Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Rozwiń funkcję
f
(
x
)
=
x
⋅
arctan
x
{\displaystyle f(x)=x\cdot \arctan x}
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
Obliczymy pochodną funkcji
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)^{\prime }={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Jest to wzór na sumę pewnego szeregu geometrycznego:
1
1
+
x
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
x
2
)
n
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x^{2})^{n}}
Mając taką postać szeregu, aby dojść do rozwinięcia funkcji wyjściowej należy scałkować ten szereg wyraz po wyrazie oraz pomnożyć otrzymany szereg przez
x
{\displaystyle x}
x
⋅
arctan
x
=
x
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∫
0
x
t
2
n
d
t
=
{\displaystyle x\cdot \arctan x=x\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{x}t^{2n}\,dt=}
=
x
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
=
{\displaystyle =x\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=}
Co ostatecznie daje wynik:
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
2
2
n
+
1
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+2}}{2n+1}}}
