Mechanika kwantowa/Postulat drugi mechaniki kwantowej

Postulat drugi mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Postulat drugi mechaniki kwantowej (Pos.  8.1)
Jedynymi możliwościami pomiarów danej wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator hermitowski P dane są przez wartości własne operatora, czyli przez równanie:

$P\psi _{\lambda \mu }=p_{\lambda }\psi _{\lambda \mu }\;$

(8.1)

Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej

Rozwiązaniami równania własnego (8.1) są funkcje całkowalne z kwadratem, czyli spełniające warunek konieczny:

$\lim _{|{\vec {r}}|\rightarrow \infty }\psi ({\vec {r}},t,p_{\lambda })=0\;$

(8.2)

W przypadku, gdy rozwiązaniem równania (8.1) jest policzalna baza inaczej dyskretna, to ortogonalizacja funkcji własnych tegoż równania, jest to normowanie do jedynki dla tego samego parametru własnego, a dla różnych funkcji własnych są do siebie prostopadłe, czyli przeprowadzamy normowanie do delty Kroneckera:

$\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}\psi ^{*}({\vec {r}},t,p_{\lambda _{1}})\psi ({\vec {r}},t,p_{\lambda _{2}})d^{3}{\vec {r}}=\delta _{p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}}\;$

(8.3)

W przypadku, gdy rozwiązaniem równania (8.1) jest baza równoliczna ze zbiorem liczb rzeczywistym inaczej ciągła, to normowania funkcji własnych tegoż równania względem rozważanego parametru, jest to normowanie do delty Diraca:

$\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}\psi ^{*}({\vec {r}},t,p_{\lambda _{1}})\psi ({\vec {r}},t,p_{\lambda _{2}})d^{3}{\vec {r}}=\delta ^{n}(p_{\lambda _{1}}-p_{\lambda _{2}})\;\;$

(8.4)

• "n" jest to wymiar przestrzeni, do której należy wektor, którego wartość własna jest p_λ1 lub p_λ2, wymiar tej przestrzeni może być jeden, mamy wtedy do czynienia ze skalarami.

Delta Diraca jest omówiona w książce do metod matematycznych z fizyki, a w nim module "Dystrybucje jako funkcje uogólnione". Natomiast w tymże rozdziale jest powiedziane, że funkcję Diraca δⁿ(p_λ1-p_λ2) całkujemy po parametrze p_λ1 lub p_λ2, gdy parametry własne są skalarami, gdy wektorami, to całkowanie jest po infinitezymalnym elemencie przestrzeni n-wymiarowej, co którymi są parametry własne iluś tam wymiarowego wektora parametru własnego, jak się przekonamy, że ona jest unormowana do jedynki. Warunek (8.2) musi być spełniony, by był spełniony warunek normowania funkcji własnych rozwiązania równania (8.1) wyniku procesu ortogonalizacji (8.3) lub (8.4).

Zagadnienie własne operatora położenia

Operatorem położenia dla współrzędnej iksowej, podobnie jest dla współrzędnej igrekowej i zetowej, jest to operator mnożenia przez liczbę rzeczywistą zdefiniowanej wedle schematu:

$x\cdot \;$

(8.5)

Zagadnienie własne operatora położenia iksowego położenia (8.5) definiujemy podobnie jak w schemacie (8.1), to równanie dla uproszczenia zależy tylko od zmiennej iksowej i od wartości własnej $\xi \;$ i przedstawia się on:

$x\cdot \psi (x)=\xi \psi (x)\;$

(8.6)

• gdzie wartość własna ξ jest wartością własną operatora x⋅.

Z równania własnego (8.6) mamy równanie wynikowe wedle sposobu:

$(x-\xi )\psi =0\;$

(8.7)

Z równania (8.7) wynikają dwa różne przypadki, tzn. pierwszy

$\psi (x)\neq 0\;$ dla $x=\xi \;$

(8.8)

• oraz drugi inny od poprzedniego przypadek

$\psi (x)=0\;$, dla $x\neq \xi \;$

(8.9)

Te dwa przypadki dla funkcji własnej należy połączyć w jeden przypadek, w tym celu dla warunku, która zawsze jest równa zero dla punktu różnego od ξ, dla równego ξ funkcja ψ(x) przyjmuje wartość nieskończoną, a więc przyjmijmy osobliwą funkcję, która w jednym punkcie jest nie równa zero, czyli (8.8), a w pozostałych punktach jest równa zero, czyli (8.9). Nazwijmy ją funkcją Diraca. Jako osobliwą funkcję, które spełniają te dwa powyższe warunki dla różnego x, należy przyjąć funkcję Diraca, tzn.:

$\psi (x)=\delta (x-\xi )\;$

(8.10)

Jak zobaczymy tę funkcję da się unormować do jedynki. Funkcję Diraca (8.10) ma właściwości przestawione w punkcie (MMF-12.1).

Zagadnienie własne operatorów pędu

Wyznaczmy równanie własne i z niego wynikające funkcje i wartości własne dla operatora pędu (6.11) wedle schematu (8.1) w mechanice kwantowej. Równanie własne współrzędnej operatora pędu zapisujemy wedle schematu:

${\hat {p}}_{i}\psi (x_{i})=p\psi (x_{i})\;$

(8.11)

A równanie własne (8.11) po rozpisaniu według definicji współrzędnej i-tego operatora pędu (6.11) przyjmuje postać:

$-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{i}}}\psi (x_{i})=p\psi (x_{i})\;$

(8.12)

Dzielimy obustronnie równanie (8.12) przez liczbę urojoną $-i\hbar \;$ oraz wykorzystując fakt, że mamy na jednostkach urojonych własność $-{{1} \over {i}}=i\;$, otrzymujemy:

${{\partial } \over {\partial x_{i}}}\psi (x_{i})={{i} \over {\hbar }}p\psi (x_{i})\;$

(8.13)

Rozwiązaniem równanie różniczkowego (8.13), która jest funkcją wprost proporcjonalną do funkcji eksponecjalnej o stałej eksponecjalnej o pewnej niezerowej stałej A:

$\psi (x_{i})=Ae^{{{i} \over {\hbar }}px_{i}}\;$

(8.14)

Weźmy podstawienie, które zdefiniujemy jako liczba falowa przedstawiona za pomocą wartości własnej równania własnego (8.11), którego spotkaliśmy go w teorii dotyczącej teorii fal de Broglie'a (1.25).

${{p} \over {\hbar }}=k\;$

(8.15)

Zatem funkcja własna (8.14), na podstawie przedstawienia liczby falowej "k" poprzez pęd naszej cząstki (8.15), przyjmuje kształt:

$\psi (x_{i})=Ae^{ikx_{i}}\;$

(8.16)

Przeprowadzimy proces ortonormalizacji funkcji własnej (8.16), całka po nieskończonej przestrzeni rzeczywistej, do delty Diraca:

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{k_{1}}^{*}(x_{i})\psi _{k_{2}}(x_{i})dx_{i}={\overline {A}}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(k_{2}-k_{1})X}={\overline {A}}^{2}\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}e^{i(k_{2}-k_{1})x_{i}}={\overline {A}}^{2}\lim _{a\rightarrow \infty }\left\{{{e^{i(k_{2}-k_{1})x}} \over {i(k_{2}-k_{1})}}{\Big |}_{-a}^{a}\right\}=\;$
$={\overline {A}}^{2}\lim _{a\rightarrow \infty }{{2\sin(k_{2}-k_{1})a} \over {k_{2}-k_{1}}}={\overline {A}}^{2}\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin(k_{2}-k_{1})a} \over {(k_{2}-k_{1})\pi }}2\pi ={\overline {A}}^{2}2\pi \delta (k_{2}-k_{1})\;$

(8.17)

Z warunku normalizacji wyznaczmy stałą A, wedle końcowego wyniku w (8.17) występującą we funkcji własnej równania własnego operatora pędu napisanego w punkcie (8.16), w której można wyznaczyć właśnie tą stałą:

${\overline {A}}^{2}2\pi =1\Rightarrow A={(2\pi )}^{-{{1} \over {2}}}\;$

(8.18)

A zatem funkcją własną, wykorzystując obliczoną stałą według (8.18), jest funkcją unormowana do delty Diraca przedstawiona wedle schematu:

$\psi (x_{i})={(2\pi )}^{-{{1} \over {2}}}e^{ikx_{i}}\;$

(8.19)

Mówiąc ogólnie, funkcja własna względem położenia ${\vec {r}}\;$ w przestrzeni trójwymiarowej, jest równa iloczynowi funkcji własnych dla każdej współrzędnych operatora pędu, jest przedstawia w sposób:

$\psi ({\vec {r}})=\psi (x_{1})\psi (x_{2})\psi (x_{3})=(2\pi )^{-{{3} \over {2}}}e^{ik_{1}x_{1}}e^{ik_{2}x_{2}}e^{k_{3}x_{3}}=(2\pi )^{-{{3} \over {2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\;$

(8.20)

Rozważmy teraz ograniczony przypadek do poprzedniego, który był nieskończony po całej przestrzeni rzeczywistej, jak rozważaliśmy dotychczas. Gdy na osi iksowej cząstka porusza się od -L do L, a nie w nieskończonej przestrzeni, zatem powinien zachodzić warunek, że funkcja powinna mieć takie same wartości na jego końcach tego przedziału ze względu na hermitowskość operatora współrzędnej pędu:

$\psi (L)=\psi (-L)\;$

(8.21)

Korzystając z własności funkcji własnej ψ(x_i) (8.16) równania własnego (8.12), na których końcach rozważanego przedziału spełnia on warunek:

$e^{ikL}=e^{-ikL}\;$

(8.22)

Na podstawie własności eksponensu według (8.22), a co z kolei wynika z własności funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus, zatem możemy udowodnić, że zachodzi własność zależności od dowolnej liczby całkowitej n i długości połowy przedziału L:

$ikL=-ikL+2in\pi \Rightarrow kL=n\pi \;$

(8.23)

Na podstawie równania (8.23) liczba falowa k powinna mieć wartości dyskretne w zależności od połowy długości naszego przedziału, po którym może się poruszać nasza rozważana cząstka:

$k={{\pi } \over {L}}n\;$

(8.24)

Wartość pędu (8.15), z której wyliczymy wartość własna pędu, a także do niej podstawimy wzór na skwantowaną liczbę falową (8.24), mamy:

$p=\hbar k={{\pi \hbar } \over {L}}n\;$, gdzie $n=0,\pm 1,\pm 2,...\;$

(8.25)

Sprawdźmy, czy funkcja własna (8.16) dla różnych liczb falowych jest ortogonalna, czy jest sama do siebie unormowana, że można udowodnić ponad wszelką wątpliwość:

$\int _{-L}^{L}\psi _{k_{1}}^{*}(x_{i})\psi _{k_{2}}(x_{i})={\overline {A}}^{2}\int _{-L}^{L}e^{i(k_{2}-k_{1})x_{i}}={\overline {A}}^{2}\int _{-L}^{L}e^{ix_{i}{{(n_{2}-n_{1})\pi } \over {L}}}\;$

(8.26)

Gdy zachodzi n₂=n₁, co pociąga za sobą warunek równości dwóch liczb falowych k₁=k₂, czyli mamy warunek normowania funkcji:

$\int _{-L}^{L}\psi _{k_{1}}^{*}(x_{i})\psi _{k_{2}}(x_{i})={\overline {A}}^{2}\int _{-L}^{L}1={\overline {A}}^{2}2L\;$

(8.27)

Gdy mamy n₁≠n₂, co pociąga za sobą różność dwóch liczb falowych k₁≠k₂ zdefiniowanych wedle (8.24), czyli mamy warunek ortogonalizacji dwóch funkcji falowych dla dwóch różnych liczb falowych:

$\int _{-L}^{L}\psi _{k_{1}}^{*}(x_{i})\psi _{k_{2}}(x_{i})={\overline {A}}^{2}\int _{-L}^{L}e^{ix_{i}{{(n_{2}-n_{1})\pi } \over {L}}}={\overline {A}}^{2}{e^{ix_{i}{{(n_{2}-n_{1})\pi } \over {L}}}}|_{-L}^{L}{{L} \over {i(n_{2}-n_{1})\pi }}={\overline {A}}^{2}(e^{i(n_{2}-n_{1})\pi }-e^{-i(n_{2}-n_{1})\pi }){{L} \over {i(n_{2}-n_{1})\pi }}=\;$
$={\overline {A}}^{2}2\sin[(n_{2}-n_{1})\pi ]{{L} \over {(n_{2}-n_{1})\pi }}=0\;$

(8.28)

Na podstawie (8.27) (warunek normalizacyjny) i (8.28) (warunek ortogonalizacyjny), mówiąc ogólnie mamy warunek wyraźmy łączący te dwa wariantny przy pomocy normowania do delty Kroneckera pisząc je:

$\int _{-L}^{L}\psi _{k_{1}}^{*}(x_{i})\psi _{k_{2}}(x_{i})={\overline {A}}^{2}2L\delta _{k_{1}k_{2}}\;$

(8.29)

Według (8.29) możemy wyznaczyć stałą normalizacyjną jako:

${\overline {A}}^{2}2L=1\Rightarrow A={(2L)}^{-{{1} \over {2}}}\;$

(8.30)

Funkcja własna (8.16) na podstawie stałej normalizacyjnej, która jest zależna od długości rozważanego przedziału 2L wyznaczonej za pomocą końcowego wynikowego równania (8.30), jest równa:

$\psi (x_{i})=(2L)^{-{1 \over 2}}e^{ikx_{i}}\;$

(8.31)

Funkcja własna równania własnego operatora pędu napisanej dla argumentu wektora ${\vec {r}}\;$, który jest położeniem w przestrzeni trójwymiarowej, jest napisana jako iloczyn funkcji falowych dla każdej współrzędnej z osobna, które są funkcjami własnymi tychże współrzędnych, w sposób

$\psi ({\vec {r}})=(2L)^{-{3 \over 2}}e^{-i{\vec {k}}{\vec {r}}}\;$

(8.32)

A określone współrzędne liczby falowej ${\vec {k}}\;$ według wzoru (8.24) są równe:

$k_{i}={{\pi } \over {L}}n_{i}\;$

(8.33)

Czyli współrzędne liczby falowej są wielkościami dyskretnymi, ogólnie dla przestrzeni trójwymiarowej wektor liczby falowej też jest wielkością dyskretną, więc ten wektor jest wprost proporcjonalny do wektora będących trójką liczb naturalnych:

${\vec {k}}={{\pi } \over {L}}[n_{1},n_{2},n_{3}]\;$

(8.34)

Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa, a więc pęd cząstki w tym przypadku jest wielkością ciągłą dla nieskończonej przestrzeni trójwymiarowej, a także jest wielkością dyskretną (skwantowaną) dla przestrzeni ograniczonej we wszystkich wymiarach.

Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej

Równanie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej wygląda:

${\hat {l}}_{z}\psi (\theta )=\lambda _{z}\psi (\theta )\;$

(8.35)

Wykorzystując definicję zetowej momentu pędu według (6.47) we współrzędnej kulistej, dostajemy równanie różniczkowe:

$-i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial \theta }}=\lambda _{z}\psi \Rightarrow {{\partial \psi } \over {\partial \theta }}={{i\lambda _{z}} \over {\hbar }}\psi \;$

(8.36)

Wprowadźmy nową liczbę kwantową, która jest liczona z dokładnością do stałej kreślonej Plancka oznaczonej przy pomocy współrzędnej zetowej momentu pędu.

${{\lambda _{z}} \over {\hbar }}=m\;$

(8.37)

A zatem nasze równanie własne (8.36) mając tożsamość (8.37), która przestawia się jako wzór na wartość własną operatora zetowego momentu pędu.

${{\partial \psi } \over {\partial \theta }}=im\psi \;$

(8.38)

Rozwiązanie równania (8.38) w postaci funkcji własnych równania (8.35) przy definicji nowej liczby kwantowej m (8.37) zapisujemy:

$\psi (\theta )=Ae^{im\theta }\;$

(8.39)

Aby równanie (8.39) było samo ze sobą zgodna powinien on spełniać warunek:

$\psi (\theta )=\psi (2\pi +\theta )\;$

(8.40)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie własne (8.39) według warunku na wartości kąta, które powstają, jeśli do tego kąta dodamy wielokrotność liczby 2π, to nie powinno się wcale zmieniać wartości funkcji falowej (8.39), czyli powinien zachodzić schemat (8.40):

$Ae^{im\theta }=Ae^{im(2\pi +\theta )}\Rightarrow 1=e^{im2\pi }\;$

(8.41)

Równanie (8.41) możemy zapisać równoważnie:

$m2\pi =2\pi n\Rightarrow m=n\;$

(8.42)

Z równania dyskretnego (8.42) wynika, że liczby dyskretne m mają wartości m=0,±1,±2,.... Dochodzimy więc do wniosku, że zetowe wartości własne momentu pędu są skwantowane, czyli zetowy moment pędu możemy wyprowadzić z tożsamości (8.37):

$\lambda _{z}=\hbar m\;$

(8.43)

Wyznaczmy stałą A z (8.39) przy pomocy całki, którą całkujemy względem kąta azymutalnego w przedziale od zera do 2π, ale najpierw dokonajmy obliczeń ogólnych:

$\int _{0}^{2\pi }\psi _{m_{1}}^{*}\psi _{m_{2}}d\theta ={\overline {A}}^{2}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m_{2}-m_{1})\theta }d\theta \;$

(8.44)

Gdy m₂=m₁, to równanie (8.44) jest w postaci:

$\int _{0}^{2\pi }\psi _{m_{1}}^{*}\psi _{m_{2}}d\theta ={\overline {A}}^{2}\int _{0}^{2\pi }1d\theta ={\overline {A}}^{2}2\pi \;$

(8.45)

A teraz, gdy m₂≠m₁, to równanie (8.44) przyjmuje postać:

$\int _{0}^{2\pi }\psi _{m_{1}}^{*}\psi _{m_{2}}d\theta ={\overline {A}}^{2}{{e^{i(m_{2}-m_{1})\theta }} \over {i(m_{2}-m_{1})}}|_{0}^{2\pi }f={\overline {A}}^{2}{{e^{i(m_{2}-m_{1})2\pi }} \over {i(m_{2}-m_{1})}}=0\;$

(8.46)

A zatem uwzględniając ogólnie (8.45) i (8.46) jako rozwiązanie równania (8.44), otrzymujemy ogólne równanie ortonormalizacji dwóch funkcji własnych dla różnych lub tych samych wartości liczby m:

$\int _{0}^{2\pi }\psi _{m_{1}}^{*}\psi _{m_{2}}d\theta ={\overline {A}}^{2}2\pi \delta _{m_{1}m_{2}}\;$

(8.47)

Z warunku ortonormalizacji według wzoru (8.47) wartość powyższej całki powinna być z ortonomalizowana do delty Kroneckera:

${\overline {A}}^{2}2\pi =1\Rightarrow A={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\;$

(8.48)

Funkcja własna ψ(θ) operatora zetowego momentu pędu (8.39), która należy do bazy ortonormalnej, ma postać:

$\psi (\theta )={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{im\theta }\;$

(8.49)

Funkcja własna (8.49) jest rozwiązaniem równania (8.35), którego wartości własne momentu pędu są dyskretne i są wyrażone według wzoru (8.43).

Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu

Równania własne operatora momentu pędu zetowego i operatora całkowitego momentu pędu wyglądają:

${\hat {l}}_{z}\psi =\lambda _{z}\psi \;$

(8.50)

${\hat {l}}\psi ={\vec {\lambda }}\psi \;$

(8.51)

Zagadnienie własne operatora momentu pędu jest zagadnieniem dość trudnym, łatwiejszym wariantem jest zagadnienie kwadratu momentu pędu, które można otrzymać z (8.51), gdy mnożymy to równanie własne obustronnie przez operator momentu pędu ${\hat {l}}\;$, otrzymujemy:

${\hat {l}}{\hat {l}}\psi ={\vec {\lambda }}{\hat {l}}\psi \Rightarrow {\hat {l}}^{2}\psi ={\vec {\lambda }}^{2}\psi \;$

(8.52)

Z (8.52) dochodzimy do wniosku, że jeśli przyjmiemy $|{\vec {\lambda }}|=\lambda \;$, której kwadrat jest to wartość własna kwadratu operatora momentu pędu, i to ostatnie równanie można zapisać w sposób:

${\hat {l}}^{2}\psi =\lambda ^{2}\psi \;$

(8.53)

Określmy lemat, taki że wartości własne operatora kwadratu momentu pędu i kwadratu współrzędnej zetowej można je zapisać w sposób połączony, które jak się przekonamy jest lematem prawdziwym, jak by się można przekonać tak jak dla mechaniki klasycznej:

$\lambda ^{2}-\lambda _{z}^{2}\geq 0\;$

(8.54)

A oto dowód tego lematu: Suma dwóch całek jawnie nieujemnych daje nam wielkość po policzeniu wartość nieujemną, a zatem przekształcajmy taki obiekt wynikająca z tych dwóch całek:

$0\leq \int ({\hat {l}}_{-}\psi )^{*}({\hat {l}}_{-}\psi )d\tau +\int ({\hat {l}}_{+}\psi )({\hat {l}}_{+}\psi )d\tau =\int \psi ^{*}{\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{-}\psi d\tau +\int \psi ^{*}{\hat {l}}_{-}{\hat {l}}_{+}\psi d\tau =\;$
$=\int \psi ^{*}\left({\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{-}+{\hat {l}}_{-}{\hat {l}}_{+}\right)\psi =\int \psi ^{*}\left({{({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y})} \over {\hbar }}{{({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y})} \over {\hbar }}+{{({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y})} \over {\hbar }}{{({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y})} \over {\hbar }}\right)\psi =\;$
$={{1} \over {\hbar ^{2}}}\int \psi ^{*}\left({\hat {l}}_{x}^{2}-i{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{y}+i{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{x}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{x}^{2}+i{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{y}-i{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{x}+{\hat {l}}_{y}^{2}\right)\psi ={{2} \over {\hbar ^{2}}}\int \psi ^{*}\left({\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}\right)\psi ={{2} \over {\hbar ^{2}}}\int \psi ^{*}\left({\hat {l}}^{2}-{\hat {l}}_{z}^{2}\right)\psi =\;$
$={{2} \over {\hbar ^{2}}}\left[\int \psi ^{*}{\hat {l}}^{2}\psi -\int \psi ^{*}{\hat {l}}_{z}^{2}\psi \right]={{2} \over {\hbar ^{2}}}\left[\int \psi ^{*}\lambda ^{2}\psi -\int \psi ^{*}\lambda _{z}^{2}\psi \right]={{2} \over {\hbar ^{2}}}\left[\lambda ^{2}\int \psi ^{*}\psi -\lambda _{z}^{2}\int \psi ^{*}\psi \right]={{2} \over {\hbar ^{2}}}(\lambda ^{2}-\lambda _{z}^{2})\geq 0\;$

(8.55)

Na podstawie (8.55) udowodniliśmy, że (8.54) jest lematem prawdziwym, co kończy dowód.

Utwórzmy funkcję ${\hat {l}}_{+}\psi \;$ i udowodnijmy, że ona jest funkcją własną operatora kwadratu całkowitego momentu pędu ${\hat {l}}^{2}\;$ oraz operatora zetowego momentu pędu ${\hat {l}}_{z}\;$, a zatem dla tego pierwszego operatora wartością własną jest parametr λ².

${\hat {l}}^{2}({\hat {l}}_{+}\psi )={\hat {l}}_{+}{\hat {l^{2}}}\psi =\lambda ^{2}({\hat {l}}_{+}\psi )\;$

(8.56)

A dla drugiego operatora wartością własną jest wyrażenie oparte o wartość własną operatora momentu pędu λ_z, jest ona wyrażona przez wyrażenie $\lambda _{z}+\hbar \;$.

${\hat {l}}_{z}({\hat {l}}_{+}\psi )=\left({\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{z}+[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{+}]\right)\psi =\lambda _{z}({\hat {l}}_{+}\psi )+\hbar ({\hat {l}}_{+}\psi )=(\lambda _{z}+\hbar )({\hat {l}}_{+}\psi )\;$

(8.57)

Jeśli funkcją własną jest $(l_{+})^{n}\psi \;$, na podstawie wartości własnej operatora momentu pędu zetowego (8.43), to mamy zależność:

${\hat {l}}_{z}[({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ]=(\lambda _{z}+u\hbar )({\hat {l}}_{+})^{u}\Leftrightarrow {\hat {l}}_{z}[({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ]=(m+u)\hbar ({\hat {l}}_{+})^{u}\;$

(8.58)

Jeśli u jest maksymalną liczbą całkowitą dla której u-ta potęga operatora ${\hat {l}}_{+}\;$, która podczas działania na funkcję falową, która jest rozwiązaniem równania własnego kwadratu operatora całkowitego momentu pędu, jest nie równa zero:

$({\hat {l}}_{+})^{u}\psi \neq 0\;$

(8.59)

To już dla u+1 ma być warunek spełniony tożsamościowo, który jest równy zawsze zero, czyli u+1-ta potęga ${\hat {l}}_{+}\;$ podczas działania na funkcję falową własną rozwiązania równania własnego kwadratu całkowitego operatora momentu pędu zeruje tą naszą funkcję:

$({\hat {l}}_{+})^{u+1}\psi \equiv 0\;$

(8.60)

Czyli z lematów (8.59) i (8.60) wynika, że mamy minimalną wartość zetową wartości własnej operatora momentu pędu, tak aby zachodził lemat (8.54), czyli dojdziemy do wniosku, że mamy też maksymalne u przy wartości własnej operatora momentu pędu współrzędnej zetowej przy ściśle określonym λ:

$(\lambda _{z}+u\hbar )^{2}\leq \lambda ^{2}\;$

(8.61)

Policzmy wyrażenie pomocnicze, z którego wyznaczymy jaka jest maksymalną wartość własna operatora zetowego momentu pędu podczas działania operatorem u+1 potęgi ${\hat {l}}_{+}\;$ na funkcję falową Ψ będącej funkcją własną kwadratu momentu pędu przy pewnej jego wartości własnej (8.53).

${\hat {l}}_{-}({\hat {l}}_{+})^{u+1}\psi ={\hat {l}}_{-}{\hat {l}}_{+}({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left(({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y})({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y})\right)({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left({\hat {l}}_{x}^{2}+i{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{y}-i{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{x}+{\hat {l}}_{y}^{2}\right)({\hat {l}}_{+})^{u}\psi =\;$

$={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left({\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+i[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}]\right)({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left({\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+ii\hbar {\hat {l}}_{z}\right)({\hat {l}}_{+})^{u}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left({\hat {l}}^{2}-{\hat {l}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {l}}_{z}\right)({\hat {l}}_{+})^{u}\psi =\;$

$={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left[\lambda ^{2}-(\lambda _{z}+u\hbar )^{2}-\hbar (\lambda _{z}+u\hbar )\right]({\hat {l}}_{+})^{u}\psi =0\;$

(8.62)

Oznaczmy przez (λ_z)_max, która jest maksymalną wartością własną zetową współrzędnej operatora momentu pędu zetowego jakie układ może przyjmować przy określonym wartości kwadratu momentu pędu λ².

$(\lambda _{z})_{max}=\lambda _{z}+u\hbar \;$

(8.63)

Gdy jest spełniony warunek (8.59) i (8.60), to na podstawie wzoru na maksymalną wartość własną operatora momentu zetowego ${\hat {l}}_{z}\;$ (8.63) można zapisać równoważne równanie do (8.62), co na podstawie tego możemy napisać tożsamość zależną od λ i (λ_z)_max.

$\lambda ^{2}-(\lambda _{z})_{max}^{2}-\hbar (\lambda _{z})_{max}=0\;$

(8.64)

Utwórzmy funkcje własne ${\hat {l}}_{-}\psi \;$ bezpośrednio sprawdzając, że jest to funkcja własna operatora ${\hat {l}}^{2}\;$, oraz operatora momentu pędu współrzędnej zetowej ${\hat {l}}_{z}\;$. Zagadnienie własne kwadratu operatora momentu pędu jest:

${\hat {l}}^{2}({\hat {l}}_{-}\psi )={\hat {l}}_{-}{\hat {l}}^{2}\psi =\lambda ^{2}({\hat {l}}_{-}\psi )\;$

(8.65)

A dla drugiego operatora wartością własną jest wyrażenie oparte o wartość własną operatora momentu pędu λ_z i jest wyrażona przez wyrażenie $\lambda _{z}-\hbar \;$:

${\hat {l}}_{z}({\hat {l}}_{-}\psi )={\hat {l}}_{-}{\hat {l}}_{z}\psi +\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{-}\right]\psi ={\hat {l}}_{-}\lambda _{z}\psi -\hbar \psi =(\lambda _{z}-\hbar )({\hat {l}}_{-}\psi )\;$

(8.66)

Zatem, jeśli funkcją własną jest $({\hat {l}}_{-})^{n}\psi \;$ na podstawie (8.43), to musi zachodzić:

${\hat {l}}_{z}(({\hat {l}}_{-})^{v}\psi )=(\lambda _{z}-v\hbar )({\hat {l}}_{-}\psi )\Leftrightarrow {\hat {l}}_{z}(({\hat {l}}_{-})^{v}\psi )=(m-v)\hbar ({\hat {l}}_{-})\psi \;$

(8.67)

Jeśli u jest maksymalną liczbą całkowitą dla której u-ta potęga operatora ${\hat {l}}_{-}\;$ podczas działania na funkcję falową, która jest rozwiązaniem równania własnego kwadratu operatora całkowitego momentu pędu, jest:

$({\hat {l}}_{-})^{v}\psi \neq 0\;$

(8.68)

To już dla u+1 ma być warunek spełniony tożsamościowo, który jest równy zawsze zero, czyli u+1-ta potęga ${\hat {l}}_{+}\;$ podczas działania na funkcję falową własną rozwiązania równania własnego kwadratu całkowitego operatora momentu pędu zeruje tą naszą funkcję:

$({\hat {l}}_{-})^{v+1}\psi \equiv 0\;$

(8.69)

Czyli z lematów (8.68) i (8.69) wynika, że mamy maksymalną wartość zetową wartości własnej momentu pędu, tak aby zachodził lemat (8.54), czyli dojdziemy do wniosku, że mamy też maksymalne u przy wartości własnej operatora momentu pędu współrzędnej zetowej dla ściśle określonego λ:

$(\lambda _{z}-v\hbar )^{2}\leq \lambda ^{2}\;$

(8.70)

Policzmy wyrażenie pomocnicze, z którego wyznaczymy jaka jest minimalna wartość własna operatora zetowego momentu pędu podczas działania operatorem u+1 potęgi ${\hat {l}}_{-}\;$ na funkcję falową Ψ będącą funkcją własną kwadratu momentu pędu przy pewnej jego wartości własnej według równania (8.53):

${\hat {l}}_{+}({\hat {l}}_{-})^{u+1}\psi ={\hat {l}}_{+}{\hat {l}}_{-}({\hat {l}}_{-})^{v}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y})({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y})={{1} \over {\hbar ^{2}}}({\hat {l}}_{x}^{2}-i{\hat {l}}_{x}{\hat {l}}_{y}+i{\hat {l}}_{y}{\hat {l}}_{x}+{\hat {l}}_{y}^{2})({\hat {l}}_{-})^{u}\psi =\;$

$={{1} \over {\hbar ^{2}}}({\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}-i[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}])({\hat {l}}_{-})^{u}\psi ={{1} \over {\hbar ^{2}}}({\hat {l}}^{2}-{\hat {l}}_{z}^{2}-ii\hbar {\hat {l}}_{z})({\hat {l}}_{-})^{v}\psi =\;{{1} \over {\hbar ^{2}}}({\hat {l}}^{2}-{\hat {l}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {l}}_{z})({\hat {l}}_{-})^{n}\psi =$

$={{1} \over {\hbar ^{2}}}(\lambda ^{2}-(\lambda _{z}-v\hbar )^{2}+\hbar (\lambda _{z}-v\hbar ))({\hat {l}}_{-})^{u}\psi =0\;$

(8.71)

Oznaczenie (λ_z)_max, jest ona minimalną wartością własną operatora momentu pędu zetowego jakie układ może przyjmować przy określonym wartości kwadratu momentu pędu λ².

$(\lambda _{z})_{min}=\lambda _{z}-v\hbar \;$

(8.72)

Gdy jest spełniony warunek (8.68) i (8.69), to na podstawie wzoru na minimalną wartość własną operatora momentu zetowego ${\hat {l}}_{z}\;$ (8.70) można zapisać równoważne równanie do (8.71). Na podstawie tego możemy napisać tożsamość zależną od λ i (λ_z)_min:

$\lambda ^{2}-(\lambda _{z})_{min}^{2}+\hbar (\lambda _{z})_{min}=0\;$

(8.73)

Teraz odejmujemy obustronnie równania na maksymalną wartość operatora momentu pędu współrzędnej zetowej (8.64) od równania na minimalną wartość operatora (8.72), zatem powinien zachodzić po tej operacji warunek:

$(\lambda _{z})_{min}^{2}-(\lambda _{z})_{max}^{2})-\hbar ((\lambda _{z})_{min}+(\lambda _{z})_{max})=0\;$

(8.74)

Mając wzory skróconego mnożenia, które zastosujemy w równości (8.74), to piszemy równoważne wyrażenie do tego ostatniego:

$((\lambda _{z})_{min}+(\lambda _{z})_{max})((\lambda _{z})_{min}-(\lambda _{z})_{max})-\hbar ((\lambda _{z})_{min}+(\lambda _{z})_{max})=0\;$

(8.75)

W równaniu (8.75) wyłączamy przed nawias wyrażenie (λ_z)_min+(λ_z)_max, to możemy napisać:

$((\lambda _{z})_{min}+(\lambda _{z})_{max})(((\lambda _{z})_{min}-(\lambda _{z})_{max})-\hbar )=0\;$

(8.76)

W wyrażeniu (8.76) wykorzystujemy warunki (8.63) na maksymalną wartość własną operatora momentu pędu jej współrzędnej zetowej oraz (8.72) na wartość własną minimalną operatora momentu pędu, to warunek (8.76) możemy zapisać:

$((\lambda _{z})_{min}+(\lambda _{z})_{max})((-u-v-1)\hbar )=0\;$

(8.77)

Dochodzimy stąd do wniosku, że aby wyrażenie (8.77) było tożsamościowo równe zero, to musi zachodzić tożsamość:

$(\lambda _{z})_{min}=-(\lambda _{z})_{max}\;$

(8.78)

Czyli wartość minimalna i maksymalna są sobie równe co do wartości bezwzględnej, a co do wartości różnią się znakiem. Na podstawie (8.78) można zapisać podwojoną maksymalną wartość własną zetowego operatora momentu pędu:

$2(\lambda _{z})_{max}=(\lambda _{z})_{max}-(\lambda _{z})_{min}=(\lambda _{z}+u\hbar )-(\lambda _{z}-v\hbar )=(u+v)\hbar \;$

(8.79)

Co ostatecznie zachodzi według obliczeń napisanych w punkcie (8.79), że maksymalna wartość własna operatora momentu pędu jest zapisana:

$(\lambda _{z})_{max}={{u+v} \over {2}}\hbar =j\hbar \;$

(8.80)

W (8.80) u i v, to są to liczby całkowite, a zatem suma ich też jest liczbą całkowitą, ale j może być liczbą całkowitą lub być wartością połówkową, ale na podstawie (8.43) j=m_max jest liczbą całkowitą, ale w żadnym przypadku połówkową, tutaj zachodzi $(\lambda _{z})_{max}=l\hbar \;$. Oznaczmy maksymalną wartość m przez l i nazwijmy orbitalną liczbą kwantową, ale ponieważ zachodzi $-j=m_{min}\Rightarrow j=-m_{min}\;$, tutaj zachodzi $(\lambda _{z})_{min}=-l\hbar \;$, czyli zatem dochodzimy do wniosku, że możliwe wartości m (magnetycznej liczby kwantowej) na podstawie (8.63) wykorzystując przy tym wartości własne zetowej współrzędnej operatora momentu pędu (8.43), czyli magnetyczna liczba kwantowa jest ograniczona z góry:

$m\hbar =\lambda _{z}=(\lambda _{z})_{max}-u\hbar =(l-u)\hbar \leq l\hbar \Rightarrow m\leq l\;$

(8.81)

a również zachodzi na podstawie (8.72) magnetyczna liczba kwantowa spełnia warunek, który jest ograniczeniem z dołu:

$m\hbar =\lambda _{z}=(\lambda _{z})_{min}+v\hbar =(-l+v)\hbar \geq -\hbar l\Rightarrow m\geq -l\;$

(8.82)

Magnetyczna liczba kwantowa jest ograniczona z góry i z dołu, które są liczbami całkowitymi, według warunku (8.81) oraz (8.82) liczby "m" są w postaci:

$m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l\;$

(8.83)

Jeśli zachodzi (8.64), to na tej podstawie możemy napisać tożsamość dla liczby kwantowej magnetycznej, dla której mamy maksymalną wartość momentu pędu współrzędnej zetowej i za pomocą, której będzie można policzyć wartość własną kwadratu operatora momentu pędu.

$\lambda ^{2}-l^{2}\hbar ^{2}-l\hbar ^{2}=0\;$

(8.84)

Po wyznaczeniu λ według tożsamości (8.84), otrzymujemy ostatecznie wyrażenie na wartość własną kwadratu operatora momentu pędu, która jak się przekonamy jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej "l".

$\lambda ^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}\;$

(8.85)

Zatem na podstawie tożsamości (8.85) wartość wektora własnego operatora momentu pędu jest wyrażona poprzez:

$\lambda ={\sqrt {l(l+1)}}\hbar \;$

(8.86)

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji własnych równania własnego (8.53). Jeśli zachodzi (6.53), otrzymujemy:

$-\hbar ^{2}\Lambda \psi =\lambda ^{2}\psi \;$

(8.87)

Wykorzystując definicję operatora Λ czyli operatora zależnego od współrzędnych kątowych, tzn. θ i φ:

$\Lambda ={{1} \over {\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}\;$

(8.88)

Równanie własne (8.87) po podstawieniu do niego definicji operatora Λ (8.88) przyjmuje postać:

$-\hbar \left[{{1} \over {\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}\right]Y(\theta \phi )=\lambda ^{2}Y(\theta \phi )\;$

(8.89)

Wiemy jaka jest funkcja własna operatora ${\hat {l}}_{z}\;$ (8.49), to niech będą rozwiązaniami równania różniczkowego (8.89) funkcje w postaci:

$Y(\theta ,\phi )=e^{im\theta }\zeta (\phi )\;\;$

(8.90)

Podstawiamy wzór Y(θ,φ) napisanej wedle (8.90) do równania własnego (8.89), otrzymujemy:

$-\hbar ^{2}\left\{e^{im\theta }{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left(\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}\zeta (\phi )\right)-\zeta (\phi ){{m^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}e^{im\theta }\right\}=\lambda ^{2}e^{im\theta }\zeta (\phi )\;$

(8.91)

Teraz ostatnie równanie dzielimy przez: $e^{im\theta }\;$, które zawsze jest niezerowe, ze względu na własności funkcji eksponens, otrzymujemy:

$-\hbar ^{2}\left\{{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left(\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}\zeta (\phi )\right)-\zeta (\phi ){{m^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}\right\}=\lambda ^{2}\zeta (\phi )\;$

(8.92)

Teraz w ostatnim równaniu dokonujemy potrzebnych różniczkowań, mamy:

$-\hbar ^{2}\left\{{{1} \over {\sin \phi }}\sin \phi {{\partial ^{2}\zeta (\phi )} \over {\partial \phi ^{2}}}+{{1} \over {\sin \phi }}\cos \phi {{\partial \zeta (\phi )} \over {\partial \phi }}-\zeta (\phi ){{m^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}\right\}=\lambda ^{2}\zeta (\phi )\;$

(8.93)

Dokonując potrzebnych skróceń i zastosowań definicji funkcji kotangens (ctg) w wyrażeniu (8.93), dostajemy równanie poniżej, która jest równaniem, z którego można otrzymać funkcję ζ(φ), która jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej "l":

$-\hbar ^{2}\left\{{{d^{2}\zeta (\phi )} \over {d\phi ^{2}}}+\operatorname {ctg} \phi {{d\zeta (\phi )} \over {d\phi }}-\zeta (\phi ){{m^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}\right\}=\lambda ^{2}\zeta (\phi )\;$

(8.94)

Pomnóżmy równanie (8.94) przez wyrażenie wprost proporcjonalne do kwadratu funkcji sinus z argumentu φ, czyli $-{{\sin ^{2}\phi } \over {\hbar ^{2}}}\;$:

$\sin ^{2}\phi {{d\zeta (\phi )} \over {d\phi ^{2}}}+\sin \phi \cos \phi {{d\zeta (\phi )} \over {d\phi }}+\left({{\lambda ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\sin ^{2}\phi -m^{2}\right)\zeta (\phi )=0\;$

(8.95)

Niech będzie podstawienie cosφ=u, zdefiniujmy operator różniczkowania pierwszego rzędu względem zmiennej zenitalnej w układzie współrzędnych kulistej φ zależnej od zmiennej u:

${{d} \over {d\phi }}={{du} \over {d\phi }}{{d} \over {du}}=-\sin \phi {{d} \over {du}}\;$

(8.96)

A także operator różniczkowania drugiego rzędu względem zmiennej φ, a więc należy zastosować obliczony wcześniej operator (8.96) i podziałać na niego operatorem różniczkowania względem zmiennej φ wykorzystując przy tym definicję zmiennej u poprzez współrzędną φ:

${{d^{2}} \over {d\phi ^{2}}}={{d} \over {d\phi }}{{d} \over {d\phi }}={{d} \over {d\phi }}\left(-\sin \phi {{d} \over {du}}\right)=-\cos \phi {{d} \over {du}}-\sin \phi {{d} \over {d\phi }}{{d} \over {du}}=-\cos \phi {{d} \over {du}}-\sin \phi (-\sin \phi {{d} \over {du}}){{d} \over {du}}=\sin ^{2}\phi {{d} \over {du}}-\cos \phi {{d} \over {du}}\;$

(8.97)

Ostatecznie otrzymujemy dwa wzory na różniczkowanie pierwszego i drugiego rzędu przepisując je z końcowych obliczeń napisanych kolejno w punktach (8.96) i (8.97):

${{d} \over {d\phi }}=-\sin \phi {{d} \over {du}}\;$

(8.98)

${{d^{2}} \over {d\phi ^{2}}}=\sin ^{2}\phi {{d} \over {du}}-\cos \phi {{d} \over {du}}\;$

(8.99)

Te wyniki (8.98) i (8.99) podstawmy do równania różniczkowego (8.95), wiedząc jakiego dokonaliśmy podstawienia, dostajemy równanie równoważne do niego:

$(1-u^{2})\left[\sin ^{2}\phi {{d^{2}} \over {du^{2}}}\zeta -\cos \phi {{d} \over {du}}\zeta \right]-\sin ^{2}\phi \cos \phi {{d} \over {du}}\zeta +\left({{\lambda ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}(1-u^{2})-m^{2}\right)\zeta =0\;$

(8.100)

W równaniu różniczkowym (8.100) dokonujemy opuszczenia nawiasów w jego pierwszym składniku, otrzymujemy równanie:

$(1-u^{2})\sin ^{2}\phi {{d^{2}} \over {du^{2}}}\zeta -(1-u^{2})\cos \phi {{d} \over {du}}-(1-u^{2})\cos \phi {{d} \over {du}}\zeta +\left({{\lambda ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}(1-u^{2})-m^{2}\right)\zeta =0\;$

(8.101)

Po dalszych redukcjach wyrazów podobnych w równaniu (8.101) oraz dokonując zamiany kwadratu sinusa względem kwadratu kosinusa, na ostatku wykorzystując podstawienie za funkcję cosφ zmienną u:

$(1-u^{2})^{2}{{d^{2}} \over {du^{2}}}\zeta -2u(1-u^{2}){{d\zeta } \over {du}}+\left({{\lambda ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}(1-u^{2})-m^{2}\right)\zeta =0\;$

(8.102)

Następnie musimy równanie (8.102) podzielić obustronnie przez niezerowe wyrażenie (1-u²), wtedy dochodzimy do tożsamości różniczkowej:

$(1-u^{2}){{d^{2}} \over {du^{2}}}\zeta -2u{{d\zeta } \over {du}}+\left({{\lambda ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}-{{m^{2}} \over {1-u^{2}}}\right)\zeta =0\;$

(8.103)

Jeśli zachodzi (8.85) jako wartość własna kwadratu operatora momentu pędu, to po podstawieniu tej wartości do równania różniczkowego (8.103), otrzymujemy:

$(1-u^{2}){{d^{2}} \over {du^{2}}}\zeta -2u{{d\zeta } \over {du}}+\left[l(l+1)-{{m^{2}} \over {1-u^{2}}}\right]\zeta =0\;$

(8.104)

Jest to równanie stowarzyszone z równaniem różniczkowym Legendre'a, czyli jego rozwiązaniem jest zestaw funkcji zależnej od magnetycznej i orbitalnej liczby kwantowej, a to rozwiązanie jest takie:

$\zeta _{lm}=(1-u^{2})^{{|m|} \over {2}}{{d^{l+m}} \over {du^{l+m}}}\left\{(1-u^{2})^{l}\right\}\;$

(8.105)

Funkcja własna kwadratu operatora momentu pędu są funkcje w postaci (8.90) przy definicji funkcji ζ_lm zdefiniowany wedle wzoru (8.105).

Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej

Rozważmy ruch cząstki swobodnej o masie m, tzn. w przestrzeni, w której porusza się cząstka, nie ma pola potencjalnego. Operator całkowitej energii cząstki będzie w tym przypadku operatorem energii kinetycznej z definiowanej w (6.33), równanie własne operatora energii kinetycznej jest w postaci:

$\underbrace {-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta } _{\hat {T}}\psi =E\psi \;$

(8.106)

Mnożąc równanie (8.106) przez stałą ${{2m} \over {\hbar ^{2}}}\;$, która jest kombinacją stałej fizycznej kreślonej Plancka i masy badanego ciała, i przenosząc we wspomnianym równaniu wszystko na jedną stronę:

$\Delta \psi +{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi =0\;$

(8.107)

Oznaczając przy wyrażeniu (8.107) pewną wielkość stojącą przy funkcji falowej ψ, tzn. pewien czynnik, którego definicja jest poniżej w pierwszej linijce. Ona jest funkcją wprost proporcjonalną do energii cząstki i jej masy:

$\kappa ={{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(8.108)

To nasze równanie (8.107) na podstawie podstawienia (8.108) przyjmuje prostą postać:

$\Delta \psi +\kappa \psi =0\;$

(8.109)

Niech w naszym równaniu (8.109) rozwiązanie jest jako iloczyn trzech funkcji, których każda jest zależna od odpowiedniej współrzędnej, która ona dotyczy, zatem definicja naszej funkcji falowej rozwiązania wspomnianego równania falowego przyjmie postać:

$\psi (xyz)=X(x)Y(y)Z(z)\;$

(8.110)

Rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych równanie, gdy znamy ogólną postać rozwiązania, czyli (8.110) po podstawieniu tego szacowanego rozwiązania do (8.109), otrzymujemy równość:

${{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}X(x)Y(y)Z(z)+{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}X(x)Y(y)Z(z)+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}X(x)Y(y)Z(z)+\kappa X(x)Y(y)Z(z)=0\;$

(8.111)

Podzielmy równanie (8.111) przez X(x)Y(y)Z(z), ono ma się w postaci:

$\underbrace {{{1} \over {X(x)}}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}X(x)} _{\kappa _{1}}+\underbrace {{{1} \over {Y(y)}}{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}Y(y)} _{\kappa _{2}}+\underbrace {{{1} \over {Z(y)}}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}Z(z)} _{\kappa _{2}}+\kappa =0\;$

(8.112)

Ponieważ poszczególne składniki w (8.112) zależą tylko od jednej zmiennej, zatem te składniki są pewnymi stałymi κ_i, które możemy rozpisać na trzy składniki:

${{1} \over {X}}{{d^{2}X} \over {dx^{2}}}+\kappa _{1}=0\;$

(8.113)

${{1} \over {Y}}{{d^{2}Y} \over {dx^{2}}}+\kappa _{2}=0\;$

(8.114)

${{1} \over {Z}}{{d^{2}Z} \over {dx^{2}}}+\kappa _{3}=0\;$

(8.115)

Także zachodzi warunek na podstawie obliczeń (8.112), że suma trzech stałych κ_i, którego definicja jest podana w (8.108):

$\kappa _{1}+\kappa _{2}+\kappa _{3}=\kappa \;$

(8.116)

Dopuszczalne wartości własne równania mogą mieć tylko wartości nieujemne, a zatem biorąc κ_i=k_i² dostajemy, że rozwiązaniem (8.113) jest:

$X(x)=e^{ik_{1}x}\;$

(8.117)

Jeśli k₁ jest liczbą rzeczywistą, to biorąc drugą pochodna wyrażenia (8.117) i obliczając pierwszy wyraz w (8.113), dostajemy $-k_{1}^{2}+\kappa _{1}=0\Rightarrow k_{1}^{2}=\kappa _{1}\;$, zatem dochodzimy do wniosku, że κ₁ jest liczbą nieujemną. Gdy k₁ jest liczbą urojoną, to wyrażenie (8.117) przyjmuje wartość nieskończoną dla x→∞ albo dla x→-∞, stąd wynika, że takiej funkcji nie można unormować do funkcji Diraca. A gdy by była liczbą zespoloną, ale nie rzeczywistą, to dla części urojonej, dla iksa plus albo minus nieskończonego też przyjmuje wartość nieskończoną, zatem dochodzimy do wniosku, że k₁ jest tylko liczbą rzeczywistą.

Funkcje Y(y) i Y(y) przyjmuje podobne postacie jak dla X(x) dla parametrów κ₂,κ₃\ge;0. Na podstawie powyższych rozważań κ, przyjmuje wartość nieujemną, bo zachodzi (8.116). Wobec tego rozwiązanie pełnego równania (8.109) według (8.110) jest w postaci:

$\psi (xyz)=e^{ik_{1}x}e^{ik_{2}y}e^{ik_{3}z}=e^{i(k_{1}x+k_{2}y+k_{3}z)}=e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\;$

(8.118)

Na podstawie (8.116) i warunku κ=k² zachodzi tożsamość fizyczna:

$\kappa =k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}\;$

(8.119)

Wyznaczmy energię E z (8.108) i mając na uwadze (8.119), to wartość własna operatora energii jest zależna od stałej κ, która jest tym samym co liczba falowa podniesiona do kwadratu, czyli k², jest ta energia przedstawiona w postaci:

$E={{\hbar ^{2}} \over {2m}}(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2})={{\hbar ^{2}} \over {2m}}k^{2}\;$

(8.120)

Czyli energia kinetyczna przyjmuje wartość nieujemną, ponieważ wartość κ jest wartością nieujemną, a zatem kwadrat wektora liczby falowej też przyjmuje wartość nieujemną, bo kwadrat liczby falowej jest to stała κ (8.120), który jak udowodniliśmy wcześniej, przyjmuje wartość nieujemną.

Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej

Mając zdefiniowany operator energii mechanicznej (hamiltonian) wedle schematu (6.41), zatem jego zagadnienie własne wygląda tak:

${\hat {H}}\psi =E\psi \;$

(8.121)

Rozpisując definicję hamiltonianu w równaniu własnym (8.121) znając definicję operatora całkowitej energii cząstki (układu):

$\left({\hat {T}}+q\varphi +V(r)\cdot \right)\psi =E\psi \Rightarrow \left[{{(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi +V(r)\cdot \right]\psi =E\psi \;$

(8.122)

Gdy potencjał wektorowy magnetyczny w elektromagnetyzmie jest równy zero, i włączając energię potencjalną pola elektromagnetycznego do ogólnej definicji energii pola potencjalnego V(r), to równanie (8.122) przechodzi w postać, z której przestawienie ogólne jest (8.121) o hamiltonanie zdefiniowanej według (6.38):

$\left({\hat {T}}+V(r)\cdot \right)\psi =E\psi \Rightarrow \left(-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta +V(r)\cdot \right)\psi =E\psi \;$

(8.123)

Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej

Możemy rozszerzyć rozważania naszego problemu rozważając dodatkowo potencjał V(r), który jest osiowosymetryczny w zerowym polu wektorowym ${\vec {A}}\;$. Wyrażenie (8.123) napiszemy dla naszego przypadku w postaci:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta \psi -(E-V)\psi =0\;$

(8.124)

Nasze równanie (8.124) pomnóżmy przez pewną stałą zależną od stałek kreślonej Plancka i masy cząstki $-{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\;$, to owe równanie możemy zapisać jako następny etap do wyznaczania funkcji falowej, która rozwiązaniem powyższego równania jest:

$\Delta \psi +{{2m} \over {\hbar ^{2}}}(E-V)\psi =0\;$

(8.125)

We współrzędnych kulistych operator Δ możemy wyrazić przez jego odpowiednik w tym wspomnianym układzie (6.51), to równanie (8.125) po tej zamianie współrzędnych z kartezjańskiego na kulisty przechodzi w postać:

$\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\left({{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda \right)+V(r)\right\}\psi =E\psi \;$

(8.126)

Biorąc za rozwiązanie własne równania (8.126) w postaci iloczynu funkcji radialnej f(r) i funkcji kulistej, a tą przedostatnią funkcję możemy przedstawić jako iloraz funkcji R(r) przez zmienną radialną r, co to rozwiązanie zapisujemy:

$\psi (r\theta \phi )=f(r)Y(\theta \phi )={{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\;$

(8.127)

Podstawiamy bezpośrednio przypuszczalne rozwiązanie (8.127) do równania różniczkowego (8.126), to:

$\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\left({{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda \right)+V(r)\right\}{{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )=E{{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\;$

(8.128)

Dokonajmy opuszczenia nawiasów klamrowych w tożsamości (8.128), to dochodzimy do wniosku, że równanie równoważne do poprzedniego:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\left({{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r){{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda {{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\right)+V(r){{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )=E{{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\;$

(8.129)

Dokonując dalszych skróceń w pierwszym wyrazie w nawiasie naszego równania (8.129), który znajduje się pod drugą pochodną cząstkową zmiennej radialnej, to dostajemy wynikowe równanie:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\left({{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}R(r)Y(\theta \phi )+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda {{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\right)+V(r){{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )=E{{R(r)} \over {r}}Y(\theta \phi )\;$

(8.130)

Obie strony równości (8.130) mnożymy obustronnie przez sześcian promienia radialnego r³, który jak wiadomo z analizy przyjmuje wartości niezerowe (w naszym przypadku) i nieujemne z definicji samej współrzędnej tejże współrzędnej:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}r^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}R(r)Y(\theta \phi )+R(r)\Lambda Y(\theta \phi )+V(r)R(r)r^{2}Y(\theta \phi )=ER(r)r^{2}Y(\theta \phi )\;$

(8.131)

Obie strony tożsamości (8.131) dzielimy obustronnie przez funkcję R(r)Y(θφ), tak by wspomnianym końcowym równaniu współrzędne kątowe znajdowały się tylko w jednym składniku:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{r^{2}} \over {R}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}R(r)+{{\Lambda Y} \over {Y}}+V(r)r^{2}=Er^{2}\;$

(8.132)

Wszystkie wyrazy związane ze współrzędną radialną pozostawiamy na lewej stronie, a wyrazy związane ze współrzędnymi kątowymi wsadzamy na prawą stronę równania (8.132). W prawej stronie równania licznik i mianownik możemy pomnożyć przez stałą kreśloną Plancka, tak by można było zastosować definicję kwadratu momentu pędu orbitalnego poprzez operator Λ, czyli (6.53).

${{r^{2}} \over {R(r)}}{{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+{{2m} \over {\hbar ^{2}}}(E-V)r^{2}={{-\hbar ^{2}\Lambda Y} \over {\hbar ^{2}Y}}\;$

(8.133)

Wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych, to równość (8.133) przyjmuje równoważną do poprzedniego postać:

${{r^{2}} \over {R(r)}}{{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+{{2m} \over {\hbar ^{2}}}(E-V)r^{2}={{{\hat {l}}^{2}Y} \over {\hbar ^{2}Y}}\;$

(8.134)

Znając równanie własne i przy tym wartości własne kwadratu operatora momentu pędu (8.85) i wykorzystując to w równości dla jego prawej strony (8.134), to możemy napisać równanie różniczkowe, z którego wyznaczamy funkcję R(r) w zależności od kwantowej liczby orbitalnej (momentu pędu) l:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+\left\{{{2m} \over {\hbar ^{2}}}(E-V)-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}R=0\;$

(8.135)

Atom wodoru w mechanice kwantowej

Energia potencjalna elektronu o ładunku -e w polu elektrostatycznym dla prawie niuruchomego jądra atomowego wodoru o ładunku "e" przedstawia się według praw elektrostatyki jako równanie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu położenia radialnego elektronu r.

$V(r)=-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\;$

(8.136)

A więc równanie różniczkowe na funkcje radialne R(r) przedstawionych wedle wzoru (8.135) przy definicji potencjału opisywanym przez wzór (8.136) przyjmuje postać:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+\left\{{{2m} \over {\hbar ^{2}}}E+{{2me^{2}} \over {\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}R=0\;$

(8.137)

Patrząc na równość (8.137) dokonajmy odpowiednich definicji nowych parametrów, tzn. "k" zależną od energii elektronu, a także definicję parametru ε zależną od stałych fizycznych i od masy elektronu:

$k={\sqrt {-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}}}\;$

(8.138)

$\epsilon ={{2me^{2}} \over {\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}}}\;$

(8.139)

Po wykorzystaniu oznaczeń pewnych parametrów, tzn. (8.138) (k) i (8.139) (ε) dostajemy równanie na podstawie jego wcześniejszego przedstawienia (8.137) w postaci:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+\left\{-k^{2}+{{\epsilon } \over {r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}R=0\;$

(8.140)

Równaniem asymptotycznym do pełnego równania (8.140), tzn. dla r→ ∞ jest równanie, które przyjmuje kształt poniżej. To rozwiązanie ma takie same wartości w przybliżeniu, co rozwiązanie równania (8.140) dla r bardzo dużego w praktyce, czyli dla r nieskończonego:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}-k^{2}R=0\;$

(8.141)

Rozwiązaniem równania (8.141) jest zestaw dwóch funkcji, które zapisujemy ogólnie:

$R(r)=e^{\pm kr}\;$

(8.142)

Aby uniknąć nieskończoności w (8.142) dla r→ ∞, wybieramy to rozwiązanie ze znakiem minus, tak by ono było całkowalne z kwadratem w całym przedziale zmienności zmiennej radialnej r w układzie kulistym:

$R(r)=e^{-kr}\;$

(8.143)

W ogólności oprócz dodatkowego czynnika mamy również funkcję v(r), którego razem z funkcją (8.143) w postaci ich iloczynu spełnia równanie różniczkowe (8.140), które zapisujemy:

$R(r)=v(r)e^{-kr}\;$

(8.144)

Druga pochodna zupełna funkcji R(r) (8.144) przyjmuje kształt:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}=v^{(2)}(r)e^{-kr}-2kv^{(1)}e^{-kr}+k^{2}v(r)e^{-kr}\;$

(8.145)

Podstawiamy samą funkcję R(r) (8.144) i drugą pochodną funkcji R(r) (8.145) do równania radialnego, ale różniczkowego (8.140), to dochodzimy do równania z którego będziemy wyznaczać funkcję v(r):

${{d^{2}v(r)} \over {dr^{2}}}e^{-kr}-2k{{dv} \over {dr}}e^{-kr}+k^{2}v(r)e^{-kr}+\left\{-k^{2}+{{\epsilon } \over {r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}e^{-kr}v(r)=0\;$

(8.146)

Po pomnożeniu równania (8.146) przez zawsze niezerową funkcję eksponecjalną e^kr, oraz zredukowaniu pewnych wyrazów w tym samym równaniu, otrzymujemy jego bardziej uproszczoną postać:

${{d^{2}v} \over {dr^{2}}}-2k{{dv} \over {dr}}+\left\{{{\epsilon } \over {r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}v=0\;$

(8.147)

Dokonajmy następnych podstawień w (8.147) w postaci funkcji, która jest iloczynem funkcji potęgowej r^l+1 i funkcji zależnej od położenia we współrzędnych radialnych L(2kr):

$v(r)=r^{l+1}L(2kr)\;$

(8.148)

Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia (8.148) względem współrzędnej radialnej r wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu pewnych funkcji.

${{dv(r)} \over {dr}}=(l+1)r^{l}L(2kr)+r^{l+1}{{dL(2kr)} \over {dr}}\;$

(8.149)

A także wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia (8.148) względem współrzędnej radialnej r, a zatem pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia (8.149), piszemy:

${{d^{2}v(r)} \over {dr^{2}}}=(l+1)lr^{l-1}L(2kr)+(l+1)r^{l}{{dL(2kr)} \over {dr}}+(l+1)r^{l}{{dL(2kr)} \over {dr}}+r^{l+1}{{d^{2}L(2kr)} \over {dr^{2}}}=\;$
$=r^{l+1}{{d^{2}L(2kr)} \over {dr^{2}}}+2(l+1)r^{l}{{dL(2kr)} \over {dr}}+(l+1)lr^{l-1}L(2kr)\;$

(8.150)

Wykorzystujemy policzoną pierwszą pochodną (8.149) i drugą pochodną (8.150) funkcji v(r) (8.148), podstawiamy je do równania różniczkowego (8.147), dostajemy:

$r^{l+1}{{d^{2}L(2kr)} \over {dr^{2}}}+2(l+1)r^{l}{{dL(2kr)} \over {dr}}+(l+1)lr^{l-1}L(2kr)-2k\left((l+1)r^{l}L(2kr)+r^{l+1}{{dL(2kr)} \over {dr}}\right)+\;$
$+\left\{{{\epsilon } \over {r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}r^{l+1}L(2kr)=0\;$

(8.151)

Dokonujemy redukcji wyrazów w równaniu różniczkowym (8.151), wtedy dostajemy bardziej do poprzedniego uproszczoną postać:

$r^{l+1}{{d^{2}L(2kr)} \over {dr^{2}}}+2r^{l}{{dL(2kr)} \over {dr}}\left((l+1)-kr\right)+r^{l}L(2kr)\left(r{{\epsilon } \over {r}}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}-2k(l+1)+{{1} \over {r^{2}}}(l+1)l\right)=0\;$

(8.152)

Dokonujemy dalszych grupować wyrazów wokół odpowiednich potęg we tożsamości (8.152) i jednocześnie dzielimy obustronnie wspomniane równanie przez niezerową zmienną potęgową r^l:

$r{{d^{2}L(2kr)} \over {dr^{2}}}+(\underbrace {2l+1} _{a}+1-\underbrace {2kr} _{x}){{dL(2kr)} \over {dr}}+\left(\epsilon -2k(l+1)\right)L(2kr)=0\;$

(8.153)

Obierzmy nową zmienną zdefiniowanej wedle $x=2kr\Rightarrow r={{x} \over {2k}}\;$, która zależy od parametru "r", które wykorzystamy do równania różniczkowego (8.153), w rezultacie otrzymujemy równoważną tożsamość do poprzedniego :

${{x} \over {2k}}(2k)^{2}{{d^{2}L(x)} \over {dx^{2}}}+(\underbrace {2l+1} _{a}+1-\underbrace {2kr} _{x})2k{{dL(x)} \over {dx}}+\left(\epsilon -2k(l+1)\right)L(x)=0\;$

(8.154)

Podzielmy równanie (8.154) obustronnie przez zawsze niezerową wielkość 2k, po to by otrzymać równanie Laguerra, z którego będziemy wyznaczać funkcję L(x), w postaci już znanych w matematyce wielomianów.

$x{{d^{2}L(x)} \over {dx^{2}}}+\left(\underbrace {2l+1} _{a}+1-\underbrace {2kr} _{x}\right){{dL(x)} \over {dx}}+\left(\underbrace {{{\epsilon } \over {2k}}+l} _{b=n+l}-\underbrace {(2l+1)} _{a}\right)L(x)=0\;$

(8.155)

Równanie różniczkowe (8.155) ma rozwiązanie w postaci wielomianów Laguerra, które są całkowalne z kwadratem, czyli co funkcja powinna spełniać, by być częścią funkcji falowej też całkowalnej z kwadratem:

$L_{n+l}^{2l+1}(x)={{d^{2l+1}} \over {dx^{2l+1}}}\left\{e^{x}{{d^{n+l}} \over {dx^{n+l}}}(x^{n+l}e^{-x})\right\}\;$

(8.156)

A więc funkcja $R_{nl}(r)\;$ na podstawie definicji (8.144) i v(r) (8.148) i ostatecznie z L(2kr) (8.156) można zapisać w postaci:

$R_{nl}(r)=Ne^{-k_{n}r}r^{l+1}L_{n+1}^{2l+1}(2k_{n}r)\;$

(8.157)

A wiec funkcja falowa atomu wodoru na podstawie definicji funkcji falowej (8.127) i definicji funkcji R(r)(8.157):

$\psi _{nlm}(xyz)={{R_{nl}(r)} \over {r}}Y_{lm}(\theta \phi )=Ne^{-k_{n}r}r^{l}L_{n+l}^{2l+1}(2k_{n}r)Y_{lm}(\theta \phi )\;$

(8.158)

Na podstawie równania różniczkowego (8.155) możemy napisać definicję stałej "a" w zależności od kwantowej liczby orbitalnego momentu pędu parametru b zależnego też od kwantowej liczby orbitalnego momentu pędu, parametru k (8.138) i ε (8.139):

$a=2l+1\;$

(8.159)

$b={{\epsilon } \over {2k}}+l=n+l\;$

(8.160)

Na podstawie definicji parametru "k" (8.138), a także parametru ε (8.139) możemy napisać wyrażenie (8.160), które po podstawieniu dwóch przedostatnich wspomnianych parametrów do tego ostatniego, w celu wyznaczenia skwantowanej energii elektronu krążącego wokół naszego jądra atomowego.

${{\epsilon } \over {2k}}=n\Rightarrow {{{2me^{2}} \over {2\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}}} \over {\sqrt {{-2mE} \over {\hbar ^{2}}}}}=n\Rightarrow -{{m^{2}e^{4}} \over {\hbar ^{4}16\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{\hbar ^{2}} \over {2mE}}=n^{2}\Rightarrow -{{me^{4}} \over {32\hbar ^{2}\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}E}}=n^{2}\Rightarrow -{{me^{4}} \over {8h^{2}\epsilon _{0}^{2}E}}=n^{2}\;\;$

(8.161)

Na podstawie (8.161) otrzymujemy, że energia cząstki w polu jądra atomowego jest wielkością skwantowaną zależną od głównej liczby kwantowej, jest ona opisana przez wyrażenie:

$E=-{{me^{4}} \over {8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{{1} \over {n^{2}}}\;$

(8.162)

Ale ponieważ powinno być, że różnica b-a powinna być liczbą nieujemną z definicji równania różniczkowego (8.155) dla skończonych rozwiązań:

$b-a=n+l-(2l+1)=n-l-1\geq 0\Rightarrow l\leq n-1\;$

(8.163)

Na podstawie (8.163) orbitalne liczby kwantowe są liczbami naturalnymi mieszczących się od zera do minus jeden głównej liczby kwantowej "n":

$l=0,1,..,n-1\;$

(8.164)

Liczba stanów atomu wodoru na podstawie (8.84) o takiej samej głównej liczbie kwantowej, dla którego orbitalny moment pędu jest "l", których jest ich 2l+1, a ta liczba kwantowa zmienia się według zależności (8.164), zatem dochodzimy do wniosku, że liczba poziomów o takiej samej głównej liczbie kwantowej można wyrazić przy pomocy pewnej sumy, której wyznaczymy postać zwartą:

$\sum _{i=0}^{n-1}(2l+1)={{\left(2\cdot 0+1\right)+\left(2(n-1)+1\right)} \over {2}}n={{1+2n-2+1} \over {2}}n=n^{2}\;$

(8.165)

Mówiąc ogólnie stan atomu wodoru jest zdegenerowany n² krotnie, tylko dla liczby kwantowej n=1, ten poziom nie jest wcale zdegenerowany.