Analiza matematyczna/Przykład szeregu 3

Obliczyć sumę szeregu liczbowego:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 3^n} =$

Powyższy szereg zapiszemy inaczej w postaci:

$= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left (\frac{1}{3} \right )^n$

$R = 1$

więc w przedziale

$x\in(-1,1)$

szereg jest zbieżny

Szukamy zatem sumy szeregu funkcyjnego

$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ dla $x=\frac{1}{3}$

Czynnik liniowy zależny od indeksu $n$ znajduje się w mianowniku, stąd szereg będziemy różniczkować wyraz po wyrazie:

$S^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} =$

$= \sum_{n=1}^\infty n \cdot \frac{ x^{n-1} }{n} =$

$= \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} =$

co po przeindeksowaniu przyjmie postać:

$= \sum_{n=0}^\infty x^{n} =$

Jest to szereg geometryczny, którego suma jest równa:

$= \frac{1}{1-x}$

Wracając do sumy wyjściowego szeregu otrzymujemy:

$S(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t}\, dt=$

$= - ln(1 - x)$

Co ostatecznie daje nam odpowiedź:

$S \left ( x=\frac{1}{3} \right ) = - \ln \frac{2}{3}$