Analiza matematyczna/Przykład szeregu 5

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcje f(x)=\frac{1}{1+x} oraz g(x) = ln(x + 1) w szereg potęgowy o środku w x0 = 0.

Wzór funkcji f przekształcimy do postaci sumy szeregu geometrycznego:

f(x) = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} =

co rozwiniemy właśnie do tego szeregu geometrycznego otrzymując:

= \sum_{n=0}^\infty (-x)^{n}=

= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} x^n

Co jest szukanym rozwinięciem funkcji f(x). Zauważymy również, że:

g^\prime(x) = \frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} x^n

Całkując wyraz po wyrazie powyższy szereg otrzymamy rozwinięcie funkcji g(x):

g(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \int_{0}^{x} t^n\,dt =

= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}

Na zakończenie należy jedynie zwrócić uwagę, że powyższe rozwinięcia są prawdziwe dla x\in(-1,1) ze względu na przedział zbieżności rozpatrywanego na początku szeregu geometrycznego.

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_szeregu_5”