Analiza matematyczna/Przykład szeregu 4

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Rozwiń funkcję f(x) = x \cdot \arctan x w szereg potęgowy o środku w x0 = 0.

Obliczymy pochodną funkcji arctanx:

(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1+x^2}

Jest to wzór na sumę pewnego szeregu geometrycznego:

\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n

Mając taką postać szeregu, aby dojść do rozwinięcia funkcji wyjściowej należy scałkować ten szereg wyraz po wyrazie oraz pomnożyć otrzymany szereg przez x. Otrzymamy zatem:

x\cdot \arctan x = x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =

= x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{ x^{2n+1} }{2n+1} =

Co ostatecznie daje wynik:

= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{ x^{2n+2} }{2n+1}

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_szeregu_4”