Analiza matematyczna/Przykład szeregu 2

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Obliczyć sumę szeregu potęgowego:

\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+2}{3^n} x^{2n+1}

Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, gdy jest jednostajnie zbieżny oraz zmienna x jest w przedziale zbieżności.

Liniowego czynnika w liczniku ułamka pozbędziemy się całkując wyraz po wyrazie (mamy tu na myśli całkę oznaczoną od środka przedziału zbieżności do x - zwróć uwagę, w którym miejscu pojawia się zmienna x, a w którym zmienna t):

\int_{0}^{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+2}{3^n} t^{2n+1}\, dt =

Wyrażenie zależne wyłącznie od wskaźnika n możemy wyłączyć przed znak całki:

= \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+2}{3^n} \int_{0}^{x} t^{2n+1}\, dt =

= \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+2}{3^n} \frac{x^{2n+2}}{2n+2} =

= \sum_{n=1}^\infty \frac{(x^2)^{n+1}}{3^n} =

= 3 \cdot \sum_{n=1}^\infty \left (\frac{x^2}{3} \right )^{n+1} =

Po przeindeksowaniu wyrazów nasz szereg otrzyma znaną postać szeregu geometrycznego

= 3 \cdot \sum_{n=2}^\infty \left (\frac{x^2}{3} \right )^{n} = ... =

którego suma jest równa:

= \frac{x^4}{3-x^2}

Zatem ostatecznie dochodzimy do równania:

\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+2}{3^n} x^{2n+1} = \left ( \frac{x^4}{3-x^2} \right )^\prime =

\frac{-2x^5+12x^4}{(3-x^2)^2}

Stąd szukana suma szeregu ma wartość:

S(x) = \frac{-2x^5+12x^4}{(3-x^2)^2}

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_szeregu_2”