Analiza matematyczna/Szeregi liczbowe

Szeregi

Wstęp

Szereg to wyraz będący sumą kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu. W szeregach jednymi z najbardziej istotnych spraw są ich zbieżność i granice.

Zapis szeregu

Szeregi nie mają swojego własnego oznaczenia zapisuje się je za pomocą sumy nieskończonej i przepisu ogólnego (jak w ciągach) co zapisuje sie jako

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

np. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

Czasem można spotkać zapis $S_{n_{1}}$ Jednakże jest on używany wyłącznie gdy rozpisujemy kilka ciągów naraz w celu skrócenia zapisu.

Suma szeregu

Mogło by się wydawać, że skoro dodajemy do siebie nieskończoną ilość liczb (często wszystkie z nich są dodatnie) to ich suma powinna być również nieskończona. Jednakże matematycy nie takie przekręty potrafią robić. Musimy zauważyć, że jeżeli szereg jest zbieżny, to dodajemy coraz mniejsze wyrazy, które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się nie zwiększa. Możemy też zaobserwować, że kolejne sumy są bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się sumą szeregu.

np. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ jest równa 1 gdyż:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}\ldots =1$

Graficzne przedstawienie szeregu

Jak widzimy szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca zawsze zostanie pewien bardzo mały kawałek.

Zbieżność szeregu

Czasem obliczenie sumy nie jest nam potrzebne (czasem jest to bardzo trudne). Czasem wystarcza określić czy szereg jest zbieżny (wtedy istnieje suma szeregu) lub szereg jest rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz mocnej w sposób nieograniczony. Kryteria zbieżności szeregu

Warunek konieczny zbieżności

Jeżeli szereg ∑a_n jest zbieżny, to lim_n→∞ a_n = 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.

Warunek Cauchy'ego zbieżności

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:

Szereg liczbowy ∑a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy: $\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{0}\in N}\forall _{n\geq n_{0}}\forall _{k\in N}\left\vert \sum _{i=n}^{n+k}a_{i}\right\vert <\varepsilon$ Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych ciągu (a_n) jest ciągiem Cauchy'ego.

Zbieżność bezwzględna

Szereg ∑a_n nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a_n|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Przykład mamy szereg anharmoniczny

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {1}{n}}$

Wiemy że szereg ten jest zbieżny a jego suma wynosi $ln2$

Jednakże możemy poukładać wyrazy tak by najpierw wyszła nam jakaś duża liczba np. 50 a potem odpowiednio składać wyrazy dodatnie i ujemne (których nam nie zabraknie) i będziemy mieć sume szeregu 50.

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a_n.

Kryterium d'Alemberta

Jeżeli granica ciągu |a_n+1|/|a_n| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla rozbieżności szeregu wystarczy zresztą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a_n+1|/|a_n|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.

Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: jeżeli granica górna ciągu |a_n+1|/|a_n| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.

$\lim _{n\to \infty }({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})<1\implies$ szereg ∑a_n jest zbieżny

$\lim _{n\to \infty }({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})>1\implies$ szereg ∑a_n jest rozbieżny

$\lim _{n\to \infty }({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})=1\implies$ kryterium nie rozstrzyga

Kryterium Raabego

Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

$\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)>1\implies$ szereg ∑a_n jest zbieżny

$\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)<1\implies$ szereg ∑a_n jest rozbieżny

$\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1\implies$ kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 - inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.

Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli w:granica ciągu ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.

Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.

Kryterium całkowe

Szereg o wyrazie ogólnym $a_{n}=f(n)$ jest zbieżny, jeżeli $f(x)$ jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)\;dx$ jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym $f(n)$ jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja $f(x)$ w przedziale $a<x<\infty$ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

Kryterium porównawcze

Jeżeli wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewnego N nierówność |a_n| ≤ b_n i szereg ∑b_n jest zbieżny, to również szereg ∑a_n jest zbieżny (i to - oczywiście - bezwzględnie).

Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewnego N nierówność a_n ≥ b_n ≥ 0 i szereg ∑b_n jest rozbieżny, to również szereg ∑a_n jest rozbieżny.

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub (rzadziej) geometrycznym.

Kryterium zagęszczania

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg ∑a_n jest taki, że ciąg |a_n| jest monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑pⁿ·|a_pⁿ|, to zbieżny jest szereg ∑a_n.

Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)

Jeżeli mamy szeregi ∑a_n, ∑b_n i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim_n→∞ (a_n/b_n) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = 0 i ∑b_n jest zbieżny, to ∑a_n jest zbieżny.

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = ∞ i ∑a_n jest zbieżny, to ∑b_n jest zbieżny.