Analiza matematyczna/Ciągi liczbowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Ciąg - wiadomości ogólne

Definicja
 DEFINICJA

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcje określoną na zbiorze liczb naturalnych, której wartościami są liczby.


Jeżeli każdy kolejny wyraz ciągu zależy jest od poprzedniego to możemy go zapisać za pomocą wyrazu ogólnego ciągu.

Przykład:

Mamy ciąg o wyrazie ogólnym a_n = n^2 + 3\,.

Oznacza to że jego pierwszy wyraz a_1 = 1^2 + 3 = 4\,,

drugi wyraz a_2 = 2^2 + 3 = 7\, itd.

[edytuj] Monotoniczność ciągu

Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy jest rosnący, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest większy od poprzedniego.

Przykładem takiego ciągu jest a_n = 2^n + 1\,, ponieważ dla każdego n>1\, a_n-a_{n-1}=2^n+1-2^{n-1}-1=2^{n-1}>0\,, zatem a_n >a_{n-1}\,.

Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy jest niemalejący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie mniejszy od poprzedniego.

Każdy ciąg rosnący jest niemalejący. Przykładem ciągu niemalejącego jest a_n=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor.

Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy jest malejący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Przykładem takiego ciągu jest a_n = \frac{1}{n}, ponieważ dla każdego n>1\, a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}-1=\frac{n-1}{n(n-1)}-\frac{n}{n(n-1)}>0\,, zatem a_n <a_{n-1}\,.

Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy jest nierosnący gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie większy od wyrazu poprzedniego.

Każdy ciąg malejący jest ciągiem nierosnącym.

Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy jest monotoniczny, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Definicja
 DEFINICJA

Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są równe, nazywamy ciągiem stałym.

Przykładem takiego ciągu jest a_n=1\,. Ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.

Istnieją jednak ciągi które nie są ani malejące ani rosnące. Przykładem takiego ciągu jest a_n = (-2)^{n + 1} +3\,. Jego pierwszy wyraz wynosi 7, drugi -5, a trzeci 19. Można więc powiedzieć że ciąg miedzy pierwszym a drugim wyrazem maleje, a miedzy drugim i trzecim rośnie. Takie ciągi są niemonotoniczne.

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Ci%C4%85gi_liczbowe”