingera 

 34

Mechanika kwantowa zajmuje się opisem obiektów bardzo małych, których rozmiary są porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie'a. Ten dział fizyki dzielimy na mechanikę kwantową klasyczną, opisującą ciała bardzo małe i o prędkościach o wiele mniejszych od prędkości światła, a także na mechanikę relatywistyczną, opisującą ciała bardzo małe dodatkowo z prędkościami o porównywalnymi z prędkością światła. Natomiast mechanikę relatywistyczną dzielimy na mechanikę Klieina-Gordona opisujących cząstki bez spinu, a także na mechanikę Diraca opisujących elektrony.

Spis treści

Podstawy mechaniki kwantowej

• 1Zasada Huygensa
• 2Dualizm korpuskularno-falowy
• 3Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali
• 4Efekt fotoelektryczny
• 5Fale de Broglie'a
• 6Ciało doskonale czarne według Plancka
  • 6.1Prawo Stefana-Boltzmanna
  • 6.2Prawo przesunięć Wiena
• 7Paczki falowe w nowej teorii kwantów
• 8Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu Plancka
• 9Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii

Teoria atomu wodoru Bohra

• 1Teoria nierelatywistyczna Bohra atomów wodoropodobnych
  • 1.1Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych
  • 1.2Wyprowadzenie wzoru Rydberga
  • 1.3Serie w atomie wodoru

Teoria atomu wodoru Sommerfelda

• 1Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda
  • 1.1Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Zjawisko Comptona

Postulat zerowy mechaniki kwantowej

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

• 1Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej
• 2Kwadrat całkowitego operatora pędu
• 3Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym
• 4Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E
  • 4.1Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E
  • 4.2Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E
• 5Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
• 6Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym
• 7Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie
• 8Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym
• 9Operator momentu pędu
• 10Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych
• 11Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych
• 12Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu
• 13Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Komutacja operatorów fizycznych

• 1Komutacja współrzędnych operatora położenia
• 2Komutacja współrzędnych operatora pędu
• 3Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu
• 4Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu
• 5Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu
• 6Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu
• 7Komutacja operatorów ciąg dalszy

Postulat drugi mechaniki kwantowej

• 1Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej
• 2Zagadnienie własne operatora położenia
• 3Zagadnienie własne operatorów pędu
• 4Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej
• 5Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu
• 6Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej
• 7Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej
• 8Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej
• 9Atom wodoru w mechanice kwantowej

Zaawansowane własności funkcji kulistych

• 1Własności funkcji kulistych
• 2Elementy macierzowe operatorów momentu pędu
• 3Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Postulat trzeci mechaniki kwantowej

• 1Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej
• 2Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej
• 3Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretno-ciągłej
• 4Wartość średnia w mechanice kwantowej
• 5Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów
  • 5.1Baza dyskretna
  • 5.2Baza ciągła
  • 5.3Baza dyskretno-ciągła
• 6Interpretacja funkcji falowej
• 7Reprezentacja położeniowa i pędowa
• 8Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

• 1Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu
  • 1.1Rozważania ogólne
  • 1.2Dowód niepełny
  • 1.3Dowód pełny
• 2Nieoznaczność czasu i energii (dowód)
• 3Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu
• 4Operator ewolucji
• 5Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej
• 6Charakter falowy funkcji stanu

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

• 1Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
• 2Cząstka w skończonej studni potencjału
  • 2.1Stany związane
    • 2.1.1Współczynniki rozwiązań parzystych
    • 2.1.2Współczynniki rozwiązań nieparzystych
    • 2.1.3Funkcje parzyste i nieparzyste
    • 2.1.4Normowanie funkcji parzystych
    • 2.1.5Normowanie funkcji nieparzystych
    • 2.1.6Energie własne stanów związanych
    • 2.1.7Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału
  • 2.2Stany rozproszeniowe
    • 2.2.1Współczynnik odbicia i transmisji
    • 2.2.2Rezonanse
    • 2.2.3Dyskusja o energiach rezonansowych dla rozpraszania niskoenergetycznego
    • 2.2.4Rozpraszanie niskoenergetyczne
    • 2.2.5Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki
    • 2.2.6Szerokość rezonansów

Równanie Ehrenfesta

• 1Równanie Ehrenfesta
• 2Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego
• 3Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Cząstki o spinie połówkowym

• 1Moment magnetyczny, a spin
• 2Warunki komutacji operatorów spinu
  • 2.1Ogólne warunki komutacji spinu
• 3Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego
• 4Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego
  • 4.1Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego
  • 4.2Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego
• 5Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego
  • 5.1Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego
  • 5.2Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego
• 6Wyznaczanie macierzy Pauliego
  • 6.1Postać macierzy Pauliego σ_x
  • 6.2Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego
  • 6.3Postacie trzech macierzy Pauliego σ_x, σ_y i σ_z
  • 6.4Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
• 7Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego
  • 7.1Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σ_i
  • 7.2Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σ_i
• 8Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ₊, σ_- i σ₀
  • 8.1Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ₊, σ_- i σ₀
    • 8.1.1Szczególne warunki komutacji macierzy σ₊, σ_- i σ₀
  • 8.2Własności działania operatorów σ₊, σ_- i σ₀ na wektory pionowe dwuwymiarowe χ₁ i χ₂

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

• 1Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju
  • 1.1Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych
  • 1.2Przypadek układu n cząstek kwantowych

Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Kwantowy oscylator harmoniczny

• 1Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny
  • 1.1Zamiana zmiennych
  • 1.2Rozwiązania asymptotyczne
  • 1.3Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego
  • 1.4Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej
  • 1.5Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego
• 2Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny
  • 2.1Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
  • 2.2Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra
  • 2.3Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra
  • 2.4Wartości własne energii własnych
  • 2.5Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego
  • 2.6Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita

Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

• 1Własności wektorów "bra" i "ket"
• 2Operatory w przestrzeni Hilberta
• 3Zagadnienie własne operatorów hermitowskich
• 4Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej
• 5Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej
• 6Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretno-ciągłej
• 7Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym
• 8Wektory i wartości własne w widmie ciągłym
• 9Wprowadzenie do transformacji unitarnej

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

• 1Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona
  • 1.1Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona
  • 1.2Tabela współczynników Clebscha-Gordona
• 2Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah
• 3Model jednocząstkowego momentu magnetycznego
• 4Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym
  • 4.1Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego
  • 4.2Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

• 1Zasada superpozycji stanów
• 2Zespoły czyste i mieszane
• 3Obrazy według Schrödingera i Heisenberga
• 4Operatory kreacji i anihilacji
  • 4.1Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów
    • 4.1.1Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie
    • 4.1.2Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji
      • 4.1.2.1Fermiony
      • 4.1.2.2Bozony
    • 4.1.3Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy
    • 4.1.4Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów
    • 4.1.5Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji
  • 4.2Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów
  • 4.3Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

• 1Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania
• 2Obroty, a prawo zachowania momentu pędu
• 3Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu
• 4Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

• 1Równania mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona
• 2Wyprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznej Kleina-Gordona zależnego i niezależnego od czasu
  • 2.1Dowód niepełny
  • 2.2Dowód pełny
• 3Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona
• 4Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona
• 5Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca

• 1Linearyzacja Hamiltonianu
  • 1.1Linearyzacja operatora energii relatywistycznej bez uwzględnienia pola magnetycznego
  • 1.2Linearyzacja operatora energii relatywistycznej z uwzględnieniem pola magnetycznego
    • 1.2.1Definicja operatorów σ_i
    • 1.2.2Przedstawienie w postaci wektorowej operatorów σ_i w zależności od iloczynu wektorowego dwóch takich samych wektorów α zbudowanej jako wektor operatorów α_i
    • 1.2.3Macierzowe przedstawienie operatorów β, α_x, α_y i α_z
    • 1.2.4Macierzowe przedstawienie operatorów σ_x, σ_y i σ_z
    • 1.2.5Komutacja operatorów α_i
    • 1.2.6Antykomutacja operatorów α_i
    • 1.2.7Antykomutacja operatorów α_i z operatorem β
    • 1.2.8Operatory σ_i jako operatory hermitowskie
    • 1.2.9Antykomutacja operatorów σ_i
    • 1.2.10Komutacje operatorów σ_i
    • 1.2.11Dalsze rozważania na temat operatora Hamiltonianu
• 2Pełne równanie Diraca z uwzględnieniem pól elektrycznych, magnetycznych i innych

Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca

• 1Równanie własne pewnego operatora występującego w definicji operatora energii relatywistycznej
• 2Dowód niepełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej
• 3Dowód pełny wyprowadzenia operatora energii relatywistycznej
• 4Równanie własne operatora energii (hamiltonianu Diraca) dla słabych i małych zmian pola magnetycznego
  • 4.1Dowód niepełny
  • 4.2Dowód pełny
• 5Dowód operatora energii relatywistycznej Diraca, że jego przedstawienie jest dokładne z układu dla punktu, w którym dla pola magnetycznego jego indukcja i jego zmiany są małe
• 6Równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca

Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca

• 1Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu (q=e)
• 2Prawo zachowania momentu pędu, a spin elektronu w teorii Diraca, w zerowym polu elektrycznym i magnetycznym
• 3Atom wodoru według teorii Diraca
• 4Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca
• 5Stany elektronu o ujemnej energii, a istnienie pozytonu

Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

• 1Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona
• 2Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian
• 3Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej
• 4Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian
• 5Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian
• 6Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów

Symetria cechowania transformacji ładunkowej

• 1Globalna symetria cechowania czyli obrót o kąt niezależny od położenia
• 2Lokalna symetria cechowania czyli obrót o kąt zależny od położenia
• 3Maxwellowskie pole elektromagnetyczne, a lokalna symetria cechowania
• 4Lagrangian Diraca, a lokalna symetria cechowania z polem elektromagnetycznym

Funkcje Greena w teorii kwantów

• 1Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera
• 2Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje

• 1Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity
• 2Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna
• 3Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...
  • 3.1Rozwinięcie funkcji rozwiązania operatora energii kinetycznej
  • 3.2Asymptotyczne rozwinięcie funkcji falowej rozwiązania Hamiltonianu

Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego

• 1Całkowity moment pędu kwantu pola elektromagnetycznego a jego obroty
• 2Wyznaczenie macierzy spinowych kwantów pola elektromagnetycznego
• 3Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu

Zasada wariacyjna Schwingera

• 1Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera
• 2Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona
• 3Zasada wariacyjna, a pole Diraca
• 4Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.