Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera

Zasada wariacyjna Schwingera

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera 2Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona 3Zasada wariacyjna, a pole Diraca 4Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Kwantowo mechaniczne równanie Diraca zostało otrzymane z pominięciem zasady konstrukcji równania własnego. Nade wszystko, to równanie otrzymaliśmy konstruując gęstość Lagrangianu, aby otrzymać później równanie Klieina-Gordona lub Diraca.

Pierwszym krokiem do mechaniki kwantowej było zastąpienie funkcji pędu i położenia przez ich operatory co to nazywamy pierwszą kwantyzacją. Metodą podaną przez Schwingera jest zastąpienie funkcji pola Φ i ich pochodne czasowe ${\dot {\Phi }}\;$(w teorii Kliena-Gordona) lub ich sprzężenia (w teorii Diraca) przez ich odpowiednie operatory, tzn. ${\hat {\Phi }}\;$, ${\hat {\Pi }}\;$, których nazwijmy operatorami "położenia" i "pędu" (lub prędkości), tą procedurę nazywamy drugą kwantyzacją.

Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera

Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera. W mechanice teoretycznej wprowadzono tożsamość na nawiasach Poissona (MT-8.22), dzięki której możemy udowodnić tożsamość, którą przestawimy wzorem (MT-8.28), które jeszcze raz tutaj powtórzymy:

${{dF} \over {dt}}=\{F,{\mathcal {H}}\}_{P}+{{\partial F} \over {\partial t}}\;$

(34.1)

W mechanice kwantowej jest podobny wzór (13.5), które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora ${\hat {F}}\;$ piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu:

${{d{\hat {F}}} \over {dt}}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {H}}]+{{\partial {\hat {F}}} \over {\partial t}}\;$

(34.2)

• gdzie: ${\hat {H}}\;$ jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.

Równania kwantowe propagacji operatora ${\hat {F}}\;$ (34.2) można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F (34.1) poprzez podstawienie według zasady:

$\{F,G\}_{P}\rightarrow -{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}]\;$

(34.3)

Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},{\dot {q}}_{i})dt\;$

(34.4)

Naapiszmy wariancję S podanej według definicji (34.4) rozpisując ją według przepisu:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left({{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}+{{L} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta {\dot {q}}_{m}\right)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}+{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}{{d} \over {dt}}(\delta q_{m})\right]=\;$
$=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}+{{d} \over {dt}}\left({{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}\right)\right]=\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\right]\delta q_{m}\;$

(34.5)

Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:

${{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}=0\;$

(34.6)

We wzorze (34.5) drugi wyraz znika, bo zachodzi (34.6), a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja $\delta q_{m}\;$ nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy kwantową zasadą wariacyjną Schwingera, to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać:

$\delta S=G_{q}(t_{2})-G_{q}(t_{1})\;$

(34.7)

Ale funkcje $G_{q_{m}}(t)\;$ patrząc na równania (34.5), a także na (34.7), są w postaci:

$G_{q_{m}}(t)=\sum _{m}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}=\sum _{m}p_{m}\delta q_{m}\;$

(34.8)

Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona:

$\{F,G_{q_{i}}\}_{P}=\sum _{i=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}{{\partial G_{q_{i}}} \over {\partial p_{m}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{q_{i}}} \over {\partial q_{m}}}=\sum _{m=1}^{f}\delta _{im}{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{i}={{\partial F} \over {\partial q_{i}}}\delta q_{i}=\delta F(q_{i})\;$

(34.9)

Odpowiednikiem nawiasu Poissona według $\{F,G_{q}\}_{P}\;$ w mechanice kwantowej jest operator napisany jako $-{{i} \over {\hbar }}[F,{\hat {G}}_{q}]\;$, bo (34.3), zatem możemy napisać na postawie (34.9), ale kwantowo.

$\delta {\hat {F}}(q_{i})=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}_{q_{i}}]\;$

(34.10)

Jeśli $F(q_{i})={\hat {q}}_{i}\;$, to według (34.10), korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu (7.6), możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{i}\delta {\hat {q}}_{i}]=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{i}]\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}i\hbar \delta {\hat {q}}_{i}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(34.11)

A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia (34.11) są sobie równe, a więc zasada (34.10) jest poprawnie skonstruowane.

Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo):

${\hat {G}}_{q}=\sum _{i=1}^{f}{\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}\;$

(34.12)

A więc, jeśli $F(p_{i}q_{i})={\hat {q_{i}}}\;$, to wariacja funkcji F napisaną wzorem (34.10) jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}]=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]\delta {\hat {q}}_{j}=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}i\hbar \delta _{ij}\delta {\hat {q}}_{j}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(34.13)

Napiszemy sobie funkcję G_p, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do G_q, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie (34.12):

${\hat {G}}_{p}=-\sum _{j}{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}\;$

(34.14)

A także podamy wzór na wariację operatora ${\hat {F}}(p)\;$, którego definicja jest podana przy pomocy komutatora:

$\delta {\hat {F}}(p)=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}}(p),{\hat {G}}_{p}]\;$

(34.15)

Udowodniając wzór (34.15) przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać:

$\{F,G_{p_{i}}\}_{P}=\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial p_{m}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial q_{m}}}\right]=-\sum _{m=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial q_{m}}}={{\partial F} \over {\partial p_{i}}}\delta p_{i}=\delta F(p_{i})\;$

(34.16)

Zamienimy nawias Poissona na komutator w (34.16), według zasady (34.3). W ten sposób udowodniliśmy na podstawie (34.16), że wyrażenie (34.15) jest zupełną prawdą. A teraz zdefiniujmy nowy operator ${\hat {G}}\;$, który można otrzymać z poprzednich operatorów $G_{q}\;$, $G_{p}\;$ definiując go wedle:

${\hat {G}}={{1} \over {2}}({\hat {G}}_{q}+{\hat {G}}_{p})={{1} \over {2}}\sum _{j}({\hat {p}}_{j}\delta q_{j}-{\hat {q}}_{j}\delta p_{j})\;$

(34.17)

Jeśli mamy funkcję F(pq), to jej wariację możemy zdefiniować wedle zasady:

$\delta {\hat {F}}(pq)=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}}(q,p),{\hat {G}}]\;$

(34.18)

Według mechaniki klasycznej na nawiasach Poissona, jeśli zdefiniujemy G (34.17), czyli jako sumę wyrażeń (34.12) i (34.14), to można przejść do właściwego sedna dowodu na nawiasach Poissona:

$2\{F,G\}_{P}=2{{1} \over {2}}\left(\{F,G_{p}\}_{P}+\{F,G_{q}\}_{P}\right)=\left({{\partial F} \over {\partial q}}\delta q+{{\partial F} \over {\partial p}}\delta p\right)=\delta F(p,q)\;$

(34.19)

Ze wzoru (34.18) można przejść od wzoru (34.19) poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady (34.3). Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja ${\hat {F}}(p_{i}q_{i})={\hat {q}}_{i}\;$, to możemy napisać:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{{1} \over {2}}\sum _{j}\left({\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}-{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}\right)]=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {p}}_{j}dq_{j}]+{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}]=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p_{j}}}]\delta {\hat {q}}_{j}+{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]\delta {\hat {p}}_{j}=\;$
$=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}i\hbar \delta _{ij}\delta {\hat {q}}_{j}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(34.20)

Na podstawie dowodu (34.20) udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady (34.18) otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.

Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona

Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej. Gęstość Lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$ z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie (29.24), co jego definicję tutaj przepiszemy:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2}}{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\right)^{2}-\left(\nabla \Phi \right)^{2}\right]-{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}\Phi ^{2}\;$

(34.21)

Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu (34.21) względem współrzędnych czasoprzestrzennych:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dtL={{1} \over {c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}cdt\int d^{3}x{\mathfrak {L}}={{1} \over {2c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left\{{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\right)^{2}-\left(\nabla \Phi \right)^{2}\right]-m_{0}c^{2}\Phi ^{2}\right\}d^{4}x\;$

(34.22)

Policzmy wariacje funkcjonału δS według wzoru podanego w punkcie (34.22) wykorzystując przy tym definicję o pochodnej iloczynu:

$\delta S={{1} \over {2c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}d^{4}x\left\{{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}{{\partial } \over {\partial t}}(\delta {\hat {\Phi }})-\nabla \Phi \nabla (\delta {\hat {\Phi }})\right]-m_{0}c^{2}\Phi \delta {\hat {\Phi }}\right\}\;$

(34.23)

Wykonajmy częściowe całkowanie drugiego wyrażenia, który jest przestawiony we wzorze wyrażenia w (34.23) poprzez części względem współrzędnych przestrzennych:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx\left[\nabla \Phi \nabla (\delta {\hat {\Phi }})\right]_{x}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial \Phi } \over {\partial x}}{{\partial } \over {\partial x}}\delta \Phi =\left[{{\partial \Phi } \over {\partial x}}\delta {\hat {\Phi }}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial x^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial x^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}\;$

W powyższych obliczeniach wykorzystano, że wariacja δΦ w punktach końcowych znika względem współrzędnych przestrzennych. Wykonajmy całkowanie przez części pierwszego wyrażenia w (34.23) względem czasu:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}cdt\left[{{\partial \Phi } \over {\partial ct}}{{\partial } \over {\partial ct}}(\delta {\hat {\Phi }})\right]={{1} \over {c}}\left[{{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\hat {\Phi }}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-{{1} \over {c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial t^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}\;$

Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru (34.23), to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:

$\delta S={{1} \over {2c}}\int d^{4}x\left[{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left(\nabla ^{2}\Phi -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial t^{2}}}\right)-m_{0}c^{2}\Phi \right]\delta {\hat {\Phi }}+{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\left[\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\hat {\Phi }}\right)\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=G_{\Phi }(\tau _{2})-G_{\Phi }(\tau _{1})\;$

(34.24)

Pierwszy składnik sumy w (34.24) jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej (29.30) i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć:

$G_{\Phi }={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\Phi }\right)={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\Pi \delta \Phi \;$

(34.25)

• gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:

$\Pi ={{\partial \Phi } \over {\partial t}}\;$

(34.26)

W reprezentacji pędowej, podobnie jak w (34.25), definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła:

$G_{\Pi }=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\Phi \delta \Pi \;$

(34.27)

Zastępując funkcję Φ przez operator położenia ${\hat {\Phi }}\;$, a Π przez operator pędu ${\hat {\Pi }}\;$, otrzymujemy wzory na operatory ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ i ${\hat {G}}_{\Pi }\;$, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:

${\hat {G}}_{\Phi }={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x{\hat {\Pi }}\delta {\hat {\Phi }}\;$

(34.28)

${\hat {G}}_{\Pi }=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x{\hat {\Phi }}\delta {\hat {\Pi }}\;$

(34.29)

Mając operator Schwingera ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ możemy napisać, że wariacja operatora ${\hat {F}}\;$ jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:

$\delta {\hat {F}}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}_{\Phi }]\;$

(34.30)

Policzmy wariancję $\delta {\hat {\Phi }}\;$ kładąc ${\hat {F}}({\hat {\Phi }})={\hat {\Phi }}\;$, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator ${\hat {\Phi }}\;$, a pędu operator "pędu" ${\hat {\Pi }}\;$, korzystając z faktu (34.28), a także (34.30), jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory ${\hat {\Phi }}\;$ i $\delta {\hat {\Phi }}\;$ są nawzajem przemienne.

$\delta {\hat {\Phi }}(x,t)=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\Phi }}(x,t),{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=-{{i\hbar ^{2}} \over {2m_{0}\hbar c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\;$
$=-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)$

(34.31)

Równość (34.31) jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.

$[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]=i{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\delta ^{3}(x-x_{1})\;$

(34.32)

Możemy wykorzystać (34.32) i udowodnić stwierdzenie (34.31), który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości:

$-i{{\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\int d^{3}x\delta ^{3}(x-x_{1})\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)\;$

(34.33)

Zdefiniujemy nowy operator ${\hat {G}}\;$, który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ (34.28) i pędowej ${\hat {G}}_{\Pi }\;$ (34.29), jako:

${\hat {G}}(x,t)={{1} \over {2}}\left({\hat {G}}_{\hat {\Phi }}+{\hat {G}}_{\hat {\Pi }}\right)\;$

(34.34)

Ogólnie mamy według zasady (34.18) możemy napisać wariację operatora ${\hat {F}}\;$, którego definicja jest:

$\delta {\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\hat {F}}},{\hat {G}}]\;$

(34.35)

Podstawiając za ${\hat {G}}_{\hat {\Phi }}\;$ (34.28) i za ${\hat {G}}_{\hat {\Pi }}\;$ (34.29) we (34.34), a także przyporządkujemy za funkcję ${\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})\;$ operator położenia, czyli napiszemy jego definicję ${\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})={\hat {\Phi }}\;$, na podstawie (34.35) możemy dojść do wniosku:

$\delta {\hat {\Phi }}=-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Phi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Pi }}(x_{1},t)-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)\;$

(34.36)

By tożsamość (34.36) była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":

$[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Phi }}(x_{1},t)]=0\;$

(34.37)

$[{\hat {\Pi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]=0\;$

(34.38)

Zasada wariacyjna, a pole Diraca

Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie (29.43) dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:

$S={{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\mathfrak {L}}={{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\left(i\hbar c{\overset {\leftrightarrow }{\not {\partial }}}-m_{0}c^{2}\right)\psi =\;$
$={{1} \over {c}}\left[{{i\hbar c} \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -{{i\hbar c} \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}m_{0}c^{2}\psi {\overline {\psi }}\right]\;$

(34.39)

Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji ψ, korzystając z definicji funkcjonału (34.39):

$\delta S_{\psi }={{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\delta \psi )-{{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\left({{i\hbar c} \over {2}}\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}+m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\right)\delta \psi \;$

(34.40)

Pierwszy składnik w (34.40) możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora $\gamma ^{\mu }\;$ (29.37).

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta {{\partial } \over {\partial t}}(\delta \psi )+{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta \alpha \nabla (\delta \psi )\;$

(34.41)

Dokonajmy całkowania pierwszej całki występujące w obliczeniach (34.41) poprzez całkowanie przez części:

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta {{\partial } \over {\partial ct}}(\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{{\partial {\overline {\psi }}} \over {\partial t}}{\hat {\beta }}(\delta \psi )\;$

(34.42)

Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach (34.41) przez części, zatem:

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\nabla (\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\psi \right]_{x_{1}}^{x_{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\nabla {\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\delta \psi =-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\nabla {\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\delta \psi$

(34.43)

W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać. Wyrażenie , przy pomocy obliczeń i , piszemy: Następnie wstawiamy wyrażenie do wariancji funkcjonału , mamy: Drugi wyraz w jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej , to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":

Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy ψ operatorem "pędu" a ψ⁺ operatorem "pędu" , wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. i , które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:

Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do i , zatem: Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora i definicji operatora podaną w punkcie :

Korzystając ze wzoru , który jest słuszny również tutaj przy definicji , i biorąc funkcje korzystając z założenia, że operatory oraz antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej wniosek: We obliczeniach zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:

Wtedy wyrażenie przy pomocy możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest: Dalej, gdy obierzemy inny operator , możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością: W obliczeniach nalezy wykorzystać warunek i na jej podstawie wynika też tożsamość:

Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:

Wstawiamy równanie do równania pola Kleina-Gordona dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy: Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L. Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:

Wszystkie te trzy warunki tzn. , oraz sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3: Wektor falowy, na podstawie obliczeń , możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:

Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona , możemy napisać w bazie na funkcjach , , przyjmuje postać: Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" , co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując względem czasu, stąd: W i uważaliśmy za pewne funkcje i jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako oraz , którego definicję podamy najpierw dla operatora zapisanej według tożsamości zastępując przy okazji b⁺ i b^- przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek: A później dla operatora zapisanej według tożsamości zastępując w nim przy okazji b⁺ i b^- przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać: Operator mnożymy przez , a przez jednostkę urojoną , następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań: Pomnóżmy pierwszą równość układu równań przez: , a drugą przez: , dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując: Przy obliczeniach w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności: Z układu równań można otrzymać układ równań na operatory kreacji i anihilacji w zależności od operatorów "położenia" i "pędu" w postaci układu dwóch równań: Policzmy teraz komutator korzystając z układu równań : Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu , który przepiszemy i rozwiniemy poniżej: Wyrażenie , które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie , do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne , i , by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji: Gdy założymy w obliczeniach , że mamy , to otrzymujemy tożsamość: Ale gdy założymy w obliczeniach , że zachodzi: , to na pewno otrzymujemy: Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. i dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady: Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów : W obliczeniach w wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów: Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji: W obliczeniach w wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu: W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale "Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów".