Analiza matematyczna/Przykład szeregu 1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Dany jest szereg :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{3^n} (x-1)^{2n}

Zadanie:

  1. obliczyć jego promień zbieżności,
  2. wyznaczyć zbiór zbieżności,
  3. obliczyć sumę szeregu

Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach (x − 1) są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:

t = (x − 1)2

Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:

\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{3^n} t^{n}


Spis treści

[edytuj] Promień zbieżności

Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru

R_t=\frac{1}{\lambda} , gdzie \lambda = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}

\lambda = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+3}{3^{n+1}} \frac{3^n}{n+2} =

= \frac{1}{3} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+3}{n+2} =

= \frac{1}{3}

Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość Rt = 3 .

[edytuj] Przedział (zbiór) zbieżności

Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:

t\in ( t_0-R_t , t_0 + R_t )

tzn.

t\in ( -3 , 3 )

Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:

(x-1)^2\in ( -3 , 3 )

x-1\in ( -\sqrt{3} , \sqrt{3} )

x\in ( -\sqrt{3}+1 , \sqrt{3}+1 )


Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.

[edytuj] Lewy koniec

Zatem dla x=-\sqrt{3}+1 otrzymamy szereg liczbowy:

[edytuj] Prawy koniec

Dla x=\sqrt{3}+1 otrzymamy szereg liczbowy:

[edytuj] Suma szeregu

\int_{1}^{x}\sum_{n=1}^\infty \frac{n+2}{3^n} (t-1)^{2n} \,dt

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_szeregu_1”