Analiza matematyczna/Całka podwójna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

W układzie współrzędnych dany mamy prostokąt \bar{P}:

\bar{P} = \left \{ (x,y) : x \in \langle a;b \rangle \and y \in \langle c;d \rangle \right \}

oraz funkcję f(x,y) określoną i ograniczoną na tym prostokącie.

δn nazywać będziemy podział \bar{P} na prostokąty \bar{P}_k o polach równych Δσk i przekątnych długości d_k \quad k=1,2,...,n prowadząc proste równoległe do osi współrzędnych.

σn - średnica podziału, największa spośród liczb dk

\sigma_n = \max d_k \quad 1 \le k \le n

S_n = \sum _{k=1}^n { f (A_k ) \cdot \Delta \sigma_k } - Suma całkowa funkcji f dwóch zmiennych na całym prostokącie.

Uwaga! \iint\limits_P f( x,y) dx dy = \iint\limits_P f(x,y)d\sigma (całka podwójna po prostokącie \bar{P})

\iint\limits_P f(x,y) d\sigma = \lim_{\delta_n \to 0 } S_n - mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemana na \bar{P} (R-całkowalna)
Uwaga! Uwaga!
# Ograniczoność f jest warunkiem koniecznym R-całkowalności funkcji f (warunkiem wystarczającym nie jest)
  1. Jeśli f jest ograniczona na prostokącie \bar{P} i ciągła z wyjątkiem zbioru punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów o łącznym polu dowolnie małym, to f jest R-całkowalna na \bar{P}.
  2. (wniosek z 2.) Jeśli f jest ciągła na \bar{P} to f jest R-całkowalna na \bar{P}.

[edytuj] Zmiana całki podwójnej na iterowaną

Aby obliczyć całkę podwójną najłatwiej przekształcić ją w całkę iterowaną

\iint \limits_D f(x,y)dx dy = \int \limits_{a}^{b}(\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy)dx, gdzie a,b,c,d to odpowiednie boki prostokąta

Przykład
Obliczanie całki na prostokącie \iint \limits_D xy dx dy na prostokącie 0 \le y \le 4, 0 \le x \le 5
\iint \limits_D xy dx dy = \int \limits_{0}^{5}(\int\limits_{0}^{4}xy dy)dx
\int \limits_{0}^{5}| \frac {xy^2}{2}|_{0}^{4} dx=\int \limits_{0}^{5} 8x dx= |4x^2|_{0}^{5}= 100

[edytuj] Interpretacje całki podwójnej

1. Jeśli f jest tożsamościowo równa 1 (f = 1) to:

:  \iint\limits_P 1 d\sigma = \iint\limits_P d\sigma = \sigma - pole prostokąta \bar{P}

2. Jeśli f jest ciągła na \bar{P} i nie przyjmuje w żadnym punkcie \bar{P} ujemnych wartości (f(x,y) \ge 0) to:

:  \iint\limits_P f(x,y)d\sigma = V  - objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: z = 0;x = a;x = b;y = c;y = d i powierzchnią z = f(x,y) dla (x,y) \in \bar{P}

3. gęstość -> masa 4. środek ciężkości

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Ca%C5%82ka_podw%C3%B3jna”