Analiza matematyczna/Przykład ciągu 1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Zbadać zbieżność ciągu:

f_n(x) = \frac{1}{1+nx^2}, dla x\in\mathbb{R}

Sprawdzamy czy ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Ustalamy w tym celu x\in\mathbb{R} i traktujemy (fn) jako ciąg liczbowy. Otrzymujemy zatem granicę punktową:

\lim_{n \to \infty}f_n(x) = \begin{cases} 0 , x\notin\mathbb{R} \\ 1 , x\in\mathbb{R} \end{cases}

Dla x\in\mathbb{R} brak zbieżności jednostajnej, gdyż ciąg funkcji ciągłych zmierza jednostajnie tylko do funkcji ciągłej. W tym przypadku dla x = 0 mamy punkt nieciągłości funkcji granicznej.

Jednak dla przedziału x\in<a,b>, gdzie 0 < a < b, funkcja graniczna jest funkcją ciągłą. Sprawdzamy zatem, czy jest to zbieżność jednostajna? Musi być w takim przypadku spełniony warunek:

\lim_{n \to \infty} \sup_{x\in<a,b>} \left | f_n - f \right | = 0

Badamy zatem pochodną:

\left ( \frac{1}{1+nx^2} \right )^\prime = \frac{-2nx}{(1+nx^2)^2} < 0

Wyrażenie pod supremum jest funkcją malejącą dla x\in<a,b>, stąd wniosek:

\lim_{n \to \infty} \sup_{x\in<a,b>} \left | \frac{1}{1+nx^2} \right | = 0

Zatem w powyższym przedziale występuje zbieżność jednostajna danej funkcji do f\equiv 0.

Warto zauważyć, że dla x\in(0, b> wartość supremum jest równa 1, zatem wówczas brak zbieżności jednostajnej, pomimo ciągłości funkcji granicznej.

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_ci%C4%85gu_1”