Analiza matematyczna/Przykład szeregu 6

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Obliczyć sumę szeregu:

\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} }{n(2n-1)} x^{2n}

W przypadku szereregów potęgowych zaczynamy od wyznaczenia przedziału zbieżności. W tym przypadku skorzystamy ze wzoru d'Alamberta:

\lambda = \lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right | =

= \lim_{n \to \infty} \left | \frac{2n^2-n}{2n^2+3n+1} \right | = 1

Otrzymujemy zatem promień zbieżności równy R=\frac{1}{\lambda}=1 . Na końcach przedziału zbieżności dla x = 1 oraz x = − 1 szereg potęgowy przyjmuje postać szeregu liczbowego:

\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} }{n(2n-1)}

...

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Przyk%C5%82ad_szeregu_6”