Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

Cząstki elementarne

Zajmować się tutaj będziemy poziomem cząstek elementarnych, tzn. 1 TeV=10¹²eV, przypominając przy tym, że poziom atomowy jest o energii ~10-10⁴ przy wielkości r~10^-10, a poziom jądrowy jest przy energiach ~10⁶-10⁸eV przy odległościach r~10^-15=1 fm (fermi).

Zdolność rozdzielcza wiązki padającej na badaną cząstkę

W fizyce cząstek elementarnych jeśli do badania cząstek elementarnych używa się dużych energii, co można policzyć dzięki jej zdolności rozdzielczej λ równej λ=h/p. Jeśli płaszczyzna padania cząstek o pędzie p jest pod kątem θ, wtedy zdolność rozdzielczą liczymy jako:

$\Delta r\simeq{{\lambda}\over{\sin\theta}}={{h}\over{p\sin\theta}}\simeq{{h}\over{q}}\;$

(1.1)

Gdzie q jest to pęd przekazywany cząstką lub fotonom, gdy przekazywany jest pęd na badanym przedmiocie.

Układ jednostek w fizyce cząstek elementarnych

W fizyce cząstek elementarnych rozmiary są rzędu 10^-15, a masy nasza są rzedu 10^-27, i dlatego używa się za jednostkę długości 1 fm równej 10^-15, i np. średnica protonu jest 0,8 fm. Jednostkami energii są GeV, i dlatego jednostką masy jest GeV/c². Często w obliczeniach pojawia się wielkość $\hbar=h/2\pi\;$. A jednostce czasu odpowiada odwrotność jego $\hbar/GeV\;$.

Czteropęd w fizyce cząstek elementarnych

Kwadrat czteropędu w fizyce cząstek elementarnych odpowiada wielkość (SCW-3.11). Stąd kwadrat całkowitego czteropędu pędu przedstawiamy poprzez wzór (SCW-3.9). Jeśli mamy cząstę o masie m_A i energii E_A i o pędzie p_A i podobnie dla drugiej cząstki.

$p^2=(E_A+E_B)^2/c^2-(\mathbf{p}_A+\mathbf{p}_B)^2={{E_A^2+E_B^2+2E_AE_B}\over{c^2}}-\mathbf{p}^2_A-\mathbf{p}^2_B-2\mathbf{p}_A\mathbf{p}_B=\;$ $=m_A^2c^2+m_B^2c^2+2E_AE_B/c^2-2\mathbf{p}_A\mathbf{p}_B\;$

(1.2)

Jeśli cząstka tarczy spoczywa w układzie laboratoryjnym, to wtedy p_B=0 i wtedy E_B=m_Bc², co na podstawie tego powiemy:

$p^2=m_A^2c^2+m_B^2c^2+2E_Am_B\;$

(1.3)

Fermiony w fizyce

Są to cząstki o spinie ${{1}\over{2}}\;$, które to w modelu standardowym odpowiadają sześć kwarków i sześć leptonów. Leptony mają całkowity ładunek ujemny |e|, a zaś kwarki cześć ułamkową |e|. Elektron jest cząstką, która nie może się rozpaść wcale, dalszymi leptonami są μ i τ. Czas średni życia μ(mionu) jest 2,2⋅ 10^-6s, a (τ)taonu jest 2,9⋅10^-13s. Każdej z tych cząstek odpowiada pewne neutrino o ładunku zerowym , której oznaczamy przez ν, a do jakiej cząstki odpowiada to neutrino jest wskazane jego prawym dolnym indeksem. Wyróżniamy kwarki u (kwarki górne),d (kwarki dolne), których ładunki to +2/3 |e| i dalej s ( kwarki dziwne), c (kwarki powabne) i na samym końcu b (kwarki piękne) i t(kwarki top), której ładunki to -1/2 |e|. Masa kwarków rośnie z lewej na prawą. Całkowity ładunek u, c, t jest 3⋅3⋅2/3=6, a kwarków d, s, b -3⋅3⋅1/3=-3, a leptony mają ładunek -3⋅1, a zatem całkowity ładunek leptonów jest zero.

Oddziaływania i pola w przyrodzie

Mamy cztery oddziaływania jądrowe, w tym: grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne, podamy teraz ich stałą sprzężenia, zasięg i czas charakterystyczny:

	Rodzaj oddziaływania	Cząstka pośrednicząca	Spin/Parzystość	Stała sprzężenia	zasięg [m]	czas charakterystyczny [s]
1	Grawitacyjne	grawiton g	2+	10-38	∞	-
2	elektromagnetyczne	foton γ	1-	${{1}\over{137}}\;$	∞	10-18
3	słabe	W±,Z0	1-,1+	10-7	10-18	10-10
4	silne	gluon G	1-	1	10-15	10-23

Fermiony i bozony w fizyce

Fermiony mają spin $\left({{1}\over{2}}\hbar,{{3}\over{2}}\hbar,...\right)\;$ i podlegają statystyce Fermiego-Diraca, natomiast cząstki o spinie całkowitej, tzn. $(0,\hbar,2\hbar,...)\;$. Przestawienie pomiędzy cząstkami nie zmienia wartości |ψ|², bo nasze cząstki są nierozróżnialne w mechanice kwantowej. W przypadku fermionów mamy przy zamianie pomiędzy cząstkami pojawia się znak minus przed cząstkami, a w przypadku bozonów takowy znak minus się nie pojawia.

Istnienie cząstek i ich odpowiedników antycząstek

Związek pomiędzy pędem cząstki a całkowitą energią cząstki jest napisany związkiem poniżej, co w tym samym punkcie podamy energię cząstki wynikającej z tego warunku:

$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2\Rightarrow E=\pm\sqrt{(p^2c)^2+(m_0c^2)^2}\;$

(1.4)

Rozwiązanie dodatnie w (1.4) odpowiada cząstce, a ujemnej antycząstce. Funkcja falowa, której odpowiada cząstką jest wyrażony poniżej, której energia w zależności od pędu jest przedstawiona:

$\psi(x)=Ae^{i{(Et-px)\over{\hbar}}}\;$

(1.5)

Prędkość falową cząstki, a także liczbę falową wyrażamy wzorami: $\omega={{E}\over{\hbar}}\;$, $k={{p}\over{\hbar}}\;$. Powyższy wzór dotyczy cząstki o pędzie p i energii E. A jeśli mamy pęd -p, i energię -E. Te pierwsze cząstki poruszają do przodu w czasie, a te drugie do tyły w czasie.

Równania w mechanice kwantowej opisującej cząstkę swobodną obdarzoną ułamkowym spinem

Równanie falowe pierwszego rzędu, w którym pochodne względem współrzędnych przestrzenne i czasu występuje są pierwszego rzędu przedstawiamy:

${{1}\over{c}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\pm\left(\sigma_1{{\partial\psi}\over{\partial x}}+\sigma_2{{\partial\psi}\over{\partial y}}+\sigma_3{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)=\mathbf{\sigma}\cdot{{\partial\psi}\over{\partial\mathbf{r}}}\Rightarrow {{1}\over{c}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\mp\mathbf{\sigma}\cdot{{\partial\psi}\over{\partial\mathbf{r}}}=0\Rightarrow \left({{1}\over{c}}{{\partial}\over{\partial t}}\pm\mathbf{\sigma}{{\partial}\over{\partial\mathbf{r}}}\right)\psi=0\;$

(1.6)

W którym poszczególne macierze σ_i są równe jeden, a wielkość σ₁σ₂+σ₂σ₁=0. Jeśli równanie (1.6) pomnożymy przez operator ${{1}\over{c}}{{\partial}\over{\partial t}}\mp\mathbf{\sigma}{{\partial}\over{\partial\mathbf{r}}}\;$ i zakładając, że pochodna jest równa zero, to wtedy otrzymamy równanie:

${{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(1.7)

dla m₀ równego zero. Równanie (1.6) jest równaniem zależnym od czasu, a równanie własne na energię jest:

$E\phi=-\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{p}\phi\;$ (1.8)

$E\psi=+\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{p}\psi\;$ (1.9)

Ponieważ fermion posiada człon masowy m₀, to wtedy (1.6) rozszerzony o człon masowy wyraża się równaniem:

$E\psi=(\mathbf{\alpha}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{\beta}m_0)\psi\;$

(1.10)

wtedy powiemy, że zachodzi:

$\mathbf{\alpha}=\begin{pmatrix}0&\sigma\\ \sigma&0\end{pmatrix}\;$ (1.11)

$\mathbf{\beta}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\;$ (1.12)

Skrętność fermionu, a jego zachowanie

Dla dodatniej energii $E=|\mathbf{p}|\;$ skrętność równanie (1.8) powiązana jest równaniem poniżej, jest ona ilorazem iloczynu wielkości σ⋅p przez wielkość p pomnożonej przez wielkość |φ|, która jest równa z dokładnością do znaku funkcji falowej φ.

${{\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{p}}\over{|\mathbf{p}|}}\phi=-\phi\;$

(1.13)

Patrząc na wzór (1.13) ogólnie skrętność jest równa wartości bezwzględnej z jedynki, którą definiujemy przez:

$\mathbf{H}={{\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{p}}\over{|\mathbf{p}|}}=-1\;$

(1.14)

Jest to wielkość zetowa $\pm{{1}\over{2}}\hbar\;$ na oś zetową, ogólnie mamy H=±1, gdy H=+1 co odpowiada śrubie prawoskrętnej cząstki, a H=-1 śrubie lewoskrętnej cząstki. Dla cząstek jest Wielkością lorentzowską niezmienniczą wielkość dla cząstek nie posiadającej masy spoczynkowej, czyli zgodnie z ze szczególną teorią względności te cząstki poruszają się z prędkością światła. Gdy mamy doczynienia z możliwościami oddziaływań związanych z polami wektorowymi lub psełdowektorowymi, które w tych polach mamy do czynienia z wymianą bozonów wektorowych lub psełdowektorowych, oczywiste jest, że przy energiach relatywistycznych skrętność jest zachowana, natomiast oddziaływania skalarne nie zachowują skrętności. W równaniach człon reprezentujących człon masowy jest typu skalarnego.

Leptony naładowane i obojętne

Każdemu leptonowi naładowanemu odpowiada leptom obojętny neutrino, która jak się przypuszcza jest leptonem bezmasowym (o masie spoczynkowym równej zero). Podamy teraz tabelkę dotycząca ile wynoszą masy poszczególnych cząstek, które w tym w przypadku stanowią leptony.

Zapach	Masa leptonu (bez neutrin)	Jp	Średni czas życia τ[s]	Sposoby rozpadu	Masa neutrinów
e	me=0,511 MeV	${{1}\over{2}}\;$	≥4,2⋅1024lat		mνe≤10 eV
μ±	mμ=105,66 MeV	${{1}\over{2}}\;$	≥2,197⋅10-6lat	$\mu^-\rightarrow e^-+\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu}\;$	mνμ≤0,16 MeV
				$\mu^+\rightarrow e^++\nu_e+\tilde{\nu}_{\mu}\;$
τ±	mτ=1777 MeV	${{1}\over{2}}\;$	≥2,906⋅10-13lat	$\tau^-\rightarrow e^-+\tilde{\nu}_{e}+\nu_{\tau}\;$	mντ≤18 MeV
				$\tau^+\rightarrow e^++\nu_{e}+\tilde{\nu}_{\tau}\;$

Są też takie liczby jak liczby leptonowe L_e, L_μ, L_τ, ta wielkość jest równa jeden gdy ona dotyczy neutrina lub cząstki o danym zapachu, o którym jest mowa w indeksie w L. Oczywiste jest, że antycząstki mają wartości -1 analogicznie. Elektrony, miony i taony oddziaływują elektromagnetycznie i słabo, a neutrina tylko słabo. Neutrina są lewoskrętne H=-1, a antyneutrina dla zupełności są prawoskrętne H=+1.

Kwarki, bariony i mezony czyli hadrony

Istnieje sześć zapachów kwarków, które podamy w tabelce poniżej:

Zapach	Liczba kwantowa	Masa spoczynkowa GeV/c2
górny (u), dolny (d)	-	mu≈md≈0,31
dziwny (s)	S=-1	ms≈0,50
powabny (c)	C=+1	mc≈1,6
piękny (b)	B=-1	mb≈4,6
top (t)	T=+1	mt≈180

Bariony są to cząstki zbudowane z trzech kwarków QQQ, ale istnieje też układ kwark-antykwark $Q\overline{Q}$ zwanych mezonami, te kwarki ogólnie są zwane hadronami, opis oddziaływań pomiędzy kwarkami jest opisywany przez chromodynamikę kwantową.

Mezony o liczbie barionowej równej zero (B=0):

Cząstka	Masa [MeV/c2]	S	Jp	I	Średni czas życia τ[s]	Sposoby rozpadu
$\pi^{\pm}\;$	139,57	0	0-	1	2,60⋅10-8	$\pi^+\rightarrow\mu^++\nu_{\mu}\;$
						$\pi^-\rightarrow\mu^-\tilde{\nu}_{\mu}\;$
$\pi^0\;$	134,98	0	0-	1	8,4⋅10-17	$\pi^0\rightarrow 2\gamma\;$
K±	493,68	±1	0-	${{1}\over{2}}\;$	1,24⋅10-8	$K^+\rightarrow\pi^++\pi^++\pi^-\;$
						$K^+\rightarrow\pi^++\pi^0+\pi^0\;$
						$K^+\rightarrow \pi^-+\pi^-+\pi^+\;$
$K^0_S$	497,67	+1	0-	${{1}\over{2}}\;$	8,94⋅10-11	$K^0_S\rightarrow\pi^++\pi^-\;$
						$K^0_S\rightarrow \pi^0+\pi^0\;$
$K^0_L$					5,17⋅10-8	$K^0_L\rightarrow 3\pi^0\;$
						$K^0_L\rightarrow \pi^++\pi^-+\pi^0\;$
						$K^0_L\rightarrow\pi^++\mu^-+\tilde{\nu}_{\mu}\;$
						$K^0_L\rightarrow\pi^{+}+e^-+\tilde{\nu}_e\;$
						$K^0_L\rightarrow\pi^{-}+e^{+}+\nu_e\;$

Bariony o liczbie barionowej równej jeden (B=1):

Cząstka	Masa [MeV/c2]	S	Jp	I	Y	<q>	Średni czas życia τ[s]	Sposoby rozpadu
p	938,27	0	${{1}\over{2}}^+\;$	${{1}\over{2}}\;$	1	$+{{1}\over{2}}\;$	≥1032 lat
n	939,57	0	${{1}\over{2}}^+\;$	${{1}\over{2}}\;$	1	$+{{1}\over{2}}\;$	886,7	$n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e\;$
Λ	1115,68	-1	${{1}\over{2}}^+\;$	0	0	0	2,63⋅10-10	$\Lambda\rightarrow p+\pi^-\;$
								$\Lambda\rightarrow n+\pi^0\;$
Σ;+	1189,37	-1	${{1}\over{2}}^+\;$	1	0	0	8,02⋅10-11	$\Sigma^+\rightarrow p+\pi^0\;$
								$\Sigma^+\rightarrow n+\pi^+\;$
Σ0	1192,64	-1	${{1}\over{2}}^+\;$	1	0	0	7,4⋅10-20	$\Sigma^0\rightarrow\Lambda+\gamma\;$
Σ-	1197,45	-1	${{1}\over{2}}^+\;$	1	0	0	1,48⋅10-10	$\Sigma^-\rightarrow n+\pi^-\;$
Ξ0	1314,83	-2	${{1}\over{2}}^+\;$	${{1}\over{2}}\;$	-1	$-{{1}\over{2}}\;$	2,90⋅10-10	$\Xi^-\rightarrow \Lambda+\pi^0\;$
Ξ-	1321,31	-2	${{1}\over{2}}^+\;$	${{1}\over{2}}\;$	-1	$-{{1}\over{2}}\;$	1,64⋅10-10	$\Xi^-\rightarrow\Lambda+\pi^-\;$
Ω-	1672,45	-3	${{3}\over{2}}^+\;$	0	-2	-1	8,21⋅10-11	$\Omega^-\rightarrow\Lambda+K^-\;$
								$\Omega^-\rightarrow\Xi^0+\pi^-\;$
								$\Omega^-\rightarrow\Xi^-+\pi^0\;$

Cząstki elementarne w kosmologii

Przyjmuje się, że wszechświat ma wiek 10-15 mld lat. Na samym początku ekspansji wszechświata temperatura w zależności od czasu i pewnej bliżej nieokreślonej stałej zmieniała się według wzoru:

$k_BT=\operatorname{const}\cdot{{1 MeV}\over{t^{{{1}\over{2}}}}}\;$

(1.15)

Aspekty potwierdzające Wielki Wybuch jest hipoteza Hubble'a wysunięta w roku 1929 roku, co ona mówi, że prędkość oddalania się dwóch obiektów jest wprost proporcjonalna do odległości tych obiektów od siebie. Stała występująca we wzorze (1.15) jest stałą bliską jedności, co zależy od liczby podstawowych kwarków i leptonów. Wszystkie leptony nie licząc elektronu nie odgrywają już dziś wielkiej roli w skali kosmicznej. Na początku wybuchu wszechświata temperatura była na tyle wysoka by wytworzyć wszystkie dzisiaj obserwowane cząstki elementarne w laboratoriach fizycznych. Promieniowanie zbudowane z fotonów były w równowadze z tamtymi fotonami. Pozostałością po Wielkim Wybuchu jest promieniowanie reliktowe i jest ono izotropowe i spełnia rozkład ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7 K.

Teoria oddziaływań i pól kwantowych

W teorii oddziaływania przyjmuje się, że oddziaływania są wynikiem wymiany między sobą bozonów, to musi odbywać się w czasie krótszym niż Δt określonym przez równanie $\Delta E\Delta t\simeq \hbar\;$, takie cząstki nazywamy wirtualnymi. Kwantowa teoria oddziaływania w oddziaływaniu elektromagnetycznym, to ciągła wymiana fotonów pomiędzy cząstkami naładowanymi. Pola, ani kwanty nie są obserwowalne bezpośrednio.

Teoria pól kwantowych Yukawy

Poszukując krótkozasięgowe oddziaływanie pomiędzy protonami, a neutronami w jadrach, można opisywać bezpośrednio za pomocą równania kwantowego Klieina-Gordona:

${{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\Delta\psi-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(2.1)

Gdy będziemy rozpatrywać będziemy pola bez udziału czasu, i zakładając, że funkcja jest zależna tylko od od "r":

$\Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;$

(2.2)

Pamiętając, że zachodzi (2.1), a także (2.2), to wtedy na podstawie tego zależność potencjału od "r" i od stałej g₀, jest w postaci:

$U(r)={{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}\mbox{ gdzie R}={{\hbar}\over{m_0c}} \;$

(2.3)

Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia (2.3) względem "r" w zależności od parametru g₀, m₀ i $\hbar\;$ i stałej R zależnej od stałej kreślonej Planka, masy spoczynkowej bozonu i prędkości światła:

${{\partial U(r)}\over{\partial r}}=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}-{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=-{{g_0}\over{4\pi}}e^{-{{r}\over{R}}}\left({{1}\over{r^2}}+{{m_0c}\over{r\hbar}}\right)\;$

(2.4)

Następnym krokiem jest policzenie pochodnej względem "r" podzielonej przez r² iloczynu kwadratu "r" i pochodnej cząstkowej wielkości U(r) względem "r":

$\Delta U(r)=\nabla^2U(r)={{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(r^2{{\partial U}\over{\partial r}}\right)=-{{g_0}\over{4\pi r^2}}{{\partial}\over{\partial r}}e^{-{{r}\over{R}}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)=\;$ $={{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}\left(1+{{m_0c}\over{\hbar}}r\right)-{{g_0}\over{4\pi r^2}}e^{-{{r}\over{R}}}{{m_0c}\over{\hbar}}=\left({{m_0c}\over{\hbar}}\right)^2{{g_0}\over{4\pi r}}e^{-{{r}\over{R}}}={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}U(r)\;$

(2.5)

wtedy równanie (2.1) dla przypadku stacjonarnego po działaniu operatorem Δ funkcję U(r), czyli (2.5), stąd rozwiązaniem (2.1) jest (2.3).

Transformata pędu cząstki

Napiszmy ile wynosi transformata Fouriera cząstki potencjału $U(r)=e^{-{{r}\over{R}}}\;$ (2.3), którą napiszemy po całkowitej przestrzeni względem przekazu pędu q. Ją piszemy jako w układzie współrzędnych kulistych, zakładając przy okazji, że pęd q jest równoległy z osią zetową:

$f(\vec{q})=g\int U(\vec{r})e^{i{{\vec{q}\vec{r}}\over{\hbar}}}dV=g\int\int\int U(r)e^{{{i rq\cos\theta}\over{\hbar}}}r^2d\phi\sin\theta d\theta dr=\;$ $=2\pi g\int_0^{\infty}\int_{0}^{\pi}U(r)e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}e^{i{{qr}\over{\hbar}}\cos\theta}\sin\theta d\theta=\;$ $=-2\pi g\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\int_{0}^{\pi}{{\hbar}\over{iqr}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}\cos\theta\right)^{'}d\theta= 2\pi g{{\hbar}\over{iqr}}\int_{0}^{\infty}dr U(r)r^2\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=\;$ $= g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}dr e^{-{{r}\over{R}}}\left(e^{i{{qr}\over{\hbar}}}-e^{-i{{qr}\over{\hbar}}}\right)=g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\int_0^{\infty}\left[e^{r\left(-{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}\right)}-e^{-r\left({{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}\right)}\right]=\;$ $= g_0g{{\hbar}\over{2iq}}\left({{1}\over{-{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}}}+{{1}\over{{{1}\over{R}}+i{{q} \over{\hbar}}}}\right)={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}\left({{1}\over{-m_0c+iq}}+{{1}\over{m_0c+iq}}\right)=\;$ $= {{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{m_0c+iq-m_0c+iq}\over{m_0^2c^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{2iq}}{{2iq}\over{(m_0c)^2+q^2}}={{g_0g\hbar^2}\over{(m_0c)^2+q^2}}$

(2.6)

Powyższa dyskusja dotyczy rozpraszania cząstki o stałej sprzężenia g opisanej równaniem (2.6) dla potencjału U(r) zależnej tylko od promienia położenia cząstki na danym potencjale i niezależnej od współrzędnych cząstkowych. U(r) jest to pole statyczne. Propagacja bozonu opisuje rozpraszanie elastyczne na danym potencjale. Proces wymiany dwóch bozonów dla przypadków opisujących cząstkę rozpraszającą a cząstką rozpraszaną propagator bozonu jest iloczynem stałych sprzężenia g i g₀ przez sumę kwadratów m₀c i q.

Opis podstawowych oddziaływań w przyrodzie

Oddziaływania elektromagnetyczne

Stała sprzężenia, która charakteryzuje cząstki ze sobą oddziaływających piszemy w zależności od ładunku elektronu, stałej prędkości światła, stałej Planka i nazwiemy ją stała struktury subtelnej:

$\alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137,0360...}}\;$

(2.7)

Ona określa rozszczepienie widm atomowych oddziaływań spin-orbita. Pola elektromagnetyczne mogą być transformowane jak wektory i dlatego foton. który jest przekaźnikiem oddziaływania jest cząstką wektorową. Jeśli będziemy definiować moment magnetyczny jako:

$\mu=g\hbar\mu_{B}s\;$

(2.8)

gdzie s=1/2, w teorii Diraca (mechanice kwantowej) otrzymujemy g=2. Weźmy ile jest równa wielkość g w elektrodynamice kwantowej jako wielkość odchylenia od liczby g.

$\left({{g-2}\over{2}}\right)^{teor}=0,5\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2-0,32848\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^2+1,19\left({{\alpha}\over{\pi}}\right)^3+...\;$

(2.9)

Bardzo ważną teorią jest elektrodynamika kwantowa QED. Ta owa teoria opisuje właściwości zwane renormalizowalnością i niezmienniczością względem cechowania.

Odziaływanie tego samego elektronu na ten sam poprzez fotony wirtualne

Rysunek obok przedstawia pojedynczy elektron, który oddziaływuje sam ze sobą poprzez fotony wirtualne lub ona przedstawia wirtualną parę cząstek elektron-pozyton. Linie elektronowe dla diagramach Feymanna reprezentuje sam "goły" elektron ubrany w procesy, które stanowią procesy wirtualne poprzez wymianę fotonów wirtualnych. Ograniczenia na pęd "k" nie ma. W teorii QED występują rozbieżne całki, które można zastąpić predyfiniując ładunek i masę, który zawsze występuje w obliczeniach z czynnikiem multiplikatywnym, która posiada całkę rozbieżną. Zatem te dwa ładunki można zastąpić przez wielkości mierzone doświadczalnie, tzn. e i m. Taki stan postępowania nazywamy renormalizacją. Okazuje się, że QED stała sprzężenia wcale nie jest stałą, tylko zależy w skali logarytmicznie od energii w dokonywanym procesie. Bardzo ważnym elementem jest niezmienniczość względem cechowania, co jest ważne do teorii renormalizowalności. Dla rzędu skali energii Z⁰ współczynnik sprzężenia wynosi 1/128, a nie 1/127.

Oddziaływanie silne

Rozpatrzmy cząstkę Σ⁰(uds), która rozpadać się może na cząstki Λ i γ, a silne rozpady tej cząstki są zabronione, ze względu na zasadę zachowania izospinu, a Λ jest stanem singletowym i ma spin 1/2, natomiast na rozkład Λ i π⁰ zachodzi z oddziaływaniem silnym, dalej cząstka Σ⁺ są barionami o spinie 1/2 i jej rozkład może zachodzić z użyciem oddziaływania silnego.

Barion	Skład	Wartość energii rozpadu Q [MeV]	Sposoby rozpadu	Czas życia [s]
Σ0	uds	74	$\Sigma\rightarrow\Lambda^0+\gamma\;$	10-19
Σ0	uds	208	$\Sigma\rightarrow\Lambda^0+\pi^0\;$	10-23
Σ+	uus	189	$\Sigma\rightarrow p+\pi^0\;$	10-10

Diagram Feynmana proton-neutron rozpraszania któremu pośredniczy pion, pojedyncze kwarki są pokazane na rysunku obok w rozkładając je na układ kwarków

Oddziaływanie silnie spotykamy w oddziaływaniach pomiędzy neutronami i protonami, a także pomiędzy kwarkami. Stosunek stałej sprzężenia oddziaływania silnego przez stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego jak udowodnimy jest równy w przybliżeniu sto, czyli:

${{\alpha_s}\over{\alpha}}\sim\sqrt{{{10^{-19}}\over{10^{-23}}}}\sim 100\;$

(2.10)

Ale ponieważ stała sprzężenia w oddziaływaniu elektromagnetycznym jest równa (2.7), zatem stała sprzężenia oddziaływania silnego jest równa w przybliżeniu jeden (α_s≈1). Oddziaływania pomiędzy kwarkami w oddziaływaniu silnym zachodzi poprzez wymianę gluonu, który jest obojętny elektrycznie, jest ona cząstką wektorową o parzystości J^p=1^-. W teorii oddziaływania między kwarkami istnieje 6 typów silnych ładunków kolorowych, przy czym każdy kwark niesie jeden ładunek kolorowy, czyli czerwony, zielony i niebieski, a antykwark odpowiednio antykolory. Sam gluon jest również obdarzony ładunkiem kolorowym, i dlatego one mogą bezpośrednio oddziaływać. W teorii QED istnieją sprzężenia pomiędzy bozonami przenoszących oddziaływanie, co jest charakterystyczne dla teorii nieabelowych, a elektrodynamika kwantowa jest teorią abelową. Gluony przenoszą jednocześnie ładunek kolorowy i antykolorowy, a tych kombinacji jest 3²=9. Istnieje osiem stanów gluonowych, tzn. $r\overline{r}+b\overline{b}+g\overline{g}\;$.

Oddziaływanie silne (człon przyciągający i odpychający)

Oszacowaliśmy że α_s, które odpowiadają wymianie jednego gluonu, a za wymiany wielogluonowe odpowiedzialne są kolejne człony potęgi stałych sprzężenia oddziaływania silnego. Potencjał pola silnego zależny od "r", a także od "k" i od stałej sprzężenia α_s piszemy:

$V_s=-{{4}\over{3}}{{\alpha_s}\over{r}}+kr\;$

(2.11)

Pierwszy człon jest dominujący przy małych odległościach, a w przypadku drugim dla dużych odległości. Czynnik 4/3 w (2.11) jest uzasadniany tym, że mamy osiem stanów kolorowych, które uśredniamy po trzech stanach gluonowych. Drugi wyraz w (2.11) odpowiada z uwięzieniem kwarków w cząstkach elementarnych. Próby oderwania kwarku z cząstki elementarnej powoduje produkowanie nowych mezonów, za co jest odpowiedzialny drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne. Podczas anihilacji elektronu i pozytonu, co wyniku której powstaje hadron, antyhadron, który jest fragmentacją kwarków.

Oddziaływanie słabe i elektrosłabe

Można zauważyć porównując rozpad zmieniający dziwność $\Sigma^+\rightarrow p+\pi^+\;$, a także rozpad elektromagnetyczny $\Sigma^0\rightarrow\Lambda+\gamma\;$ zauważamy, że stała oddziaływań słabych jest mniejsza stałej oddziaływań elektromagnetycznych α o czynnik $\sqrt{10^{-19}/10^{-10}}\sim 10^{-5}\;$. Pomiędzy kwarkami i leptonami te oddziaływania zachodzą, z której z każdej tych oddziaływań przepisujemy ładunek "g". Oddziaływania słabe są całkowite przesłonięte przez znacznie silne oddziaływanie elektromagnetyczne i silne, chyba że zostaje wykluczone z których z tych oddziaływań przez jakąś zasadę zachowania. Obserwowane słabe oddziaływanie wiąże się z neutrinami lub z procesami zmiany zapachu kwarku, czyli ΔS=1, ΔC=1, co jest nie możliwe w oddziaływaniu silnym.

Oddziaływanie słabe podczas rozpadu neutronu na elektron, proton i antyneutrino elektronowe

Przykładami oddziaływań z namiastką oddziaływania stałego są $n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_{e}\;$ i $\tilde{\nu}_{e}+p\rightarrow n+e^+\;$. Oddziaływania słabe są związane z wymianą naładowanych i obojętnych bozonów zwanych bozonami wektorowymi W^±,Z, których masy są M_W=80GeV i M_Z=91GeV, stąd mamy oddziaływania słabe mają krótko zasięgowy zakres. W oddziaływaniu słabym wymiana W^± jest związana ze zmianą ładunku leptonu lub kwarka, ale już z Z⁰ już nie. Propagator bozonu dla oddziaływania słabego określmy przez:

$f(q^2)={{g^2\hbar^2}\over{q^2+(M_{W,Z}c)^2}}\;$

(2.12)

Dla q<<M_W,Zc propagator oddziaływania słabego piszemy przy takim założeniu poprzez:

$G={{g^2(\hbar c)^2}\over{(M_{W,Z}c^2)^2}}=10^{-5}\operatorname{fm}^2\;$

(2.13)

Oddziaływania grawitacyjne

Oddziaływania grawitacyjne nie grają żadnej roli w fizyce cząstek elementarnych. Jeżeli za jednostkę masy będziemy przyjmować mc²=1 GeV, to stała sprzężenia piszemy poprzez stałą grawitacji G_N, stałą Planka kreśloną i prędkość światła, a także w zależności od masy źródła pola grawitacyjnego M, co w takowej sytuacji:

${{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5,34\cdot 10^{-40}\;$

(2.14)

co porównując z stałą sprzężenia oddziaływania elektromagnetycznego (2.7). Dla mas zbliżonych do masy Planka $((\hbar c)/G_N)^{1/2}=1,2\cdot 10^{19}GeV\;$. Dwie punktowe masy o masach Plancka oddalone od siebie o długość Plancka będą miały energię $G_NM_p^2/l_p=M_pc^2\;$ równą energii spoczynkowej ciała o masie spoczynkowej M_p.

Parametry oddziaływań w przyrodzie (Mc²=1 GeV)

W naszej tabeli przedstawimy wszystkie oddziaływania w przyrodzie grawitacyjne, elektromagnetyczne, słabe, silne. A także przedstawimy bozony pośredniczące w tych oddziaływaniach, spin i parzystość, zasięg, stałe sprzężenia, przekrój czynny, czas życia.

	Grawitatyjne	Elektromagnetyczne	Słabe		Silne
kwant pola	grawiton	foton	W±	Z	gluon
źródło	masa	ładunek elektryczny	ładunek słaby		ładunek kolorowy
spin, parzystość	2+	1-	1-	1+	1-
masa [GeV]	0	0	80,2	91,2	0
Zasięg [m]	∞	∞	10-18		≤10-15
stała sprzężenia	${{G_NM^2}\over{4\pi\hbar c}}=5\cdot 10^{-40}\;$	$\alpha={{e^2}\over{4\pi\hbar c}}={{1}\over{137}}$	${{G(Mc^2)^2}\over{(\hbar c)^3}}=1,17\cdot 10^{-5}\;$		$\alpha_s\leq 1\;$
Przekrój czynny		10-33	10-39		≤10-30
czas życia		10-20	10-10		10-23

Przekroje czynne na zachodzące reakcje

Rozważmy reakcję, w której współuczestniczą dwa substraty a i b, wyniku której powstają dwa produkty c i d:

$a+b\rightarrow c+d\;$

(2.15)

Miarą intensywności z jaką zachodzi dana reakcja jest przekrój czynny zachodzącej reakcji (2.15). Wiązka cząstek pocisku uderza w cząstki, które stanowią tarcze, czyli b, którego grubość jest dx, i koncentracja tych cząstek jest n_b. Strumień, która przechodzi przez tarczę definiujemy jako jako iloczyn koncentracji cząstek a i prędkości v_i, na jednostkę czasu:

$\phi=n_av_i\;$

(2.16)

Jeżeli przekrój czynny na zachodzenie reakcji jest σ, to prawdopodobieństwo zachodzenia reakcji jest σn_bdx. A ilość reakcji zachodzącej w przekroju dx jest: φ&sigman;_bdx. Prawdopodobieństwo, że reakcja będzie zachodziła jest W=φσ. Jednostką przekroju czynnego jest 1b=10^-28m². Prawdopodobieństwo zajścia reakcji W wiedząc, że M_if jest to el;ement macierzowy zachodzenia reakcji pomiędzy stanem początkowym, a końcowym stanem reakcji, co można otrzymać z rachunku zaburzeń (jest to całka $\int\psi_f^*U\psi_idV\;$ mając funkcje falowe w stanie początkowym i końcowym zachodzenia reakcji z potencjałem zachodzenia reakcji), piszemy przez:

$W={{2\pi}\over{\hbar}}|M_{if}|^2\rho_f\;$

(2.17)

Jeżeli ρ_f przedstawia ilość stanów końcowych, co można zapisać ją jako pochodną dN/dE, tą wielkość zapiszmy w zależności od pędu i objętości danego układu badanego, w której zachodzi reakcja:

$\rho_f={{dN}\over{dE}}={{V}\over{(2\pi\hbar)^3}}p^2{{dp}\over{dE}}d\Omega\;$

(2.18)

Będziemy przyjmować, że przekrój czynny liczony jest dla objętości V=1 i jednostkowej koncentracji cząstek n_a, wtedy pochodna przekroju czynnego czynnego względem kata bryłowego w układzie środka masy jest:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}={{W}\over{\phi}}={{W}\over{v_i}}={{2\pi}\over{\hbar}}{{|M_{if}|^2}\over{v_i}}{{p_f^2}\over{(2\pi\hbar)^2}}{{dp_f}\over{dE_0}}\;$

(2.19)

Z definicji energii całkowitej dwóch produktów reakcji (2.15) mamy $\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}=E_0\;$, wtedy piszemy pochodną wielkości E₀ względem wielkości p_f:

${{dE_0}\over{dp_f}}={{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}}+{{2p_fc^2}\over{2\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}=\;$ $=2p_fc^2{{\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}+\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}}\over{\sqrt{(p_fc)^2+(m_cc^2)^2}\sqrt{(p_fc)^2+(m_dc^2)^2}}}={{p_fc^2E_0}\over{E_cE_d}}\Rightarrow{{dp_f}\over{dE_0}}={{E_cE_d}\over{p_fc^2E_0}}={{1}\over{v_f}}\;$

(2.20)

Przekrój czynny różniczkowy zachodzącej reakcji (2.15) piszemy na podstawie wzoru (2.19) i (2.20) w sposób:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}={{1}\over{4\pi^2\hbar^4}}|M_{if}|^2{{p_f^2}\over{v_iv_f}}\;$

(2.21)

Jeżeli cząstki w stanie początkowym mają spiny s_a i s_b, a w stanie końcowym spiny s_c i s_d, wtedy liczba stanów dostępnych w stanie początkowym i końcowym jest:

$g_i=(2s_a+1)(2s_b+1)\;$ (2.22)

$g_f=(2s_c+1)(2s_d+1)\;$ (2.23)

Rezonanse podczas zderzenia cząstek i ich rozpady

Średni czas zycia danej cząstki niestabilnej określamy jako odwrotność wielkości W (2.17). Gdy mamy doczynienia z rozpadami silnymi to τ jest niemierzalnie krótkie, i pod tym względem posługujemy się wielkością Γ, która jest szerokością (rozmyciem energii stanu podstawowego):

$\Gamma={{\hbar}\over{\tau}}=\hbar W=2\pi|M|^2\int\rho_fd\Omega\;$

(2.24)

Rozmycie stanu podstawowego definiujemy jako pochodna liczby cząstek A względem czasu przez liczbę cząstek N_A pomnożonej ze znakiem ujemnej przez stałą kreśloną Plancka, z którego obliczymy liczbę cząstek A w zależności od czasu:

$\Gamma=-\hbar{{dN_{A}}\over{dt}}{{1}\over{N_A}}\Rightarrow N_A(t)=N_A(0)e^{-{{\Gamma t}\over{\hbar}}}\;$

(2.25)

Jeżeli mamy kilka kanałów rozpadów, to szerokość energii rozmycia energii stanu podstawowego jest sumą rozmycia poszczególnych energii stanu podstawowych poszczególnych kanałów reakcji. Γ=Σ_iΓ_i. Stanu o dużej szerokości są to stany zwane rezonansami. Równość (2.25) określa kształt rezonansu. Funkcja falowa stanu niestabilnego, którego częstotliwość kołowa jest $\omega_R=E_R/\hbar\;$, gdzie E_R jest to energia rezonansu o czasie życia (2.24):

$\psi(t)=\psi(0)e^{-i\omega_Rt}e^{-{{t}\over{2\tau}}}=\psi(0)e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(iE_R+{{\Gamma}\over{2}}\right)}\;$

(2.26)

Policzmy teraz transfcrmatę funkcji (2.26) względem czasu:

$\chi(E)=\int \psi(t)e^{i{{E}\over{\hbar}}t}=\psi(0)\int e^{-{{t}\over{\hbar}}\left(i(E_R-E)+{{\Gamma}\over{2}}\right)}dt={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}\;$

(2.27)

Prawdopodobieństwo rezonansu utworzenia stanu z cząstek a i b jest wprost proporcjonalne do χ^*(E)χ(E), zatem na tej podstawie (2.27) określamy wzorami:

$\sigma(E)={{K}\over{(E-E_R)-i\Gamma/2}}{{K}\over{(E-E_R)+i\Gamma/2}}=\sigma_{max}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;$

(2.28)

Jak można zauważyć, przekrój czynny maleje do połowy swej wartości w przypadku wzoru (2.28), gdy zachodzi E-E_R=±Γ/2. Fala płaska jest sumą poszczególnych fal o różnych orbitalnych liczbach kwantowych $l\hbar=pb\;$, a b jest parametrem zderzenia, a "p" jest to pęd cząstki. Cząstki o liczbach kwantowych l do l+1 jest o kształcie pierścienia (przy założeniu, że $\not{\lambda}\;$ jest to kreślona długość fali równej $\not{\lambda}=\hbar/p\;$, który piszemy:

$\sigma=\pi\left(b_{l+1}^2-b_l^2\right)=\pi\not{\lambda}^2\left[(l+1)^2-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2\left[l^1+2l+1-l^2\right]=\pi\not{\lambda}^2(2l+1)\;$

(2.29)

Amplituda na rozpraszanie elastyczne maksymalne jest dwukrotne większe niż (2.29), zatem na podstawie wcześniejszych rozważań i (2.28) uwzględniając krotność wynikająca ze stanów spinowych ,mamy:

$\sigma={{4\pi\not{\lambda}(2J+1)}\over{(2s_a+1)(2s_b+1)}}{{\Gamma^2/4}\over{(E-E_R)^2+\Gamma^2/4}}\;$

(2.30)

Rezonanse Δ⁺⁺ w układzie zderzeniowym π⁺ (pion) i p (proton)

Utworzenie cząstki Δ⁺⁺ w wyniku zderzenia pionu i protonu, która po pewnej chwili rozpada się na takie same cząstki z jakich został utworzony, ono zachodzi według:

$\pi^++p\rightarrow\Delta^{++}\rightarrow \pi^++p\;$

(2.31)

Cząstka Δ⁺⁺ ma spin J=3/2, szerokość Γ=120 MeV, a także spiny s_a=s_b=1/2 i s_b=s_π=0. Przekrój czynny na utworzenie tego stanu dla przypadku rozpraszania elastycznego jest $8\pi\not{\lambda}^2\;$ dla tego J, wiedząc (2.29), mając pod uwagę przekrój czynny dla stanu rozproszeniowego.

Rezonans na utworzenie stanu Z⁰

Jest to bozon pośredniczący w oddziaływaniu słabym, jego wartość centralna masy jest 91 GeV, a jego szerokość rezonansu jest Γ=2,5 GeV. Bozon Z⁰ może się rozpaść na hadrony tworząc parę $Q\overline{Q}\;$, a także mogą być to naładowane leptony:

$Z^0\rightarrow e^++e^-\;$ (2.33)

$Z^0\rightarrow\mu^++\mu^-$ (2.34)

$Z^0\rightarrow\tau^++\tau^{-}\;$ (2.35)

a także również na parę leptonów obojętnych:

$Z^0\rightarrow \nu_e+\tilde{\nu}_e\;$ (2.36)

$Z^0\rightarrow\nu_{\mu}+\tilde{\nu}_{\mu}\;$ (2.37)

$Z^0\rightarrow \nu_{\tau}+\tilde{\nu}_{\tau}\;$ (2.38)

Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

Przedstawimy tutaj różnego rodzaju symetrię równań opisujących dany układ równań. Rozpatrywać będziemy transformacje dyskretne, a także i ciągłe.

Wprowadzenie do operatorów translacji

Gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, to pęd i energia całkowita nie zmieniają się w czasie, zatem rozpatrzmy przesunięcie funkcji skalarnej ψ zależącej od wektora wodzącego $\vec{r}\;$.

$\psi(\vec{r}+\delta\vec{r})=\psi(\vec{r})+\delta\vec{r}{{\partial\psi(\vec{r})}\over{\partial\vec{r}}}=\left(\underbrace{1+\delta\vec{r}{{\partial}\over{\partial\vec{r}}}}_{D}\right)\psi(\vec{r})=D\psi;\;$

(3.1)

Jeżeli układ będzie się składał z superpozycji nieskończenie małych superpozycjii, to całkowite przesunięcie przesuniemy poprzez wzór $\Delta\vec{r}=n\delta\vec{r}\;$, wtedy całkowity operator przesunięcia piszemy poprzez:

$D=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+{{i\Delta\vec{r}\vec{p}}\over{n\hbar}}\right)=e^{i\Delta\vec{r}\vec{p}/\hbar}\;$

(3.2)

Wprowadzenie do operatorów obrotów

Operator obrotu przy infinitezymalnym obrocie, tzn. skończony obrót jest sumą poszczególnych infitezymalnych obrotów $\Delta\phi=n\delta\phi\;$, co na tej podstawie otrzymujemy:

$R=1+\delta\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}=1+{{\Delta\phi}\over{n}}{{\partial}\over{\partial\phi}}=1+{{\Delta\phi}\over{-in\hbar}}\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)=1+i{{\Delta\phi}\over{n\hbar}}\hat{J}_z\;$

(3.3)

I wiedząc coś o operatorze momentu pędu (MK-5.46) całkowity operator obrotu o skończony kąt jest to iloczyn poszczególnych infinitezymalnych przesunięć, wtedy możemy pisać:

$R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+{{i\Delta\phi J_z}\over{n\hbar}}\right)^n=e^{i\Delta\phi\hat{J}_z/\hbar}\;$

(3.4)

Parzystość funkcji falowych (inwersja)

Transformacja dyskretna, którą jest inwersja przestrzeni mamy przekształcenia $\vec{r}\rightarrow -\vec{r}\;$. Z tą operacją wiąże się operator parzystości, którego działanie na funkcję $\psi(\vec{r})\;$ piszemy jako:

$\hat{P}\psi(\vec{r})=\psi(-\vec{r})\;$

(3.5)

Wartość własna operatora parzystości odpowiada wartość bezwzględna z jedynki, czyli P=±1. W układzie kulistym transformacji $\vec{r}\rightarrow-\vec{r}\;$ jest równoważna transforfmacji θ→π+θ i φ→π-θ, co daje nam w rezultacie $e^{im\theta}\rightarrow e^{im(\pi+\theta)}=e^{im\pi}e^{im\theta}=(-1)^me^{im\theta}\;$, ale dalej funkcję $P_l^m(cos\phi)\;$ możemy napisać w sposób: $P_l^m(cos\phi)\rightarrow P_l^m(cos(\pi-\phi))=(-1)^{l+m}P_l^m(\cos\phi)\;$. Zatem po działaniu operatorem parzystości na harmoniki sferyczne, otrzymujemy:

$Y^m_l(\phi,\theta)\rightarrow Y^m_l(\pi-\phi,\pi+\theta)=(-1)^lY_l^m(\phi,\theta)\;$

(3.6)

Harmoniki sferyczne mają parzystość (-1)^l, co na to wychodzi, że stany s, d, g, ... mają parzystość dodatnią, a stany p, f, h, ... mają parzystość ujemną. Przy przejściach elektrycznych dipolowych zmiana parzystości podlega regule Δl=±1. Aby parzystość układu atom plus foton była zachowana to parzystość fotonu powinna być równa -1. Parzystość jest liczbą kwantową multiplikatywną, tzn. spełnia parzystość ψ=θ_aθ_b.... W przypadku oddziaływań oddziaływania silnego i elektromagnetycznego liczba kwantowa parzystości jest zachowana. Przykładem reakcji z oddziaływaniem silnym jest p+p→π⁺+p+n, aby parzystość takiego układu reakcyjnego była spełniona pionowi przepisuje się parzystość wewnętrzną i jest ona równa -1, czyli P_π=-1. Parzystość protonu i neutronu przepisuje się liczbę P_n,p=-1. Przykładem reakcji, w których produkowane są cząstki dziwne zawierające kwark dziwny i antydziwny, które są w reakcji produkowane stowarzyszono, tzn. w reakcji p+p→K⁺+Λ+p produkowane są cząstki oczywiście o dziwności S=-1, a także o dziwności S=-1. Względna zmiana parzystości w stosunku do nukleonu jest równa minus jeden.

Właściwości pionu (spin i parzystość) naładowanego π^± i obojętnego π⁰

Będziemy tutaj badali spin i parzystość i przekroje czynne, w której występują piony naładowane i obojętne w różnego rodzaju typu reakcjach.

Spin pionów naładowanych w reakcjach

Weźmy reakcję, która jest odwracalna, w których spin pionu wyznaczono z pomiaru przekroju czynnego reakcji:

$p+p\leftrightarrow\pi^++d\;$

(3.7)

Jeśli będziemy reakcję (3.7) z reakcją w wprost z reakcją odwrotną przy tej samej energii w układzie środka masy, wtedy elementy macierzowe naszej reakcji |M_if|²=|M_if|², co na tej podstawie przekrój czynny na zachodzenie reakcji wprost i odwrotnej w układzie środka masy jest:

$\sigma_{pp\rightarrow\pi^+d}\sim(2s_{\pi}+1)(2s_d+1)p_{\pi}^2\;$ (3.8)

$\sigma_{\pi^+d\rightarrow pp}\sim{{1}\over{2}}(2s_p+1)^2p_p^2\;$ (3.9)

W reakcji odwrotnej (3.7), którego przekrój czynny jest (3.9) występuje czynnyk ${{1}\over{2}}\;$ bo dwa protony w układzie środka masy są nierozróżnialne. Na podstawie tego okazało się, że spin dla pionu naładowanego jest równy zero s_π=0. Jeżeli będziemy rozpatrywać piony obojętne , wtedy rozpad tego pionu następuje na dwa fotonu γ jest:

$\pi^0\rightarrow 2\gamma\;$

(3.10)

Całkowity spin reakcji (3.11) pozostaje niezmieniony.

Parzystość pionów naładowanych w reakcjach

Rozpatrzmy reakcję z pionem naładowanym ujemnie z jądrem tarczą deuteronu d, w której powstają dwa neutrony, tzn.:

$\pi^-+d\rightarrow n+n\;$

(3.11)

Spin deuteronu wynosi s_d wynosi jeden, a pionu s_π=0, to całkowity moment pędu tej reakcji (3.11) w stanie początkowym dla substratów wynosi jeden. Funkcją falową stanu danej cząstki piszemy w jako ψ=φ(x,y,z)α(spin). I oznaczmy zetową współrzędną skierowaną do góry lub do dołu całkowitego momentu pędu, wtedy jednocząstkowe kombinacje stanów neutronów zetowe określamy:

$\alpha(1,1)=\uparrow\uparrow\;$ (3.12)	$\alpha(1,0)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left(\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow\right)\;$ (3.13)
$\alpha(1,-1)=\downarrow\downarrow\;$ (3.14)	$\alpha(0,0)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left(\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\right)\;$ (3.15)

Spin całkowity w reakcji w (3.11) jest równy S=0,1, zatem z kombinacji (3.12), (3.13), (3.14) i (3.15) zetowe współrzędne spinów wynoszą S_z=-1,0,+1. Stan (3.15) jest singletem, tzn. ona zmienia znak przy zamianie funkcji falowych, czyli jest antysymetryczny.

Parzystości pionów obojętnych w reakcjach

Aby wyznaczyć parzystość pionu obojętnego rozpatrzmy reakcję π⁰→2γ. Niech $\vec{k},-\vec{k}\;$ niech to będą wektory pędu fotonów, a niech $\mathfrak(e)_1,\mathfrak{e}\;$ niech to będą wektory polaryzacji, czyli wektorami natężenia pola elektrycznego. Liczba kwantowa moment pędu w reacji napisanej na poczatku tego rozdziału jest równa J=0, a stan końcowy przedstawia dwa identyczne bozony. Funkcje falowe tych bozonów możemy przedstawić w dwojaki sposób: $\psi_1(2\gamma)=A(\mathfrak{e}_1\times\mathfrak{\epsilon})\sim\cos\phi\;$,$\psi_2(2\gamma)=B(\mathfrak{e}_1\times\mathfrak{e}_2)\cdot\vec{k}\sim\sin\phi\;$, gdzie A i B są opewnymi stałym i, a φ jest to wielkość skalarna, która jest parzysta względem inwersji przestrzennej. Prawdopodobieństwa dla kąta pomiędzy płaszczyznami polaryzacji przedstawiamy jako funkcję proporcjonalną do kwadratu sinusa z φ, czyli I(φ)~sin²φ. Czasami rozpatruje się reakcje, w których następuje wewnętrzna konwersja każdego fotonu, typu:

$\pi^0\rightarrow(e^++e^-)+(e^++e^-)\;$

(3.16)

Częstość takich polaryzacji jest w reakcji rozpadu pionu nienaładowanego π⁰→2γ jest z oczywistych względów jest α²≈10^-4.

Spin i parzystość cząstek zapisujemy w sposób: J^p, i jeśli 0^- mówimy, że cząstki są cząstkami opisujących funkcjami psełdoskalarnymi, bo jest opisywana funkcją o właściwościach transfomacyjnych, które mają właściwości psełdoskalara. Natomiast cząstki o spinie i parzystości J=0⁺ jest cząstką skalarną, a J^p=1^- opisuje cząstki wektorowe, a J^p=1⁺ opisuje cząstki o funkcjach falowych psełdowektorowych.

Doświadczenia sprawdzające parzystość cząstek i ich antycząstek

Wewnętrzna parzystość fermionu jest kwestą umowy, a jego względna wartość jest ściśle określona. Produkcja fermion-antyfermion jest dobrze określona, zatem wewnętrzna parzystość fermion-antyfermion powinna być dobrze określona i być wielkością, którą można dobrze zmierzyć. Według kwantowej teorii Diraca fermion i antyfermion powinny mieć dobrze określone przeciwne parzystości, co zostało potwierdzone przez Wu i Shaknowa dla przypadku pozytonium e⁺e^-. Odległość pomiędzy tymi dwoma cząstkami powinna być dwukrotnie mniejsza niż w stanie elektronowym opisywanych według modelu Bohra, ze względu na czynnik 2 występujący w masie zredukowanej. Stan podstawowy naszego układu ¹S₀ jest singletem spinowym, ten stan ulega rozpadowi na dwa fotony γ.

Doświadczenie zastosowujące metodę Wu i Shaknova (1950) z licznika S2 fotonu padają na kostkę rozpraszającą i wyniku czego część promieniowania pada na źródło ⁶⁴Cu, które potem padają na licznik S1 pod kątem φ względem osi zetowej.

Doświadczenie jakie przeprowadzili Wu i Shaknow w 1950 jest taki, że z S1 i S2, w którym znajduje się licznik antracenowy, są tam mierzone częstości koincydencji kwantów γ, które są rozpraszane w blokach glinu względem kąta azymutalnego φ. Z teorii przewidywana anizotropia jest funkcją kąta biegunowego rozpraszania i dochodzi do maksimum dla kąta φ=81^o. Pomiary dały wartości jako stosunek częstości dla kąta 90 stopni przez współczynnik częstości dla kąta zerowego i dały wyniki doświadczeń dały wartość 2,04±0,08. Co jest bliskie przewidywaniu teoretycznym, który wynosi 2,00, co dowodzi prostopadłe ustawienie polaryzacji kwantów γ, co stąd wynika, że fermiony i antyfermiony mają przeciwnie ustawienia parzystości.

Złamanie zasady zachowania parzystości w doświadczeniach

a) Neutrino lewoskrętne,b) neutrino w wyniku inwersji przestrzennej (a) przechodzi w neutrino prawoskrętne (RH), które nie istnieje we wszechświecie.

Oddziaływania silne i elektromagnetyczne zachowują parzystość, natomiast słabe już nie. Złamanie symetrii w oddziaływaniach słabych można pokazać na przykładzie neutrina,. który ma spin 1/2. Weźmy sobie neutrino, który ma skrętność lewoskrętną, jeżeli przy odbiciu aksjalnym wektor pędu neutrina zmienia się na przeciwny, a σ już nie, co otrzymujemy neutrino lewoskrętne, co w przyrodzie nie znajduje się. W doświadczeniach, w których bada się oddziaływania silne i elektromagnetyczne również obserwuje się efekty naruszenia parzystości, ale to występowanie w skali jest niezwykle małe. Hamiltonian układu dla danego przypadku piszemy jako:

$\hat{H}=\hat{H}_{silne}+\hat{H}_{elektromagnetyczne}+\hat{H}_{slabe}\;$

(3.17)

W oddziaływaniach jądrowych stosunek oddziaływań słabych do silnych jest 10^-7, co można zilustrować na przykładzie ¹⁹F*→¹⁹F+γ(110keV), co w stanie początkowym parzystość jest ujemna, a w stanie końcowym parzystość jest dodatnia, ale spin pozostaje ten sam, w którym następuje mieszanie stanów o różnej parzystości. Asymetria co do wektora polaryzacji jest w naszym przypadku Δ=-(18±9)⋅10^-5. Innym przykładem złamania parzystości jest rozpad α stanu ¹⁶O^* o energii 8,87 MeV (¹⁶O^*→¹²C+α). Spin w tym rozpadzie pozostaje zachowany, a parzystość już nie, ona zmienia się z wielkości ujemnej do dodatniej. Szerokość dla tego rozpadu jest Γ_a=(1,0±0,3)⋅10^-10eV, co jest zgodne z przewidywaniami, jeśli będziemy to porównywać z rozpadem elektromagnetycznym ¹⁶O^*→¹⁶O+γ, jest rzędu 3⋅10^-3 eV.

Zasada zachowania w przypadku sprzężenia ładunkowego

Sprzężenie ładunkowe zmienia znak ładunku i momentu magnetycznego na przeciwny mając te same współrzędne (bez inwersji). W elektrodynamice Maxwella sprzężenie ładunkowe wiąże się zmienianiem ładunku (gęstości objętościowej ładunku), natężenia prądu (gęstości natężenia prądu). W relatywistycznej mechanice kwantowej zmiana ładunku wiąże się, ze zmianą cząstki w antycząstkę, tzn. np. E^-→e⁺. Dla biarionów i leptonów zmiana ładunku na przeciwny wiąże się ze zmianą liczby leptonowej i barionowej. W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych są niezmiennicze względem transformacji sprzężenia ładunkowego. Dla przypadku, gdy mamy zderzenia protonu i antyprotonu przekroje czynne na produkcję dodatnio i ujemnie naładowanych mezonów w reakcjach:

$p+\overline{p}\rightarrow\pi^++\pi^-+\cdots\rightarrow K^++K^-+\cdots\;$

(3.18)

zauważono mniej niż 1% naruszenia sprzężenia ładunkowego. Operatorem sprzężenia ładunkowego możemy działać tylko na obojętne bozony, jeśli dokonalibyśmy sprzężenia ładunkowego na funkcję falową dodatniego pionu to w takim razie otrzymalibyśmy by: C|π⁺>→|π^->≠±|π⁺>, Stąd dochodzimy do wniosku, że stanu naładowanych pionów nie mogą być funkcjami własnymi sprzężenia ładunkowego, natomiast stan własny pionu obojętnego już tak, bo zachodzi:

$C|\pi^0\rangle=\pm 1|\pi^0\rangle\;$

(3.19)

Transformacja parzystości P i sprzężenia ładunkowego P oraz operacja parzystości i sprzężenia ładunkowego

Aby ustalić znak w ostatnim działaniu musimy stwierdzić, że ładunki zmieniają znak pod wpływem sprzężenia ładunkowego C, zatem foton ma własność sprzężenia ładunkowego równej C=-1. Podobnie jak parzystość, sprężenie ładunkowe jest wielkością multiplikatywną, zatem dla n fotonów parzystość ładunkowa jest:

$C=(-1)^n\;$

(3.20)

Pion ujemny rozpada się na dwa fotony, tzn. π⁰→2γ, zatem w naszym przypadku dodatnie sprzężenie ładunkowe równe jest C=1, stąd rozpad na trzy fotony jest zabroniony, ze względu na sprtzężenie ładunkowe, doświadczalnie stosunek, na rozpady na trzy fotony i na dwa fotony jest mniejszy niż 3⋅10^-8. Weźmy sobie rozpad mezonu η:

$\eta\rightarrow\pi^0+e^++e^-\;$

(3.21)

to wtedy taki rozpad, w stosunku, gdy η rozpadnie się na cokolwiek jest mniejsze niż 4⋅10^-5. Działanie sprzężenia ładunkowego przeprowadza neutrino lewoskrętne ν na prawoskrętne, które jest nieobserwowalne w przyrodzie, bo mamy wtedy do czynienia z oddziaływaniami słabymi. Jeśli jednak to ostanie neutrino podziałamy jeszcze sprzężeniem ładunkowym to otrzymamy neutrino prawoskrętne obserwowalne w przyrodzie, natomiast gdy podziałamy neutrino lewoskrętne jednocześnie operatorem parzystości i sprzężenia ładunkowego, to otrzymamy potem antyneutrino obserwowalne w przyrodzie, co na tej podstawie możemy powiedzieć:

$CP|\nu_L\rangle\rightarrow |\tilde{\nu}_{R}\rangle\;$

(3.22)

Niezmienniczość względem zachowania, a zachowalność ładunku elektrycznego

Przyjmuje się, że zasada zachowania ładunku jest ściśle zachowana, ale przyjmijmy taki proces, w którym nie jest spełniona, wtedy ograniczenie na stosunek $n\rightarrow p+\nu_e+\tilde{\nu}_e\;$ przez $n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e\;$ jest mniejszy niż 9⋅10^-24. Stąd wniosek, że zasada zachowania ładunku prawdopodobnie jest spełnioa. Załóżmy proces, w którym jest stwarzany ładunek, potrzeba na to energii W, i wtedy energia potencjalna tego ładunku w tym potencjale jest równa Qφ. Jeśli przeniesiemy ten ładunek w inne miejsce, co za tym idzie zmiana energii potencjalnej o wartość Q(φ-φ^'). Jeżeli ten ładunek unicestwiamy, trzeba oddać oddać pracę W, zatem z zasady zachowania energii mamy W-W+Q(φ-φ^'), stąd na podstawie zasady zachowania energii ładunek nie może powstać z niczego dostarczając punktowi energię W. Liczba falowa opisująca falę o pędzie $\vec{p}\;$ i energii E wiedząc, że $p=\left(\vec{p},i{{E}\over{c}}\right)\;$ i $x=(\vec{x},it)\;$, jest równa:

$\psi=e^{i{{1}\over{\hbar}}(\vec{p}\vec{x}-{{E}\over{c}}t)}=e^{i{{px}\over{\hbar}}}\;$

(3.23)

Uwzględniając czteropotencjał A funkcję (3.23) piszemy jako funkcję eksponencjalną zależną od pędu i czteropotencjału:

$\psi=e^{i{{px-eA}\over{\hbar}}}\;$

(3.24)

Ale jeszcze na dodatek, jeśli dokonamy transformacji $p\rightarrow p+{{\partial\theta}\over{\partial x}}\;$ i $A\rightarrow A+{{\partial\theta}\over{\partial x}}\;$, wtedy funkcję falową (3.24), która nie zależy od θ, piszemy w postaci:

$\psi=e^{i{{\left(p+e{{\partial\theta}\over{\partial x}}\right)x-e\left(A+{{\partial\theta}\over{\partial x}}\right)}\over{\hbar}}}=e^{i{{px-eA}\over{\hbar}}}\;$

(3.25)

Weźmy sobie pochodną kowariantną, która zależy od czteropoptencjału wiedząc, że zachodzi A=(A,icρ), wtedy możemy zdefiniować pochodną kowariantną zależną od czteropotencjału, w sposób:

$D={{\partial}\over{\partial x}}-i{{e}\over{\hbar}}A\;$

(3.26)

Kwantowa liczba izospinowa, a symetria izospinowa

W roku 1932 Heisenberg zauważył, że neutron i proton, to jest w zasadzie jedna cząstka, różniące się stanem. Istnieją dwa różne stany tej samej cząstki dla omawianego nukleonu, dla protonu izospin wynosi 1/2, a dla neutronu -1/2. Ładunek nukleonu jest pisany poprzez:

${{Q}\over{e}}={{1}\over{2}}+I_3\;$

(3.27)

Izospin jest liczbą kwantową, która jest wielkością zachowalną. Oddziaływania silne zależą od spinu cząstki, a od izospinu już nie. Izospin I można sobie wyobrazić jako wektor w przestrzeni trójwymiarowej o składowych I₁, I₂, I₃. Oddziaływania elektromagnetyczne nie jest zachowany izospin I. Przestawmy sobie przykład:

$\pi^+=u\overline{d}\;$

(3.28)

w którym izospin wynosi I₃=+1, ale już dla

$\pi^-=d\underline{u}\;$

(3.29)

w którym izospin jest napisany liczbą I₃=-1, dla dla pionu obojętnego:

$\pi^0={{1}\over{\sqrt{2}}}\left(d\overline{d}-u\overline{u}\right)\;$

(3.30)

w którym izospin wynosi I₃=0. Masa pionu dodatnio naładowanego wynosi 140 MeV, a według symetrii względem sprzężenia ładunkowego C mamy taką samą masę dla pionu ujemnie naładowanego. Dla pionu obojętnego masa jego jest równa 135 MeV. Trzem stanom pionów (naładowanego,obojętnego) można przyporządkować tryplet I=1, co odpowiadają im zetowe współrzędne izospinów I₃=+1,0,-1.

Układ dwóch nukleonów oraz układ pion i nukleon, a zasada zachowania izospinu

Stany izospinowe opisujemy tym samym sposobem, co w przypadku funkcji falowych zależnych od współrzędnych przestrzennych, w n naszym przypadku funkcja falowa izospinu jest zapisywana:

$\chi(1,1)=p(1)p(2)\;$ (3.31)	$\chi(1,0)={{1}\over{\sqrt{2}}}[p(1)p(2)+n(1)p(2)]\;$ (3.32)
$\chi(1,-1)=n(1)n(2)\;$ (3.33)	$\chi(0,0)={{1}\over{\sqrt{2}}}[p(1)n(2)-n(1)p(2)]\;$ (3.34)

Stany (3.31), (3.32) i (3.33) są to stanu trypletu I=1, a (3.35) jest to stan singletu I=0 asymetrycznym ze względu na zamianę miejsc 1↔2. Całkowitą funkcję falową układu cząstek piszemy jako funkcję falową przestrzenną, spinową i izospinową, który zapisujemy mając na celu, że orbitalny i spinowy moment pędu możemy skwantować niezależnie, ale w sposób nierelatywistyczny.

$\psi(pelna)=\phi(przestrzen)\alpha(spin)\chi(izospin)\;$

(3.35)

Funkcja falowa φ(przestrzen) odpowiedzialna za symetrie ma symetrię (-1)^l. W deuteronie funkcja φ znajduje się w stanie l=0 z niewielką domieszką l=2, stąd wynika, że φ(przestrzen) jest funkcją asymetryczną, stąd aby zapewnić asymetrię funkcji ψ to funkcja izospinowa musi być asymetryczna. Możemy rozpatrywać reakcje p+p→d+π⁺ i p+n→d+π⁰. W tej pierwszej reakcji izospin w stanie początkowym wynosi I=1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a naładowany pion powinien mieć izospin równy I=1, czyli izospin jest zachowany. Rozpatrzmy tą drugą reakcję, wtedy izospin w stanie początkowym jest I=0 lub 1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a obojętny pion ma izospin równy zero. w tej reakcji stan I=0 występuje z 50%, a stan I=1 też z 50% nastawieniem. Zatem iloraz przekroju czynnego drugiej reakcji przez przez przekrój czynny pierwszej reakcji jest równy połowie jedynki. Zasada zachowania izospinu z oczywistych względów dla cząstek rozróżnialnych w oddziaływaniach silnych. Rozpatrzmy reakcje π⁺+p→π⁺+p oraz π^-+n→π^-+n. Mają trzecią składową izospinu I₃ równą ±3/2, który jest opisywany z amplitudą I=3/2. Rozpatrzmy dodatkowo procesy, które przepiszemy π^-+p→π^-+p, π^-+p→π⁰+n, π⁺+n→π⁺+n, π⁺+n→π⁰+p mają izospin I₃=±1/2, i je można opisywać za pomocą amplitud I=1/2 lub I=3/2. Wagi z jakimi występują te dwa typy amplitud jest dany przez współczynniki Clebscha-Gordona:

Pion	Nukleon	$I={{3}\over{2}}\;$				$I={{1}\over{2}}\;$
		$I_3={{3}\over{2}}\;$	${{1}\over{2}}\;$	$-{{1}\over{2}}\;$	$-{{3}\over{2}}\;$	${{1}\over{2}}\;$	$-{{1}\over{2}}\;$
π+	p	1
π+	n		$\sqrt{{{1}\over{3}}}$			$\sqrt{{{2}\over{3}}}\;$
π0	p		$\sqrt{{{2}\over{3}}}$			$-\sqrt{{{1}\over{3}}}\;$
π0	n			$\sqrt{{{2}\over{3}}}$			$\sqrt{{{1}\over{3}}}\;$
π-	p			$\sqrt{{{1}\over{3}}}$			$-\sqrt{{{2}\over{3}}}\;$
π-	n				1

Dalej rozważmy sytuację rozpraszania elastycznego (i) π⁺+p→π⁺+p, (ii) π^-+p→π^-+p i reakcję wymiany ładunkowej (iii) π^-+p→π⁰+n, wiemy, że przekrój czynny jest równy kwadratowi modułu elemntu macierzowego reprezentującego stan początkowy (oznaczenie i) i stan końcowy (oznaczenie f), gdzie H jest operatorem izospinowym równym H₁, co on reprezentuje stan poczatkowy i końcowy z izospinem I=1/2, a H₃, gdy reprezentuje stan I=3/2. Na podstawie zasady zachowania izospinu wnioskujemy, że nie istnieje operator przechodzący stan początkowy ze stanem końcowym o innym izospinie. Połóżmy:

$M_1=\langle\psi_f\left({{1}\over{2}}\right)|H_1|\psi_i\left({{1}\over{2}}\right)\rangle\;$ (3.36)

$M_3=\langle\psi_f\left({{3}\over{2}}\right)|H_1|\psi_i\left({{3}\over{2}}\right)\rangle\;$ (3.36)

W pierwszym stanie (i) stan występuje ze spinem I=3/2 i I₃=+3/2, czyli σ_if=K|M₃|², którym w tym naszym przypadku K jest pewną stałą. W przypadku (ii) mamy:

$|\psi_i\rangle=|\psi_f\rangle=\sqrt{{{1}\over{3}}}|\chi\left({{3}\over{2}},-{{1}\over{2}}\right)\rangle-\sqrt{{{2}\over{3}}}|\chi\left({{1}\over{2}},-{{1}\over{2}}\right)\rangle\;$

(3.37)

wtedy $\sigma_b=K|\langle\psi_f|H_1+H_3|\psi_i\rangle|\psi_i\rangle^2=K|{{1}\over{3}}M_3+{{2}\over{3}}M_1|^2\;$. Dla stanu (iii) możemy napisać funkcje falowe reprezentujące stan początkowy i końcowy:

$|\psi_i\rangle=\sqrt{{{1}\over{3}}}|\chi({{3}\over{2}},-{{1}\over{2}})\rangle-\sqrt{{{2}\over{3}}}|\chi({{1}\over{2}},-{{1}\over{2}}\rangle\;$ (3.38)

$|\psi_f\rangle=\sqrt{{{2}\over{3}}}|\chi({{3}\over{2}},-{{1}\over{2}})\rangle-\sqrt{{{1}\over{3}}}|\chi({{1}\over{2}},-{{1}\over{2}}\rangle\;$ (3.39)

wtedy przekrój czynny na zajście (iii) jest $\sigma_c=K\left|\sqrt{{{2}\over{9}}}M_3-\sqrt{{{2}\over{9}}}M_1\right|^2\;$

Zasada zachowania izospinu, dziwności i hiperładunku

Mając Q jako ładunek cząstki Q, wtedy go możemy przedstawić w zależności od izospinu, liczby barionowej i dziwności, wiedząc, że Y=B+S jest hiperładunkiem, w sposób:

${{Q}\over{e}}=I_3+{{B+S}\over{2}}=I_3+{{Y}\over{2}}\;$

(3.40)

Przedstawimy teraz tablekę przedstawiającą, czy są spełnione zasady zachowania poszczególnych wielkości w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych:

Wielkość zachowana	Oddziaływania w przyrodzie (bez grawitacyjnego)
	silne	elektromagnetyczne	słabe
czteropęd	tak	tak	tak
ładunek
liczba barionowa
liczba leptonowa
P	tak	tak	nie
C	tak	tak	nie
CP (lub T)	tak	tak	łamana
CPT	tak	tak	tak
I (izospin)	tak	nie	nie

Wprowadzenie do teorii kwarków i układów kwarkowych (hadrony)

Powiemy tutaj wszystko o kwarkach i hadronach, z czego one są zbudowane, a także w jakich stanach występują kwarki powabne i piękne, czyli mezony Ψ, a także o stanach bottomonium czyli mezony γ. Powiemy coś o spinach i kolorach kwarków, o oktecie barionowym jakie tworzą hadrony.

Stany kwarków pięknych, czyli czarmonium (mezony Ψ)

Czarmonium są to stany mezonowe $\psi=c\overline{c}\;$, które wąskimi rezonansami anihilacji e⁺ i e^-. Te stany są bardzo podobne do stanów pozytonium, czyli układy zbudowanego pozytonu i elektronu. Są to stany kwarków powabnych. Stany e⁺e^- o najniższych energiach nazywamy Ψ, lub też J/Ψ. Te stany można opisać jako:

$e^++e^-\rightarrow\psi\rightarrow\mbox{ hadrony}\;$ (4.1)

$p+Be\rightarrow \psi/J+\mbox{ cokolwiek}\;$ (4.2)

Przemiana (4.1) wykryto w laboratorium SLAC na akceleratorze SLAC , a (4.2) na akceleratorze BNL. Wąskie rezonanse mezonu Ψ w akceleratorze SPEAR odpowiadało energii 3,1 GeV, a także jest tam drugi rezonans o masie 3,7 GeV. Przekrój czynny na zderzenia dwóch cząstek o elektronu i pozytonu o spinie s₁ i s₂ jest opisana wzorem Breta-Wignera, przy produkcji rezonansu J dla zachodzącej przemianie (4.1):

$\sigma(E)_{e^+e^-\rightarrow\psi\rightarrow e^+e^-}={{4\pi\not{\lambda}^2(2J+1){{\Gamma^2_{e^+e^-}}\over{4}}}\over{(2s_1+1)(2s_2+1)\left((E-E_R)^2+{{\Gamma^2}\over{4}}\right)}}\;$

(4.3)

• We wzorze (4.3) $\not{\lambda}\;$, która jest kreśloną długością fali de Broglie'a dla pozyton-elektron w układzie środka masy, a E_R odpowiada maksimum danego rezonasu, a oczywiście Γ oznacza całkowitą szerokość rezonansu, idąc dalej $\Gamma_{e^+e^-}\;$ jest to szerokość rezonansu pozyton-elektron. Jeśli będziemy przyjmować $s_1=s_2={{1}\over{2}}\;$, a rezonans nas ma spin J równy jeden. Jeżeli przecałkujemy wyrażenie (4.3) względem energii od zera do nieskończoności, jeśli przyjmować będziemy $\operatorname{tg}\theta={{2(E-E_R)}\over{\Gamma}}\;$, otrzymujemy:

$\int_0^{\infty}\sigma(E)dE\simeq\int_0^{{{\pi}\over{2}}}{{4\pi\not{\lambda}^23{{\Gamma^2_{e^+e^-}}\over{4}}}\over{4\left({{\Gamma^2}\over{4}}\operatorname{tg}^2\theta+{{\Gamma^2}\over{4}}\right)}}{{\Gamma}\over{\cos^2\theta}}d\theta=3\pi\not{\lambda}^2\left({{\Gamma_{e^+e^-}}\over{\Gamma}}\right)^2\Gamma\int^{{{\pi}\over{2}}}_{0}d\theta=\;$ $={{3\pi^2}\over{2}}\not{\lambda}^2\left({{\Gamma_{e^+e^-}}\over{\Gamma}}\right)^2\Gamma\;$

(4.4)

Wyniki oddziaływania dwóch cząstek elektron i pozyton może powstawać układ hadronów, czyli $e^++e^-\rightarrow \mbox{hadrony}\;$ lub $e^++e^-\rightarrow\mu^++\mu^-\;$ dla |cosθ|≤0,6, a także $e^++e^-\rightarrow e^++e^-\;$ dla |cosθ|≤0,6. Jeżeli wartość całkowitego przekroju czynnego (4.4), obserwowanego w doświadczeniach nad anihilacją elektronu i pozytonu jest 800nb⋅MeV. a także Γ_e⁺e^-/Γ, wtedy szerokość rezonansu jest Γ=0,087 MeV o wiele mniejsza niż oczywiście którą obserwujemy doświadczalnie. Gdy weżniemy dla porównania mezony zbudowane z lekkich kwarków ρ o energii 776 MeV, który ma szerokość Γ=150 MeV, lub też ω o masie 784 MeV z szerokością Γ=8,4 MeV mezon ψ o energii 3100 MeV ma bardzo małą szerokość energetyczną, którą policzyliśmy teoretycznie,a doświadczalnie uzyskano, że szerokość energetyczna procesu rozpadu czarmonium (ψ→e⁺e^-), który jest Γ=5keV. Dla porównania szerokość energetyczna w przypadku rozpadu innych stanów rezonansowych, tzn. ω→e⁺e^- jest Γ=0,6 keV, a Φ→e⁺+e^- jest Γ=1,4 keV.

Stany kwarków powabnych, bottomonium (mezony γ)

Wykres pokazujący istnienie bottomonium i istnienie rezonansów γ i γ'

Para elektron e+ i pozyton e-, przy której zaobserwowano istnienie bottomonium

Oprócz czarmonium ψ wykryto również wąskie obszary mas 9,5-10,5 GeV, które są związane z kwarkiem pięknym $b\;$ i antykwarkiem pięknym $\overline{b}\;$, czyli $b\overline{b}\;$, ten stan jest stanem rezonansowym γ. Jeżeli produkowali miony μ^± z jądrami protonów, które mają energię p+Be,Cu,Pt→μ⁺+μ^-+cokolwiek, wykryto rezonans w okolicy energii 10 GeV, w którym szerokość rezonansu jest 1,2 GeV, ale ponieważ zdolność rozdzielcza układu pomiarowego była większa niż 0,5 GeV, to wysunięto przypuszczenie, że, że istnieją czy rezonanse w okolicy energii 9,4 i 10,0 oraz 10,4 GeV, które są stanami bottomomium (mezony γ), które nazywamy mezonami γ, γ',γ'' . Również zaobserwowano stan bottomonium przy anihilacji pozytonu e⁺ i elektronu e^-.

Kwarkoniowe poziomy energetyczne

Oddziaływanie kulombowskie w pozytonium wiąże się z potencjałem elektrycznym zdefiniowanej w zależności od odległości pomiędzy pozytonem e⁺ a elektronem ^- i wielkości stałej proporcjonalności:

$V_{em}=-{{\alpha}\over{r}}\;$

(4.5)

Wykres potencjału V_QCD, potencjału odpychającego-4/3α_s/r i potencjału przyciagającego kr.

Na podstawie elektrodynamiki kwantowej QED oddziaływanie silne jest związane z wymianą bez masowych cząstek wektorowych czyli fotonów, zatem można będzie oczekiwać, że potencjał w oddziaływaniu silnym ma podobną zależność jak potencjał pola elektrycznego, która została potwierdzona doświadczalnie. Jednak kwarki w hadronach i mezonach są uwięzione, a wieć w oddziaływaniu poiwnien występować dodatkowy człon związanym przyciąganiem na dużych odległościach:

$V_{QCD}=-{{4\alpha_s}\over{3r}}+kr\;$

(4.6)

α_s jest to stała sprzężenia oddziaływania pomiędzy kwarkiem a gluonem. Współczynnik ${{4}\over{3}}\;$ wynika z symetrii kolorowej, ale wiadomo, że α_s=0,2 i k=1GeV⋅fm^-1. Rozwiązując nierelatywistyczne równanie Schrodingera poziomy energetyczne pędów w zależności od liczby kwantowej głównej n dla małych odległości "r" jest związana zależnością:

${{p}\over{mc}}={{\alpha}\over{2n}}\;$

(4.7)

przy którym wiadomo, że powinno zachodzić p<<mc. Dla małych odległości w oddziaływaniu silnym dominuje człon kulombowski. Przy nieelastycznym rozpraszaniach leptonów powstaje przypuszczenie, że jest wtedy równe &*alpha;=0,2. Stąd wniosek, że przybliżenie nierelatywistyczne jest uzasadnione. W przypadku lżejszych kwarków takie przyjęcie nie jest uzasadnione, bowiem wtedy &alfa; przyjmuje wartości około jedynki. Dla układów kwarkowych wartość rozszczepienia subtelnego jest rzędu $\alpha_s^2\;$, co które jest znacznie większe w kwarkonium niż w pozytonium, co obserwuje się w doświadczeniach. Stany 2S i 2P nie są obserwowane w takim układzie jakie obserwowaliśmy w pozytonium. Stany P dla ściśle określonego n mają przesunięte energie, co jest w szczególności w bottomonium. Cłony kulombowskie dają rozszczepienie 2S->1S, która jest wprost proporcjonalna do masy cząstki, ale w połączeniu z drugim członem kr daje rozszczepienie wprost proporcjonalne do $-m^{-{{1}\over{3}}}\;$. To połączenie powoduje rozszczepienie w układzie 2S-1S dla układu kwarkonium kwarku powabnego i antypowabnego $\overline{c}c\;$, które wynosi 589 MeV, co tyle samo wychodzi jak w układzie kwarka pięknego i antypięknego $\overline{b}b\;$ wynoszącą 565 MeV. Istnienie stanu proporcjonalności w (4.6) jest udokumentowane rosnącą funkcją masy dla mezonów $Q\overline{u}\;$ i $\overline{Q}u\;$. Oczywiste jest dla stanu $t\overline{t}\;$ dla $m\sim175 GeV\;$ istnieje około dziesięciu stanów związanych.

Struktura subtelna stanów pozytonium (e⁺e^-)

Stan elektron e⁺ i pozyton e^- zachowuje się jak atom, ten stan nazywamy pozytonium, o pewnym czasie życia, który ten stan po pewnej chwili rozpada się oczywiście na kwanty γ. Dłuższy czas życia wiąże się z rozpadem 3γ niż z rozpadem na 2γ. Z symetrii Bosego wynika, że układ fotonów, który jest stanem końcowym pozytonium pokazuje, że musi powstać ze stanu o parzystej liczbie kwantowym, który jest singletem, w którym spin wynosi J=0, a sprzężenie spinowe jest C=+1, ale ju dla n fotonów, to w przypadku rozpadu pozytonium sprzężenie ładunkowe jest C=+1. Wykonując obliczenia na mechanice kwantowej z polem kulombowskim, to wtedy będziemy mieli poziomy energetyczne, wiedząc, że α, to stała struktury subtelnej, a μ to masa zredukowana pozytonium μ=mM/(M+m), gdzie M to masa pozytonu, a m to masa elektronu, ale ponieważ M=m, to masa zredukowana pozytonu jest μ=m/2.

$E_n=-{{\alpha^2\mu c^2}\over{4n^2}}=-{{\alpha^2mc^2}\over{4n^2}}\;$

(4.8)

Wzór (4.8) powstał przy pomocy obliczeń nie uwzględniając efektów relatywistycznych, a jeśli je uwzględnimy, to nastąpi znoszenie degeneracji stanów spin-orbita S,P,.., który jest reprezentowany przy różnych liczbach kwantowych momentu pędu. Oddziaływania spin-spin powoduje, że powstają stany trypletowe ³S₁ oraz singletowe ¹S₀. W spektroskopii stany subtelne powstają i są zależne do odwrotności trzeciej liczby kwantowej liczby kwantowej reprezentujących numer powłoki:

$\Delta E\sim{{\alpha^4mc^2}\over{n^3}}\;$

(4.9)

W jednostkach zredukowanych $\hbar=c=1\;$ szerokości rezonasu dla 2γ i 3γ są:

$\Gamma(2\gamma)={{\alpha^5m}\over{2}}\;$ (4.10)

$\Gamma(3\gamma)={{2(\pi^2-9)}\over{9\pi}}\alpha^5m\;$ (4.11)

Częstość rozpadu jest proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej opisującej pozytonium |ψ(0)|²=1/(πa³), gdzie w tym w tym przypadku jest $a=2\hbar/(mc\alpha)\;$. Jesli będziemy wykorzystywać wzor (4.8) wnioskujemy, że w przy przybliżeniu nierelatywistycznym ΔE=3α²mc²/16=5,1 taka jest odległość poziomów 2S→1S. Natomiast, jeśli uwzględnimy rozszczepienie subtelne przy przejściu ze stanu 1³S₁→1¹S₀., to wtedy nastąpi rozszczepienie ΔE≈23α⁴mc²/960≈3,5⋅10^-5 eV. Stany pozytonium oznaczamy za pomocą liczby kwantowej sprzężenia ładunkowego C i parzystości, czyli inwersii przestrzennej) P.

Stany poziomów układu kwarków (kwarkonium)

Z elektrodynamiki kwantowej potencjał jest zależny od "r" i "k" dla układu kwarkonium, czyli układu kwarków jest opisany (2.11). Pęd każdej cząstki jest zależny od głównej liczby kwantowej n i jest opisana poprzez:

$p={{\alpha mc}\over{2n}}\;$

(4.12)

• gdzie (4.12) jest wyrażeniem otrzymanym z postulatu Bohra, wiedząc, że moment pędu jest wielkością skwantowaną $pa=n\hbar\;$, a jeśli p<<mc, to efekty relatywistyczne odrywają rolę w postaci stanów subtelnych.

Drugi człon w potencjale na oddziaływanie silne (2.11), dzięki temu powstają dwa efekty, czyli stany 2S i 2P są praktycznie niezdegenerowane, inaczej było w pozytonium. Człon Kulombowski powoduje roszczepienie 2S→1S, które jest proporcjonalne do masy cząstki, a człon liniowy jest proporcjonalne do odwrotności z pierwiastka trzeciego stopnia z masy cząstki w kwarkonium. A połączenie członu Kulombowskiego i liniowego powoduje rozszczepienie 2S-1S w układzie kwark-antykwark $c\overline{c}\;$. wynoszącą 589 MeV, a w układzie $b\overline{b}\;$ rozszczepienie 569 MeV.

Masa kwarka powabnego jest m=1,6 GeV , to współczynnik sprzężenia oddziaływania silnego jest α_s≈0,23, a dla stanów trypletowych kwarka pięknego jest $b\overline{b}\;$, stąd współczynnik sprzężenia oddziaływania silnego jest α_s≈0,2.

Właściwości kwarków

Przedstawimy tabelkę przedstawiające liczby kwantowe sześciu kwarków, tzn. liczba barionowa, izospin I, trzecią składową izospinu I₃, dziwność S, piękność kwarka B^*, a także top kwarka T:

Zapach	I	I3	S	C	B*	T	Q/e
u	${{1}\over{2}}\;$	${{1}\over{2}}\;$	0	0	0	0	$+{{2}\over{3}}\;$
d	${{1}\over{2}}\;$	$-{{1}\over{2}}\;$	0	0	0	0	$-{{1}\over{3}}\;$
s	0	0	-1	0	0	0	$-{{1}\over{3}}\;$
c	0	0	0	1	0	0	$+{{2}\over{3}}\;$
b	0	0	0	0	-1	0	$-{{1}\over{3}}\;$
c	0	0	0	0	0	1	$+{{2}\over{3}}\;$

Na podstawie powyższej tabelki wykazano, że zachodzi związek pomiędzy liczbami Q, I₃, S, C, B^*, T, Q/e:

${{Q}\over{e}}=I_3+{{1}\over{2}}\left(B+S+C+B^*+T\right)\;$

(4.13)

Układ barionowy w postaci dekupletu

Dekuplet barionowy z trzema kwarkami

Przedstawimy tutaj układ barionowy zwany dekupletem barionowym składający się z kwarku u (górnego), d(dolnego) i s(dziwnego). Te kwarki mają ułamkowy ładunek, a mimo to nie znaleziono kwarków nieuwięzionych. Na rysunku obok pokazano obok pokazano stany barionowe o spinie i parzystości $J^p={{{3}\over{2}}}^+\;$, które są ustawione na rysunku obok na wykresie dziwności S (oś pionowa) od trzeciej składowej izospinu I₃ (oś pozioma). Na wykresie mamy cztery stany cząstki Δ o dziwności S=0 o zakresie izospinu $-1{{1}\over{2}}\;$, aż $1{{1}\over{2}}\;$, dla dziwności -1 mamy trzy stanu Δ o izospinie I=1. Dla S=-2 mamy Ξ dwa stany cząstki o izospinie I=1. Dla dziwności S=-3 mamy mamy jeden stan o izospinie I=0. Przedstawmy jak powstaje cząstka Ω^-, i na jakie cząstki ona się rozpada:

$K^-+p\rightarrow\Omega^-+K^++K^0\;$

(4.14)

Cząstka $\Omega^-\rightarrow\Xi^0+\pi^-\;$, w którym następuje ΔS=1, który z kolei $\Xi^0\rightarrow\pi^0+\Lambda^0\;$ (ΔS=1 rozpad słaby), co z kolei $\Lambda^0\rightarrow\pi^-+p\;$ (ΔS=1 jest rozpadem słabym) i $\pi^0\rightarrow 2\gamma\;$ (rozpad elektromagnetyczny), co każdy foton γ tworzy parę elektron i pozyton. Wyjaśniając dekuplet bariony można powiedzieć, że bariony składają się z trzech kwarków, a więc kwarków u id o dziwności S=0, tzn. kwarka u o izospinie I₃=1/2 i d o izospinie I₃=-1/2, a także z izosingletu s o dziwności S=-1. Rozsądne wydaje się przydzielenie kwarkom liczby bnarionowej B=1/3. W oktecie barionowym dziwność, liczbę barionową i ładunek powiązane są ze sobą wzorem Gell-Manna i Nishijimy:

${{Q}\over{e}}={{1}\over{3}}\left(B+S\right)+I_3\;$

(4.15)

Dla kwarków przyjmujemy liczbę barionową $B={{1}\over{3}}\;$, wtedy dochodzimy do wniosku, że kwarki powinny mieć ładunki ${{Q}\over{e}}=+{{1}\over{3}}\;$ w przypadku kwarka u (górnego) dla której trzecia składowa izospinu jest $I_3=+{{1}\over{2}}\;$, a także dla kwarka d (dolnego) ładunek jest ${{Q}\over{e}}=-{{1}\over{3}}\;$ dla której trzecia składowa izospinu jest $I_3=-{{1}\over{2}}\;$. Dla kwarka dziwnego s, której ładunek jest ${{Q}\over{e}}=-{{1}\over{3}}\;$ dla której izospin jest $I=0\;$ a dziwność jest równa $S+-1\;$. Rozpatrzmy cząstkę elementalną, która składa się z dwóch kwarków d (dolnych) i jednego kwarka u (górnego), wtedy funkcję falową symetryczną piszemy:

${{1}\over{\sqrt{3}}}\left(ddu+udd+dud\right)\;$

(4.16)

Cząstki z dekupletu barionowego mają funkcje symetryczną ze względu na przedstawienie zapachu jako stopień swobody, ale też ze względu na wielkość fizyczną zwana spinem. A jeżeli będziemy rozpatrywać funkcję falową symetryczną ze względu na przedstawienie funkcji falowych mamy:

${{1}\over{\sqrt{6}}}\left(dsu+uds+sud+sdu+dus+usd\right)\;$

(4.17)

A funkcja całkowicie asymetryczną cząstki elementarnej usd jest:

${{1}\over{\sqrt{6}}}\left(dsu+uds+sud-usd-sdu-dus\right)\;$.

(4.18)

Dowody na istnienie wielkości spinu, a także kolorów kwarków, a teoria Pauliego

Rozpatrzmy, że istnieje taka wielkość jak spin, i rozpatrzmy trzy jednakowe kwarki dolne u, wtedy spin jego jest ${{3}\over{2}}\;$, zakładamy przy tym, że kwarki znajdują się w stanie podstawowym, w której istnieje symetryczna funkcja falowa. Ale wiadomo, że ustawienie, w której dla cząstki $\Delta^{++}\;$ mamy trzy kwarki górne o spinach zwróconych do góry, której parzystość jest dodatnia, tzn. $\Delta^{++}=u\uparrow u\uparrow u\uparrow\;$, co jest niezgodne z teorią Pauliego, że w jednym stanie może znajdować conaj najwyżej jedna cząstka, aby obejść to ograniczenie należy wprowadzić wielkość, która jest liczbą kwantową zwaną kolorem. Na podstawie teoria kwarków powiedziano, że istnieją trzy kolory zwane czerwony, zielony i niebieski. Jeżeli będziemy budować bariony i mezony, to całkowity kolor kwarków powinien wychodzić zero, tzn. są singletami kolorowymi. Dowodem na istnienie kwarków jest oddziaływania pozyton elektron (e⁺e^-, który rozpada się na hadrony lub miony naładowane przeciwnie μ⁺μ^-:

${{\sigma(e^+e^-\rightarrow \mbox{hadrony})}\over{\sigma(e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-)}}\;$

(4.19)

By wielkość (4.15) była zgodna z doświadczeniem należy go pomnożyć przez czynnik wkładu kwarków przez czynnik N_c=3. Pierwszy eta oddziaływania pozyton ielektron jest jego defragmentacja na $e^++e^-\rightarrow\overline{Q}+\overline{Q}\;$, przy której przy dłuższym interwale czasowym następuje jego rozpad na handrony, tzn. $\overline{Q}+Q\rightarrow\mbox{hadrony}\;$. Kolory kwarków w wyżej opisywanym procesie są wielkościami rozróżnialnymi, a także amplitudy dla wszystkich kwarków są różróżnialne, więc daje to nam czynnik N_C.

Diagram Feynmana dotyczący procesu rozpadu pionu obojętnego na dwa fotony.

Następnym przykładem istnienia kolorów jest rozpad pionu obojetnego na dwa kwarki $\pi^0\rightarrow 2\gamma\;$. W tym procesie kolory kwarków są rozróznialnem a także ich trzy amplitudy, a więc przy szerokości rozpadu pojawia się czynnik $N_c^2=9\;$. Można powiedzieć, że zachodzi:

$\Gamma(\pi^0\rightarrow 2\gamma)=\left({{N_c}\over{3}}\right)^2{{\alpha^2m_{\pi}^3}\over{64\pi^3f_{\pi}^2}}=7,73\left({{N_c}\over{3}}\right)^2\mbox{eV}\;$

(4.20)

W doświadczeniu zaobserwowano szerokość rozpadu (4.16) w postaci wyniku Γ(obs)=7,7±0,6 eV, co daje w wyniku wartość N_c w postaci liczby 2,99±0,12.

Przestawienie barionów w postaci oktetu barionowego

Oktet barionowy o spinie równej połowie jedynki i parzystości dodatniej wraz z budową kwarkową.

Można zbudować stany o funkcjach falowych symetrycznych ze względu na przedstawienie zapachu i spinu cząstki jednocześnie, a nie osobno, taj jak to robiliśmy przy dekuplecie barionowym. Zbudujmy funkcję falową, która jest symetryczna przy jednoczesnym zmianie spinu i zapachu kwarku, co na tej podstawie powiemy:

${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\right)\;$

(4.21)

Rozpatrzmy izosinglet barionowy, którego zapis jest, gdy będziemy rozpatrywać zapachy cząstek górnych u i dolnych u:

${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(ud-du\right)\;$

(4.22)

A jeżeli będziemy rozpatrywać spin zapachów kwarków, wtedy układ w nawiasie (4.22) po dodaniu trzeciego kwarku $u\uparrow\;$ zapisujemy:

$(u\uparrow d\downarrow-u\downarrow d\uparrow-d\uparrow u\downarrow+d\downarrow u\uparrow)u\uparrow\;$

(4.23)

Rozpatrzmy funkcje falowe układu trzech kwarków górnego u, gólrnego u i dolnego d, wtedy funkcja falowa przy kwantowej liczbie spinowej $J_z=+{{1}\over{2}}\;$, która jest symetryczna ze względu na przestawienie zapachów i spinu cząstek piszemy jako:

${{1}\over{\sqrt{18}}}\Bigg(2u\uparrow u\uparrow d\downarrow+2d\downarrow u\uparrow u\uparrow+2u\uparrow d\downarrow u\uparrow-u\downarrow d\uparrow u\uparrow-u\uparrow u\downarrow d\uparrow+\;$ $-u\downarrow u\uparrow d\uparrow-d\uparrow u\downarrow u\uparrow-u\uparrow d\uparrow u\downarrow-d\uparrow u\uparrow u\downarrow\Bigg)\;$

(4.24)

Cząstki w oktecie barionowym mają spin $J_z={{1}\over{2}}^+\;$, w której cząstki nukleon neutron i proton , dla których izospin jest $I={{1}\over{2}}\;$, a dziwność jest S=0, izotryplet Σ, której izospin I=1 i dziwność S=-1, izodublet Ξ, której izospin $I={{1}\over{2}}\;$ i dziwność S=-2, a także mamy izosinglet Λ, której izospin jest I=0 i dziwność S=-1. Dla dekupletu barionowego, której $J^p={{3}\over{2}}^+\;$, wtedy energia Σ-Δ, która jest równa 152 MeV, a Ξ-Σ, której energia jest równa 149 MeV, i w końcu Ω^--Ξ, której energia jest równa 139 MeV. Dla oktetu barionowego $J^p={{1}\over{2}}^+\;$ otrzymujemy w końcu M_Σ=M_Λ, w której lewa strona jest równa 1193 MeV, a prawa 1116 MeV, a także otrzymujemy również równość M_Λ-M_N=M_Ξ-M_Λ, której lewa strona jest równa 177 MeV, a prawa 203 MeV.

Mezony lekkie jako układy pseudoskalarne

Lekkie mezony pseudoskalarne o J^p=0^-.

Nonety mezonów wektorowych o spinie i parzystości J^P=1^-, których skład kwarkowy jest taki sam jak na rysunku powyżej.

Stany obserwowane w przyrodzie są to stany układów trzech kwarków zwanych barionami, a także stany dwóch cząstek zwanych mezonami. W ograniczeniu do zapachów możemy obserwować stany trzech kwarków zwanych nonetami, których jest 3²=9. Ponieważ kwarki mają spin równy ${{1}\over{2}}\;$ obserwuje się układy kwarkowe o spinie i parzystości $J^P=0^-\;$, a także stany o spinie i parzystości $J^P=1^-\;$. Zwykle nie obserwuje się przemian $Q\leftrightarrow\overline{Q}\;$, ale można w takim razie napisać przemianę z u do $\overline{u}\;$ w postaci wzoru $u\rightarrow \overline{u}e^{i\phi}\;$, co zgodnie z konwencją Condona-Shortleya Φ powinno być takie, że w przemianie z u do $\overline{u}\;$ powinno zachodzić: $u\rightarrow -\overline{u}\;$. W takim bądź razem mamy $u\rightarrow -\overline{u}\;$ i $d\rightarrow +\overline{d}\;$, wtedy dla protonu $p\rightarrow-\overline{p}\;$ i dla neutronu $n\rightarrow +\overline{n}\;$. Biorąc, że stan spinowy mezonów pseudoskalarnych jest l=0 oraz parzystości wewnętrzne fermionu i antyfermionu są przeciwne do siebie, otrzymujemy liczbę barionową B=0 i J^P=0^-. Jeżeli będziemy używać kwarka górnego u i dolnego d, to mamy 2² kombinacji kwarkowych izospinowych. Kombinacje dla I=1 tworzą tryplet o trzeciej składowej izospinu I₃=-1,0,1, której odpowiadają czastki π⁺, π^-, π⁰, a także singlet o I=0, którą nazwiemy η. Zdefiniujmy operaror I^±, wtedy:

$I^{\pm}\Psi(I,I_3)=\sqrt{(I(I+1)-I_3(I_3\pm 1)}\Psi(I,I_3\pm 1)\;$

(4.25)

Jeśli będziemy działać operatorem I⁺ na kwark dolny d, górny u i antykwark górny $\overline{u}\;$, a także dla antykwarku dolnego d $\overline{d}\;$ mamy dla pierwszego przypadku $I^+d=u\;$, dla drugiego przypadku $I^+\overline{u}=-\overline{d}\;$, a dla przypadku następnego $I^+u=I^+\overline{d}=0\;$. Rozpatrzmy przypadek funkcji Ψ i izospinie I, wtedy możemy powiedzieć $I^-\Psi(1,1)=I^+\Psi(1,-1)=\sqrt{2}\Psi(1,0)\;$, a także $I^+\Psi(1,0)=\sqrt{2}\Psi(1,1)\;$, dalej $I^+\Psi(1,1)=I^-\Psi(1,-1)=0\;$.

I	I3	Funkcja falowa cząstki	Q/e
1	1	$u\overline{d}=\pi^+\;$	+1
1	-1	$-\overline{u}d=\pi^-\;$	-1
1	0	${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(d\overline{d}-u\overline{u}\right)=\pi^0\;$	0
0	0	${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(d\overline{d}+u\overline{d}\right)=\eta\;$	0

Wykorzystując definicję operatora I^± (4.21) mamy:

$I^+\pi^+=I^+(-d\overline{u})=-u\overline{u}+d\overline{d}=\sqrt{2}\pi^0\;$

(4.26)

$I^+\pi^0=I^+{{d\overline{d}-u\overline{u}}\over{\sqrt{2}}}={{u\overline{d}+u\overline{d}}\over{\sqrt{2}}}=\;$ $=\sqrt{2}u\overline{d}=\sqrt{2}\pi^+\;$

(4.27)

Jeśli weżniemy pod uwagę cząstkę η i na nią będziemy działać operatorem I^±, wtedy:

$I^{\pm}\eta=I^+{{d\overline{d}+u\overline{u}}\over{\sqrt{2}}}={{u\overline{d}-u\overline{d}}\over{\sqrt{2}}}=0\;$

(4.28)

Przedstawimy tabelkę z lekkimi mezonami pseudoszkalarnymi, które są kombinacjami kwarków i antykwarków:

oktet lub singlet	I	I3	S	Mezon	Budowa kwarkowa	Kanały rozpadu	Masa [MeV]
oktet	1	1	0	π+	$u\overline{d}\;$	$\pi^{+}\rightarrow\mu^{+}+\nu_{\mu}\;$	140
	1	-1	0	π-	$d\overline{u}\;$	$\pi^{-}\rightarrow\mu^{-}+\tilde{\nu}_{\mu}\;$
	1	0	0	π0	${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(d\overline{d}-u\overline{u}\right)\;$	$\pi^0\rightarrow 2\gamma\;$	135
	${{1}\over{2}}\;$	${{1}\over{2}}\;$	+1	K+	$u\overline{s}\;$	$K^+\rightarrow\mu^++\nu_{\mu}\;$	494
	${{1}\over{2}}\;$	$-{{1}\over{2}}\;$	+1	K0	$d\overline{s}\;$	$K^0\rightarrow\pi^++\pi^-\;$	498
	${{1}\over{2}}\;$	$-{{1}\over{2}}\;$	-1	K-	$\overline{u}s\;$	$K^-\rightarrow\mu^-+\tilde{\nu}_{\mu}\;$	494
	${{1}\over{2}}\;$	${{1}\over{2}}\;$	-1	$\overline{K}^0\;$	$\overline{d}s\;$	$\overline{K}^0\rightarrow\pi^0+\pi^-\;$	498
	0	0	0	η8	${{1}\over{\sqrt{6}}}\left(d\overline{d}+u\overline{u}-2s\overline{s}\right)\;$	$\eta\rightarrow 2\gamma\;$	549
singlet	0	0	0	η0	${{1}\over{\sqrt{3}}}\left(d\overline{d}+u\overline{u}+s\overline{s}\right)\;$	$\eta^{'}\rightarrow \eta+\pi^++\pi^-\;$	958
						$\eta^'\rightarrow 2\gamma\;$

Wprowadzając kwark s (kwark dziwny) do zestawy kwarków u (kwark górny) i d (kwark dolny) daje nam 3²=9 możliwości stanów, te stany możemy podzielić na siglet, w której funkcja jest symetryczna i na oktet, której mamy dziewięć mozliwości. Wzór opisujący masy multipletów na podstawie powyższej tabelki zwany formułą Gell Manna i Okubo jest:

$2\left(M^2_{K^0}+M^2_{\overline{K}^0}\right)=\underbrace{4M^2_{K^0}}_{0,988 GeV^2}=\underbrace{M^2_{\pi^0}+3M_{\eta}^2}_{0,924 GeV^2}\;$

(4.29)

Mezony wektorowe lekkie jako mezonowe układy kwarków (nonety)

ABy uzyskać zgodność z doświadczeniem dla nomnetów (mezonów wektorowych I^P=1^-, musimy zmieszać stany singletowe i oktetowe. Weźmy sobie θ, który jest kątem mieszania, wtedy na podstawie tego:

$\phi=\psi_0\sin\theta-\phi_8\cos\theta\;$ (4.30)

$\omega=\phi_8\sin\theta+\phi_0\cos\theta\;$ (4.31)

W którym Φ i ω oznaczają fizyczne mezony wektorowe, które się obserwuje, a Φ₀ i Φ₈ są to stany oktetowe i singletowe, których przepisujemy izospin jest równy dziwności, a to z kolei jest równe zero, czyli I=S=0. Zakładamy, że kwadrat elementu macierzowe operatora energii pomiędzy stanami daje nam kwadrat masy i wiedząc dodatkowo wiedz, że Φ i ω są do siebie ortogonalne, wtedy na podstawie tego otrzymujemy:

$M_{\phi}^2=M_0^2\sin^2\theta+M_{8}^2\cos^2\theta-2M_{08}^2\sin\theta\cos\theta\;$

(4.32)

$M_{\omega}^2=M^2_8\sin^2\theta+M_{0}^2\cos^2\theta+2M_{08}^2\sin\theta\cos\theta\;$

(4.33)

A na podstawie ortogonalności Φ i ω piszemy na podstawie elementów macierzowych M₀ i M₈, a także M₀₈ i z kąta zmieszania θ:

$M_{\phi\omega}^2=0=(M_0^2-M_8^2)\sin\theta\cos\theta+M_{08}^2(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\;$

(4.34)

Wykorzystując wzory (4.34) możemy napisać na kwadrat tangensa z kąta zmieszania, w którym występuje w równaniach (4.32) i (4.33):

$\operatorname{tg}^2\theta={{M_{\phi}^2-M^2_{8}}\over{M_8^2-M_{\omega}^2}}\;$

(4.35)

Wykorzystując związek (4.25) powiemy, że kwadrat elementu macierzowego M₈ w zależności od masy cząstki K i cząstki ρ:

$M_8^2={{1}\over{3}}\left(4M_K^{*2}-M_{\rho}^2\right)\;$

(4.36)

W doświaczeniach zaobserwowano, że kąty zmieszania są równe θ=40^o, ale przyjmując θ≈35⁰, wtedy $\sin\theta={{1}\over{\sqrt{3}}}\;$, wtedy piszemy $\phi={{1}\over{\sqrt{3}}}\left(\phi_0-\sqrt{2}\phi_8\right)\;$ i $\omega={{1}\over{\sqrt{3}}}\left(\phi_8+\sqrt{2}\phi_0\right)\;$. Jeśli przyjmować będziemy parametry Φ₀ i Φ₈ w zależności od funkcji falowej kwarka dolnego d i antykwarka dolnego $\overline{d}\;$, górnego u i antykwarka górnego $\overline{u}\;$, dziwnego s i antykwarka dziwnego $\overline{s}\;$, piszemy jako:

$\phi_0={{1}\over{\sqrt{3}}}\left(d\overline{d}+u\overline{u}+s\overline{s}\right)\;$ (4.37)

$\phi_8={{1}\over{\sqrt{6}}}\left(d\overline{d}+u\overline{u}-2s\overline{s}\right)\;$ (4.38)

Stan	I	Y	Masa [MeV]	Dominujący kanał rozpadu
$\rho\;$	1	0	776	$\rho\rightarrow 2\pi\;$
$K^*\;$	${{1}\over{2}}\;$	±1	892	$K^*\rightarrow K\pi\;$
$\omega\;$	0	0	783	$\omega\rightarrow 3\pi\;$
$\phi\;$	0	0	1019	$\phi\rightarrow K\overline{K}\;$

Wtedy na podstawie (4.37) i (4.38) funkcje falowe cząstek fizycznych Φ i ω w zależności od kwarku i antykwarka dolnego, kwarka i antykwarka górnego, kwarka i antykwarka dziwnego wyglądają tak:

$\phi=s\overline{s}\;$ (4.39)

$\omega={{1}\over{\sqrt{2}}}\left(u\overline{u}+d\overline{d}\right)\;$ (4.40)

Kanałami rozpadu cząstki Φ są $\phi\rightarrow K^++K^-\;$, $\phi\rightarrow K^0+\overline{K}^0\;$ i ostatni kanał $\phi\rightarrow\pi^++\pi^-+\pi^0\;$, w którym dwie pierwsze kanały zachodzą z 84% procentową częstością a ostatni kanał z 15% częstością, dalej kanałami rozpadu cząstki ω są $\omega\rightarrow\pi^++\pi^-+\pi^0\;$, następnie $\omega\rightarrow\pi^++\pi^-\;$, i ostatni kanał $\omega\rightarrow\pi^0+\gamma\;$, przy czym pierwszy kanał zachodzi z 90% częstością, a dwa ostatnie kanały zachodzą z 10% częstością.

Rozpraszanie cząstek pion-nukleon i jego przekroje czynne

przy energiach 60GeV przekroje czynne na rozpraszanie cząstek π⁺ i p oraz π^- i p są równe sobie i wynoszą 25mb, a dla tego samego zakresu energii przekroje czynne σ(pp) i σ(pn) wynoszą w przybliżeniu 38mb i rzeczywiście ten przekrój jest bliski wartości ${{2}\over{3}}\;$.

Produkowanie par leptonów przy tarczach izoskalarnych

Dzięki temu procesowi można przyporządkować ładunek kwarkom, produkowanie pary leptonów przy zdrzeniu dwóch cząstek pionu i nukleonu, który odpowiada anihilacji antykwarka z pionem z kwarkiem oraz z nukleonem, co dzięki temu powstaje wirtualny foton, który natychmiast potem przechodzi w parę mionową, przekrój tego zjawiska jest wprost proporcjonalny do ładunku kwarka. Gdy będziemy rozpatrywać rozpraszanie $\pi^-(=\overline{u}d)\;$ na izoskalarnym jądrze ${}^{12}C\;$, co w wyniku takiego procesu zdarzy się anihilacja $u\overline{u}\;$, czyli:

$\sigma(\pi^-C\rightarrow\mu^+\mu^-+...)\sim19Q_u^2=18\left({{4}\over{9}}\right)\;$

(4.41)

ale już na rozpraszaniu π⁺ $u\overline{d})\;$:

$\sigma(\pi^+C\rightarrow\mu^+\mu^-+...)\sim19Q_d^2=18\left({{1}\over{9}}\right)\;$

(4.42)

Iloraz przekrojów czynnych (4.37) i (4.38) równy cztery do jednego znacznie powyżej ciężkich rezonansów $\psi\rightarrow\mu^++\mu^-\;$.

Rozpady wektorowych mezonowe na leptony

Ułamkowe wartości ładunków elektrycznych i kwarkowa budowę mezonów wektorowych można sprwadzić przy pomocy szerokości cząstkowych rozpadu mezonów na parę leptonów czyli e⁺e^-, którego szerokość rozpadu jest Γ(e⁺e^-). W nierelatywistycznej teorii rozpadów mezonów wektorowych zależy od sprzężenia z fotonem i wtedy jest wprost proporcjonalne do ładunków kwarków. Iloraz ${{\Gamma_{e^+e^-}}\over{\left|\sum a_iQ_i\right|}}\;$. Szerokości rozpadów dla mezonów ρ, ω,Φψ i γ mają zbliżone do siebie wartości. Mianownik w ostatnim stosunku, tzn. $\left|\sum a_iQ_i\right|^2\;$ jest podniesioną do kwadratu sumy ładunków znajdujących się w mezonach kwarków.

Szerokości cząstkowe dla rozpadów leptonowych mezonów wektorowych
Mezon	Funkcja falowa kwarka	$\left|\sum a_iQ_i\right|^2$	$\Gamma_{e^+e^-}\mbox{ keV}\;$	${{\Gamma_{e^+e^-}}\over{\left|\sum a_iQ_i\right|}}\;$
ρ	${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(u\overline{u}-d\overline{d}\right)\;$	${{1}\over {2}}\;$	$6,8\pm 0,3\;$	$13,6 \pm 0,6\;$
ω	${{1}\over{\sqrt{2}}}\left(u\overline{u}+d\overline{d}\right)\;$	${{1}\over{18}}\;$	$0,60\pm 0,02\;$	$10,8\pm 0,4\;$
Φ	$s\overline{s}\;$	${{1}\over{9}}\;$	$1,37\pm 0,05\;$	$12,3\pm 0,5\;$
ψ	$c\overline{c}\;$	${{4}\over{9}}\;$	$5,3\pm 0,4\;$	$11,9\pm 0,9\;$
γ	$b\overline{b}\;$	${{1}\over{9}}\;$	$1,32\pm 0,05\;$	$11,9\pm 0,5\;$

Szerokość rozpadów leptonowych dla ich bezwzględnych wartości przy oznaczeniu $Q^2=\left|\sum a_iQ_i\right|^2\;$ oraz $\psi(0)\;$, gdzie jest to funkcja falowa funkcji układu $Q\overline{Q}\;$ w środku układu kwarkowego w mezonie, a $M_V\;$ jest to masa mezonu wektorowego, co dzieki tym oznaczeniu możemy napisać;

$\Gamma\left(V\rightarrow I^+I^-\right)={{16\pi\alpha^2Q^2}\over{M^2_V}}|\psi(0)|^2\;$

(4.43)

Propagator pojedyńczego fotonu w omawianym procesie daje w takim razie czynnik q^-4, którego kwadrat wartości bezwzględnej wielkości q jest równy $|q|^2=M_V^2\;$, ale czynnik do dwuciałowego stanu końcowego podsuwa nam czynnik q², ale wielkość$\sqrt{\alpha}Q_i\;$ przy oznaczeniu Q_i, który jest ładunkiem kwarka, mówi nam coś o sprzężeniu z fotonem, ale amplitudy a_i uwzględniają superpozycję kwarków w układzie kwarkowycm, który jest mezonem. Jeśli uzupełnimy o sprzężenie z fotonem, to otrzymamy amplitudę z wynikiem $\sqrt{\alpha}\sqrt{\alpha}\sum a_iQ_i\;$, ale jeżeli chcemy uzyskać szerokość całkowitą rozpadu mezonowego, to ostatnią wielkość należy podnieść do kwadratu. Wielkość $\left|\psi(0)\right|^2\;$ określa prawdopodobieństwo, że dwa kwarki, tzn. kwark i antykwark będą oddziaływały z fotonem gdzieś w przestrzeni. Dla cząstek ρ, ω i Φ, które mają mała masę, promień rozpadu ładunku według przybliżenia jest równy 0,6 fm.

Związki masowe w rozszczepianiach nadsubtelnych

Różnice masowe w multipletach hadronowych jak dotychczas się dowiedzieliśmy wynikają wynikają z różnic masowych kwarków u,d i s, które są elementami składowymi hadronów. Chcemy wyjaśnic różnice mas hadronów o takim samym składzie fermionowym, którą to rozbieżność można wyjaśnić z oddziaływania kwark-kwark, którą opisuje chromodynamika kwantowa. Weźmy pod rozważania atom wodoru, w którym elektron jest opisywany funkcją falową n,l i j, który jest rozszczepiony nadsubtelnie na dwa bardzo blisko poziomy. Przejście pomiędzy tymi poziomami położonych blisko siebie daje nam linie radiową od częstości 1420 MHz o długości fali 21cm za pomocą którego można określić skład wodorowy we wszechświecie. Przyjmijmy pod rozważania dwa fermiony μ_i i %mu;_j. Ruch względny tych stanom fermionów względny odpowiada stanowi S, której opisuje funkcja falowa ruchu względnego. Dipol j oddziaływuje z polem wytworzonym przez dipol i, którego to pole liczymy wiedząc że dipol i jest rozmieszczony losowo we wnętrzu kuli o objętości V, w którym środku znajduje się dipol j o momencie magnetycznym μ_j. Indukcja w środku, w którym to w objętości jest jednorodne pole o rozkładzie namagnesowania $B={{2M\mu}\over{3V}}\;$ Ale już wielkość V^-1 jest określona wzorem $V^{-1}=\left|\psi(0)\psi\right|^2\;$. Energia z jaką oddziaływuje dipol i z j jest określona formułą:

$\Delta E=\vec{\mu}\cdot\vec{B}={{2}\over{3}}\vec{\mu}_i\vec{\mu}_j\left|\psi(0)\right|^2={{2\pi}\over{3}}{{\alpha}\over{m_im_j}}\left|\psi(0)\right|^2\vec{\sigma}_i\vec{\sigma}_j\;$

(4.44)

Zakładamy we wrzorze (4.40) jednostki zredukowane, tzn. $\hbar=c=1\;$. (4.40) wynika ze wzoru Diraca, w którym przyjelismy, że definicja momentum agnetycznego jest określona przez $\vec{\mu}={{e_i}\over{2m_i}}\mathfrak{\sigma}\;$, w którym $\mathfrak{\sigma}\;$ jest operatorem spinu, którego kwadrat jest równy jeden. Przyjelismy definicję, że $e_ie_j=4\pi\alpha\;$. Oddziaływanie magnetyczne jest związane z ładunkiem magnetycznym i spinem kwarków, które generują to oddziaływanie. W skali hadronów oddziaływanie magnetyczne jest oddziaływaniem słabym. A jeżeli kwark obdarzony jest ładunkiem kolorowym ma z dużym prawdopodobieństwem postać $\sim {{1}\over{r}}\;$, tak samo jak pole elektryczne. Ładunek kolorowy powoduje pojawienie się oddziaływania magnetycznego, którego energię określamy ze wzoru (4.40), tylko, że zamiast ładunku elektrycznego tam występuje ładunek kolorowy. Energia oddziaływania (4.40) jest związana czy oddziaływanie jest pomiędzy kwarkiem i kwarkiem, czy kwarkiem i antykwarkiem. W (4.5) α nalezy zastąpić przez 4α_s/3 dla pary $Q\overline{Q}\;$ natomiast dla barionu QQQ czynnik α jest w postaci 2α_s/3, który jest o połowę mniejszy od układu mezonowego. Dla układów $Q\overline{Q}\;$ i $QQ\;$ wzory na oddziaływania spin-spin opisujemy wzorami:

$\Delta E(Q\overline{Q})={{8\pi\alpha_s}\over{9m_im_j}}|\psi(0)|^2\mathfrak{\sigma}_i\mathfrak{\sigma}_j\;$ (4.45)

$\Delta E(QQ)={{4\pi\alpha_s}\over{9m_im_j}}|\psi(0)|^2\mathfrak{\sigma}_i\mathfrak{\sigma}_j\;$ (4.46)

Iloczyny wektorów spinowych występujących we wzorach (4.45) i (4.46) zależą od wektorówb spinu kwarku, a to z koleii od całkowitego spinu kwarków i spinnu kwarków poszczególnych układu kwark-kwark i kwark-antykwark w sposób:

$\sigma_i\sigma_j=4s_is_j=2[S(S+1)-s_i(s_i+1)-s_j(s_j+1)]=\left\{{{+1\mbox{ dla } S=1}\atop{-3\mbox{ dla }S=0}}\right.\;$

(4.47)

Dla barionów zbudowanych z trzech kwarków jest sumowanie po spinach kwarków na które składa się ten układ, wtedy:

$\sum\sigma_i\sigma_j=4\sum s_is_j=2[S(S+1)-3s(s+1)]=\left\{{{+3\mbox{ dla } S={{3}\over{2}}}\atop{-3\mbox{ dla }S={{1}\over{2}}}}\right.\;$

(4.48)

Dla cząstek Δ, N, Σ rozszczepienia nadsubtelna są określone wzorami:

$(\Delta E)_{\Delta}={{3}\over{m_u^2}}K\;$ (4.49)

$(\Delta E)_N=-{{3}\over{m_u^2}}K\;$ (4.50)

$(\Delta E)_{\Sigma}=\left({{1}\over{m_u^2}}-{{4}\over{m_um_s}}\right)K\;$ (4.51)

Przy czym wiadomo, ze we wzorach powyższych przyjęto σ_uσ_u=1, a także $2\sigma_u\sigma_s=\sum\sigma_i\sigma_j-\sigma_u\sigma_u=-4\;$, również $K={{4\pi\alpha_s}\over{9}}|\sigma(0)|^2\;$. Parametry K, m_u i m_s uzyskujemy z dopasowania ośmiu izomultipltetów barionów w dekuplecie i oktecie. Przyjmować będziemy, że m_n=m_u=m_d=363 MeV, m_s=538 MeV oraz ${{K}\over{m_n^2}}=50\mbox{ MeV}\;$, wtedy masy barionów przyjmujemy w postaci:

Barion, masa[MeV}	Skład kwarkowy	${{\Delta E }\over{K}}\;$	Przewidywana masa [MeV]
N(939)	3n	$-{{3}\over{m_n^2}}\;$	939
Λ(1116)	2n,1s	$-{{3}\over{m_n^2}}\;$	1114
Σ(1193)	2n,1s	${{1}\over{m_n^2}}-{{4}\over{m_nm_s}}\;$	1179
Ξ(1318)	1n2s	${{1}\over{m_n^2}}-{{4}\over{m_nm_s}}\;$	1327
Δ(1232)	3n	${{3}\over{m_n^2}}\;$	1239
Σ(1384)	2n,1s	${{1}\over{m_n^2}}+{{2}\over{m_nm_s}}\;$	1381
Ξ(1533)	1n,2s	${{1}\over{m_s^2}}+{{2}\over{m_nm_s}}\;$	1529
Ω(1672)	3s	${{3}\over{m_s^2}}\;$	1682

W powyższej tabeli przyjęto, że:

$m_n=m_u=m_d=363 MeV\;$

$m_s=538 MeV\;$

${{K}\over{m_n^2}}=50 MeV\;$

Opis symetrii izospinowej i wynikająca stąd elektromagnetyczna różnica mas

Masę hadronów jest to suma mas kwarków plus przyczynek pochodzący od oddziaływania pomiędzy kwarkowego w hadronie, tzn. na które wchodzą oddziaływania elektryczne pomiędzy kwarkami i oddziaływania silne pomiędzy tymi samymi obiektami. Rożnica pomiędzy gołą masą hadronu a masa zmniejszenie masy dzięki oddziaływaniu elektrycznym elektrycznym i silnym określamy wzorem stąd wniosek:

$\Delta m_p=\Delta m_{\Sigma^+}\;$ (4.49)

$\Delta m_{\Sigma^-}=\Delta m_{\Xi^-}$ (4.50)

$\Delta m_{\Xi^0}=\Delta m_{n}\;$ (4.51)

Jeśli dodamy do sibie obie strony wzorów (4.49), (4.50) i (4.51), co później możemy przepisać to według ogólnego wzoru:

$m_p+m_{\Sigma^-}+m_{\Xi^0}=m_{\Sigma^+}+m_{\Xi^-}+m_n\;$

(5.52)

co możemy przepisać w troszeczkę innej formie:

$[\underbrace{(m_p-m_n)}_{-1,3 MeV}=\underbrace{\underbrace{(m_{\Sigma^+}-m_{\Sigma^-})}_{-8,0 MeV}+\underbrace{(m_{\Xi^-}-m_{\Xi^0})}_{+6,4 MeV}}_{-1,6 MeV}\;$

(5.53)

Podejmując różnicę mas w modelu kwarkowym we wzorze (5.54) należy brać pod uwagę różnicę mas kwarków u i d, przy który masy tych kwarków wskazują na nierówność $m_d>m_u\;$. Energię elektryczną wiążącą kwarki przy ich oddziaływaniu, wiedząc, że R₀ jest promieniem barionu, tzn.: ${{e^2}\over{R_0}}={{e^2}\over{\hbar c}}{{\hbar c}\over{R_0}}\;$, co w tym wzorze oznaczając $\hbar c=197 MeV\cdot fm\;$,$R_0 \simeq 0,8 fm\;$ wtedy wielkość ${{e^2}\over{R_0}}\simeq 2 MeV\;$.Także należxy brać pod uwagę energię wiązania kwarków z oddziaływania momentów magnetycznych (nadsubtelnych) kwarków, która jest rzędu: $\left({{e\hbar}\over{mc}}\right)^2\left({{1}\over{R_0}}\right)^3\;$, gdzie m jest masą kwarków,a kwardrat modułu funkcji falowej w stanie poczatkowym $|\psi(0)|^2\simeq R_0^{-3}\;$, wtedy energia oddziaływania momentów magnetycznych jest bliska rzędu ${{e^2}\over{R_0}}\;$ i wynosi w przybliżeniu 1 lub 2 MeV. Dopasowując przyczynki we wrzorze (5.53) dostajemy $m_d-m_u=2 MeV\;$.

Momenty magnetyczne opisujące bariony

Cząstki, które się kwarkami zachowują się jak punktowe cząstki, które zachowują się według równań Diraca, moment dipolowe kwarków możemy napisać:

$\mathfrak{\mu}_i=\left({{e_i}\over{2m_i}}\right)\mathfrak{\sigma}_i\;$

(4.54)

gdzie $e_i\;$,$m_i\;$,$\mathfrak{\sigma}_i\;$ są to odpowiernio ładunek, masa i spin kwarka. Moment magnetyczny naszych hadronów opisujemy poprzez sumę momentów magnetycznych kwarków, który to momenty opisujemy wzorem (4.55). Stan kwarków u w protonie uud możemy opisać w stanie tryppletowym, którego funkcja falowa jest $\chi(J=1,m=0,\pm 1)\;$, a stan trzeciego kwarka d w protonie,tzn. d jest można opisać według stanu $\phi\left({{1}\over{2}},m=\pm{{1}\over{2}}\right)\;$. Jeżeli będziemy opisywali proton to jego funkcja falowa opisana za pomocą współczynników Clebscha-Gordona jest napisana przez:

$\Phi\left({{1}\over{2}},{{1}\over{2}}\right)=\sqrt{{{2}\over{3}}}\chi(1,1)\phi\left({{1}\over{2}},-{{1}\over{2}}\right)-\sqrt{{{1}\over{2}}}\chi(1,0)\phi\left({{1}\over{2}},{{1}\over{2}}\right)\;$

(4.55)

We formule (4.55) odpowiada moment magnetyczny $\mu_d+\mu_u-\mu_d\;$, a drugiemu moment magnetyczny $mu_d\;$, zatem wzór opisujący moment magnetyczny protonu piszemy:

$\mu_d={{2}\over{3}}\left(2\mu_u-\mu_d\right)+{{1}\over{3}}\mu_d={{4}\over{3}}\mu_u-{{1}\over{3}}\mu_d\;$

(4.56)

Moment magnetyczny dla neutronu opisujemy przez (4.56), tylko tam należy zamienić u na d i d na u. Moment magnetyczny Σ⁺ piszemy poprzez zamienienie we wzorze (4.56) wielkości μ_d na μ_s, a już dla cząstki Σ^- zamieniamy z μ_d na μ_s oraz poprzez zamienienie μ_s na μ_d. Zakładając, że masy cząstek (kwarków) u (kwark górny) i d są zbliżone(kwark dolny) do siebie, zatem wtedy wzór (4.56) piszemy w troszeczkę uproszczonej postaci dla protonu i neutronu:

$\mu_n=-{{2}\over{3}}\mu_p\;$

(4.57)

Ustalone wartości momentów magnetycznych hiperonu i protonu są potrzebne do oszacowania mas protonu m_n i kwarka dziwnego m_s. Narysujemy teraz tabelę, którym wartości momentów magmnetycznych są podane w magnetonach jądrowych $\mu={{e\hbar}\over{2Mc}}\;$, w którym M jest to masa protonu i neutronu uwzględniając, że one w przybliżeniu mają zbliżone masy. Poniższa tabelka przedstawia bariony wraz ze wzorem na moment magmnetyczny barionu w zalezności od momentów magnetycznych poszczególnych kwarków wchodzących w tą cząstkę w jednostkach magnetonu jądrowego, jego wartość przewidywalna i obserwowana też w magnetonach jądrowych.

Barion	Moment magmnetyczny w modelu kwarkowym	Wartość przewidywana w jednostkach momenty jądrowego	Wartość obserwowana w jednostkach momentu magnmetycznego jądrowego
p	${{4}\over{3}}\mu_u-{{1}\over{3}}\mu_d\;$	2,79	2,793
n	${{4}\over{3}}\mu_d-{{1}\over{3}}\mu_u\;$	-1,86	-1,913
Λ	$\mu_s$	-0,61	-0,614±0,005
Σ+	${{4}\over{3}}\mu_u-{{1}\over{3}}\mu_s$	2,68	2,46±0,01
Σ-	${{4}\over{3}}\mu_d-{{1}\over{3}}\mu_s$	-1,04	-1,16±0,03
Ξ0	${{4}\over{3}}\mu_d-{{1}\over{3}}\mu_u$	-1,44	-1,25±0,014
Ξ-	${{4}\over{3}}\mu_s-{{1}\over{3}}\mu_d$	-0,51	-0,65±0,01
Ω-	$3\mu_s$	-1,84	-2,02±0,05

Jeżeli będziemy dobierać parametry zgodne z doświadczeniem dla protonu i hiperonu, to otrzymujemy m_n=m_u=m_d=336 MeV i m_s=509 MeV.

Kwark lekki i ciężki jako składniki szczególnych wybranych mezonów

W 1974 odkryto mezony, którego składniki będące kombinacjami kwarków lekkich i ciężkich, te mezony, które są powabnymi cząstkami D psełdoskalarnymi J^P=0^-, D⁺($c\overline{d}$),D⁰($c\overline{u}$),D_s⁺($c\overline{d}$), a także te mezony są cząstkami wektorowymi J^P=1^-, którymi są D^*0($c\overline{u}$),D_s^*+($c\overline{s}$), a także wzbudzenia radialne które opisujemy wzorami J^P=2⁺. Mezony psełdoskalarne ulegają procesom słabych oddziaływań $\Delta C=\pm 1\;$ ze zwykłym czasem życiowym $\tau\simeq 10^{-12}s\;$ rozpadając się na cząstki z zerowym powabem, które ze względu czynnika Cabbibi, one rozpadają się bardziej na mezony dziwne $D^0\rightarrow K^-\pi^+$. Mezony składające się z kwarka b i z kwarków lekkich dających psełdoskalarne B i wektorowe mezony, wśród których mezony wektorowe są to $B^*\left\{B^+(u\overline{b}),B^0(d\overline{b}),B_s^0(s\overline{b})\right\}\;$. Mezony rozpadają się za pomocą oddziaływań słabych z czasem życiowym $\tau\simeq 10^{-12}s$, ale ze względu na czynnik Cabbibo bardziej korzystniejsze są rozpady dla przykładu $B^0\rightarrow D^-\pi^+\;$. Podamy teraz tabelkę symbolizujących rozszczepienia nadsubtelne dla mezonów B i D.

M

Masa ciężkiego kwarka	Różnica pomiędzy trypletem a singletem	Iloczyn
$M_c\simeq 1,86 GeV$	$M_{D^*}-M_D=0,14 GeV$	$M_c(M_{D^*}-M_D)=0,26 GeV^2$
$M_b\simeq 5,28 GeV$	$M_{B^*}-M_B=0,046 GeV$	$M_b(M_{B^*}-M_B)=0,24 GeV^2$

Porównując masy mezonów D i B z najmniejszymi cząstkami budowy materii o róźnych zapachach, to różnica mas mezonów stanów psełdoskalarnych $D_s(c\overline{s})$,$D(c\overline{u})\;$ jest zapisana jako wielkości $M_{D_s}-M_D=90\pm 3 MeV\;$, ale już dla mezonów B piszemy $M_{B_s}-M_B=90\pm 3 MeV\;$.

Kwark szósty z niebywalno dużą masą, który jest kwarkiem top

Kwark szósty odkryto w 1977, ten kwark nazywamy kwarkiem top. Tekn kwark ma dużą masę, która wynosi $M\simeq 175 GEV$. Został odkryty kolajderze $p\overline{p}\;$ w Fermilab w laboratorium przy pomocy wiązek mających zaskakującą dużą masę 1,8 TeV w układzie środka masy. Do wytwarzania $t\overline{t}\;$ w zderzeniach $p\overline{p}$, gdzie kwark i antykwark top co potem ulega rozpadowi słabemu według kanału:

$t\overline{t}\rightarrow W^+b+W^-\overline{b}\;$

(4.58)

Ten rozpad jesdt rozpadem ezgoenergetycznych, ponieważ masa kwarka t jest większa od sumy mas kwarka b i bozonu W. Kwarki w (4.58) powstające kwarki b ulegają fragmentacji na dzety hadronowe, ale już bozony W rozpadają się na leptony według (4.59) lub na dżety hadronowe $W\rightarrow Q\overline{Q}\;$:

$W\rightarrow e^+\nu,\mu\nu,\tau\nu\;$

(4.59)

Stosunek oddziaływań leptonów z kwarkami za pomocą oddziaływań słabych

Będziemy tutaj opisywali proces oddziaływań leptonów z kwarkami, a mianowicie proces oddziaływania elektron-pozyton co w wyniku tego powstaje mion o ładunku dodatnim i ujemnym, a także proces anihilacji elektron-pozyton, rozpraszanie elektronów na mionach o ładunku dodatnim, a także neutrin na elektronach, rozpraszaniem leptonów na nukleonach z zachowaniem zasady zachowania energii, doskonale nieelastyczne rozpraszaniami, partonami, regułom sum.

Proces oddziaływania elektron e^- i pozyton e⁺

Proces oddziaływania elektron-pozyton za pośrednictwem oddziaływania słabego

Proces oddziaływania elektron-pozyton za pośrednictwem oddziaływania słabego gdy zamienimy cząstki antycząstkami w stanie końcowym

Wyniku oddziaływania elektronu e^- z pozytonem e⁺ powstaje mion dodatni i ujemny, co ten proces oddziaływania przebiega według:

$e^++e^-\rightarrow\mu^+\mu^-\;$

(5.1)

Elementy macierzowe oddziaływania (5.1) zapisujemy jako:

$M_{if}={{e^2}\over{q^2}}={{4\pi\alpha}\over{q^2}}\;$

(5.2)

We wzorze (5.2) wielkość q² jest kwadratem czteropędu wirtualnego fotonu, czyli $q^2=-E_0^2=-s\;$, w którym s jest kwadratem całkowitej energii związanej z układem środka masy CM, przy czym całkowity pęd przestrzenny w tym układzie jest równy zero. Prędkości w stanie początkowym i końcowym z oczywistych powodów piszemy w postaci: v_i=v_f=2c oraz E₀=2p_fc w jednostkach $\hbar=c=1\;$ piszemy w postaci formuły:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}={{\alpha}\over{4s}}\;$

(5.3)

Przy oddziaływaniach o charakterze pseudowektorowym i wektorowym, które zachodzą pomiędzy cząstkami ultrarelatywistycznymi, skrętność jest z oczywistych powodów zachowana. Biorąc skrętności elektronów mamy $e_L^-\rightarrow e_L^-\;$ i $e_R^-\rightarrow e_R^-\;$. W układzie środka masy CM wybierzmy sobie oś zgodną z kierunkiem ruchu cząstek z oczywistych powodów przed zderzeniem. Stan początkowy przy rozpraszaniu elektron-pozyton jest kombinacją RL (J_z) lub kombinacją LR (J_z), co stąd dochodzimy do wniosku, że nasz wirtualny foton jest spolaryzowany liniowo. Za porządek dzienny weźmy kombinację RL w stanie początkowym, wtedy kombinacja prawdopodobieństwa J_z:

$A_{RL\rightarrow RL}=d^J_{m,m^'}=d^1_{1,1}(\theta)={{1+\cos\theta}\over{2}}\;$

(5.4)

A amplituda procesu ze stanu LR do RL piszemy według wzoru (5.5), co w odróżnieniu od wzoru (5.4) inny znak występuje przed $cos\theta\;$, wtedy:

$A_{LR\rightarrow RL}=d^1_{1,-1}(\theta)={{1-\cos\theta}\over{2}}\;$

(5.5)

Możemy policzyć sumę kwadratów wielkości $A_{RL\rightarrow RL}\;$ (5.4) i wielkości $A_{LR\rightarrow RL}$(5.5) możemy napisać całkowitą amplitudę rozpraszania:

$P(\theta)=A^2_{RL\rightarrow RL}+A_{LR\rightarrow RL}^2={{1+\cos^2\theta}\over{2}}\;$

(5.6)

Musimy uwzględnić układy spinów w stanie końcowym co ich jest cztery i uwzględnić po poczatkowych orientach spinów (dwie z czterech możliwości, czyli równanie (5.6) należy pomnożyć przez dwa, te orientacje spinów dwie z czterech są postaciach $RL\rightarrow LR\;$, $LR\rightarrow LR\;$, wtedy różniczkowy przekrój czynny piszemy mnożąc (5.3) przez (5.6), co rezultat możemy przepisać jako:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}(e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-)={{\alpha^2}\over{4s}}(1+cos^2\theta)\;$

(5.7)

Możemy policzyć całkowity przekrój czynny mając różniczkowy przekrój czynny (5.7) całkując po kącie bryłowym od zero do 4π, zatem:

$\sigma(e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-)={{4\pi\alpha^2}\over{3s}}\;$

(5.8)

Równość (5.8) dobra jest do anihilacji i kreacji leptonów, które są z oczywistych powodów punktowe, przy rozpraszaniu jednofotonowym, a przy wysokich energiach masy fotonów można pominąć. Jeżeli chcemy uwzględnić masy mionu należy uwzględnić, że (5.8) należy pomnożyć przez:

$\left(1+{{z}\over{2}}\right)\sqrt{1-z}\;$

(5.9)

Proces anihilacji pary elektron-pozyton w handrony

W wyniku zderzenia elektronu e^- z pozytonem e^- powstają powstają naładowane i obojętne hadrony, które tworzą przeciwnie naładowane dźety. Powstają one w wyniku dwustopniowej przemiany produkcji i fragmentacji pary kwark-antykwark, tzn.

$e^+e^-\rightarrow Q\overline{Q}\mbox{, }Q\mbox{, }\overline{Q}\rightarrow\mbox{hadrony}\;$

(5.10)

Określmy wielkość R, która jest stosunkiem przekroju czynnego przemiany dwustopniowej (5.10) i (5.8), wtedy piszemy:

$R={{\sigma(e^+e^-\rightarrow\mbox{handrony})}\over{\sigma(e^+e-\rightarrow\mu^+\mu-)}}\;$

(5.11)

Wielkość R (5.11) możemy policzyć w bardzo łatwy sposób przyjmując , że punktowe twory wewnątrz cząstek to punktowe niezależne kwarki, wtedy wspomnianą wartość piszemy za pomocą ładunków kwarków:

$R={{\sum_ie_i^2}\over{1}}\;$

(5.12)

Dla małych wartości s poniżej pewnej wartości do produkcji $c\overline{c}\;$ w oddziaływaniach uczesticzą mkwarki u, d, s, co w następującej sprawie zachodzi:

$R_{pr}(\sqrt{s}<3GeV)=\left({{1}\over{3}}\right)^2+\left({{1}\over{3}}\right)^2+\left({{2}\over{3}}\right)^2={{6}\over{9}}={{2}\over{3}}\;$

(5.13)

Ale już dla dużych wielkości s, w którym w przemianie biorą udział kwarki u, d, s, c, b, wtedy wielkość R (5.12) piszemy w postaci:

$R_{pr}\left(\sqrt{s}>10GeV\right)=\left({{1}\over{3}}\right)^2+\left({{1}\over{3}}\right)^2+\left({{1}\over{3}}\right)^2+\left({{2}\over{3}}\right)^2+\left({{2}\over{3}}\right)^2={{11}\over{9}}\;$

(5.14)

Perzy wysokich energiach hadrony wyprodukowane w procesie dwustopniowym (5.10) są skolimowane w dwóch naciwnych skierowanych dżetach. W przypadku procesu (5.1) rozkład kątowy w zależności od kąte θ piszemy jako pochodna wielkości N względem kąta bryłowego:

${{dN}\over{d\Omega}}\sim 1+\cos^2\theta\;$

(5.15)

Rozpraszanie elastyczne elektronów nad mionami

Czteropędy leptonów uczestniczących w procesie anihilacji e^-e⁺→ μ⁺μ^-

Proces anihilacji e^-μ⁺→e^-μ⁺.

Proces rozpraszania elastycznego elektronów na mionach piszemy w postaci:

$e^-\mu^+\rightarrow e^-\mu^+\;$

(5.15)

Opiśmy proces (5.1) mając wielkości k₂,k₁,k₄,k₃, które sa czteropędami cząstek biorącej udział w opisywanym procesie, co opisując poprzez niezmienniki s,t,u. Te zmienne nazywamy zmiennymi Mandelstama. Tymi zmiennymi są to kwadrat energii w układzie środka masy CM, kwadrat przekazu czteropędu, kwadrat przekazu czteropędu w kanale krzyżowym. Patrząc na rysunki obok możemy napisać wzory na s,t,u mamy:

$s=-(k_1+k_2)^2=-(k_1+k_4)^2=-2k_1k_2=-2k_3k_4\;$

(5.16)

$t=q^2=(k_1-k_3)^2=(k_2-k_4)^2=-2k_1k_3=-2k_2k_4\;$

(5.17)

$u=(k_2-k_3)^2=(k_1-k_4)^2=-2k_2k_3=-2k_1k_4\;$

(5.18)

Związek pomiędzy wielkościami s (5.16), t(5.17), u(5.18):

$s-t-u=\sum m^2\;$

(5.19)

a jeżeli zaniedbamy masy spoczynkowe cząstek biorącej uddział w przemianie (5.15) we wzorze (5.19), wtedy piszemy s=u+t. Przyjmując, że kąt pomiędzy e^- i μ^- jest θ, a p jest to trójpęd cząstki, wtedy wielkości (5.16),(5.17),(5.18) piszemy jako:

$s=4p^2\;$

(5.20)

$t=q^2=2p^2(1-\cos\theta)=4p^2\sin^2{{\theta}\over{2}}\;$

(5.21)

$u=2p^2(1+\cos\theta)=4p^2\cos^2{{\theta}\over{2}}\;$

(5.22)

W takim bodź razem wzór na przekrój rózniczkowy przemiany (5.15) piszemy jako:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}(e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-)={{\alpha^2}\over{8p^2}}\left({{t^2+u^2}\over{s^2}}\right)\;$

(5.23)

Biorąc wzór na przekrój czynny różniczkowuy (5.23) i wzory (5.20), (5.21) i (5.22) i zamieniając pewne cząstki na inne, tzn. zastępując przemianę (5.1) przemianą (5.15), tzn. przechodza z jednej przemiany na inną poprzez zamienienie jednych cząstek na inne, otrzymujemy:

${{d\sigma}\over{d\Omega}}(e^-\mu^+\rightarrow e^-\mu^+)={{\alpha^2}\over{8p^2}}\left({{s^2+u^2}\over{t^2}}\right)={{\alpha^2}\over{8p^2\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+\cos^4{{\theta}\over{2}}\right)\;$

(5.24)

Równanie (8.24) otrzymuje się z elektrodynamiki kwantowej mając stałą sprzężenia α przy założeniu, że masy spoczynkowe leptonów zaniedbujemy z oczywistych powodów. Wzór (5.24) został napisany w układzie środka masy. Oznaczmy przez E_e energie padającego elektronu w układzie laboratoryjnym, a przez E_μ energię mionu odrzuconego po zderzeniu, wtedy mając θ i p w układzie środka masy możemy napisać:

$E_{\mu}=\gamma p(1-\cos\theta)\;$ (5.25)

$E_e=2\gamma p\;$ (5.26)

$y={{E_{\mu}}\over{E_e}}={{1-\cos\theta}\over{2}}\;$ (5.27)

Wtedy dla 0<y<1 możemy napisać $\cos^2{{\theta}\over{2}}={{1+\cos\theta}\over{2}}=1-y\;$ i $d\Omega=2\pi d(cos\theta)=4\pi dy\;$, zatem wzór (5.24) możemy przepisać w postaci:

${{d\sigma}\over{dy}}(e^-\mu^+\rightarrow e^-\mu^+)={{2\pi\alpha^2s}\over{q^2}}[(1+(1-y)^2]\;$

(5.28)

Zaniedbując masy spoczynkowe cząstek biorących w uddział w przemianie (5.15), wtedy wielkość y(5.27) piszemy:

${{d\sigma}\over{dq^2}}={{16\pi\alpha^2}\over{q^4}}p^2{{dy}\over{dq^2}}={{4\pi\alpha}\over{q^4}}\;$

(5.29)

Wzór (5.30) nazywamy wzorem Rutherforda dla określonego przypadku gdy pominiemy efekty związane ze spinem.

Rozpraszanie elastyczne neutrin elektronowych na elektronach

Rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach

Rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach

Oddziaływaniu elektron a neutrino elektronowe polega na wymianie bozonu W^±. Oznaczmy stałą sprzężenia W dla tego rozpraszania przez g. Do tego również wkład będzie dawała wymiane również bozonu Z⁰, ale my będziemy rozważać tylko tego pierwszego dotyczących wymiany bozonu w naszym rozpraszaniu. Wykorzystując wzór (2.6), która jest transformatu pędu cząstki, co dla naszego rozpraszania możemy napisać w jednostkach zredukowanych:

$M(\nu e\rightarrow \nu e)={{\left(g/\sqrt{2}\right)^2}\over{q^2+M_W^2}}\;$

(5.30)

W propagatorze (5.30) pojawia się różna od zera masa bozonu W, w którym czynnik $1/\sqrt{2}\;$ jest wynikiem konwencji Clebscha-Gordona, którą stosujemy przy oddziaływaniach elektrosłabych. Ale M_W=80 GeV i q²(max)≈2mE_ν, co dla energii cząstek nienaładowanych neutrin elektronowych będącej rzędu GeV, co bardziej rzędu TeV, powoduje że mając q²<<M_W², wtedy formuła (5.30) przechodzi w:

$M(\nu e\rightarrow \nu e)={{g^2}\over{2M_W^2}}\;$

(5.31)

Mając różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie neutrin elektronowych na elektronach w układzie środka masy mając na myśli v=2c,${{dp}\over{dE_f}}={{1}\over{2}}\;$. Co w tym rozważanym wzorze na przekrój czynny sumujemy po spinach końcowych i uśredniając stan poczatkowy względem spinów, co w rezultacie otrzymujemy czynnik 2. Padające neutrono ma zetową połówkową dodatnią liczbę kwantową, a w stanie końcowym ta liczba kwantowa może być ze znakiem ujemnym lub dodatnim. Przyjmując $q^2=2p^2(1-\cos\theta)\;$, wtedy:

${{d\sigma}\over{dq^2}}={{2\pi}\over{v}}|M|^2p^2{{dp}\over{dE_f}}{{d\Omega}\over{dq^2}}{{2}\over{(2\pi)^3}}\Rightarrow {{d\sigma}\over{dq^2}}={{2}\over{\pi}}\left({{g^2}\over{8M_W^2}}\right)^2\;$

(5.32)

Weźmy pod ostrzał stałą Fermiego G zdefiniowanej dla przejść wektorowych wtedy mając stałe G i g możemy napisać:

${{G}\over{\sqrt{2}}}={{g^2}\over{8M_W^2}}\;$

(5.33)

Biorąc (5.33),który podstawimy do wzoru (5.31) otrzymujemy:

${{d\sigma}\over{dq^2}}(\nu_ee\rightarrow\nu_e e)={{G^2}\over{\pi}}\;$

(5.34)

Biorąc pod uwagę (5.34) i całkując go w granicach od $q^2=0\;$ do $q_{max}^2=s=4p^2\;$ mamy wzór na przekrój czynny rozpraszania neutrin elektronowych na lektronach:

$\sigma(\nu_ee\rightarrow \nu_ee)=\int_0^{q_{max}^2}{{G^2}\over{\pi}}dq^2={{G^2s}\over{\pi}}\;$

(5.35)

Patrząc na wzór (2.35) energia padającego neutrina rośnie wraz z energią padajacego neutrina jeżeli zauważymy $s\simeq 2mE_{\nu}\;$. Z diagramu w tym rozdziale mamy J_z=+1,J=1, ale z zasady zachowania momentu pędu musi być J_z również w stanie końcowym. Amplituda rozpraszania prawdpodobieństwa, która zależy od kąta rozpraszania jest pisana:

$d_{1,1}^1={{1}\over{2}}(1+\cos\theta)\;$

(5.36)

Mnożymy wzór na pochodną przekroju czynnego względem q² (5.34) przez kwadrat wielkości amplitudy prawdopodobieństwa (5.36) przy tym wykorzystując:

${{d\sigma}\over{d\cos\theta}}=2\pi{{d\sigma}\over{d\Omega}}={{s}\over{2}}{{d\sigma}\over{dq^2}}\;$

(5.37)

wtedy pochodna przekroju czynnego σ względem kosinusa θ a także przekrój czynny rozpraszania neutrinów na elektronach piszemy:

${{d\sigma}\over{dq^2}}(\overline{\nu}_ee\rightarrow\overline{\nu}_ee)={{G^2}\over{\pi}}{{(1+\cos\theta)^2}\over{4}}\Rightarrow{{d\sigma}\over{d\cos\theta}}(\overline{\nu}_ee\rightarrow \overline{\nu}_ee)={{G^2}\over{8s}}(1+cos\theta)^2\Rightarrow\;$ $\Rightarrow\sigma(\overline{\nu}_ee\rightarrow\overline{\nu}_ee)={{G^2s}\over{3\pi}}\;$

(5.38)

jeżeli weżniemy pod uwagę $y={{E_e}\over{E_{\nu}}}\;$ i patrząc (5.37) wtedy piszemy $(1+cos\theta)^2=4(1-y)^2\;$, co w takim razie wzory (5.34) i końcowy wzór (2.38), w takim bądź razem:

${{d\sigma}\over{dy}}(\nu_ee\rightarrow\nu_ee)={{G^2s}\over{\pi}}\;$ (5.39)

${{d\sigma}\over{dy}}(\overline{\nu}_ee\rightarrow\overline{\nu}_ee)={{G^2s}\over{\pi}}(1-y^2)^2\;$ (5.40)

Doskonale sprężyste rozpraszanie leptonów na składnikach jądra atomowego (nukleony)

Elektronami lub neutrinami naświetlano w XX wieku tarcze nukleonowe, które nazywamy procesami ekskluzywnymi, są to takie procesy w którym stan końcowy jest dobrze znany, np. dla przypadku pomiarów elastycznych i quasi-elastycznych piszemy:

$e+p\rightarrow e+p\;$ (5.41)

$\nu_{\mu}+n\rightarrow \mu^-+p\;$ (5.42)

W procesach (5.41) i (5.42) dominujące znaczenie mają formfaktory, czyli czynnik kształtu. Formfaktory oznaczamy przez $F(q^2)\;$, która jest funkcjhą szybko malejącą kwadratu q², a wielkość $\left |F(q^2)\right|^2\;$ jest miarą prawdopodobieństwa, że nukleon się nie rozpadnie i gdy będzie przekazywał czteropęd q to nukleon zostanie odrzucony elastycznie. Te formfaktory opisujemy za pomocą wzoru dipolowego:

$F(q^2)={{1}\over{\left(1+{{q^2}\over{M_{\nu}^2}}\right)^2}}\;$

(5.43)

przy którym mamy $M_{\nu}\simeq 0,9 GeV\;$. Proces quasi-elastyczny (5.42) jest wynikiem oddziaływań słabych.

Doskonale niesprężyste zderzenia elektronów na nukleonach a właściwie na składnikach nukleonów, czyli partonów

Rozpraszanie elektronów na składnikach nukleonów czyli na partonach

Będziemy się zajmować głeboko nieelastycznym zderzeniami leptonami na nukleonach. Rozważmy proces w układzie odniesienia, którego protonowi można przepisać czteropęd P=(p,0,0,p). Wyobrażamy sobie proton jako równoległą strugę quasiswobowdnych cząstek zwanych partonami, w którym te partony niesą czteropęd xP, gdzie wiadomo 0<x<1. Jeśli P jest ogromne to masy i pędy poprzeczne możemy zaniedbać. Zauważmy , że parton o masie m w nukleonie pochłonął czteropęd q, wtedy:

$(xP+q)^2=-m^2\simeq 0\Rightarrow x^2P^2+q^2+2xPq\simeq 0\;$

(5.44)

Jeśli we wzorze (5.44) będziemy przyjmować $\left|x^2P^2\right|=x^2M^2<<q^2\;$, to wtedy możemy napisać:

$x=-{{q^2}\over{2Pq}}={{q^2}\over{2M\nu}}\;$

(5.45)

We wzorze (5.45) przyjeliśmy, że Pq nie zależy od układu współżędnych, którą obliczymy w układzie laboratoryjnym, a więc przekaz energii jest równy ν, a nukleon w tym układzie spoczywa, a x przedstawia ułamek pędu partonu niesionego przez nukleon. Ale:

$q^2=\sqrt{(\nu+m)^2-m^2}=\nu^2+m^2+2\nu m-m^2=2\nu^2+2\nu m\simeq 2\nu m\;$

(5.46)

Mając na myśli (5.45) i ostateczny wynik (5.46) otrzymujemy:

$x={{q^2}\over{2M\nu}}={{2\nu m}\over{2M\nu}}={{m}\over{M}}\;$

(5.46)

Doskonale niesprężyste rozpraszanie elektronów na nukleonach a kwarki

Kwarki s punktowymi cząstkami posiadający spin połówkowy. Naszym pytaniem jest czy kwarki są uwięzione, na potrzeby naszych rozważań będziemy je traktować jako swobodne cząstki punktowe. Ale niech u(x)dx, d(x)dx mają znaczenie liczby kwarków u i d w protonie niosący ułamek pędu protonu, który mieści się w przedziale (x,x+dx). W protonie również musimy dopuścić możliwość istnienia kwarków i antykwarków dziwnych. Przekrój czynny jest wprost proporcjonalny do kwadratu ułamków ładunków kwarków, co zatem należy oczekiwać, że zachodzi:

${{d^2\sigma(ep)}\over{dxdy}}={{4\pi\alpha^2}\over{q^4}}xs{{F_2^{ep}(x)}\over{x}}\left[{{1+(1-y)^2}\over{2}}\right]\;$

(5.47)

Natomiast wielkość $F_2^{ep}(x)\;$ występująca we wzorze (4.57) jest funkcją rozkładu kwarków w protonie o kwadratach ładunków kwarków jako wagi:

${{F_2^{ep}(x)}\over{x}}={{4}\over{9}}\left[u(x)+\tilde{u}(x)\right]+{{1}\over{9}}\left[d(x)+\tilde{d}(x)+s(x)+\tilde{s}(x)\right]\;$

(5.48)

Opierając się na symetri izospinowej funkcje rozkładu w neutronie będą funkcjami rozpadu d i $\overline{d}\;$, wtedy:

${{F_2^{en}(x)}\over{x}}={{4}\over{9}}\left[d(x)+\tilde{d}(x)\right]+{{1}\over{9}}\left[u(x)+\tilde{u}(x)+s(x)+\tilde{s}(x)\right]\;$

(5.48)

Ale już dla tarczy nuklenowej, która składa się z protonów i neutronów z równą ilością tych cząstek, zatem piszemy:

${{F_2^{eN}(x)}\over{x}}={{5}\over{18}}\left[u(x)+\tilde{u}(x)+d(x)+\tilde{d}(x)\right]+{{1}\over{9}}\left[s(x)+\tilde{s}(x)\right]\;$

(5.49)

Rozpraszanie elastyczne i niueelastyczne neutrin na składnikach jądra atomowego (na nukleonach) i kwarkach

Mając wzory (5.39) i (5.40), co odpowiednikami tych wzorów mówiące rozpraszaniu neutrin na kwarkach co odbywa się za pomocą bozonu W są przemiany:

$\nu_{\mu}+d\rightarrow \mu^{-}+u\;$ (5.50)

$\mu_{\mu}+\overline{u}\rightarrow \mu^-+\overline{d}\;$ (5.51)

A rozpraszanie antyneutrin na kwarkach odbywa się według przemian:

$\overline{\nu}_{\mu}+u\rightarrow\mu^++d\;$ (5.52)

$\overline{\nu}_{\mu}+\overline{d}\rightarrow\mu^++\overline{u}\;$ (5.53)

W przemianach (5.50), (5.51), (5.52) i (5.53) oddziaływania z kwarkami $s\;$ i $\overline{s}\;$ ulegaja dysypacji przez czynnik Cabibbo. Jeżeli kwarki będziemy traktować jako cząstki punktowe tak jak traktujemy elektrony jako cząstki punktowe wtedy drugie pochodne przekroju czynnego rozpraszania neutrina na protonie i rozpraszania neutrina na neutronie przedstawiamy wzorami:

${{d^2\sigma(\nu p)}\over{dydx}}={{G^2xs}\over{\pi}}\left[d(x)+\overline{u}(x)(1-y)^2\right]\;$ (5.54)

${{d^2\sigma(\nu n)}\over{dydx}}={{G^2xs}\over{\pi}}\left[u(x)+\overline{d}(x)(1-y)^2\right]\;$ (5.55)

W przypadku gdy mamy równą liczbę neutronów i protonów, to wtedy druga pochodną przekroju czynnego przedstawia się:

${{d^2\sigma(\nu N)}\over{dydx}}={{G^2xs}\over{2\pi}}\left\{[u(x)+d(y)]+[\overline{u}(x)+\overline{d}(x)](1-y)^2\right\}\;$

(5.56)

A w przypadku antyneutrin otrzymujemy analogiczny wzór do (5.56) na drugą pochodną przekroju czynnego antyneutrinów na nukleonach przedstawiamy wzorem:

${{d^2\sigma(\overline{\nu} N)}\over{dydx}}={{G^2xs}\over{2\pi}}\left\{[u(x)+d(x)](1-y)^2+[\overline{u}(x)+\overline{d}(x)]\right\}\;$

(5.57)