Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Analiza matematyczna

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Spis treści

1 Równania o zmiennych rozdzielonych
- 1.1 Przykład
2 Równania jednorodne
- 2.1 Przykład
3 Równania liniowe
4 Równanie zupełne
- 4.1 Czynnik całkujący
5 Równania wyższych rzędów
- 5.1 Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu
  - 5.1.1 jawnie nie występuje zmienna zależna y
  - 5.1.2 jawnie nie występuje zmienna niezależna x
    - 5.1.2.1 Przykład
- 5.2 Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach
  - 5.2.1 Metoda uzmienniania stałej na przykładzie

[edytuj] Równania o zmiennych rozdzielonych

[edytuj] Przykład

Rozwiąż równanie różniczkowe $y' = e x + y$ przy warunku początkowym $y (0) = 0$ .

$\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$

$e - y d y = e x d x$

$\int e^{-y} dy = \int e^x dx$

$- e - y = e x + C$

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy wyznaczamy całkę szczególną tego równania podstawiając do powyższego wyniku $y (x = 0) = 0$ . Otrzymujemy wówczas równanie:

$- e 0 = e 0 + C$

$- 1 = 1 + C$

$C = - 2$

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymuję:

$- e - y = e x - 2$

$e - y = 2 - e x$

$\frac{1}{e^{y}} = 2-e^x$

$e^{y} = \frac{1}{2-e^x}$

Ostatecznie szególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

$y = \ln \frac{1}{2-e^x}$

[edytuj] Równania jednorodne

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

$y' = f \left ( \frac{y}{x} \right )$

Po zastosowaniu podstawienia $u = \frac{y}{x}$ daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych $x$ oraz $u$ . Wówczas:

$y = u(x) \cdot x$

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji otrzymuję:

$y' = u' x + u$

[edytuj] Przykład

[edytuj] Równania liniowe

$y' + P (x) y = Q (x)$ (*)

$Q (x) = 0$ r. jednorodne

$Q(x)\neq0$ r. niejednorodne

$y'+P(x)y=0\quad y\neq0$

$y' = d y$ zamiana

$dy=-P(x)ydx\quad/:y$

$d y / y = - P (x) d x$

$\ln|y|=-\int P(x)+C1$

$\ln|y|=-\int P(x)+\ln|C2| C2=C$

$\ln|y|=\ln\left|C2/\int P(x)\right|$

$y=C(x)/-\int P(x)$ wstawiamy do (*) to są (**)
$y' =$ wstawiamy do(*)
$C'(x) =$
$C(x)=\int C'(x)$ wstawiamy do (**)
$Y=C(x)/-\int P(x)$

[edytuj] Równania liniowe jednorodne

[edytuj] Równania liniowe niejednorodne

[edytuj] Równanie Bernoullego

Ogólna postać równania Bernoullego to

$y' + p(x) \cdot y = q(x) \cdot y^r$

gdzie $r\in\mathbb{R}$ , natomiast $p (x)$ oraz $q (x)$ to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez $y r$ otrzymujemy równanie postaci

$\frac{y'}{y^r} + p(x) \cdot y^{1-r} = q(x)$

Po zastosowaniu podstawienia $z = y 1 - r$ otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

[edytuj] przykład

$z = y - 2$

$z' = - 2 y - 3 y'$

$\frac{y'}{y^{3}} = -\frac{1}{2} z'$

$y' + x y = x y 3$

Równanie dzielimy obustronnie przez $y 3$

$\frac{y'}{y^3} + xy^{-2} = x$ , gdzie $y\ne0$

Uwaga!

Do warunku na niezerową funkcję $y (x)$ należy powrócić na samym końcu zadania, by sprawdzić, czy funkcja tożsamościowa $y\equiv0$ nie jest także jednym z rozwiązań równania, nieuwzględnionym w rozwiązaniu ogólnym lub szczególnym.

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej $z (y (x))$ :

$-\frac{1}{2} z' + xz = x$

$z' - 2 x z = - 2 x$

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

$z' - 2 x z = 0$

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

$z_{oj} = C e^{x^2}$

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

$z_{sn} = C(x) e^{x^2}$ , gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymuję także:

$z'_{sn} = C'(x) e^{x^2} + C(x) e^{x^2} 2x$

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

$C'(x) e^{x^2} + C(x) e^{x^2} 2x - 2x C(x) e^{x^2} = -2x$

W wyniku tej operacji $C (x)$ powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

$C'(x) e^{x^2} = -2x$

Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy $D = 0$ .

$C(x) = e^{-x^2}$

Zatem

$z_{sn} = e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1$

$z o n = z o j + z s n$

$z_{on} = C e^{x^2} + 1$

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego otrzymuję:

$\frac{1}{y^2} = C e^{x^2} + 1$

Funkcja tożsamościowa $y\equiv0$ nie obejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

[edytuj] Równanie zupełne

$P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$

[edytuj] Czynnik całkujący

Równanie nie będące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

$P (x, y)μ(x) d x + Q (x, y)μ(x) d y = 0$

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

$\frac {\partial P \mu(x)} {\partial y} = \frac {\partial Q \mu(x)} {\partial x}$

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

$\mu(x) \frac {\partial P } {\partial y} = \frac {\partial Q} {\partial x} \mu(x) + Q \mu'(x)$

$\mu(x) \frac {\partial P } {\partial y} - \mu(x) \frac {\partial Q} {\partial x} = \mu'(x) Q$

$\mu(x) \left ( \frac {\partial P } {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial x} \right ) = \mu'(x) Q$

$\frac {\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac {\frac {\partial P } {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial x} } {Q}$

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

$\ln |\mu(x)| = \int \frac {\frac {\partial P } {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial x} } {Q} dx$

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

$\ln |\mu(y)| = \int \frac {\frac {\partial Q } {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y} } {P} dy$

[edytuj] Równania wyższych rzędów

[edytuj] Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu

Równania postaci $y'' = f (x, y, y')$ możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności, od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

[edytuj] jawnie nie występuje zmienna zależna y

$F (x, y', y'') = 0$

$y' = u (x)$

$y'' = u'(x)$

Rozpatrzmy przykładowe równanie $y'' = x (y') 2$ . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymuję równanie postaci $u' = x u 2$ . Zmienna zależna $y (x)$ została zastąpiona zmienną zależną $u (x)$ . Rola zmiennej niezależnej $x$ nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

$\overline{F}(x,u,u') = 0$

Szukamy zatem rodziny funkcji $u (x)$ zależnej od jednej stałej całkowania $C$ , a następnie wracając do pierwszego podstawienia wyznaczamy wartość rodziny funkcji $y (x)$ zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania $C$ oraz $D$ .

[edytuj] jawnie nie występuje zmienna niezależna x

$F (y, y', y'') = 0$

$y' = u (y)$

$y''=u'(y)\cdot y'$

$y''= u'(y) \cdot u(y)$

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna $u (y)$ . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako

$\overline{F} (y, u, u') = 0$

[edytuj] Przykład

$y\cdot y'' = y^3 + (y')^2$

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

$y u \cdot u' = y^3 + u^2$

$z = u 1 - ( - 1) = u 2$

$z' = 2u\cdot u'$

$u' = y^2 u^{-1} + \frac{1}{y}u$ Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji $u (y)$ . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

[edytuj] Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach

[edytuj] Metoda uzmienniania stałej na przykładzie

$y''(x)-y(x) = \frac {e^x} {e^x+1}$

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

y''(x) - y (x) = 0

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

λ 2 - 1 = 0

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

y = c 1 e x + c 2 e - x

Teraz uzmienniamy stałą

y = c 1 (x) e x + c 2 (x) e - x

Następnie tworzymy układ :

$\begin{cases} c_1'(x)e^x+c_2'(x)e^{- x} = 0\\ c_1'(x)e^x-c_2'(x)e^{- x} = \frac {e^x} {e^x+1}\\ \end{cases}$

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia $c 1$ i $c 2$

Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Równania o zmiennych rozdzielonych

[edytuj] Przykład

[edytuj] Równania jednorodne

[edytuj] Przykład

[edytuj] Równania liniowe

[edytuj] Równania liniowe jednorodne

[edytuj] Równania liniowe niejednorodne

[edytuj] Równanie Bernoullego

[edytuj] przykład

[edytuj] Równanie zupełne

[edytuj] Czynnik całkujący

[edytuj] Równania wyższych rzędów

[edytuj] Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu

[edytuj] jawnie nie występuje zmienna zależna y

[edytuj] jawnie nie występuje zmienna niezależna x

[edytuj] Przykład

[edytuj] Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach

[edytuj] Metoda uzmienniania stałej na przykładzie

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia