Wzmacniacze operacyjne

Co oznaczają słowa: wzmacniacz operacyjny?

Określenie: wzmacniacz operacyjny jest tłumaczeniem angielskich słów operational amplifier. Mamy więc do czynienia z elementem, który wykonuje operacje matematyczne.

Ogólny symbol wzmacniacza operacyjnego z uwzględnieniem linii zasilających przedstawiony jest poniżej.

W praktyce stosuje się uproszczony symbol bez linii zasilających.

Wzmacniacz operacyjny znajduje zastosowanie przy realizacji elektronicznych układów scalonych, służących np. do dodawania lub odejmowania napięć i prądów.

Schemat zastępczy

Idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzuje się nieskończenie wielką rezystancją wejściową $R_{we}$ i nieskończenie wielkim wzmocnieniem napięciowym $A_{u}$ – wzmocnieniu podlega napięcie różnicowe $U_{o}=A_{u}U_{d}=A_{u}(U_{+}-U_{-})$. W rzeczywistych układach rezystancja wejściowa jest bardzo duża- rzędu megaomów (więc można przyjąć, że WzmOp nie pobiera prądu z wejścia), natomiast wzmocnienie napięciowe jest rzędu stu-kilkudziesięciu decybeli ($10^{4}\div 10^{7}V/V$).

Uproszczony schemat zastępczy wzmacniacza operacyjnego

Ze względu na dużą rezystancję wejściową wzmacniacz operacyjny nie stanowi obciążenia dla źródła sygnału. Wzmacniacz operacyjny ma wielkie wzmocnienie napięciowe, więc zakres pracy liniowej jest niewielki, i dlatego układy tego typu są przeznaczone do pracy z zewnętrznym sprzężeniem zwrotnym, na ogół ujemnym sprzężeniem zwrotnym (dalej zostanie to szczegółowo omówione).

Sprzężenie zwrotne

Ujemne sprzężenie zwrotne zmniejsza wzmocnienie, co jednak nie jest negatywnym zjawiskiem, a pożądanym, ponieważ:

1. poszerza zakres pracy liniowej,
2. zmniejsza wrażliwość na zakłócenia,
3. poszerza pasmo przenoszenia,
4. parametry wzmacniacza objętego pętlą sprzężenia zwrotnego zależą w zasadzie wyłącznie od elementów wchodzących w skład obwodów sprzężenia zwrotnego.

Wzmocnienie układu z pętlą sprzężenia zwrotnego dane jest wzorem:

$k_{u}={\frac {A_{u}}{1+\beta A_{u}}}={\frac {1}{{\frac {1}{A_{u}}}+\beta }}$

gdzie:

• $A_{u}$ – wzmocnienie napięciowe wzmacniacza operacyjnego
• $\beta$ – współczynnik sprzężenia zwrotnego ($\beta \in [0,1]$), określa, ile procent sygnału wyjściowego wraca z powrotem na wejście; może być on niezależny od częstotliwości sygnału albo zależny (co jest podstawą działania filtrów aktywnych).

Pamiętając, że $A_{u}=10^{4}\div 10^{7}$ widać, że ułamek ${\frac {1}{A_{u}}}$ będzie bardzo mały, o wiele mniejszy niż $\beta$ i praktycznie wartość $\beta$ decyduje o wzmocnieniu całego układu. Można w formie ćwiczenia podstawić do wzoru dwie skrajne wartości $A_{u}$, przyjąć $\beta =0{,}3$ i porównać uzyskane wzmocnienie (dla niecierpliwych: różnice pojawiają się dopiero ok. 3–4 miejsca po przecinku). Tak więc nawet jeśli wzmacniacz operacyjny będzie produkowany z dużym rozrzutem parametrów, to zewnętrzne sprzężenie zwrotne zniweluje różnice i układ w danej konfiguracji będzie działał zawsze tak samo!

Model idealnego wzmacniacza

W celu przeprowadzenia analizy układów ze wzmacniaczami operacyjnymi przyjmuje się następujące założenia:

• rezystancja wejściowa jest nieskończona,
• wzmocnienie napięciowe jest nieskończone,
• wzmacniacz operacyjny nie pobiera prądu.

Dla ujemnego sprzężenia zwrotnego stosuje się tzw. pozorne zwarcie (zwarcie bezprądowe): ponieważ $A_{u}\rightarrow \infty$, to $U_{d}=0$, a z kolei $U_{d}=U_{+}-U_{-}$, co implikuje równość $U_{+}=U_{-}$.

Konfiguracje

Wzmacniacz odwracający

Wzmacniacz odwracający jest wyjściową konfiguracją dla wielu innych układów, dlatego zostanie omówiony dość dokładnie.

Ponieważ wzmacniacz operacyjny nie pobiera prądu, toteż jednakowy prąd $I$ płynie przez obydwa rezystory.

Z kolei potencjały obu wejść są jednakowe (bo $U_{+}=U_{-}$), skąd wynika, że oba wejścia wzmacniacza operacyjnego są na potencjale masy. Dlatego napięcie na rezystorze $R_{1}$ jest równe $U_{+}-u_{we}=-u_{we}$, skąd $I=-{\frac {u_{we}}{R_{1}}}$. Podobnie napięcie na rezystorze $R_{2}$ jest równe $u_{wy}$ i tutaj również prąd $I={\frac {u_{wy}}{R_{2}}}$. Przyrównując prądy:

$-{\frac {u_{we}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{R_{2}}}$
$-R_{2}u_{we}=R_{1}u_{wy}$
$-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{u_{we}}}=k_{u}$

Rezystancja wejściowa układu $R_{we}={\frac {U_{we}}{I_{we}}}$. Prąd wejściowy jest równy wyliczonemu wcześniej $I$, a podstawiając wyrażenie zawierające $U_{we}$, otrzymujemy: $R_{we}={\frac {U_{we}}{-{\frac {U_{we}}{R_{1}}}}}=-R_{1}$.

Wzmacniacz nieodwracający

W konfiguracji wzmacniacza nieodwracającego sytuacja ma się podobnie jak w przypadku wzmacniacze odwracającego: jednakowy prąd $I$ płynie przez oba rezystory. Napięcia na wejściach wzmacniacza jest równe $u_{we}$.

Prąd płynący przez $R_{1}$ dany jest wzorem ${\frac {u_{we}}{R_{1}}}$, a dla $R_{2}$ wzór ma postać ${\frac {u_{wy}-u_{we}}{R_{2}}}$. Po przyrównaniu otrzymujemy:

${\frac {u_{we}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}-u_{we}}{R_{2}}}$
$R_{2}u_{we}=R_{1}u_{wy}-R_{1}u_{we}$
$u_{we}(R_{1}+R_{2})=R_{1}u_{wy}$
${\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{u_{we}}}$

Wtórnik napięciowy

Wtórnik napięciowy jest specjalnym przypadkiem wzmacniacza nieodwracającego, w którym $R_{1}\rightarrow \infty$, co powoduje, że wzmocnienie napięciowe układu jest równe 1. Ponieważ rezystancja wejściowa wtórnika jest bardzo duża, to układy te są stosowane w celu odseparowania źródła sygnału od odbiornika.

Konwerter prąd-napięcie

Napięcie wyjściowe układu konwertera jest wprost proporcjonalne do prądu $i_{we}$ wpływającego do układu i równe $u_{wy}=-i_{we}R$. Układy są stosowane do mierzenia niewielkich prądów (rzędu pikoamperów), m.in. do pomiaru natężenia światła.

Przyjmując, że mamy do dyspozycji wzmacniacz idealny, ponieważ sprzężenie zwrotne dąży do wyrównania potencjałów na wejściu wzmacniacza:
$V_{a}$= potencjał wejścia dodatniego
$V_{b}$= potencjał wejścia ujemnego
$V_{a}=V_{b}$
$V_{b}=0$ ponieważ jest zwarty z masą.
$V_{a}=0$
$U_{we}=0$
$U_{we}-U_{R}-U_{wy}=0$
$-U_{wy}=-U_{we}+U_{R}/-1$
$U_{wy}=U_{we}-U_{R}$
$U_{wy}=0-i_{we}R$
$U_{wy}=-i_{we}R$

Wzmacniacz sumujący odwracający

Wzmacniacz sumujący odwracający wyznacza ważoną sumę napięć wejściowych (wejść może być więcej niż 2). Jest to wariant wzmacniacza odwracającego.

Prąd $I$ jest sumą prądów wejściowych $I=I_{1}+I_{2}$; napięcia na wejściach wzmacniacza operacyjnego są równe zero. Stąd napięcie wyjściowe:

$I=I_{1}+I_{2}$
${\frac {-u_{wy}}{R}}={\frac {U_{1}}{R_{1}}}+{\frac {U_{2}}{R_{2}}}$
$u_{wy}=-\left({\frac {R}{R_{1}}}U_{1}+{\frac {R}{R_{2}}}U_{2}\right)$

Jeśli $R_{1}=R_{2}=R'$, wówczas:

Wzmacniacz odejmujący

Wzmacniacz odejmujący jest często zwany również różnicowym. Realizuje on odejmowanie napięć wejściowych w odpowiednim stosunku zależnym od wartości rezystorów znajdujących się w układzie.

${\frac {U_{R_{1}}}{R_{1}}}={\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}$
${\frac {U_{+}-U_{1}}{R_{1}}}={\frac {U_{wy}-U_{+}}{R_{2}}}$
$R_{2}U_{+}-R_{2}U_{1}=R_{1}U_{wy}-R_{1}U_{+}$
$R_{1}U_{wy}=(R_{1}+R_{2})U_{+}-R_{2}U_{1}$
$R_{1}U_{wy}=(R_{1}+R_{2}){\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}U_{2}-R_{2}U_{1}$
$U_{wy}={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}{\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}U_{2}-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}U_{1}$

Jak widać, napięcie wyjściowe jest równe różnicy napięć wejściowych. Jeśli dodatkowo $R_{4}=R_{2}$ oraz $R_{3}=R_{1}$, to:

Wzmacniacz potencjometryczny

Wzmacniacz potencjometryczny jest wariantem wzmacniacza odwracającego, w którym wzmocnienie układu regulowane jest za pomocą potencjometru (tutaj reprezentowanego przez rezystory $R_{3}$ i $R_{4}$).

Prąd przepływający przez $R_{2}$ przepływa także przez $R_{1}$ i jego natężenie wynosi:

$I={\frac {u_{we}}{R_{1}}}$

Dodatkowo widać, że $U_{R_{4}}=-U_{R_{2}}=-IR_{2}$ (bo $U_{-}-U_{R_{2}}-U_{R_{4}}=0$, z II prawa Kirchoffa dla jednego z oczek).

Prąd ten wpływa do węzła dzielnika napięcia i z pierwszego prawa Kirchoffa:

$I+I_{3}=I_{4}$, a stąd $I_{3}=I_{4}-I$.

Ostatecznie napięcie wyjściowe równe sumie napięć na rezystorach $R_{3}$ i $R_{4}$:

$u_{wy}=U_{R_{3}}+U_{R_{4}}=I_{3}R_{3}+I_{4}R_{4}=(I_{4}-I)R_{3}+I_{4}R_{4}$

Podstawiając wszystkie dane do wyrażenia na $u_{wy}$, otrzymujemy:

$u_{wy}=\left(-{\frac {U_{R_{2}}}{R_{4}}}-{\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}\right)R_{3}-U_{R_{2}}$

$u_{wy}=-U_{R_{2}}\left({\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}+1\right)$

$u_{wy}=-u_{we}{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}\right)$

$k_{u}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}\right)$

Wzmacniacz różniczkujący

|kus| = -sRC

Wzmacniacz całkujący

|kus| = -1/sRC

Aktywny filtr dolnoprzepustowy