Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

W21-1a.png

Ten artykuł został uznany przez jednego z wikipedystów za wymagający dopracowania z następującego powodu: "niedokończone (sekcje na końcu są puste)". Jeśli możesz, popraw go. Przydatne wskazówki mogą znajdować się na stronie dyskusji tego artykułu.

Spis treści

[edytuj] Pochodna funkcji

Definicja
Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy:

f'(x_0) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}


Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:

f'(x_0) = \left . \frac{df}{dx} \right |_{x_0} =\left . \frac{dy}{dx} \right |_{x_0} = \left . \frac{d}{dx} f \right |_{x_0} = \dot f(x_0)

Jeżli założymy, że y = ax + b\, jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy a\, prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie \Big(x_0, f(x_0)\Big). Możemy zatem zapisać:

f' (x_0) = \tan \alpha\,, gdzie α to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji, a półosią x.

Uwaga! Uwaga!
Ponieważ z pochodnej funkcji korzystamy w wielu innych dziedzinach nauk ścisłych (np. fizyka, chemia, itp.), w rozwiązywanych przykładach często będziemy odchodzić od konwencji oznaczeń stosowanej w definicjach i twierdzeniach, tzn.:
  • nazwy funkcji literami f, g, h, ...
  • wartości funkcji literą y
  • argumentu funkcji literą x.

Nie warto przywiązywać się do jakichkolwiek oznaczeń dla nazw funkcji, jak i ich argumentów. Na przykład prędkość w fizyce definiuje się jako pochodną położenia po czasie:

\vec{v} = \vec{r}\ '(t) = \frac{d}{dt} \vec{r}

W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.

[edytuj] Pochodna sumy funkcji

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

\Big[ f+g \Big]'(x) = f'(x) + g'(x)


Przykład y = x2 + x
y' = [x2 + x]'
y' = [x2]' + [x]'
y' = 2x + 1

[edytuj] Pochodna iloczynu funkcji

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

\Big[ f\cdot g \Big]'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)


Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.

\Bigg[ f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \cdot m(x) \Bigg]' =

iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.

= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Big[g(x) \cdot h(x) \cdot m(x) \Big]'=

Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.

= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Bigg[ g'(x) \cdot h(x) \cdot m(x) + g(x) \cdot \Big[ h(x) \cdot m(x) \Big]' \Bigg]=

Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:

= f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x) \cdot \Bigg[ g'(x) \cdot h(x) \cdot m(x) + g(x) \cdot \Big[ h'(x) \cdot m(x) + h(x) \cdot m'(x) \Big] \Bigg]=

[edytuj] Pochodna ilorazu funkcji

Twierdzenie
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne f(x), g(x)\ne0:

\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}


Przykład

y=\frac{\sin x}{x}
y'=\frac{(\cos x \cdot x) - (\sin x \cdot 1)}{x^2}

[edytuj] Pochodna funkcji złożonej

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:

(f\circ g)'(x) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)


[edytuj] Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja Pochodna Uwagi
c 0 c \in \mathbb R
x 1
xn nxn − 1 n \in \mathbb R
ax + b a
ax2 + bx + c 2ax + b
a \over x -a \over x^2 x \ne 0
sinx cosx
cosx − sinx
\operatorname{tg} x 1 \over cos^2 x x \ne {\pi \over 2}+k\pi,\; k \in \mathbb Z
\operatorname{ctg} x -{1 \over \sin^2 x} x\not=k\pi,\; k \in \mathbb Z
ex ex
ax axlna a > 0
xx xx(1 + lnx)
lnx 1 \over x x > 0
logax 1 \over x\ln a
\operatorname{arcsin} x 1 \over \sqrt {1 - x^2} | x | < 1
\operatorname{arccos} x -1 \over \sqrt{1 - x^2} | x | < 1
\operatorname{arctg} x 1 \over 1 + x^2
\operatorname{arcctg} x -1 \over 1 + x^2
\sqrt x 1 \over 2 \sqrt x x > 0
\sqrt[n] x 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} x > 0
\operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2} \operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}
\operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2} \operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}
\operatorname{tgh}x = {\operatorname{sinh}x \over \operatorname{cosh}x} {1 \over \operatorname{cosh}^2x} = {4 \over ({e^x + e^{-x}})^2}
\operatorname{artgh}x = {1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x} 1 \over 1-x^2 | x | < 1
\operatorname{arctgh}x = {1 \over 2}\ln {x+1 \over x-1} -1 \over 1-x^2 |x|>1 \;
\ln (x+\sqrt{x^2 \pm a^2}) 1 \over \sqrt{x^2 \pm a^2}

[edytuj] Pochodna cząstkowa funkcji

[edytuj] Ekstremum funkcji

Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie x0 równa 0 i druga pochodna jest różna od 0, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.

  1. Jeśli druga pochodna f''(x) w pukcie x0 jest ujemna, to f(x) w punkcie x0 ma maksimum lokalne.
  2. Jeśli druga pochodna f''(x) w pukcie x0 jest dodatnia, to f(x) w punkcie x0 ma minimum lokalne.
  3. Jeśli druga pochodna f''(x) w pukcie x0 wynosi 0, to f(x) w punkcie x0 ma punkt przegięcia.

[edytuj] Ekstremum funkcji wielu zmiennych

3xy+2x

[edytuj] Rotacja i dywergencja

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy”